숫자
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1. 개요
숫자는 양을 나타내기 위한 기호 또는 개념을 의미하며, 다양한 문화와 시대에 걸쳐 다양한 숫자 체계가 존재해왔다. 최초의 위치 기수법은 7세기 인도에서 확립된 힌두-아라비아 숫자 체계로, 0의 개념이 널리 사용되면서 현대적인 숫자의 형태를 갖추게 되었다. 고대 이집트, 바빌로니아, 마야, 로마 등 다양한 문명에서 독자적인 숫자 체계를 사용했으며, 현대에는 아라비아 숫자가 전 세계적으로 널리 사용된다. 컴퓨터 과학에서는 이진법, 8진법, 16진법 등이 활용되며, 숫자는 철학적, 수학적으로도 중요한 의미를 갖는다.
최초의 위치 기수법은 힌두-아라비아 숫자 체계로 여겨진다. 이 체계는 7세기 인도에서 확립되었지만, 0의 사용이 널리 받아들여지지 않아 현대적인 형태는 아니었다. 0 대신 점으로 표시하거나 공백을 자리 표시자로 사용했다. 0의 최초의 널리 인정된 사용은 876년이었다.[12] 원래의 숫자들은 현대의 숫자와 매우 유사했으며, 숫자를 나타내는 글리프까지도 그러했다.
기본적인 디지털 시스템에서 기수는 임의의 길이일 수 있는 일련의 숫자이다. 각 시퀀스의 위치는 자리값을 가지며, 각 숫자는 값을 갖는다. 숫자의 값은 시퀀스의 각 숫자에 해당 자리값을 곱하고 그 결과를 합산하여 계산한다. 각 숫자는 정수를 나타내며, 예를 들어 십진법에서 "1"은 일을, 16진법에서 "A"는 십을 나타낸다. 위치 기수법은 0부터 해당 기수까지의 각 정수에 대해 고유한 숫자를 갖는다(해당 기수는 포함하지 않음).
2. 역사
서부 아라비아 숫자 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 동부 아라비아 숫자 ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ 페르시아 숫자 ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ 데바나가리 숫자 ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
13세기까지 서부 아라비아 숫자는 유럽 수학계에서 받아들여졌고, 15세기에 이르러 일반적인 사용에 들어갔다.[13] 20세기 말에는 세계의 거의 모든 비전산 계산은 아라비아 숫자로 이루어졌으며, 이는 대부분의 문화에서 고유 숫자 체계를 대체했다.
태국 숫자는 숫자를 나타내는 기호만 다를 뿐 힌두-아라비아 숫자와 동일하다. 이 숫자들의 사용은 과거에 비해 태국에서 덜 일반적이지만, 아라비아 숫자와 함께 여전히 사용되고 있다.
한때 중국과 일본의 수학자들이 사용했던 산대는 0뿐만 아니라 음수도 표현할 수 있는 십진법 위치 표기법이다. 산대 자체는 힌두-아라비아 숫자 체계보다 오래되었다.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Image:Counting rod 0.png Image:Counting rod v1.png Image:Counting rod v2.png Image:Counting rod v3.png Image:Counting rod v4.png Image:Counting rod v5.png Image:Counting rod v6.png Image:Counting rod v7.png Image:Counting rod v8.png Image:Counting rod v9.png –0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 Image:Counting rod -0.png Image:Counting rod v-1.png Image:Counting rod v-2.png Image:Counting rod v-3.png Image:Counting rod v-4.png Image:Counting rod v-5.png Image:Counting rod v-6.png Image:Counting rod v-7.png Image:Counting rod v-8.png Image:Counting rod v-9.png
계산 보조 도구, 특히 신체 부위(손가락으로 세기)를 사용하는 것은 오늘날과 마찬가지로 선사 시대에도 사용되었을 것이다. 옥삽민 문화권에서는 숫자를 나타내기 위해 신체의 27개 상부 위치를 사용하는 체계를 사용한다.[25] 수치 정보를 보존하기 위해 선사 시대부터 나무, 뼈, 돌에 새겨진 눈금이 사용되었다.[26]
점토로 수치 정보를 보존하는 방법은 기원전 8000년에서 3500년 사이에 수메르인에 의해 발명되었다.[27] 기원전 3100년경에는 기록된 숫자가 세는 대상과 분리되어 추상적인 숫자가 되었다.
