중간값 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 따름정리
5. 일반화
6. 역사
7. 구성수학에서의 중간값 정리
8. 응용
9. 비판적 관점
참조

1. 개요

중간값 정리는 닫힌 구간에서 정의된 연속 함수가 함수의 양 끝 값 사이의 모든 값을 반드시 한 번 이상 갖는다는 정리이다. 이 정리는 함수의 치역이 닫힌 구간임을 보장하며, 볼차노 정리, 구간의 보존, 홀수차 실수 다항식의 근의 존재, 브라우어르 고정점 정리, 가역 연속 함수의 단조성 등 다양한 따름정리를 갖는다. 중간값 정리는 위상수학의 연결성과 밀접한 관련이 있으며, 다르부 정리, 푸앵카레-미란다 정리 등으로 일반화될 수 있다. 5세기 이전부터 유사한 개념이 존재했으며, 볼차노와 코시에 의해 엄밀하게 증명되었다. 구성수학에서는 약화된 형태로 나타나며, 브르수크-울람 정리 증명, 방정식 해의 존재성 확인 등에 활용된다. 실수의 완비성에 의존하며, 유리수에는 적용되지 않는다. 한국 고등학교 수학 교육과정에서는 '사이값 정리'라는 이름으로 다루어진다.

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중간값 정리
개요
이름	중간값 정리
영어 이름	Intermediate value theorem
설명
내용	연속 함수가 구간의 양 끝점에서 갖는 값 사이의 모든 값을 적어도 한 번은 갖는다는 정리이다.
전제 조건	함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이다. f(a)와 f(b) 사이의 값 s가 존재한다. (f(a) ≠ f(b))
결론	f(x) = s를 만족하는 x가 열린 구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
관련 개념
볼차노 정리	중간값 정리의 특수한 경우로, f(a)와 f(b)의 부호가 반대일 때 f(x) = 0을 만족하는 x가 (a, b) 안에 존재한다는 정리이다.
활용
방정식의 해 존재 증명	특정 구간 내에서 방정식의 해가 존재함을 보이는 데 사용될 수 있다.
참고 사항
주의	역은 성립하지 않는다. 즉, 중간값을 갖는다고 해서 반드시 연속 함수인 것은 아니다.

2. 정의

연속 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 가 주어졌을 때, '''중간값 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.^[21]

: $f([a,b])\supseteq[f(a),f(b)]\cup[f(b),f(a)]$

즉, 임의의 $u\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in(a,b)$ 가 존재한다.^[21]

: $f(c)=u$

실수

\R

의 구간

I = [a,b]

와 연속 함수

f \colon I \to \R

를 고려하면, 다음과 같다.

'''버전 I.''' 만약 $u$ 가 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 수, 즉, $\min(f(a),f(b)) 이면 f(c)=u 를 만족하는 c\in (a,b) 가 존재한다.$
'''버전 II.''' 치역 $f(I)$ 도 닫힌 구간이며, $\bigl[\min(f(a), f(b)),\max(f(a), f(b))\bigr]$ 를 포함한다.

'''참고:''' ''버전 II''는 함수 값의 집합에 빈틈이 없음을 나타낸다. 임의의 두 함수 값

c,d \in f(I)

에 대해

c < d

인 경우, 구간

\bigl[c,d\bigr]

의 모든 점도 함수 값이며,

\bigl[c,d\bigr]\subseteq f(I)

이다. 내부 빈틈이 없는 실수 집합의 부분 집합은 구간이다. ''버전 I''은 자연스럽게 ''버전 II''에 포함된다.

3. 증명

편의상^한국어 $f(a) 라고 가정한다. 임의의 f(a) 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의한다.$

: $E=\{x\in[a,b]\colon f(x)$

그렇다면, $a\in E$ 이며, $b$ 는 $E$ 의 한 상계이다. 따라서, $E$ 는 실수에서 유한한 상한

: $c=\sup E\in\mathbb R$

를 갖는다. $f$ 가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 $\delta>0$ 이 존재한다.

: $f(x)$

: $f(x)>u\qquad\forall b-\delta$

따라서 $a 이다. 이제 귀류법 을 사용하여 f(c)=u 를 보인다. 먼저 f(c)>u 라고 가정한다. 그렇다면, f 가 연속 함수 이므로 다음을 만족시키는 \eta>0 이 존재한다.$

: $f(x)>u\qquad\forall c-\eta$

즉, $c-\eta$ 는 $E$ 의 또 다른 상계이며, 이는 $c-\eta 와 모순이다. 이제 f(c) 를 가정한다. 그렇다면, f 가 연속 함수 이므로 다음을 만족시키는 \eta>0 이 존재한다.$

: $f(x)$

즉, $c+\eta/2\in E$ 이며, 이는 $c=\sup E$ 와 모순이다. 따라서 $f(c)=u$ 이다.

