양자 논리

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1. 개요
2. 역사
3. 전개
4. 고전 논리와의 비교
- 4.1. 분배 법칙의 실패
5. 표준 의미론
6. 다른 논리와의 관계
7. 한계
8. 예
9. 현대적 비판
10. 현대적 응용
참조

1. 개요

양자 논리는 힐베르트 공간을 논리적 대상으로 해석하여 양자역학적 현상을 설명하려는 논리 체계이다. 1936년 개릿 버코프와 존 폰 노이만이 처음 도입했으며, 물리적 관측량을 명제로 간주하여 "예 또는 아니오" 질문으로 해석한다. 양자 논리는 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간을 명제에, 힐베르트 공간 전체를 참, 0차원 부분 공간을 거짓에 대응시키는 방식으로 전개된다. 고전 논리와 달리 분배 법칙이 성립하지 않는 특징이 있으며, 이는 양자역학적 관측 가능량의 비가환성 때문이다. 현대에는 양자 컴퓨터 개발과 계산 언어학 등 다양한 분야에 응용될 가능성이 제기되고 있다.

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양자 논리
개요
유형	비고전적 논리
개발자	가렛 버코프, 존 폰 노이만
개발 날짜	1936년
특징
주요 특징	중첩 원칙 위반 분배 법칙 실패 측정의 중요성
응용
응용 분야	양자 정보 과학 양자 컴퓨팅 양자 역학의 해석

2. 역사

개릿 버코프와 존 폰 노이만이 1936년에 양자 논리를 도입하였다.^[22] 1932년 존 폰 노이만은 그의 저서 ''양자역학의 수학적 기초''에서 투영을 힐베르트 공간에서의 물리적 관측량에 대한 명제로 간주할 수 있음을 언급했다. 이는 관찰자가 물리적 시스템의 상태에 대해 "예" 또는 "아니오"로 답할 수 있는 질문으로, 어떤 측정으로도 해결될 수 있는 질문이다.

조지 매키는 1963년 저서(역시 ''양자역학의 수학적 기초''라고도 불림)에서 양자 논리를 정준 완비 격자의 구조로 공리화하려 시도했고, 물리적 관측량이 양자 명제의 관점에서 "정의"될 수 있음을 인식했다.^[3]

1969년 힐러리 퍼트넘은 논문 〈논리학은 경험적인가?〉(Is logic empirical?^영어)에서 고전 논리를 양자 논리로 대체해야 한다고 주장했다.^[23] 그러나 글리슨의 정리는 이러한 목표에 어려움을 제시했고, 이후 퍼트넘은 자신의 견해를 철회했다.^[4]

현대 과학 철학자들은 양자 논리가 물리학 문제를 해결하기보다는 형이상학적 어려움을 대체하려 한다고 비판한다. 팀 모들린은 양자 "논리"가 문제를 진술하는 것을 불가능하게 함으로써

3. 전개

양자 논리에서는 양자역학에서의 상태 공간인 힐베르트 공간에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 닫힌 부분 공간을 사영 연산자로 해석하고, 이를 통해 명제를 구성한다. 주요 대응 관계는 다음과 같다.

힐베르트 공간	논리학
닫힌 부분 벡터 공간 $V$	명제 $\phi$
힐베르트 공간 전체 $\mathcal H$	참 $\top$
0차원 부분공간 $\{0\}$	거짓 $\bot$
두 닫힌 부분공간의 합공간 $V\oplus V'$	두 명제의 논리합 $\phi\lor\phi'$
두 닫힌 부분공간의 교집합 $V\cap V'$	두 명제의 논리곱 $\phi\land\phi'$
닫힌 부분공간의 직교 여공간 $V^\perp$	명제의 부정 $\lnot\phi$
두 닫힌 부분집합의 일치 $V=V'$	명제의 동치 $\phi\iff\phi'$
두 닫힌 부분집합의 포함 관계 $V\subseteq V'$	명제의 함의 $\phi\implies\phi'$
두 닫힌 부분집합의 직교 관계 $V\perp V'$	두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음)

양자 논리는 직교모듈러격자(orthomodular lattice^영어)의 구조를 만족시킨다. 양자 논리에서 성립하는 공리들은 다음과 같다.