이진법 시스템(밑수 2)은 17세기에 고트프리트 라이프니츠에 의해 전파되었다.[46] 라이프니츠는 경력 초기에 이 개념을 개발했으며, 주역 사본을 검토하면서 다시 찾아보았다.[47] 이진수는 컴퓨터 응용 프로그램 때문에 20세기에 널리 사용되었다.[46]
서양어에서는 수를 나타내는 숫자의 기호와 문자를 구별하고 있다.
2. 1. 고대 이집트
나폴레옹이 이집트 원정 때 ‘로제타’라는 작은 도시에서 알 수 없는 문자들이 기록된 바위를 발견했다. 오랜 세월 동안 사람들은 이 로제타석을 해독했고, 고대 이집트의 숫자가 다음과 같다는 것을 알게 되었다. 이집트 숫자는 파피루스라는 종이 위에 기록되었다.2. 2. 바빌로니아
약 5000년 전 메소포타미아 지역에는 바빌로니아라는 나라가 있었고, 그 나라 사람들을 수메르인이라고 불렀다. 수메르인들은 쐐기 모양의 기호로 된 숫자를 사용했는데, 풀 줄기 끝으로 점토판에 새기거나 바위에 새겨 넣었다. 이 지역에서는 쐐기 모양 숫자가 새겨진 점토판이 많이 발견되고 있다. 그들은 60진법을 사용하였다.[28]
이 60진법은 고대 바빌로니아 시대(기원전 1950년경) 초기에 완전히 개발되어 바빌로니아에서 표준이 되었다.[29] 60진법 숫자는 상업뿐만 아니라 천문학 및 기타 계산에도 사용되었다. 이 시스템은 바빌로니아에서 메소포타미아 전역으로 퍼져나갔고, 그리스인, 로마인, 이집트인을 포함하여 표준 바빌로니아 측정 단위와 계산을 사용한 모든 지중해 국가에서 사용되었다. 바빌로니아식 60진법은 현대 사회에서도 시간(시간당 분)과 각도(도)를 측정하는 데 사용된다.[30]
2. 3. 마야
마야 문명은 현재의 남아메리카 지역에서 7세기 즈음에 번성했던 문명이다. 마야인들은 이집트인들보다 더 일찍 숫자를 계산했다고 전해진다.
마야 문명에서 숫자가 중요한 이유는 다른 문명과 달리 처음으로 0을 사용했기 때문이다.
마야인들은 점(·)과 막대기(―)를 이용하여 숫자를 나타냈는데, 점(·)은 1을, 막대기(―)는 5를 의미했다.
이들은 이십진법을 사용했기 때문에 0에서 19까지가 기본 숫자가 되었다. 마야 숫자의 정확한 연대는 불분명하지만, 힌두-아라비아 숫자보다 더 오래되었을 가능성이 있다. 이 체계는 이십진법(20진법)으로, 20개의 숫자를 사용한다. 마야인들은 조개 껍질 기호를 사용하여 0을 나타냈다. 숫자는 세로로 쓰여졌으며, 일의 자리가 맨 아래에 있었다. 마야인들은 현대의 소수점에 해당하는 개념이 없었기 때문에 분수를 표현할 수 없었다.[37] 그들은 이 시스템을 사용하여 태양의 길이와 금성의 궤도에 대한 매우 정확한 계산을 포함하여 고급 천문학적 계산을 했다.[38]
2. 4. 잉카
잉카 제국은 남아메리카 지역에 존재했던 문명으로, 숫자를 나타내는 문자가 없었다. 대신 끈의 매듭 수에 따라 소의 수와 같은 수량을 나타냈는데, 이 끈의 매듭은 '키푸'라고 불렀으며, 끈 맺는 기술자도 있었다.[39] 키푸는 색깔있는 섬유를 매듭지어 만든 집계였다.[39] 매듭과 색상의 인코딩에 대한 지식은 16세기 스페인의 정복자들에 의해 억압되었고, 단순한 키푸와 같은 기록 장치가 여전히 안데스 지역에서 사용되지만 살아남지 못했다.
2. 5. 로마
로마 숫자는 I, V, X, L, C, D, M 등의 문자를 사용하여 숫자를 나타냈다. I는 1, V는 5, X는 10, L은 50, C는 100, D는 500, M은 1000을 의미한다.[36]
4나 9와 같은 숫자는 뺄셈의 원리를 이용해 표기했다. 예를 들어 4는 IV로 표기하여 5(V)에서 1(I)를 뺀 값을 나타냈고, 9는 IX로 표기하여 10(X)에서 1(I)를 뺀 값을 나타냈다. 2, 3, 6, 7, 8은 II, III, VI, VII, VIII로 표시했다.
