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제타 함수 조절

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목차

1. 개요

제타 함수 조절은 발산하는 급수와 곱의 합을 정의하기 위한 수학적 기법이다. 이 방법은 규칙자 s를 도입하여 급수를 조절하고, s=0에서 특이점을 제거하여 해석적 연속을 취하는 방식으로 작동한다. 제타 함수 조절은 카시미르 효과, 양자장론에서의 에너지 계산 등 다양한 분야에 응용되며, 차원 정규화와 유사한 결과를 제공하지만, 차원 정규화가 실패하는 경우에도 사용할 수 있다는 장점이 있다. 또한, 디리클레 급수, 열 핵 정규화 등 다른 정규화 방법과도 연관되어 있다.

2. 정의

어떤 발산하는 급수

:S=\sum_{n=1}^\infty f(n)

이 있다고 하자. 여기서 f(x)는 정칙함수라고 가정한다. 이를 제타 함수 조절하려면 다음과 같이 규칙자 s를 삽입한다.

:S(s)=\sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}

여기서 s가 충분히 크다면 S(s)는 수렴하는 경우가 잦다. 이와 같은 경우에, 만약 s=0에서의 특이점이 제거가능하다면, s=0로 해석적 연속을 취한다.

예를 들어, 카시미르 효과 등에 등장하는 합

:S=\sum_{n=1}^\infty n

을 생각하자. 이 경우에는 규칙화하면

:S(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{1-s}=\zeta(s-1)

을 얻는다. (여기서 \zeta(x)는 리만 제타 함수다.) 이제 s\to0을 취하면

:\lim_{s\to0}S(s)=\zeta(-1)=-\frac1{12}

이 된다.

다른 s 값에 대해서도, 발산하는 합을 ζ(0)=1 + 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0으로 계산할 수 있으며, 일반적인 경우에는, 를 베르누이 수로 하여,

:\zeta(-s)=\sum_{n=1}^\infty n^s=1^s + 2^s + 3^s + \ldots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}

로 나타낼 수 있다[1]。

스티븐 호킹은 평탄한 공간에서는 라플라시안의 고유값이 알려져 있는 경우가 많아 분배 함수에 대응하는 제타 함수를 명확하게 계산할 수 있음을 보였다. 온도 T|티영어=β−1|베타 역수영어인 평탄한 시공간에서 체적 V|브이영어를 갖는 큰 상자 안의 스칼라장 φ|파이영어를 생각한다. 분배 함수는 상자 가장자리에서는 0이 되며, τ|타우영어에 대해 주기 β|베타영어인, τ=it|타우는 아이티영어라는 변환을 하여 얻을 수 있는 유클리드 공간 위의 모든 장 φ|파이영어를 거치는 경로 적분에 의해 얻어진다. 이러한 상황에서, 그는 분배 함수로부터 장 φ|파이영어의 복사 에너지, 엔트로피와 압력을 계산했다. 평탄한 공간에서는 물리량에 나타나는 고유값이 일반적으로 알려져 있지만, 굽은 공간에서는 항상 일반적으로 알려져 있는 것은 아니다. 따라서, 점근적인 방법이 필요하다.

호킹은 이 아이디어를 사용하여 굽은 시공간에서의 경로 적분을 평가할 수 있음을 시사했다. 그가 제타 함수를 연구한 것은 역 메린 변환을 사용하여 굽은 시공간인 블랙홀의 지평선이나 드지터 시공간이라는 배경장에서의 열역학적인 중력과 양자화된 물질의 분배 함수를 열 방정식의 핵의 트레이스로 연관시킴으로써 계산하기 위해서였다.

2. 1. 급수에 대한 제타 함수 조절

발산하는 급수 ''a''1 + ''a''2 + ....영어의 합을 정의하기 위해 제타 함수 조절이라 불리는 여러 방법이 사용된다.

한 가지 방법은, 제타 함수 ζ''A''(''s'')를 다음과 같이 정의한다.