(논리곱의 결합법칙) $\phi\land(\phi\land\psi)\iff(\phi\land\phi)\land\psi$
(논리합의 결합법칙) $\phi\lor(\phi\lor\psi)\iff(\phi\lor\phi)\lor\psi$
(논리곱의 교환법칙) $\phi\land\chi\iff\chi\land\phi$
(논리합의 교환법칙) $\phi\lor\chi\iff\chi\lor\phi$
(이중 부정의 상쇄) $\lnot\lnot\phi\iff\phi$
(배중률) $\top\iff\phi\lor\lnot\phi$
(비모순율) $\bot\iff\phi\land\lnot\phi$
(드 모르간의 법칙) $\lnot(\phi\land\chi)\iff\lnot\phi\lor\lnot\chi$ , $\lnot(\phi\lor\chi)\iff\lnot\phi\land\lnot\chi$
(논리곱의 흡수법칙) $\top\land\phi\iff\phi$ , $\bot\land\phi\iff\bot$
(논리합의 흡수법칙) $\top\lor\phi\iff\top$ , $\bot\lor\phi\iff\phi$

또한, 다음과 같은 추론법이 성립한다. 여기서

X\vdash Y

는

X

로부터

Y

를 유추한다는 뜻이다.

(대우의 유추) $\phi\implies\chi\vdash\lnot\chi\implies\lnot\phi$
(직교모듈러성) $\phi\implies\chi\vdash\phi\lor(\lnot\phi\land\chi)\iff\chi$

여기서 함의 관계

\phi\implies\chi

는 동치 관계를 사용해

\phi\lor\chi\iff\chi

또는

\phi\iff\phi\land\chi

로 정의된다.

4. 고전 논리와의 비교

고전 논리에서의 명제들은 불 대수를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 분배 법칙이다.^[1] 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다.

(논리곱의 논리합에 대한 분배 법칙) $\phi\lor(\chi\land\psi)=(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi)$
(논리합의 논리곱에 대한 분배 법칙) $\phi\land(\chi\lor\psi)=(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi)$

그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.

고전 시스템에 관한 명제는 "''f''를 측정하면 어떤 실수 ''a'', ''b''에 대해 간격 [''a'', ''b''] 내의 값이 얻어진다."와 같은 기본 진술로부터, 기존의 산술 연산과 점별 극한을 통해 생성된다. 고전 시스템에서 명제의 이러한 특성으로부터, 해당 논리는 상태 공간의 보렐 집합의 부울 대수와 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 고전 명제 논리의 법칙(예: 드 모르간의 법칙)을 따르며, 집합 연산의 합집합과 교집합은 부울 접속사에 해당하고 부분 집합 포함은 재료 함의에 해당한다.

고전 시스템의 명제 시스템은 구별되는 '직교 보완' 연산이 있는 격자이다. 격자 연산의 '만남'과 '결합'은 각각 집합 교집합과 집합 합집합이다. 직교 보완 연산은 집합 보수이다. 또한, 이 격자는 모든 시퀀스 {''E''_''i''}_{''i''∈'''N'''}, 격자 요소의 최소 상한이 있는 의미에서 '순차적으로 완비'되며, 특히 집합론적 합집합이다.

:

\operatorname{LUB}(\{E_i\}) = \bigcup_{i=1}^\infty E_i\text{.}

명제 평가는 양자 논리에서 특이한 속성을 갖는다. 로의 전체 격자 준동형을 허용하는 직교 여원 격자는 부울 대수여야 한다. 표준적인 해결책은 필터링 속성을 가진 최대 부분 준동형 ''q''를 연구하는 것이다.

: 만약 ''a''≤''b''이고 ''q''(''a'') = ⊤이면, ''q''(''b'') = ⊤이다.

(고전) 명제 논리가 부울 격자를 따르는 논리인 데 반해, 양자 논리는 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간이 이루는 직교 모듈러 격자를 따르는 논리이다. ''H''를 힐베르트 공간, ''L(H)''를 ''H''의 닫힌 부분 공간 전체의 집합으로 한다. ''L(H)''에 집합의 포함 관계를 사용하여 순서를 부여하면, ''L(H)''는 완비인 직교 모듈러 격자를 이룬다. 구체적으로는 교집합이 이루는 부분 선형 공간이 ∧, 합집합의 생성하는 폐포가 ∨, 직교 여공간이 ¬에 대응한다.