$f(a) 인 경우를 증명하며, f(a)>u>f(b) 인 경우도 비슷하게 증명할 수 있다.$ ^[4]

$g(x)=f(x)-u$ 로 정의하면 $f(x)=g(x)+u$ 와 같으며, $f(a) 를 g(a)<0 로 다시 쓸 수 있고, 어떤 c\in[a,b] 에 대해 g(c)=0 임을 증명해야 하는데, 이것이 더 직관적이다. 또한 집합 S=\{x\in[a,b]:g(x)\leq 0\} 을 정의한다. g(a)<0 이므로, a\in S 임을 알 수 있으며, 따라서 S 는 공집합이 아니다. 또한, S\subseteq[a,b] 이므로, S 는 유계이고 공집합이 아니며, 따라서 완비성 공리에 의해, 상한 c=\sup(S) 가 존재한다.$

$g(c)$ 의 값에는 $g(c)<0,g(c)>0$ 및 $g(c)=0$ 의 세 가지 경우가 있다. 모순을 위해 $g(c)<0$ 이라고 가정하자. 그러면 연속성의 정의에 따라, $\epsilon=0-g(c)$ 에 대해, $\delta>0$ 이 존재하여 $x\in(c-\delta,c+\delta)$ 이면 $|g(x)-g(c)|<-g(c)$ 가 성립하며, 이는 $g(x)<0$ 과 같다. 만약 $x=c+\frac{\delta}{N}$ 을 선택하고, 여기서 $N>\frac{\delta}{b-c}+1$ 이면, $1 이므로, x 가 되어, g(x)<0 과 c 를 얻을 수 있으며, 따라서 x\in S 이다. 결과적으로 x 는 S 의 상한이다. 그러나, x>c 이므로, ''최소 상한'' c 의 '''상한''' 속성에 모순되므로, g(c)\geq 0 이다. 그런 다음, g(c)>0 이라고 가정하자. 유사하게 \epsilon=g(c)-0 을 선택하고, x\in(c-\delta,c+\delta) 이면 |g(x)-g(c)| 인 \delta>0 이 존재함을 안다. 이를 -g(c) 로 다시 쓸 수 있으며, 이는 g(x)>0 임을 의미한다. 이제 x=c-\frac{\delta}{2} 를 선택하면, g(x)>0 이고 a 이다. 결과적으로 x 는 S 의 상한이다. 그러나 x 이므로, ''최소 상한'' c 의 '''최소''' 속성에 모순되며, 이는 g(c)>0 이 불가능하다는 것을 의미한다. 두 결과를 결합하면, g(c)=0 또는 f(c)=u 가 유일한 남은 가능성이 된다.$

일반화된 중간값 정리의 증명은 연결 공간의 연속적인 상은 연결이라는 사실을 이용한다. 증명 과정은 다음과 같다.

연결 공간 $S$ 상의 실수 연속 함수 $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ 에 의한 상 $f(S)$ 는 실수 직선 $\mathbb{R}$ 의 연결 부분 집합이다. $S$ 의 두 점 $x_1, x_2$ 에서의 값을 $f(x_1) = \alpha, f(x_2) = \beta$ 라고 하면, $\alpha \in f(S)$ 및 $\beta \in f(S)$ 이다. 여기서 $\alpha < \beta$ 라고 가정한다. $\alpha < \gamma < \beta$ 인 실수 $\gamma$ 는 반드시 $f(S)$ 에 포함된다는 것을 귀류법으로 증명한다.

$\alpha < \gamma < \beta$ 인 실수 $\gamma$ 이며 $f(S)$ 에 포함되지 않는 것이 존재한다고 가정하면, $\mathbb{R}$ 의 열린 집합 $(-\infty, \gamma)$ 와 $(\gamma, \infty)$ 는 다음 조건을 만족한다.

$f(S) \subset (-\infty, \gamma) \cup (\gamma, \infty) = \mathbb{R} \setminus \{\gamma\}$
$f(S) \cap (-\infty, \gamma) \cap (\gamma, \infty) = \emptyset$
$\alpha \in f(S) \cap (-\infty, \gamma) \ne \emptyset$
$\beta \in f(S) \cap (\gamma, \infty) \ne \emptyset$

이는

f(S)

가 연결 집합의 정의를 만족하지 않는다는 것을 의미하며,

f(S)

가 연결이라는 사실에 모순된다. 따라서

\alpha < \gamma < \beta

인 실수

\gamma

는 반드시

f(S)

에 포함되며,

f(x) = \gamma

가 되는 점

x \in S

가 반드시 존재한다.