: \zeta_A(s) = \frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s} +\cdots

만약 ''s''의 실수부가 충분히 커서 이 급수가 수렴하면, 그 수렴값으로 정의한다. 그렇지 않으면 해석적 연속을 통해 정의한다. 제타 함수 조절된 합은 ζ''A''(−1)로 정의된다.

''a''''n'' = ''n''인 경우, 이 제타 함수는 리만 제타 함수가 된다. 이 방법은 라마누잔이 1 + 2 + 3 + 4 + ... 급수를 ζ(−1) = −1/12로 "합"하는 데 사용했다.[1]

2. 2. 곱에 대한 제타 함수 조절

발산하는 무한 곱 $a_1 a_2 \dots$에 대해서는, 제타 함수 $\zeta_A(s)$를 다음과 같이 정의한다.

: \zeta_A(s) = \frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s} +\cdots

이후, $\exp(-\zeta'_A(0))$으로 정의한다. D. 레이와 I. M. 싱어는 이 방법을 사용하여 고유값이 $a_1, a_2, \dots$인 양의 자기 수반 연산자 $A$(리만 다양체의 라플라시안 연산자)의 행렬식을 정의했으며, 이 경우 제타 함수는 형식적으로 $A^{-s}$의 대각합이다.[1] 미낙시선다람과 플레이젤은 $A$가 콤팩트한 리만 다양체의 라플라시안인 경우 이 함수가 수렴하고 모든 복소수에 대한 해석적 연속을 메로모픽 함수로 가지는 것을 보였고, 실리는 이를 콤팩트한 리만 다양체에 대한 타원형 미분 연산자 $A$로 확장했다. 따라서 이러한 연산자의 경우 제타 함수 조절을 사용하여 행렬식을 정의할 수 있다. "해석적 꼬임"을 참조.

3. 역사

G. H. 하디와 J. E. 리틀우드는 1916년에 제타 함수 조절에 대한 초기 연구를 수행했다. 이들은 카헨-멜린 적분을 이용하여 열 핵 및 제타 함수 조절 방법으로 정규화된 급수의 수렴성과 동등성을 확립했다. 이 연구는 수론에서 나타나는 조건 수렴 합과 같이 잘 정의되지 않은 다양한 값들을 구하는 것을 목표로 했다.

1976년, J. 스튜어트 도커와 레이먼드 크리칠리는 양자 물리 문제에 대한 제타 함수 조절 방법을 제안했다. 1977년, S. W. 호킹은 제타 함수 조절을 사용하여 곡선 시공간에서 경로 적분을 평가하고, 블랙홀 및 드 시터 공간에서 열적 중력자와 물질의 양자에 대한 분배 함수를 계산했다.[1]

에밀리오 엘리잘데 등은 적분에 대한 제타 조절 기반의 방법을 제안했다.

4. 리만 제타 함수와의 관계

제타 함수 조절(Zeta function regularization영어)에서, an = n 인 경우, 제타 함수는 리만 제타 함수가 된다.[1] 리만 제타 함수를 이용한 대표적인 예로, 1+2+3+4+… = ζ(-1) = -1/12 가 있다. ζ(0)=1 + 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0 등 다른 발산 급수도 베르누이 수를 이용하여 값을 구할 수 있다.[1]

5. 다른 정규화 방법과의 관계

제타 함수 조절은 차원 정칙화와 동일한 결과를 내지만,[1] 차원 정규화가 실패하는 경우에도 사용할 수 있다는 장점이 있다. 제타 함수 조절은 산술 함수 ''f''(''n'')에 대한 합에 해석적 구조를 부여하며, 이는 디리클레 급수로 알려져 있다. 수치 계산에서는 제타 함수 조절보다 지수 조절이 더 빠르게 수렴한다. 지수 및 제타-조절기는 멜린 변환을 통해 서로 연결되며, s-평면의 극을 로랑 급수의 발산하는 항으로 변환한다.

f(s)=\sum_n a_n e^{-s|\omega_n|} 형태의 합은 '''열 핵''' 또는 '''열 핵 정규화 합'''이라고 불리며, 이는 열 핵의 고윳값과 관련이 있다. 이 합은 일반화된 디리클레 급수로, 아벨 평균을 구하는 데 사용되며, 라플라스-스틸체스 변환과 관련이 있다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따라, 특정 조건에서 이 급수는 반평면에서 수렴하고 균등 수렴한다.