4. 1. 분배 법칙의 실패

고전 논리와 양자 논리의 가장 큰 차이점은 명제 논리의 분배 법칙이 성립하지 않는다는 것이다.^[1] 양자 논리에서는 측정이 시스템에 영향을 미치고, 비가환 관측 가능량을 다룰 때 선언의 성립 여부와 선언의 각 부분의 참/거짓이 일치하지 않기 때문에 분배 법칙이 성립하지 않는다.

예를 들어, 일직선상에서 움직이는 입자를 생각해 보자.^[2]

''p'' = "입자는 오른쪽으로 움직이고 있다"
''q'' = "입자는 원점의 왼쪽에 있다"
''r'' = "입자는 원점의 오른쪽에 있다"

이 경우, 명제 "''q'' ∨ ''r''"는 항상 참이므로, ''p''가 참이라면 ''p'' ∧ (''q'' ∨ ''r'') = 참이다. 하지만 ''p''가 참이면 불확정성 원리에 의해 위치와 운동량은 동시에 확정될 수 없으므로, "''p'' ∧ ''q''"와 "''p'' ∧ ''r''"는 모두 거짓이다. 따라서 (''p'' ∧ ''q'') ∨ (''p'' ∧ ''r'') = 거짓이 되어, 분배 법칙은 성립하지 않는다.

환원 플랑크 상수가 1인 단위를 사용하고, 다음과 같이 정의할 때도 같은 결론을 얻을 수 있다.^[2]

''p'' = "입자의 운동량이 구간 내에 있다"
''q'' = "입자가 구간 내에 있다"
''r'' = "입자가 구간 내에 있다"

이 경우, ''p'' and (''q'' or ''r'') = ''true''이다. 즉, 입자의 상태는 0과 +1/6 사이의 운동량과 −1과 +3 사이의 위치의 가중된 양자 중첩이다.

반면, "''p'' and ''q''" 및 "''p'' and ''r''" 명제는 불확정성 원리에서 허용하는 것보다 위치와 운동량의 동시 값에 대해 더 엄격한 제한을 가지므로(각각 불확정성이 1/3으로, 허용된 최소값인 1/2보다 작다), 어떤 명제도 지지할 수 있는 상태는 없으며, (''p'' and ''q'') or (''p'' and ''r'') = ''false''이다.

폰 노이만의 『양자역학의 수학적 기초』에 따르면, 양자역학의 "파동함수의 붕괴"는 가분 복소 힐베르트 공간의 선형 부분 공간으로의 사영으로 형식화되었다. 여기서 논리학에서의 명제를 양자역학에서의 관측에 대응시키는 것, 즉, 명제를 사영과 동일시하는 것을 생각해 볼 수 있다.

고전 역학에서는 관측 가능한 물리량이 상태의 함수이며, 상태에 의해 유일하게 결정된다. 그러나 양자역학에서는 물리량(관측 가능량)의 결정에는 상호작용이 반드시 수반된다. 특히 불확정성 원리에 의해 트레이드 오프 관계에 있는 것이 있으며, 이는 논리에서 고전 논리의 일부 법칙을 따르지 않는 것이 된다는 것을 의미한다.

5. 표준 의미론

양자 논리의 표준 의미론은 양자 논리가 분리가능 힐베르트 또는 전 힐베르트 공간에서 사영 연산자의 논리라는 것이다. 여기서 관찰 가능량 ''p''는 ''p''가 (측정되었을 때) 고윳값 1을 갖는 양자 상태 집합과 관련된다. 이때,

''¬p''는 ''p''의 직교 여공간이다 (이러한 상태에 대해 ''p''를 관찰할 확률, P(''p'') = 0이기 때문이다).
''p''∧''q''는 ''p''와 ''q''의 교집합이고,
''p''∨''q'' = ¬(¬''p''∧¬''q'')는 ''p''와 ''q''를 중첩하는 상태를 나타낸다.

