에르미트 행렬

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 예시
6. 추가 정보
참조

1. 개요

에르미트 행렬은 복소수 행렬 A가 켤레 전치 A*와 같은, 즉 A = A*를 만족하는 행렬을 의미한다. 에르미트 행렬은 대각 원소가 실수이며, 고윳값 또한 실수이다. 두 에르미트 행렬의 합은 에르미트 행렬이고, 가역 에르미트 행렬의 역행렬 역시 에르미트 행렬이다. 에르미트 행렬은 양자역학, 신호 처리, 통계, 통신 시스템, 그래프 이론 등 다양한 분야에 응용된다.

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에르미트 행렬
개요
3x3 에르미트 행렬의 예
정의	복소수 정사각 행렬
성질	자신의 켤레전치 행렬과 같은 행렬
다른 이름	자기 수반 행렬
정의
수식 표현	A = A†
설명	행렬 A의 (i, j)번째 원소가 (j, i)번째 원소의 복소 켤레와 같음
수식 표현 (원소 기준)	a =
조건	주대각선 원소는 실수여야 함
예시
행렬 예시	{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}
성질
고윳값	모든 고윳값은 실수임
고유벡터	서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 서로 직교함
대각화 가능성	유니타리 행렬에 의해 대각화 가능함
합	두 에르미트 행렬의 합은 에르미트 행렬임
스칼라 곱	실수 스칼라를 곱한 에르미트 행렬은 에르미트 행렬임
역행렬	가역적인 에르미트 행렬의 역행렬은 에르미트 행렬임
활용
양자역학	양자역학에서 물리량(관측 가능량)을 나타내는 연산자는 에르미트 연산자임
선형대수학	에르미트 형식을 정의하는 데 사용됨
관련 개념
스큐-에르미트 행렬	A† = -A
유니타리 행렬	A† = A⁻¹
정규 행렬	A†A = AA†

2. 정의

복소수 행렬 $A$ 가 자신의 켤레 전치 $A^*$ 와 같을 때, 즉 다음 조건을 만족시키면 '''에르미트 행렬'''이라고 한다.

: $A=A^*$

성분으로 표현하면 다음과 같다.

: $A_{ij}=\overline{A_{ji}}$

여기서 $\overline{(-)}$ 는 켤레 복소수를 의미한다.

에르미트 행렬은 여러 가지 동등한 방식으로 특징지을 수 있다. 정사각 행렬 $A$ 가 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 임의의 두 벡터 $\mathbf v, \mathbf w$ 에 대해 다음 내적 관계를 만족하는 것이다.

$\langle \mathbf w, A \mathbf v\rangle = \langle A \mathbf w, \mathbf v\rangle$

이는 더 일반적인 개념인 자기 수반 연산자를 정의하는 방법이기도 하다.

또한, $n\times{}n$ 행렬 $A$ 가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 모든 벡터 $\mathbf{v}\in \mathbb{C}^{n}$ 에 대해 $\langle \mathbf{v}, A \mathbf{v}\rangle$ 의 값이 항상 실수인 것이다.

$\langle \mathbf{v}, A \mathbf{v}\rangle\in\R, \quad \text{모든 } \mathbf{v}\in \mathbb{C}^{n}에 대해.$

3. 성질

에르미트 행렬은 다음과 같은 여러 중요한 성질을 가진다.

주대각선 원소는 항상 실수이다.^[1]^[3]
모든 고윳값은 실수이다.
서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.
정규 행렬이며, 유니타리 행렬로 대각화 가능하다 (스펙트럼 정리).
두 에르미트 행렬의 합은 에르미트 행렬이다.
가역 행렬인 에르미트 행렬의 역행렬도 에르미트 행렬이다.
두 에르미트 행렬 A와 B의 곱 AB가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 두 행렬이 교환 가능할 때(AB=BA)이다. 따라서 에르미트 행렬 A의 정수 거듭제곱 Aⁿ은 에르미트 행렬이다.
n × n 복소 에르미트 행렬들의 집합은 실수 체 '''R''' 위에서 n² 차원의 벡터 공간을 형성한다.
행렬식은 항상 실수이다.
임의의 정사각 행렬 C는 에르미트 행렬 A와 반 에르미트 행렬 B의 합으로 유일하게 분해될 수 있다 (C = A + B). 여기서 A = (C + C^†)/2 이고 B = (C - C^†)/2 이다. (C^†는 C의 켤레 전치)

3. 1. 실수 고유값

에르미트 행렬의 고윳값은 언제나 실수가 된다.

