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유체 정역학

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목차

1. 개요

유체 정역학은 정지 상태의 유체에 작용하는 압력과 관련된 학문으로, 고대부터 건축과 기술 분야에서 경험적으로 활용되어 왔다. 아르키메데스는 부력의 원리를 발견했으며, 파스칼은 압력 전달의 기본 원리를 정립했다. 유체 정역학은 정지 유체 내 압력의 등방성을 설명하며, 정수압, 기압, 부력 등 다양한 현상을 다룬다. 정수압은 유체의 밀도, 중력 가속도, 깊이에 따라 결정되며, 부력은 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다. 액체의 자유 표면과 모세관 현상, 표면 장력 등도 유체 정역학의 중요한 개념이다.

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유체 정역학
유체 정역학
설명정지된 유체에 대한 연구
분야유체역학
관련 주제정역학적 평형
참고유체

2. 역사

유체 정역학의 몇몇 원리는 고대부터 배, 저수조, 수도교, 분수 등을 만드는 사람들에 의해 경험적이고 직관적으로 알려져 왔다. 아르키메데스는 아르키메데스의 원리를 발견하여 부력을 설명했다.[3] 로마 제국의 기술자 비트루비우스는 납 파이프가 정수압에 의해 파열될 수 있다고 경고했다.[3] 블레즈 파스칼은 압력의 개념과 유체가 압력을 전달하는 방식을 1647년에 정립했다.

2. 1. 고대 그리스와 로마

아르키메데스는 부력의 원리를 발견했는데, 이는 아르키메데스의 원리로 알려져 있다. 이 원리에 따르면 유체에 잠긴 물체는 물체가 밀어낸 유체의 무게만큼 부력을 받는다.[3] 로마 제국의 기술자 비트루비우스는 납 파이프가 정수압에 의해 파열될 수 있음을 경고했다.[3]

2. 1. 1. 피타고라스 컵

피타고라스 컵은 "공정한 컵"으로도 불리며, 기원전 6세기경 그리스의 수학자이자 기하학자인 피타고라스가 고안했다고 알려져 있다. 이는 학습 도구로 사용되었다.

피타고라스 컵은 컵 내부에 새겨진 선과 컵 중앙 바닥으로 이어지는 작은 수직 파이프로 구성된다. 파이프의 높이는 컵 내부의 선과 같다. 컵에 액체를 채울 때, 액체의 양이 선을 넘지 않으면 컵 중앙의 파이프로 넘어가지 않는다. 그러나 액체의 양이 이 선을 초과하면 액체는 컵 중앙의 파이프로 넘치게 되고, 분자 간의 인력으로 인해 컵은 비워진다.

2. 1. 2. 헤론의 분수

헤론의 분수는 알렉산드리아의 헤론이 발명한 장치로, 유체 저장고에서 공급되는 유체 분사로 구성된다. 이 분수는 분사의 높이가 저장고의 유체 높이를 초과하도록 구성되어 겉보기에는 정수압의 원리를 위반하는 것처럼 보인다. 이 장치는 개구부와 서로 위에 배치된 두 개의 용기로 구성되었다. 밀봉된 중간 용기에 유체를 채우고, 여러 개의 캐뉼라(용기 사이의 유체 이동을 위한 작은 튜브)가 다양한 용기를 연결한다. 용기 내부에 갇힌 공기는 노즐에서 물을 분사하여 중간 저장고의 모든 물을 비운다.