4. 따름정리

중간값 정리의 따름정리는 다음과 같다.

볼차노 정리: 연속 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 가 $f(a)f(b)<0$ 를 만족하면, $f(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$ 가 존재한다. 즉, $(a,b)$ 에서 영점을 갖는다. 이는 중간값 정리에서 $u=0$ 인 특수한 경우이다.^[17]
구간의 보존: 연속 함수에 의한 구간의 상(image)은 역시 구간이 된다. 최대 최소 정리와 중간값 정리를 함께 사용하면 닫힌 구간의 상이 닫힌 구간임을 보일 수 있다.
홀수차 실수 다항식의 근의 존재: 임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 증명할 수 있다.^[17]
닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리: 연속 함수 $f\colon[a,b]\to[a,b]$ 는 항상 고정점을 갖는다. 즉, $f(c)=c$ 인 $c\in[a,b]$ 가 존재한다. 이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 증명할 수 있다.
가역 연속 함수의 단조성: 구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위에 정의된 단사 연속 함수 $f\colon I\to\mathbb R$ 는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 증명할 수 있다.

4. 1. 볼차노 정리

연속 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가

f(a)f(b)<0

를 만족시킬 때, '''볼차노 정리'''(Bolzano's theorem^영어)에 따르면,

f

는

(a,b)

에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는

c\in(a,b)

가 존재한다.

:

f(c)=0

볼차노 정리는 중간값 정리에서

u=0

인 특수한 경우이다.^[17]

직관적으로 설명하면, 평면 위에 서로 다른 두 점을 잡고 이 두 점을 잇는 연속적인 곡선을 그릴 때, 이 두 점의 위치 관계가 서로 반대편이 되도록 직선을 그리면 그 곡선과 직선은 반드시 어딘가에서 교점을 갖는다는 것과 같다.

4. 2. 구간의 보존

연속 함수에 의해 구간의 상(image)은 역시 구간이 된다는 정리이다. 최대 최소 정리와 중간값 정리를 함께 사용하여 닫힌 구간의 상이 닫힌 구간임을 보일 수 있다.

구간

I\subseteq\mathbb R

및 연속 함수

f\colon I\to\mathbb R

가 주어졌을 때,

I

의 상

f(I)

은 역시 구간이다. 만약

I=[a,b]

가 닫힌구간일 경우,

f(I)

의 양 끝점은

f

의 최댓값과 최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

f([a,b])=\left[\min_{x\in[a,b]}f(x),\max_{x\in[a,b]}f(x)\right]

4. 3. 홀수차 실수 다항식의 근의 존재

임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 증명할 수 있다.^[17]

홀수차 실수 다항식

:

p(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb R[x]\qquad(a_0,\dots,a_{2n+1}\in\mathbb R,\;a_{2n+1}\ne 0)

이 주어졌다고 하자. 편의상

a_{2n+1}>0

이라고 하면, 다음이 성립한다.

:

\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty,\;\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty

이에 따라, 다음을 만족시키는

c<0 가 존재한다.

:

p(c)<0

중간값 정리를

p|_{[c,d]}

에 적용하면, 다음을 만족시키는

p

의 영점

e\in(c,d)

의 존재를 얻는다.

4. 4. 닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리

연속 함수

f\colon[a,b]\to[a,b]

는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는

c\in[a,b]

가 존재한다.

:

f(c)=c

이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수

g\colon[a,b]\to\mathbb R

를 정의하자.

:

g(x)=f(x)-x\qquad\forall x\in[a,b]

그렇다면,

g

는 연속 함수이며,

g(b)\le 0\le g(a)

이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는

c\in[a,b]

가 존재한다.

:

g(c)=0

즉,

f(c)=c

가 성립한다.

4. 5. 가역 연속 함수의 단조성

구간

I\subseteq\mathbb R

위에 정의된 단사 연속 함수

f\colon I\to\mathbb R

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

f

는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

귀류법을 사용하여,

f

가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는

a,b,c\in I

가 존재한다.

$a$
$f(a) f(c)$ 또는 $f(a)>f(b)$

편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면,

\max\{f(a),f(c)\} 를 취할 수 있다. 각각 f|_{[a,b]} 와 f|_{[b,c]} 에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 d\in(a,b) 및 e\in(b,c) 가 존재함을 얻는다.