'''증명'''

\lambda\in\mathbb C

가 에르미트 행렬

A

의 고윳값이라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족하는 0이 아닌 고유 벡터

v

가 존재한다.

:

Av=\lambda v

양변의 왼쪽에

v

의 에르미트 수반

v^*

를 곱하면 다음과 같다.

:

v^*Av = v^*(\lambda v) = \lambda v^*v

한편,

A

는 에르미트 행렬이므로

A=A^*

이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

v^*Av = v^*A^*v = (Av)^*v

Av=\lambda v

이므로,

(Av)^* = (\lambda v)^* = \overline\lambda v^*

이다. 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

:

v^*Av = \overline{\lambda} v^*v

결과적으로

\lambda v^*v = \overline{\lambda} v^*v

이고,

v

는 0벡터가 아니므로

v^*v = |v_1|^2+\cdots+|v_n|^2 \ne 0

이다. 따라서 양변을

v^*v

로 나누면 다음을 얻는다.

:

\lambda = \overline\lambda

이는

\lambda

가 실수임을 의미한다 (

\lambda\in\mathbb R

).

또한, 에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.

'''증명'''

v_1, v_2

가 에르미트 행렬

A

의 서로 다른 고윳값

\lambda_1\ne \lambda_2

에 대응하는 고유 벡터라고 하자 (

v_1 \ne 0, v_2 \ne 0

). 즉, 다음이 성립한다.

:

Av_1 = \lambda_1 v_1

:

Av_2 = \lambda_2 v_2

첫 번째 식의 양변에 에르미트 수반을 취하면

(Av_1)^* = (\lambda_1 v_1)^*

이므로,

v_1^* A^* = \overline{\lambda_1} v_1^*

이다.

A

는 에르미트 행렬(

A^*=A

)이고, 위에서 증명했듯이 고윳값

\lambda_1

은 실수(

\overline{\lambda_1} = \lambda_1

)이므로 다음이 성립한다.

:

v_1^* A = \lambda_1 v_1^*

이 식의 양변 오른쪽에

v_2

를 곱하면 다음과 같다.

:

(v_1^* A) v_2 = (\lambda_1 v_1^*) v_2

:

v_1^* (A v_2) = \lambda_1 (v_1^* v_2)

Av_2 = \lambda_2 v_2

이므로 이를 대입하면 다음과 같다.

:

v_1^* (\lambda_2 v_2) = \lambda_1 (v_1^* v_2)

:

\lambda_2 (v_1^* v_2) = \lambda_1 (v_1^* v_2)

이를 정리하면 다음과 같다.

:

(\lambda_1 - \lambda_2) (v_1^* v_2) = 0

가정에 의해

\lambda_1 \ne \lambda_2

이므로,

\lambda_1 - \lambda_2 \ne 0

이다. 따라서 다음이 성립해야 한다.

:

v_1^* v_2 = 0

이는 두 고유 벡터

v_1

과

v_2

가 서로 직교함을 의미한다.

유한 차원의 스펙트럼 정리에 따르면, 모든 에르미트 행렬은 유니타리 행렬을 이용하여 대각화될 수 있으며, 이렇게 얻어진 대각 행렬의 모든 원소는 실수이다. 이는 에르미트 행렬의 모든 고윳값이 실수이며,

n

차 에르미트 행렬이

n

개의 선형 독립인 고유 벡터를 가짐을 보여준다. 더 나아가, 이

n

개의 고유 벡터들은

\mathbb{C}^n

공간의 정규 직교 기저를 이루도록 선택할 수 있다.