2. 2. 파스칼의 유체 정역학에 대한 기여

파스칼은 프랑스의 수학자이자 철학자로, 유체 정역학과 유체 동역학 모두에 중요한 기여를 했다. 파스칼의 법칙은 유체역학의 기본 원리 중 하나로, 밀폐된 유체에 가해지는 압력이 모든 방향으로 균일하게 전달된다는 내용을 담고 있다.[3]

유체는 전단 응력이 존재하는 상태에서는 정지 상태를 유지할 수 없다는 기본적인 성질을 가지고 있다. 그러나 유체는 어떤 표면에 접촉하더라도 그 표면의 법선 방향으로 압력을 가한다. 유체의 특정 부분을 무한소의 정육면체로 가정하면, 이 정육면체의 모든 면은 동일한 압력을 받는다는 평형의 원리가 적용된다. 만약 이 원리가 성립하지 않으면, 유체는 합력이 발생하는 방향으로 움직이게 된다. 따라서 정지 상태의 유체에서 유체 압력은 등방성을 가지며, 모든 방향으로 동일한 크기를 나타낸다. 이러한 특성 덕분에 유체는 파이프나 관을 통해 힘을 전달할 수 있다. 즉, 파이프 내부의 유체에 가해지는 힘은 유체를 통해 전파되어 파이프 반대쪽까지 전달된다.

이러한 개념은 1647년 블레즈 파스칼에 의해 약간 확장된 형태로 공식화되었으며, 파스칼의 원리로 알려져 있다. 이 원리는 수리학 분야에서 다양한 중요 응용 사례를 가지고 있다.

3. 정지 유체의 압력

유체는 층밀림 변형력을 유지할 수 없어 기체, 액체처럼 담는 용기의 형태에 따라 모양이 변한다. 유체는 접촉면에 수직으로만 변형력을 가하며, 정지 상태의 유체에서는 압력이 모든 방향에서 동일하게 작용한다.

파스칼의 원리는 유체에 가해지는 힘이 전체에 걸쳐 같은 압력으로 퍼져나간다는 것을 보여준다. 유체는 전단 응력이 있으면 정지할 수 없지만, 접촉면에는 수직으로 압력을 가한다. 정지한 유체 내의 한 점을 아주 작은 정육면체로 가정하면, 평형을 이루기 위해 모든 면에 작용하는 압력은 같아야 한다. 즉, 정지 유체의 압력은 등방성을 가지며 모든 방향으로 크기가 같다. 이러한 성질 덕분에 유체는 파이프 등을 통해 힘을 전달할 수 있다. 블레즈 파스칼이 공식화한 파스칼의 원리는 수리학에서 중요하게 응용된다.

3. 1. 유체 정지 압력 (정수압)

유체 정지 압력(정수압[1])은 정지해 있는 유체가 유체의 무게로 인해 발생시키는 압력이다.[10]

자유수면 아래에 정지해 있는 작은 정육면체 모양의 물을 생각해 보면, 정육면체 위의 물의 무게는 정육면체의 압력에 의해 평형을 이루어야 한다. 무한히 작은 정육면체를 생각하면, 이 무게, 즉 유체정지 압력은 다음과 같이 표현될 수 있다.[10]

:\ P = \rho g h

여기서

  • P = 유체 정지 압력 (단위 Pa)
  • ρ = 물의 밀도 (단위 kg/m3)
  • g = 중력 가속도
  • h = 정육면체에서 자유 수면까지의 높이 (단위 m)


일반적으로 유체의 밀도는 온도의 함수이고, 압축성 유체의 경우에는 압력의 함수가 된다.

정지 상태의 유체에서는 모든 마찰 및 관성 응력이 사라지고, 이 때의 응력 상태를 "정수압"이라고 한다. 나비에-스토크스 방정식 또는 오일러 방정식에 이 조건을 적용하면, 압력의 기울기는 체적력의 함수가 된다. 나비에-스토크스 운동량 방정식을 간단히 하면 압력 기울기는 체적력 힘 밀도 필드와 같다는 슈테빈의 일반적인 법칙을 얻을 수 있다.

: \nabla p = \rho \mathbf{g}

보존력 체적력의 경우 스칼라 포텐셜 \phi를 사용하면, 슈테빈 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: \nabla p = - \nabla \phi

이를 통합하면 압력 차이는 체적력과 관련된 스칼라 포텐셜 차이의 반대가 된다.

: \Delta p = - \Delta \phi

z를 따라 일정한 방향의 체적력의 경우, 일반화된 슈테빈의 법칙은 다음과 같다.