이러한 의미론은 전 힐베르트 공간이 명제가 직교 모듈 법칙을 만족하는 경우에만 완비(즉, 힐베르트 공간)되는 좋은 성질을 가지고 있으며, 이는 솔레르 정리로 알려져 있다.^[11] 양자 논리의 많은 발전이 표준 의미론에 의해 동기 부여되었지만, 표준 의미론만으로 특징지어지는 것은 아니며, 해당 격자에 의해 만족되는 추가적인 속성이 있을 수 있는데, 이것이 양자 논리에서 유지될 필요는 없다.

힐베르트 공간과 논리학의 주요 대응은 다음과 같다.

힐베르트 공간	논리학
닫힌 부분 벡터 공간 $V$	명제 $\phi$
힐베르트 공간 전체 $\mathcal H$	참 $\top$
0차원 부분공간 $\{0\}$	거짓 $\bot$
두 닫힌 부분공간의 합공간 $V\oplus V'$	두 명제의 논리합 $\phi\lor\phi'$
두 닫힌 부분공간의 교집합 $V\cap V'$	두 명제의 논리곱 $\phi\land\phi'$
닫힌 부분공간의 직교 여공간 $V^\perp$	명제의 부정 $\lnot\phi$
두 닫힌 부분집합의 일치 $V=V'$	명제의 동치 $\phi\iff\phi'$
두 닫힌 부분집합의 포함 관계 $V\subseteq V'$	명제의 함의 $\phi\implies\phi'$
두 닫힌 부분집합의 직교 관계 $V\perp V'$	두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음)

명제 평가는 양자 논리에서 특이한 속성을 갖는다. 로의 전체 격자 준동형을 허용하는 직교 여원 격자는 부울 대수여야 한다. 표준적인 해결책은 필터링 속성을 가진 최대 부분 준동형 ''q''를 연구하는 것이다.

: 만약 ''a''≤''b''이고 ''q''(''a'') = ⊤이면, ''q''(''b'') = ⊤이다.

(고전) 명제 논리가 부울 격자를 따르는 논리인 데 반해, 양자 논리는 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간이 이루는 직교 모듈러 격자를 따르는 논리이다. ''H''를 힐베르트 공간, ''L(H)''를 ''H''의 닫힌 부분 공간 전체의 집합으로 한다. ''L(H)''에 집합의 포함 관계를 사용하여 순서를 부여하면, ''L(H)''는 완비인 직교 모듈러 격자를 이룬다. 구체적으로는 교집합이 이루는 부분 선형 공간이 ∧, 합집합의 생성하는 폐포가 ∨, 직교 여공간이 ¬에 대응한다. 고전 논리와 크게 다른 점은 분배 법칙, 즉

:''p'' ∧ (''q'' ∨ ''r'') = (''p'' ∧ ''q'') ∨ (''p'' ∧ ''r'')

(''p'', ''q'', ''r''은 명제를 나타냄)

이 반드시 성립하지 않는다는 점이다.

6. 다른 논리와의 관계

양자 논리는 선형 논리^[13] 및 양상 논리 ''B''에 포함된다. 실제로, 양자 계산 분석을 위한 현대 논리는 종종 양자 논리에서 시작하여, 고전 논리의 확장에 바람직한 특징들을 접목하려 시도하며, 이는 필연적으로 양자 논리를 내포한다.

임의의 양자 명제 집합의 직교 여집합 격자는 부울 대수에 포함될 수 있으며, 이는 고전 논리에 적합하다.^[14]

7. 한계

양자 논리에 대한 많은 연구에서 기반이 되는 격자가 직교 모듈러 격자여야 한다고 가정하지만, 이러한 논리는 여러 상호 작용하는 양자 시스템을 처리할 수 없다. Foulis와 Randall의 예에서, 페어링이 직교 모듈러 모델을 허용하지 않는 유한 차원 힐베르트 모델을 가진 직교 모듈러 명제가 있다. 마찬가지로, 직교 모듈러 법칙을 사용하는 양자 논리는 추론 정리를 부정한다.