3. 2. 대각화 가능성

정사각 행렬

A

가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 유니타리 행렬에 의해 대각화 가능하고, 실수 고유값을 갖는 것이다.

유한 차원 스펙트럼 정리에 따르면, 모든 에르미트 행렬은 유니타리 행렬을 사용하여 대각화될 수 있으며, 그 결과로 얻어지는 대각 행렬은 실수 성분만을 가진다. 이는 다음과 같은 중요한 성질을 의미한다:

차원이 $n$ 인 에르미트 행렬 $A$ 의 모든 고유값은 실수이다.
에르미트 행렬 $A$ 는 $n$ 개의 선형 독립인 고유벡터를 갖는다.
서로 다른 고유값에 대응하는 에르미트 행렬의 고유벡터들은 서로 직교한다.
퇴화된 고유값(중복된 고유값)이 존재하더라도, $A$ 의 $n$ 개의 고유벡터로 구성된 복소 벡터 공간 $\mathbf{C}^n$ 의 정규 직교 기저를 항상 찾을 수 있다.

모든 에르미트 행렬은 정규 행렬이므로 대각화 가능하다.

만약 에르미트 행렬

A

의

n

개의 정규 직교 고유벡터를

\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n

이라 하고, 이 벡터들을 열로 하는 유니타리 행렬을

U

라고 하면,

A

의 고유값 분해는 다음과 같이 표현할 수 있다.

A = U \Lambda U^\mathsf{H}

여기서

U U^\mathsf{H} = I = U^\mathsf{H} U

이며,

\Lambda

는 주대각선 성분이

A

의 고유값

\lambda_j

인 대각 행렬이다. 이 식은 다음과 같이 전개될 수도 있다.

A = \sum_j \lambda_j \mathbf{u}_j \mathbf{u}_j ^\mathsf{H}

이는 에르미트 행렬이 자신의 고유값과 고유벡터를 통해 완전히 표현될 수 있음을 보여준다.

3. 3. 주대각선 원소

에르미트 행렬의 주대각선 원소는 항상 실수이다.^[1] 이는 에르미트 행렬의 정의로부터 직접 유도된다. 에르미트 행렬

A

는

(i, j)

성분

A_{ij}

가

(j, i)

성분의 켤레 복소수

\overline{A_{ji}}

와 같은 행렬, 즉

A_{ij} = \overline{A_{ji}}

를 만족하는 행렬이다.^[2]

주대각선 원소는

i = j

인 경우에 해당하므로, 이 정의를 적용하면

A_{ii} = \overline{A_{ii}}

가 성립한다.^[3] 어떤 복소수가 자신의 켤레 복소수와 같다는 것은 그 수의 허수부가 0임을 의미하므로, 주대각선 원소

A_{ii}

는 반드시 실수여야 한다.^[1]^[4]

그러나 주대각선을 제외한 다른 비대각 성분(

i \ne j

)들은

A_{ij} = \overline{A_{ji}}

라는 조건만 만족하면 임의의 복소수 값을 가질 수 있다.^[5] 예를 들어, 모든 성분이 실수인 행렬이 에르미트 행렬이 되기 위한 필요충분조건은 그 행렬이 대칭 행렬(주대각선을 기준으로 성분이 대칭인 행렬)인 것이다. 따라서 실수 대칭 행렬은 에르미트 행렬의 특별한 경우로 볼 수 있다.^[4]

3. 4. 행렬 연산

두 에르미트 행렬의 합은 에르미트 행렬이다. 즉,

A

와

B

가 에르미트 행렬이면

A+B

도 에르미트 행렬이다.

가역 행렬인 에르미트 행렬의 역행렬도 에르미트 행렬이다. 즉,

A

가 가역 에르미트 행렬이면

A^{-1}

도 에르미트 행렬이다.

두 에르미트 행렬

A

와

B

의 곱

AB

가 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 두 행렬이 교환 가능할 때, 즉

AB=BA

일 때이다.

