장제법

3. 교육계

계산기와 컴퓨터의 보편화로 수학 문제 해결 방식인 장제법을 직접 손으로 하는 교육의 중요성이 감소하고 있다. 이러한 변화는 종이와 연필을 사용하여 문제를 해결하는 방법을 배울 기회를 줄이고 있다.^[16] 미국에서는 4학년이나 5학년 때 장제법을 배우지만, 개혁 수학의 영향으로 학교 교육 과정에서 제외되기도 한다.^[16]

4. 방법

영어권 국가에서는 장제법을 할 때 나눗셈 빗금(/) 또는 나눗셈 기호(÷)를 사용하지 않고 오른쪽 괄호)나 세로 수직선(|)으로 제수와 피제수를 분리하고, 피제수는 괄선으로 몫과 분리한다. 이러한 기호 조합을 장제법 기호 또는 분할 괄호라고 부르기도 한다.^[7]

장제법은 피제수의 왼쪽 끝자리를 제수로 나누는 것으로 시작한다. 몫은 정수로 반올림하여 결과의 첫 번째 자리가 되고, 나머지를 계산한다. 이 나머지는 다음 자릿수의 계산에 사용된다. 모든 숫자가 처리되고 나머지가 남지 않으면 과정이 완료된다.

만약 피제수가 부족하여 나머지가 0이 아닌 경우에는, 나머지를 분수로 표현하거나 소수점 이하를 계속 계산하여 소수점 이하의 답을 얻을 수 있다. 소수점 결과를 얻는 과정에서 나머지가 0이 되거나, 이전에 발생한 나머지와 같은 나머지에 도달할 수 있다. 동일한 나머지에 도달하면 같은 자릿수의 순서가 반복되므로, 반복되는 순서 위에 막대를 그려 영원히 반복됨을 나타낸다.

4. 1. 기본 절차

4. 2. 불변속성 및 정확성

4. 3. 여러 자리 구분 기호

5. 표기법 (비영어권 국가)

중국, 일본, 한국은 인도를 포함한 영어권 국가와 동일한 장제법 표기법을 사용한다. 다른 국가에서는 동일한 일반 원칙이 사용되지만 숫자가 종종 다르게 배열된다.^[1]

5. 1. 라틴 아메리카

• 124 31,75

• 28

• 20

5. 2. 유라시아

• 124|31,75

• 28

• 20

• 12

• 4

• 28

• 20

6. 임의 베이스 알고리즘

장제법은 십진법뿐만 아니라 임의의 진법 $b$에도 적용할 수 있는 일반적인 알고리즘이다. 모든 자연수 $n$은 임의의 밑 $b>1$에서 고유한 숫자 수열로 표현될 수 있다.

:$n=\backslash sum\_\{i=0\}^\{k-1\}\backslash alpha\_\{i\}b^\{k-i-1\}$

여기서 $n$은 피제수, $m$은 제수가 되며, $k$는 $n$의 자릿수, $l$은 $m$의 자릿수이다. 만약 이면 몫 $q\; =\; 0$이고 나머지 $r\; =\; n$이다. 그렇지 않으면, $0\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; k\; -\; l$에서 반복한다.

각 반복 $i$에 대해, $q\_\{i\}$를 현재까지의 몫, $d\_\{i\}$를 중간 피제수, $r\_\{i\}$를 중간 나머지, $\backslash alpha\_\{i\}$를 원래 피제수의 다음 자릿수, $\backslash beta\_\{i\}$를 몫의 다음 자릿수라고 하면, 다음이 성립한다.

:$d\_\{i\}=br\_\{i-1\}+\backslash alpha\_\{i+l-1\}$

:$r\_\{i\}=d\_\{i\}-m\backslash beta\_\{i\}=br\_\{i-1\}+\backslash alpha\_\{i+l-1\}-m\backslash beta\_\{i\}$

:$q\_\{i\}=bq\_\{i-1\}+\backslash beta\_\{i\}$

이때,

최종 몫은 $q\; =\; q\_\{k-l\}$이고 최종 나머지는 $r\; =\; r\_\{k-l\}$이다.

예를 들어, 10진법에서 $n\; =\; 1,260,257$과 $m\; =\; 37$에 대해 계산하면 다음과 같다.

따라서 몫 $q\; =\; 34,061$이고 나머지 $r\; =\; 0$이다.

16진법에서 $n\; =\; \backslash text\{f412df\}$와 $m\; =\; 12$에 대해 계산하면 다음과 같다.

따라서 몫 $q\; =\; \backslash text\{d8f45\}$이고 나머지 $r\; =\; \backslash text\{5\}$이다.

6. 1. 일반화

6. 2. 이항 분할 (컴퓨터)

• : 피제수 $n$의 다음 비트를 가져온다.
• : 중간 나머지 $r\_\{i-1\}$을 왼쪽으로 1비트 이동하고, $\backslash alpha\_\{i+l-1\}$을 더하여 중간 피제수 $d\_\{i\}$를 계산한다.
• : $d\_\{i\}$가 $m$보다 작지 않으면(크거나 같으면) $\backslash beta\_\{i\}$를 1로, 그렇지 않으면 0으로 설정한다.
• : $\backslash beta\_\{i\}$가 1이면 $d\_\{i\}$에서 $m$을 빼서 새로운 중간 나머지 $r\_\{i\}$를 계산하고, 그렇지 않으면 $r\_\{i\}$는 $d\_\{i\}$와 같다.
• : 이전 몫 $q\_\{i-1\}$을 왼쪽으로 1비트 이동하고 $\backslash beta\_\{i\}$를 더하여 새로운 몫 $q\_\{i\}$를 계산한다.

따라서 몫 $q\; =\; 1110$이고 나머지 $r\; =\; 11$이다.

6. 3. 성능

참조

_[1] MathWorld Long Division
_[2] 웹사이트 Islamic Mathematics http://new.math.uiuc[...] 2016-03-31
_[3] 서적 A History of Mathematics: An Introduction Addison-Wesley 2008
_[4] 웹사이트 A Historical Analysis of the Division Concept https://research-rep[...]
_[5] 서적 Henry Briggs - Oxford Reference http://www.oxfordref[...]
_[6] 웹사이트 The Role of Long Division in the K-12 Curriculum http://www.csun.edu/[...] 2019-06-21
_[7] 간행물 Introduction to Abstract Algebra, ''4th ed.'' John Wiley & Sons 2012
_[8] 간행물 Wolfram MathWorld http://wolfram.com 2016-02-11
_[9] 간행물 Earliest Uses of Various Mathematical Symbols http://jeff560.tripo[...] 2010
_[10] 간행물 Arithmetick both in the theory and practice http://digital.libra[...] Straben et al. 2016-02-12
_[11] 문서 Jakolaskuun ymmärrystä http://www.opperi.fi[...]
_[12] MathWorld Long Division
_[13] 웹인용 The Definitive Higher Math Guide to Long Division and Its Variants — for Integers https://mathvault.ca[...] 2019-06-21
_[14] 웹인용 Islamic Mathematics http://new.math.uiuc[...] 2016-03-31
_[15] 저널 Henry Briggs - Oxford Reference http://www.oxfordref[...]
_[16] 웹인용 The Role of Long Division in the K-12 Curriculum http://www.csun.edu/[...] 2019-06-21