하지만 로마 숫자는 큰 수를 나타내기 불편하고 계산이 어렵다는 단점이 있었다. 그래서 로마 사람들은 계산할 때 주로 주판을 사용했다고 한다.
2. 6. 아라비아
현재 전 세계적으로 사용되는 아라비아 숫자는 고대 인도에서 만들어져 아라비아를 거쳐 유럽으로 전파되었다. 아라비아 숫자(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)는 다른 숫자에 비해 편리하고, 0의 개념을 가지고 있어 수학 발전에 큰 영향을 미쳤다.[41] 현대 자리수 아라비아 숫자 시스템은 인도 수학자들에 의해 개발되었고, 773년경 인도 대사가 바그다드로 가져온 천문 표와 함께 이슬람 수학의 무슬림 수학자들에게 전달되었다.[42] 이후 아랍 수학자들은 이 시스템을 확장하여 소수를 포함시켰으며,[43] 12세기에 아랍인들로부터 0을 포함하는 완전한 인도 시스템이 유럽으로 전해졌다.[45]
2. 7. 중국
중국에서는 숫자를 나타내기 위해 한자를 사용한다. 예를 들어 一(일), 二(이), 三(삼), 四(사), 五(오), 六(육), 七(칠), 八(팔), 九(구), 十(십), 百(백) 등이 있다.[49]
3. 다양한 숫자 체계
십진 위치 기수법에서 숫자 0부터 9까지는 가장 오른쪽에 있는 "일" 자리에 해당하는 숫자 "0"부터 "9"까지를 사용하여 표현할 수 있다. 숫자 12는 "일" 자리에 숫자 "2"를, "십" 자리에 숫자 "1"을, 312는 "백" 자리에 "3", "십" 자리에 "1", "일" 자리에 "2"를 사용하여 표현한다.
태국 숫자는 숫자를 나타내는 기호만 다를 뿐 힌두-아라비아 숫자와 동일하다. 이 숫자들의 사용은 과거에 비해 태국에서 덜 일반적이지만, 아라비아 숫자와 함께 여전히 사용되고 있다.
산대는 한때 중국과 일본의 수학자들이 사용했던 필기 형태의 십진법 위치 표기법으로, 0뿐만 아니라 음수도 표현할 수 있다. 산대 자체는 힌두-아라비아 숫자 체계보다 오래되었다. 소주 숫자는 산대의 변형이다. 산대 숫자는 아래 표와 같다.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Image:Counting rod 0.png Image:Counting rod v1.png Image:Counting rod v2.png Image:Counting rod v3.png Image:Counting rod v4.png Image:Counting rod v5.png Image:Counting rod v6.png Image:Counting rod v7.png Image:Counting rod v8.png Image:Counting rod v9.png –0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 Image:Counting rod -0.png Image:Counting rod v-1.png Image:Counting rod v-2.png Image:Counting rod v-3.png Image:Counting rod v-4.png Image:Counting rod v-5.png Image:Counting rod v-6.png Image:Counting rod v-7.png Image:Counting rod v-8.png Image:Counting rod v-9.png
마야 숫자와 바빌로니아 숫자에 대한 자세한 내용은 각각 20진법 항목과 60진법 항목을 참조하라.
3. 1. 1진법
그림 획 방법
3. 2. 3의 배수 진법
십이진법3. 3. 5의 배수 진법
5의 배수 진법에는 십진법과 이십진법이 있다.