따라서 에르미트 행렬

A

의 정수 거듭제곱

A^n

은 에르미트 행렬이다.

만약

A

와

B

가 에르미트 행렬이라면,

ABA

역시 에르미트 행렬이다.

3. 5. 기타 성질

에르미트 행렬의 대각 원소는 항상 실수이다. 이는 에르미트 행렬의 정의에 따라 대각 원소

A_{ii}

는

A_{ii} = \overline{A_{ii}}

를 만족해야 하기 때문이다.

에르미트 행렬의 고윳값은 언제나 실수이며, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.

다른 행렬과의 관계:
모든 성분이 실수인 행렬이 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 그 행렬이 대칭 행렬인 것이다. 즉, 실수 대칭 행렬은 에르미트 행렬의 특수한 경우이다.
모든 에르미트 행렬은 정규 행렬이다. 즉, $A A^\mathsf{H} = A^\mathsf{H} A$ 가 성립한다.
연산:
두 에르미트 행렬의 합은 항상 에르미트 행렬이다.
가역 행렬인 에르미트 행렬의 역행렬 역시 존재한다면 에르미트 행렬이다.
두 에르미트 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱 $AB$ 가 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 $AB = BA$ , 즉 두 행렬이 교환 가능할 때이다. 따라서 에르미트 행렬 $A$ 의 정수 거듭제곱 $A^n$ 은 항상 에르미트 행렬이다.
벡터 공간:
$n \times n$ 복소 에르미트 행렬들의 집합은 복소수 체 $\mathbb{C}$ 위에서 벡터 공간을 형성하지 않는다. 예를 들어, 항등 행렬 $I_n$ 은 에르미트 행렬이지만, $i I_n$ 는 에르미트 행렬이 아니다.
그러나 이 집합은 실수 체 $\mathbb{R}$ 위에서는 벡터 공간을 형성하며, 그 차원은 $n^2$ 이다.
이 실수 벡터 공간의 한 기저는 행렬 단위 $E_{jk}$ ( $(j, k)$ 성분만 1이고 나머지는 0인 행렬)를 사용하여 다음과 같이 구성될 수 있다:
$E_{jj}$ ( $1 \le j \le n$ ) : $n$ 개
$E_{jk} + E_{kj}$ ( $1 \le j < k \le n$ ) : $\frac{n^2-n}{2}$ 개
$i(E_{jk} - E_{kj})$ ( $1 \le j < k \le n$ ) : $\frac{n^2-n}{2}$ 개

(단,

i

는 허수 단위)

예를 들어, 네 개의 파울리 행렬은 $\mathbb{R}$ 위에서 2x2 복소 에르미트 행렬 벡터 공간의 완전한 기저를 형성한다.
행렬식: 에르미트 행렬의 행렬식은 항상 실수이다. 이는 행렬식이 모든 고윳값의 곱이고, 에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수이기 때문이다. 또는 $\det(A) = \det(A^\mathsf{H}) = \det(\overline{A^\mathsf{T}}) = \overline{\det(A^\mathsf{T})} = \overline{\det(A)}$ 이므로 $\det(A)$ 가 실수임을 직접 보일 수도 있다.
스펙트럼 정리: 유한 차원 스펙트럼 정리에 따르면, 모든 에르미트 행렬 $A$ 는 어떤 유니타리 행렬 $U$ 에 의해 대각화될 수 있으며 ( $A = U \Lambda U^\dagger$ ), 대각 행렬 $\Lambda$ 의 대각 원소(즉, $A$ 의 고윳값)는 모두 실수이다. 이는 에르미트 행렬 $A$ 가 $n$ 개의 선형 독립인 고유 벡터를 가지며, 이 고유 벡터들로 $\mathbb{C}^n$ 의 정규 직교 기저를 구성할 수 있음을 의미한다.
고유 분해 및 스펙트럼 분해: $A$ 의 정규 직교 고유 벡터를 $u_1, \dots, u_n$ , 대응하는 실수 고윳값을 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 이라 할 때, $A$ 는 다음과 같이 고유 분해 또는 스펙트럼 분해로 표현될 수 있다.