: \frac {\partial p}{\partial z}= - \rho(x,y,z) g(x, y, z)

이를 통합하면 다음과 같은 (덜) 일반화된 슈테빈의 법칙을 얻을 수 있다.

: p (x,y,z) - p_0(x,y) = - \int_0^z \rho(x,y,z') g(x, y, z') dz'

여기서

  • 는 정수압(Pa)
  • 는 유체 밀도(kg/m3)
  • 는 중력 가속도(m/s2)
  • 는 시험 면적의 높이(중력 방향과 평행)(m)
  • 는 압력의 영점 기준점의 높이(m)
  • 는 영점 기준점에서 x 및 y를 따라 정수압장(Pa)


물 및 기타 액체의 경우, 많은 액체를 비압축성으로 간주하여 밀도를 일정하게 추정할 수 있고, 와 사이의 유체 기둥의 높이 \Delta z가 지구 반지름에 비해 매우 작으므로 의 변화를 무시할 수 있다. 이러한 상황에서 밀도와 중력 가속도를 적분 밖으로 옮길 수 있으며, 이 법칙은 슈테빈의 법칙이라고 불리는 다음 공식으로 단순화된다.[4][5]

:\Delta p (z) = \rho g \Delta z,

여기서 \Delta z는 시험 체적과 압력의 영점 기준점 사이의 액체 기둥의 높이 이다.

보존적인 체적력장에 대한 방정식의 첫 번째 특수한 경우를 고려하여 위 공식에 도달할 수도 있다. 균일한 강도와 방향의 체적력장은 다음과 같다.

: \rho \mathbf{g}(x,y,z) = - \rho g \vec k

체적력 밀도는 다음과 같이 간단한 스칼라 포텐셜을 갖는다.

: \phi(z) = - \rho g z

그러면 압력 차이는 슈테빈의 법칙을 다시 따르게 된다.

: \Delta p = - \Delta \phi = \rho g \Delta z

참조 지점은 액체 표면 위 또는 아래에 있을 수 있다. 그렇지 않으면 적분을 상수 및 로 두 항(또는 그 이상)으로 나누어야 한다. 예를 들어, 진공과 비교한 절대 압력은 다음과 같다.

:p = \rho g \Delta z + p_\mathrm{0},

여기서 \Delta z는 시험 면적에서 표면까지의 액체 기둥의 총 높이이고, 는 대기압이다.

정수압은 파스칼화라는 공정에서 식품 보존에 사용되어 왔다.[6]

평형 상태에서 유체의 성질은 무한소 입방체에 의한 제어 체적 분석을 통해 결정된다. 이 입방체의 모든 면에 가해지는 응력은 법선 방향이며 크기가 같으므로, 압력 기울기는 포텐셜 기울기에 따라 선형적으로 증가한다. 중력에 의한 포텐셜 기울기 하에서, 유체 내 압력은 유체의 밀도와 중력의 곱에 의해 선형적으로 증가한다. 많은 유체는 압축되지 않는다고 생각되므로, 유체의 밀도는 장소에 관계없이 일정하다고 가정할 수 있다. 유체 내의 압력을 결정하기 위해 적분을 수행하면, 유체가 개방 공기에 접하는 경우에는 적분 상수는 기압에 의존한다. 물이 닫힌 계인 경우, 적분의 압력 상수는 계 내의 기준 압력과 같다.

여기서

  • 는 정수압 (Pa)
  • 는 액체의 밀도 (kg/m3)
  • 는 단위 체적당 유체에 작용하는 체적력 (N/m3)이며, 중력에서는 g와 같다.


중력만 작용하는 물의 경우, 물은 비압축성이라고 생각되며, 변수는 중력 방향 (상하)에만 의존한다.

여기서

  • 는 정수압 (Pa)
  • 는 액체의 밀도 (kg/m3)
  • 는 중력 가속도 (m/s2)
  • 는 물의 높이 (m)
  • 는 기준 압력 (Pa).