| 진법 | 사용 예시 |
|---|---|
| 십진법 | 인도 숫자, 아라비아 숫자, 로마 숫자, 한자 숫자, 산가지, 쑤저우 숫자, 그리스 숫자, 히브리 숫자, 키릴 숫자, 아라비아 문자 기수법, 브라흐미 숫자, 에트루리아 숫자 |
| 이십진법 | 마야 숫자, 이누이트 숫자(:en:Kaktovik Inupiaq numerals), 종카 숫자(:en:Dzongkha numerals) |
3. 3. 1. 10진법
인도 숫자, 아라비아 숫자, 로마 숫자, 한자 숫자, 산가지, 쑤저우 숫자, 그리스 숫자, 히브리 숫자, 키릴 숫자, 아라비아 문자 기수법, 브라흐미 숫자, 에트루리아 숫자는 10진법을 사용한다.[48]3. 3. 2. 20진법
마야 문명은 이십진법을 사용했기 때문에 0에서 19까지가 기본 숫자가 되었다. 마야 숫자의 정확한 연대는 불분명하지만, 힌두-아라비아 숫자보다 더 오래되었을 가능성이 있다. 마야인들은 조개 껍질 기호를 사용하여 0을 나타냈다. 숫자는 세로로 쓰여졌으며, 일의 자리가 맨 아래에 있었다. 마야인들은 현대의 소수점에 해당하는 개념이 없었기 때문에 분수를 표현할 수 없었다.[37] 그들은 이 시스템을 사용하여 태양의 길이와 금성의 궤도에 대한 매우 정확한 계산을 포함하여 고급 천문학적 계산을 했다.[38]이외에도 이누이트 숫자(:en:Kaktovik Inupiaq numerals)와 종카 숫자(:en:Dzongkha numerals)가 20진법을 사용한다.
3. 4. 복합형
60진법은 바빌로니아 숫자에서 사용되었으며, 보조 자릿수는 10진법이다. (바빌로니아 수학 참조) 바빌로니아는 약 5000년 전 수메르인들이 세운 나라로, 이들은 쐐기 모양의 숫자를 사용했다. 풀 줄기 끝으로 점토판에 숫자를 새기거나 바위에 새겨 넣었으며, 60진법을 사용하였다.[28] 60진법 숫자 체계는 고대 바빌로니아 시대(기원전 1950년경)에 완전히 개발되어 바빌로니아의 표준이 되었다.[29]60진법 숫자는 상업뿐만 아니라 천문학 및 기타 계산에도 사용되었다. 이 시스템은 바빌로니아에서 메소포타미아 전역으로 퍼져나갔고, 그리스인, 로마인, 이집트인을 포함한 지중해 국가들에서 사용되었다.[30] 현대 사회에서도 시간(시간당 분)과 각도(도) 측정에 사용되고 있다.[30]
4. 현대의 숫자 체계
현대 디지털 시스템에서 기수는 임의의 길이일 수 있는 일련의 숫자이다. 각 위치는 자리값을 가지며, 각 숫자는 값을 갖는다. 숫자의 값은 각 숫자에 자리값을 곱하고 그 결과를 합산하여 계산한다. 각 숫자는 정수를 나타내는데, 예를 들어 십진법에서 "1"은 일을, 16진법에서 "A"는 십을 나타낸다. 위치 기수법은 0부터 기수까지의 각 정수에 대해 고유한 숫자를 갖는다(기수는 포함하지 않음). 십진 위치 기수법에서 숫자 0부터 9까지는 가장 오른쪽에 있는 "일" 자리에 해당하는 "0"부터 "9"까지를 사용하여 표현할 수 있다. 예를 들어, 12는 "일" 자리에 "2", "십" 자리에 "1"을 사용하여 표현하며, 312는 "백" 자리에 "3", "십" 자리에 "1", "일" 자리에 "2"를 사용하여 표현한다.
지난 300년 동안 여러 저자들은 ''수정된'' 십진법 표현에 해당하는 위치 기수법의 편의성을 언급했다. 음수 값을 나타내는 숫자 사용에 대한 몇 가지 장점이 언급되었다. 1840년 오귀스탱 루이 코시는 숫자의 부호 숫자 표현 사용을 옹호했고, 1928년 플로리안 카조리는 음수 숫자에 대한 참고 자료를 제시했다. 부호 숫자 표현은 컴퓨터 설계에도 채택되었다.