A = U \Lambda U^\dagger = \sum_{j=1}^n \lambda_j u_j u_j^\dagger

여기서

U = [u_1 \dots u_n]

는 유니타리 행렬,

\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

는 실수 대각 행렬이다.

임의 행렬 분해: 임의의 정사각 행렬 $C$ 는 에르미트 행렬 $A$ 와 반 에르미트 행렬 $B$ 의 합으로 유일하게 분해될 수 있다: $C = A + B$ . 여기서 $A = \frac{1}{2}(C + C^\dagger)$ 이고 $B = \frac{1}{2}(C - C^\dagger)$ 이다. 참고로, 임의의 정사각 행렬 $C$ 에 대해 $(C + C^\dagger)$ 는 항상 에르미트 행렬이고, $(C - C^\dagger)$ 는 항상 반 에르미트 행렬이다.

4. 응용

에르미트 행렬은 물리학, 공학, 통계학 등 다양한 과학 및 공학 분야에서 중요한 역할을 한다.

양자역학에서는 측정 가능한 물리량을 나타내는 연산자로 사용되며, 신호 처리에서는 푸리에 해석 등에서 신호 분석에 활용된다.^[2] 통계 및 기계 학습에서는 변수 간의 관계를 나타내는 공분산 행렬 등에 사용되고^[3], 통신 시스템, 특히 다중 입출력 (MIMO) 시스템 설계 및 분석에도 적용된다. 그래프 이론에서는 그래프의 스펙트럼 분석 등에 활용된다.^[4]^[5]

선형대수 및 수치 해석 분야에서도 중요한 연구 대상이다. 에르미트 행렬은 명확한 스펙트럼 특성을 가지며, 이는 Lanczos 알고리즘과 같은 수치 알고리즘의 효율적인 계산에 활용된다. 또한 특이값 분해 (SVD)나 고윳값 분해와 같은 기법에도 등장한다.

4. 1. 양자역학

에르미트 행렬은 반드시 실수 고유값을 갖는 연산자를 설명하므로 양자역학에 기본적이다. 어떤 양자 상태

|\psi\rangle

에 대한 연산자

\hat{A}

의 고유값

a

는 연산자의 가능한 측정 결과 중 하나이며, 이는 연산자가 실수 고유값을 가져야 함을 요구한다.

4. 2. 신호 처리

신호 처리에서 에르미트 행렬은 푸리에 해석 및 신호 표현과 같은 작업에 활용된다.^[2] 에르미트 행렬의 고유값과 고유 벡터는 신호를 분석하고 의미 있는 정보를 추출하는 데 중요한 역할을 한다.

4. 3. 통계학 및 기계 학습

통계 및 기계 학습 분야에서 에르미트 행렬은 여러 변수 사이의 관계를 나타내는 공분산 행렬에 사용된다. 에르미트 행렬 형태인 공분산 행렬이 양의 정부호(positive definite) 성질을 가지는 것은 다변량 분포가 수학적으로 잘 정의되기 위한 중요한 조건이다.^[3]

4. 4. 통신 시스템

에르미트 행렬은 특히 다중 입출력 (MIMO) 시스템 분야에서 통신 시스템의 설계 및 분석에 적용된다. MIMO 시스템의 채널 행렬은 종종 에르미트 속성을 나타낸다.

4. 5. 그래프 이론

그래프 이론에서 에르미트 행렬은 그래프의 스펙트럼을 연구하는 데 사용된다. 에르미트 라플라시안 행렬은 혼합 그래프의 스펙트럼을 분석하는 데 사용되므로 이 맥락에서 핵심 도구이다.^[4] 혼합 그래프의 에르미트 인접 행렬은 혼합 그래프의 에너지를 연구하는 데 역할을 하는 에르미트 행렬이므로 또 다른 중요한 개념이다.^[5]

5. 예시

예를 들어, 다음 행렬은 에르미트 행렬이다.