5. 1. 차원 정규화

제타 함수 조절은 차원 정칙화와 동일한 결과를 낸다고 알려져 있다.[1] 그러나 차원 정규화가 실패하는 경우(예: 계산 내에 행렬이나 텐서 ϵi,j,k가 있는 경우)에도 제타 함수 조절은 사용할 수 있다는 장점이 있다.[1]

5. 2. 디리클레 급수

제타 함수 조절은 산술 함수 ''f''(''n'')에 대한 모든 합에 해석적 구조를 부여한다. 이러한 합은 디리클레 급수로 알려져 있으며, 정규화된 형태는 다음과 같다.

:\tilde{f}(s) = \sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}

이 합은 발산을 복소수 ''s''-평면의 단순 극으로 변환한다. 수치 계산에서 제타 함수 조절은 수렴 속도가 매우 느리기 때문에 부적절하다. 더 빠르게 수렴하는 합은 다음과 같은 지수 조절이다.

:F(t)=\sum_{n=1}^\infty f(n) e^{-tn}

이는 때때로 ''f''의 Z 변환이라고 불리며, 여기서 ''z'' = exp(−''t'')이다. 지수 및 제타-정규화의 해석적 구조는 관련되어 있다. 지수 합을 로랑 급수로 전개하면 다음과 같다.

:F(t)=\frac{a_N}{t^N} + \frac{a_{N-1}}{t^{N-1}} + \cdots

제타 급수는 다음과 같은 구조를 갖는다는 것을 알 수 있다.

:\tilde{f}(s) = \frac{a_N}{s-N} + \cdots.

지수 및 제타-조절기는 멜린 변환을 통해 관련되어 있다. 다음은 감마 함수의 적분 표현을 사용하여 서로 변환될 수 있다.

:\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} \, dt

이는 다음 항등식을 이끌어낸다.

:\Gamma(s) \tilde{f}(s) = \int_0^\infty t^{s-1} F(t) \, dt

지수 및 제타-조절기를 연결하고, s-평면의 극을 로랑 급수의 발산하는 항으로 변환한다.

5. 3. 열 핵 정규화

f(s)=\sum_n a_n e^{-s|\omega_n|}는 '''열 핵''' 또는 '''열 핵 정규화 합'''이라고 불리며, 이 이름은 \omega_n이 때때로 열 핵의 고윳값으로 이해될 수 있다는 아이디어에서 유래한다. 수학에서 이러한 합은 일반화된 디리클레 급수로 알려져 있으며, 평균을 구하는 데 사용되는 것은 아벨 평균으로 알려져 있다. 이는 다음과 같이 라플라스-스틸체스 변환과 밀접하게 관련되어 있다.

:f(s)=\int_0^\infty e^{-st} \, d\alpha(t)

여기서 \alpha(t)는 계단 함수이며, t=|\omega_n|에서 a_n의 계단을 가진다. 이러한 급수의 수렴에 대한 여러 정리가 존재한다. 예를 들어, 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면,

:L=\limsup_{n\to\infty} \frac{\log\vert\sum_{k=1}^n a_k\vert}



이면 f(s)에 대한 급수는 반평면 \Re(s)>L에서 수렴하며 반평면 \Re(s)>L의 모든 콤팩트 부분집합에서 균등 수렴한다. 물리학의 거의 모든 응용 분야에서 L=0을 가진다.

6. 응용

제타 함수 조절은 카시미르 효과와 양자장론에서 주로 응용된다.

카시미르 효과에서 제타 함수 조절을 적용한 첫 번째 예시는 3차원 공간에서 양자장의 부피 기여도를 갖는 평탄 공간에서 찾을 수 있다. 이 경우, 리만 제타 함수를 –3에서 계산해야 하는데, 이 값은 명시적으로 발산한다. 그러나 해석적 연속을 통해 ''s'' = –3으로 확장하면 극점(pole)이 없을 것으로 예상되어 식에 유한한 값을 부여할 수 있다.