양자 논리는 합리적인 함축을 허용하지 않는다. 어떤 기술적인 의미에서 단조성을 가진 논리 연산자는 명제의 클래스를 부울 대수로 축소한다.^[15] 결과적으로, 양자 논리는 시간의 흐름을 표현하는 데 어려움을 겪는다.^[13] 한 가지 가능한 해결책은 벨라브킨이 1970년대 후반과 1980년대에 개발한 양자 여과 이론이다.^[16]^[17] 그러나 양자 논리와 매우 가까운 선형 논리의 깊은 추론 단편인 BV 시스템은 임의의 이산 시공간을 처리할 수 있는 것으로 알려져 있다.^[18]

8. 예

스핀과 같은 양자역학적 현상들을 양자 논리를 사용하여 논리학적으로 표현할 수 있다. 스핀이 ½인 페르미온은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 +ħ/2 또는 -ħ/2를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은 다음과 같다.

: $\mathcal H=\mathbb C^2=\operatorname{Span}\{|1\rangle,|2\rangle\}$

이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의할 수 있다. (이들은 파울리 행렬의 고유벡터들이다.)

$\sigma_x$ : 스핀의 ''x''성분이 $+\hbar/2$ 이다. 이 명제는 $\operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}$ 에 대응한다.
$\sigma_y$ : 스핀의 ''y''성분이 $+\hbar/2$ 이다. 이 명제는 $\operatorname{Span}\{|1\rangle+i|2\rangle\}$ 에 대응한다.
$\sigma_z$ : 스핀의 ''z''성분이 $+\hbar/2$ 이다. 이 명제는 $\operatorname{Span}\$

9. 현대적 비판

양자 논리가 양자 장치에 의해 수행된 측정을 요약하는 언어로는 편리하지만, 추론 과정을 설명하는 논리로는 보기 어렵다는 비판이 있다.^[5] 현대 과학 철학자들은 양자 논리가 물리학 문제를 해결하기보다는 형이상학적 어려움을 대체하려 한다고 주장한다.^[5] 팀 모들린은 양자 "논리"는 문제를 진술하는 것을 불가능하게 함으로써 측정 문제를 '해결'한다고 썼다.^[5]

10. 현대적 응용

양자 컴퓨터 개발과 함께 양자 프로토콜 및 알고리즘의 형식적 분석을 위한 논리로 활용될 가능성이 있다.^[1]^[2]^[4] 계산 언어학에도 적용될 수 있다.^[3]

참조

_[1] 간행물 Quantum logic Routledge Encyclopedia of Philosophy 1998
_[2] 문서
_[3] 간행물 Axiomatique quantique 1964
_[3] 간행물 Attempt of an Axiomatic Foundation of Quantum Mechanics and More General Theories https://link.springe[...] 1967
_[4] 논문 On Quantum Logic 1984
_[5] 문서
_[6] 블로그 Venn and Euler type diagrams for vector spaces and abelian groups https://terrytao.wor[...] 2021
_[7] 문서
_[8] 논문 A regular sequent calculus for Quantum Logic in which ∨ and ∧ are dual 1982-09
_[9] 논문 Proof theory for minimal quantum logic I 1994-01
_[9] 논문 Proof theory for minimal quantum logic II 1994-07
_[10] conference Gentzen-like Methods in Quantum Logic http://www.kr.tuwien[...] SUNY Albany
_[11] 간행물
_[11] 간행물 Decompositions in Quantum Logic https://www.ams.org/[...] 1996
_[12] 간행물 Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space 1957
_[13] conference Linear logic for generalized quantum mechanics http://boole.stanfor[...]
_[14] 서적 The Interpretation of Quantum Mechanics https://archive.org/[...] D. Riedel 1974
_[15] 논문 Quantum logic revisited https://link.springe[...]
_[16] 논문 Optimal quantum filtration of Makovian signals
_[16] 논문 Quantum stochastic calculus and quantum nonlinear filtering
_[17] 논문 A discrete invitation to quantum filtering and feedback control
_[18] 서적 A Logical Basis for Quantum Evolution and Entanglement https://hal.inria.fr[...] Springer 2014
_[19] 문서
_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 저널 인용 https://archive.org/[...]
_[23] 서적 인용
_[23] 서적 인용

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