: $\begin{pmatrix}2&2+i&4\\2-i&3&i\\4&-i&1\\\end{pmatrix}$

이 행렬은 주대각선을 기준으로 켤레 복소수 관계를 만족한다. 예를 들어 (1, 2) 성분 $2+i$ 와 (2, 1) 성분 $2-i$ 는 서로 켤레 복소수이며, (1, 3) 성분 $4$ 와 (3, 1) 성분 $4$ , (2, 3) 성분 $i$ 와 (3, 2) 성분 $-i$ 도 마찬가지이다. 주대각선 성분 $2, 3, 1$ 은 모두 실수이다.

다음과 같은 형태의 행렬도 에르미트 행렬의 예시가 될 수 있다.

: $\begin{bmatrix}0 & a - ib & c-id \\a+ib & 1 & m-in \\c+id & m+in & 2\end{bmatrix}$

여기서 $a, b, c, d, m, n$ 은 실수이다. 에르미트 행렬의 정의에 따라 대각선 요소( $0, 1, 2$ )는 반드시 실수여야 하는데, 이는 대각선 요소가 자기 자신의 복소켤레와 같아야 하기 때문이다.

잘 알려진 에르미트 행렬의 예시로는 파울리 행렬, 겔만 행렬 및 이들의 일반화가 있다. 이론 물리학에서는 이러한 에르미트 행렬에 허수 계수를 곱하여 반 에르미트 행렬을 만들어 사용하는 경우가 많다.^[6]^[7]

임의의 정사각 행렬 $B$ 에 대해, $A = BB^\mathsf{H}$ (여기서 $B^\mathsf{H}$ 는 $B$ 의 켤레 전치를 의미한다)로 정의되는 행렬 $A$ 는 항상 에르미트 행렬이며, 동시에 반 양의 정부호 행렬이다. 만약 $B$ 가 행렬 전체 랭크(full rank)를 가지면, $A$ 는 양의 정부호 행렬이 된다. 이는 행렬 곱셈의 성질과 켤레 전치의 정의로부터 유도될 수 있다.

6. 추가 정보

에르미트 행렬과 관련된 몇 가지 중요한 성질은 다음과 같다.

주대각선 성분: 에르미트 행렬의 주대각선 성분은 반드시 실수이다. 이는 주대각선 상의 원소 a_ii가 정의에 의해 a_ii = a_ii (켤레 복소수)를 만족해야 하기 때문이다.
실수 대칭 행렬: 모든 성분이 실수인 행렬이 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 그 행렬이 대칭 행렬인 것이다. 즉, 실수 대칭 행렬은 에르미트 행렬의 특수한 경우이다.
정규 행렬 및 대각화: 모든 에르미트 행렬은 정규 행렬이며, 따라서 대각화 가능하다. 스펙트럼 정리에 따르면, 모든 에르미트 행렬은 유니타리 행렬 U를 이용해 대각화할 수 있으며(A = UΛU^†), 그 결과로 얻어지는 대각 행렬 Λ의 모든 성분(즉, 고유값)은 실수이다.
고유값과 고유 벡터: 에르미트 행렬의 모든 고유값은 실수이다. 또한, n × n 에르미트 행렬 A는 n개의 선형 독립인 고유 벡터를 가지며, 이 고유 벡터들로 복소 벡터 공간 Cⁿ의 정규 직교 기저를 구성할 수 있다.
합과 역행렬: 두 에르미트 행렬의 합은 항상 에르미트 행렬이다. 또한, 어떤 에르미트 행렬의 역행렬이 존재한다면, 그 역행렬도 에르미트 행렬이다.
곱: 두 에르미트 행렬 A와 B의 곱 AB가 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 두 행렬이 교환 가능한 경우, 즉 AB = BA일 때이다. 따라서 에르미트 행렬 A의 거듭제곱 Aⁿ (단, n은 양의 정수) 역시 에르미트 행렬이다.
정사각 행렬과의 관계 (토플리츠 분해):
임의의 정사각 행렬 C와 그 켤레 전치 C^†의 합 (C + C^†)은 에르미트 행렬이다.
임의의 정사각 행렬 C와 그 켤레 전치 C^†의 차 (C - C^†)는 왜곡 에르미트 행렬이다. 따라서 두 에르미트 행렬의 교환자는 왜곡 에르미트 행렬이다.
임의의 정사각 행렬 C는 에르미트 행렬 A와 왜곡 에르미트 행렬 B의 합으로 유일하게 표현할 수 있으며, 이를 '''토플리츠 분해'''라고 한다.^[9]