양자장론에서 제타 함수 조절은 입자장의 진공 기대값 에너지를 계산하는 데 사용된다. 더 일반적으로, 제타 함수 접근법은 평탄한 시공간과 곡선 시공간 모두에서 전체 에너지-운동량 텐서를 조절하는 데 사용될 수 있다.

조절되지 않은 에너지 값은 진공의 모든 여기 모드의 영점 에너지에 대한 합으로 주어지며, 다음과 같이 표현된다.

:\langle 0|T_{00} |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2}

여기서 T_{00}는 에너지-운동량 텐서의 0번째 성분이며, 합(적분일 수 있음)은 모든(양수 및 음수) 에너지 모드 \omega_n에 걸쳐 확장된다. 이 합은 일반적으로 무한하므로, 다음과 같이 정칙화할 수 있다.

:\langle 0|T_{00}(s) |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2} |\omega_n|^{-s}

여기서 ''s''는 복소수 매개변수이다. 3차원 공간의 경우, ''s''가 4보다 큰 실수일 때 이 합은 유한한 값을 가지며, 이론적으로 계산 가능하다.

제타 정칙화는 물리적 시스템의 다양한 대칭을 보존할 수 있다는 점에서 유용하며, 등각장론, 재규격화, 끈 이론 등에서 활용된다.

6. 1. 카시미르 효과

제타 함수 조절은 카시미르 효과에서 진공 에너지 밀도를 계산하는 데 사용된다. 평행한 두 도체판 사이의 진공 에너지를 계산할 때, 발산하는 급수를 리만 제타 함수를 이용하여 정규화한다.

예를 들어, 카시미르 효과에서 나타나는 합

:S=\sum_{n=1}^\infty n

을 제타 함수 조절을 통해 규칙화하면

:S(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{1-s}=\zeta(s-1)

을 얻는다. (여기서 \zeta(x)는 리만 제타 함수이다.) 이제 s\to0을 취하면

:\lim_{s\to0}S(s)=\zeta(-1)=-\frac1{12}

이 된다.

양자장론에서 입자장의 진공상태에서의 에너지 (\langle 0|T_{00} |0\rangle)는 진공의 모든 여기 모드의 영점 에너지에 대한 합으로 주어진다.

:\langle 0|T_{00} |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2}

여기서 T_{00}는 에너지-운동량 텐서의 0번째 성분이며, \omega_n는 모든 에너지 모드를 나타낸다. 이 합은 일반적으로 무한하므로, 다음과 같이 정규화할 수 있다.

:\langle 0|T_{00}(s) |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2} |\omega_n|^{-s}

여기서 ''s''는 복소수 매개변수이다.

제타 함수 조절은 등각장론, 재규격화, 끈 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

6. 2. 양자장론

제타 함수 조절은 양자장론에서 입자장의 진공 기대값 에너지를 계산하는 데 사용된다. 예를 들어, 에너지-운동량 텐서의 0번째 성분 T_{00}에 대한 진공 기대값은 모든 여기 모드의 영점 에너지를 더한 값으로 표현된다.

:\langle 0|T_{00} |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2}

여기서 \omega_n은 모든 양수 및 음수 에너지 모드를 나타내며, 절댓값은 에너지가 양수임을 의미한다. 이 합은 일반적으로 무한대이므로, 다음과 같이 정칙화(regularization)를 적용한다.

:\langle 0|T_{00}(s) |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2} |\omega_n|^{-s}

여기서 ''s''는 복소수 매개변수이다. 3차원 공간의 경우, ''s''가 4보다 큰 실수일 때 이 합은 유한한 값을 가지며, 이론적으로 계산 가능하다.

일반적으로 제타 함수 접근법은 평탄한 시공간뿐만 아니라 곡선 시공간에서도 전체 에너지-운동량 텐서를 조절하는 데 사용될 수 있다. 제타 함수 조절은 물리적 시스템의 다양한 대칭을 보존하면서도 유용하게 사용될 수 있으며, 등각장론, 재규격화, 끈 이론 등에서 활용된다.


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