위의 식을 일반화하면, 중력장 내에서 밀도가 일정하지 않은 유체의 압력을 구할 수 있다.

여기서 변수 에 대한 적분 범위는, 구하고자 하는 위치에서 압력이 0으로 정의되는 위치 (액체의 표면인 경우가 많음)까지이다.

3. 1. 1. 기압

맥스웰-볼츠만 분포는 일정한 온도 ''T''에서 기체의 밀도가 높이 ''h''에 따라 어떻게 변하는지 보여준다. 통계역학에 따르면, 중력장 내에서 일정한 온도를 갖는 순수한 이상 기체의 경우, 압력 ''p''는 높이 ''h''에 따라 다음과 같이 변한다.[4]

:p(h) = p(0)e^{-\frac{Mgh}{kT}}

여기서

이것은 기압 공식으로 알려져 있으며, 압력이 정수압이라고 가정하여 유도할 수 있다. 기체에 여러 종류의 분자가 있는 경우, 각 종류의 부분 압력은 이 방정식에 의해 주어진다. 대부분의 조건에서 각 기체 종의 분포는 다른 종과 독립적이다.[5]

3. 2. 부력

유체에 가라앉는 고체는 밀려난 유체의 무게와 같으며 방향은 위쪽인 부력을 가진다. 이것은 유체 내에서 유체 정역학의 결과이다.[8]

예를 들어 컨테이너선의 경우, 밀려난 물에 의한 부력과 그 무게가 평형을 이루고 있기 때문에 물에 뜰 수 있다. 만약 배에 더 많은 화물을 실을 경우 배의 더 많은 부분이 물에 잠기겠지만, 더 많은 양의 물이 밀려나기 때문에 부력이 더 커져서 여전히 배는 물에 떠있을 수 있게 된다.[8]

부력의 법칙을 처음으로 발견한 것은 아르키메데스이며, 아르키메데스의 원리라고 불린다.

임의의 형상을 가진 물체가 유체에 부분적으로 또는 완전히 잠기면, 국소 압력 구배의 반대 방향으로 순 힘을 경험하게 된다. 이 압력 구배가 중력에서 기인하는 경우, 순 힘은 중력의 반대 방향인 수직 방향으로 작용한다. 이 수직 힘을 부력이라고 하며, 크기는 밀려난 유체의 무게와 같고 방향은 반대이다. 수학적으로,[8]

:F = \rho g V

여기서 ρ는 유체의 밀도, g는 중력 가속도, V는 곡면 바로 위에 있는 유체의 부피이다.

3. 2. 1. 안정성

물에 뜨는 물체가 약간의 변위에 대해 평형 위치로 돌아오려고 할 경우 안정적이라고 할 수 있다. 예를 들어, 물에 떠 있는 물체가 수직 방향으로 안정성을 가진다면, 이 물체를 아래 방향으로 약간 누르면 더 큰 부력이 생기고, 이로 인해 부력이 물체의 무게와 평형을 이루지 않기 때문에 위쪽으로 떠오르려 하게 된다.[1]

회전 안정성은 함선이 뜨게 하는 데에 중요한 역할을 한다. 작은 각 변위에 대해 함선이 원래의 위치로 돌아오면 안정적이고, 원래의 위치에서 멀어져버리면 불안정적이며, 움직인 그대로 있으면 중립적이다.[1]

회전 안정성은 물체 위의 힘 작용선에 의존한다. 물체에 작용하는 위쪽 방향의 부력은 유체의 밀려난 부피의 무게중심에 대한 기울중심 높이를 따라 작용한다. 물체는 어떤 형태이든 유체에 그 전부 또는 일부가 잠긴 경우, 그 위치의 압력 기울기와 반대 방향으로 순수한 힘을 받는다. 압력 기울기가 중력에 의한 경우, 순수한 힘은 중력과 반대 방향, 즉 수직으로 작용한다. 이 수직력은 부력이라고 불리며, 밀어낸 유체의 무게와 같은 크기로 중력과 반대 방향으로 작용한다.[1]