C = A + B 여기서 A = (1/2)(C + C^†) 이고 B = (1/2)(C - C^†)

벡터 공간: n × n 복소 에르미트 행렬들의 집합은 복소수 체 C 위에서는 벡터 공간을 이루지 않는다 (예를 들어, 단위 행렬 I_n은 에르미트 행렬이지만, iI_n은 에르미트 행렬이 아니다). 하지만 실수 체 R 위에서는 벡터 공간을 이룬다. 이 실수 벡터 공간의 차원은 n²이다. 그 기저는 행렬 단위 E_jk ((j, k) 성분만 1이고 나머지는 0인 행렬)를 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다 (여기서 i는 허수 단위이다):
E_jj (1 ≤ j ≤ n) : n개
E_jk + E_kj (1 ≤ j < k ≤ n) : n(n-1)/2개
i(E_jk - E_kj) (1 ≤ j < k ≤ n) : n(n-1)/2개
고유 분해 표현: 에르미트 행렬 A의 n개의 정규 직교 고유 벡터를 u₁, ..., u_n이라 하고, 대응하는 고유값을 λ₁, ..., λ_n이라고 하면, A는 모든 j에 대해 λ_j u_j u_j^†의 합과 같다.

A = Σ_j λ_j u_j u_j^†

여기서 u_j^†는 u_j의 켤레 전치이다. 이는 고유 분해 A = UΛU^† (UU^† = I = U^†U)의 다른 표현 방식이다.

행렬식: 에르미트 행렬의 행렬식은 항상 실수이다. 이는 행렬식이 고유값들의 곱이고 에르미트 행렬의 고유값은 모두 실수이기 때문이다. 또는 det(A) = det(A^T)이고 det(Ā) = det(A) (켤레 복소수)라는 성질로부터, A = A^† = Ā^T 이므로 det(A) = det(A^†) = det(Ā^T) = det(Ā^T) = det(Ā) = det(A) 가 성립하여 det(A)가 실수임을 알 수 있다.

참조

_[1] 간행물 VI.47 Charles Hermite https://www.degruyte[...] Princeton University Press 2023-11-15
_[2] 웹사이트 Signal and Information Processing https://www.seas.upe[...]
_[3] 웹사이트 MULTIVARIATE NORMAL DISTRIBUTIONS https://dspace.mit.e[...]
_[4] 웹사이트 Hermitian Spectral Theory of Mixed Graphs https://www.sfu.ca/~[...]
_[5] 논문 Hermitian-adjacency matrices and Hermitian energies of mixed graphs 2015-02
_[6] 서적 The Geometry of Physics: an introduction https://books.google[...] Cambridge University Press
_[7] 문서 Physics 125 Course Notes http://www.hep.calte[...] 2022-03-07
_[8] 서적 Numerical linear algebra http://worldcat.org/[...] SIAM
_[9] 서적 Matrix Analysis, second edition Cambridge University Press
_[10] 문서 Also known as the '''Rayleigh–Ritz ratio'''; named after [[Walther Ritz]] and [[Lord Rayleigh]].
_[11] 문서 Parlet B. N. ''The symmetric eigenvalue problem'', SIAM, Classics in Applied Mathematics,1998
_[12] 서적 The geometry of physics: an introduction https://books.google[...] Cambridge University Press

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