중국에서는 군대와 물자를 소수의 모듈식 집계로 계산했는데, 병력의 수와 쌀의 양은 이러한 집계의 고유한 조합으로 나타난다. 모듈 산술의 큰 편리함은 곱셈이 쉽다는 것이다.[31] 현대에는 모듈 산술이 디지털 신호 처리에 사용되기도 한다.[32]
가장 오래된 그리스 시스템은 아티카 숫자였지만,[33] 기원전 4세기부터 준십진법 알파벳 시스템(그리스 숫자)을 사용했다.[34] 유대인들은 비슷한 시스템(히브리 숫자)을 사용했는데, 가장 오래된 예는 기원전 100년경의 동전이다.[35]
로마 숫자 시스템은 16세기에 자리 값 표기법이 널리 사용될 때까지 유럽에서 흔히 사용되었다.[36]
중앙 아메리카의 마야는 올메크에서 물려받았을 가능성이 있는 기수 18과 기수 20의 혼합 시스템을 사용했으며, 0과 자리 값 표기법과 같은 고급 기능을 포함했다.[37] 그들은 이 시스템으로 태양의 길이와 금성의 궤도에 대한 매우 정확한 계산을 포함하여 고급 천문학적 계산을 했다.[38]
잉카 제국은 키푸를 사용하여 대규모 지휘 경제를 운영했다.[39] 매듭과 색상의 인코딩에 대한 지식은 16세기에 스페인의 정복자들에 의해 억압되었고, 단순한 키푸와 같은 기록 장치가 여전히 안데스 지역에서 사용되지만 살아남지 못했다.
일부 권위자들은 자리수 산술이 중국에서 산대의 광범위한 사용과 함께 시작되었다고 믿는다.[40] 가장 초기의 기록된 자리수 기록은 400년경 중국의 산목 계산 결과인 것으로 보인다. 0은 서기 7세기에 브라마굽타에 의해 인도에서 처음 사용되었다.[41]
현대 자리수 아라비아 숫자 시스템은 인도 수학의 인도 수학자들에 의해 개발되었고, 773년경 인도 대사가 바그다드로 가져온 천문 표와 함께 이슬람 수학의 무슬림 수학자들에게 전달되었다.[42]
인도 아대륙에서 이슬람 술탄과 아프리카 사이의 번성하는 무역은 이 개념을 카이로로 가져왔다. 아랍 수학자들은 이 시스템을 확장하여 소수를 포함시켰고, 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미는 9세기에 이에 대한 중요한 저서를 썼다.[43] 현대 아라비아 숫자는 12세기에 스페인에서 이 작품과 레오나르도 피보나치의 1201년 작품인 ''산반서''가 번역되면서 유럽에 소개되었다.[44] 유럽에서 0을 포함하는 완전한 인도 시스템은 12세기에 아랍인들로부터 파생되었다.[45]
이진법 시스템(밑수 2)은 17세기에 고트프리트 라이프니츠에 의해 전파되었다.[46] 라이프니츠는 경력 초기에 이 개념을 개발했으며, 주역 사본을 검토하면서 다시 찾아보았다.[47] 이진수는 컴퓨터 응용 프로그램 때문에 20세기에 널리 사용되었다.[46]
4. 1. 컴퓨터 과학
이진법(2진법), 8진법, 16진법은 컴퓨터 과학에서 널리 사용된다.[14] 이진법은 "0"과 "1"만 사용하며, 8진법은 "0"부터 "7"까지의 숫자를 사용한다. 16진법은 십진법의 모든 숫자와 더불어 "A"부터 "F"까지의 문자를 사용하며, 각각 10부터 15까지의 숫자를 나타낸다.[15] 이진법에서 "비트"는 "이진 숫자"를 줄인 말로, 숫자 대신 쓰인다.4. 2. 기타
삼진법과 균형 삼진법 시스템이 사용된 적이 있다. 이들은 모두 3진법이다.[16] 균형 삼진법은 숫자 값이 1, 0, -1이라는 점에서 특이하다. 균형 삼진법은 몇 가지 유용한 특성을 가지고 있으며, 이 시스템은 실험적인 러시아 세툰 컴퓨터에서 사용되었다.[17]5. 숫자에 관한 철학적 고찰
"인식할 수 있는 것은 모두 숫자를 가지고 있다. 숫자가 없으면 무엇 하나 이해하거나 생각할 수 없다."라는 피타고라스 학파의 주장은 숫자의 중요성을 보여준다.[50]
6. 한국과 숫자
한국은 고대부터 한자 문화권의 영향을 받아 한자 숫자를 사용해왔으며, 조선시대에는 산가지와 주판을 이용한 계산법이 발달했다. 19세기 말, 서구 문물의 유입과 함께 아라비아 숫자가 도입되어 현재는 한자 숫자와 아라비아 숫자를 혼용하고 있다.
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서적
주니어 라이브러리 수학1
교원
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문서
필롤라오스(기원전 5세기), 《소크라테스 이전 철학자들의 단편들》D44B4
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