예를 들어 배의 경우, 그 무게는 밀어낸 물에 의한 부력과 평형을 이루어 뜨는 것이 가능하다. 배에 짐을 더 실었을 경우, 배는 더 물에 잠긴다. 이에 따라 더 밀어낸 물의 양만큼 더 큰 부력을 얻어, 늘어난 무게와 균형을 이룬다.[1]

부력의 원리는 아르키메데스에 의해 발견되었으며, 아르키메데스의 원리라고 불린다.[1]

3. 3. 물에 잠긴 표면의 정수력

수중 표면에 작용하는 정수압의 수평 및 수직 성분은 다음 공식으로 주어진다.

  • 수평 성분: horizontal component|호리존털 컴포넌트영어

::F_\mathrm{h} = p_\mathrm{c}A

  • 수직 성분: vertical component|버티컬 컴포넌트영어

::F_\mathrm{v} = \rho g V

여기서

  • p_\mathrm{c}는 수중 표면의 수직 투영의 중심에 있는 압력이다.
  • ''A''는 표면의 동일한 수직 투영의 면적이다.
  • ''ρ''는 유체의 밀도이다.
  • ''g''는 중력 가속도이다.
  • ''V''는 곡면 바로 위에 있는 유체의 부피이다.

4. 액체 (자유 표면이 있는 유체)

액체는 기체나 진공과 접하는 자유 표면을 가질 수 있다. 일반적으로 전단 응력을 유지할 수 없다는 것은 자유 표면이 평형을 향해 빠르게 조정된다는 것을 의미한다. 그러나 작은 길이 척도에서는 표면 장력으로부터 중요한 균형력이 작용한다.[1]

4. 1. 모세관 현상

액체가 관련 길이 척도에 비해 치수가 작은 용기에 갇히면 표면 장력 효과가 중요해져 모세관 현상을 통해 메니스커스가 형성된다. 이러한 모세관 현상은 생물학적 시스템에 심오한 영향을 미치는데, 이는 식물 물관부에서 물의 흐름을 유도하는 두 가지 메커니즘 중 하나인 증산 작용의 일부이기 때문이다.[1]

액체가 치수가 작은 관 안에 들어 있는 경우에도 표면 장력의 효과가 중요해지며, 모세관 현상에 의해 메니스커스를 형성한다. 이 모세관 현상은 생물학 계통에서 난해한 효과를 가져오며, 식물의 물관에 물을 흐르게 하는 두 가지 메커니즘 중 하나인 증산 인력(Transpirational pull영어)과 관련이 있다.[1]

4. 2. 매달린 액체 방울

표면 장력이 없으면 물방울은 형성되지 않는다. 물방울의 크기와 안정성은 표면 장력에 의해 결정된다. 물방울의 표면 장력은 유체의 응집력 특성에 정비례한다.[1]

참조

[1] 웹사이트 Fluid Mechanics/Fluid Statics/Fundamentals of Fluid Statics - Wikibooks, open books for an open world https://en.wikibooks[...] 2021-04-01
[2] 웹사이트 Hydrostatics https://www.merriam-[...] 2018-09-11
[3] 간행물 The Ten Books of Architecture https://penelope.uch[...] At the University of Chicago's Penelope site ca. 15 BCE
[4] 서적 A Course in Classical Physics 2—Fluids and Thermodynamics Springer 2016
[5] 서적 Transport Phenomena in Multiphase Flow https://books.google[...] Springer 2017-02-03
[6] 서적 Understanding Food: Principles and Preparation https://books.google[...] Cengage Learning
[7] 서적 Anatomy & Physiology https://openstax.org[...] OpenStax CNX 2023-09-16
[8] 서적 Fluid Mechanics John Wiley & Sons
[9] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...] 한국물리학회
[10] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...] 한국물리학회
[11] 웹사이트 대한의협 의학용어 사전 https://www.kmle.co.[...] 대한의협


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