:

f(d)=f(e)=u

이는

f

가 단사 함수인 것과 모순이다.

5. 일반화

위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

연결 공간의 보존: 두 위상 공간 사이의 연속 함수에서, 원래 공간이 연결 공간이면 함수에 의한 상(image) 역시 연결 공간이다. 실수 집합에서 연결 공간은 구간과 같으므로, 이는 중간값 정리의 일반화이다.^[14] 위상 공간과 전순서 집합 사이의 연속 함수에서도 비슷한 성질이 성립하며, 이 역시 중간값 정리의 일반화로 볼 수 있다.^[17]

다르부 정리: 미분 가능 함수의 도함수는 중간값 성질을 만족한다는 정리이다. 모든 실수 연속 함수는 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다. 다르부 함수는 중간값 성질을 갖는 함수를 말하며, 모든 연속 함수는 다르부 함수이지만, 역은 성립하지 않는다.^[11]

다차원 공간으로의 확장:
푸앵카레-미란다 정리: 중간값 정리를 1차원 구간에서 2차원 직사각형, 더 나아가 ''n''차원 정육면체로 일반화한 정리이다.
브라티스(Vrahatis)의 정리^[12]: ''n''차원 단순체에 대한 중간값 정리의 일반화이다. 이 정리는 특정 조건을 만족하는 연속 함수에 대해, 함수의 값이 0이 되는 점이 단순체 내부에 존재함을 보장한다. 이 정리는 Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz 보조정리를 바탕으로 증명할 수 있으며, 고정점 및 영점의 근사값을 구하는 데 사용될 수 있다.^[13]

5. 1. 연결 공간의 보존

두 위상 공간

X,Y

사이의 연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌을 때,

X

가 연결 공간이면,

f(X)

역시 연결 공간이다.^[14] 실수 집합

\mathbb R

위에서 연결 공간은 구간과 같으므로, 이는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

위상 공간

X

와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합

(Y,\le)

사이의 연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌을 때,

X

가 연결 공간이라면, 임의의

a,b\in X

에 대하여 다음이 성립한다.

:

f(X)\supseteq[f(a),f(b)]\cup[f(b),f(a)]

실수 집합

\mathbb R

은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

연결 공간의 연속 함수에 의한 상은 연결 공간이라는 성질을 이용하면 중간값 정리를 더욱 일반화할 수 있다.^[17]

#개요에서 언급한 일반화된 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

연결 공간의 연속적인 상은 연결이다.

5. 2. 다르부 정리

미분 가능 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:

f'([a,b])\supseteq[f'(a),f'(b)]\cup[f'(b),f'(a)]

이를 다르부 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다.

다르부 함수는 "중간값 성질"을 갖는, 즉 중간값 정리의 결론을 만족하는 실수 값 함수이다. 즉, 정의역 내의 임의의 두 값 와 에 대해, 와 사이의 임의의 에 대해, 를 만족하는 와 사이의 가 존재한다. 중간값 정리는 모든 연속 함수가 다르부 함수임을 말한다. 그러나 모든 다르부 함수가 연속인 것은 아니다. 즉, 중간값 정리의 역은 거짓이다.^[11]

다르부 정리는 어떤 구간에서 다른 함수의 도함수로부터 얻어진 모든 함수는 (연속일 필요는 없지만) 중간값 성질을 갖는다고 명시한다.

5. 3. 다차원 공간으로의 확장

푸앵카레-미란다 정리는 중간값 정리를 1차원 구간에서 2차원 직사각형, 더 나아가 ''n''차원 정육면체로 일반화한 것이다.

브라티스(Vrahatis)^[12]는 삼각형, 더 일반적으로는 ''n''차원 단순체에 대한 유사한 일반화를 제시한다. ''n''차원 단순체 ''Dⁿ''의 꼭짓점을 ''v''₀,...,''v''_n''이라 하자. ''Dⁿ''에서 ''Rⁿ''으로의 연속 함수 ''F''=(''f''₁,...,''f_n'')가 ''Dⁿ''의 경계에서 0이 아니고, 다음 조건을 만족한다고 가정한다.

1,...,''n''의 모든 ''i''에 대해, ''f_i''(''v_i'')의 부호는 ''v_i''의 반대편 면의 모든 점 ''x''에서 ''f_i''(''x'')의 부호와 반대이다.
''v''₀에서 ''f''₁,...,''f_n''의 부호 벡터는 ''v''₀의 반대편 면의 모든 점에서의 ''f''₁,...,''f_n''의 부호 벡터와 같지 않다.

그렇다면 ''F''(''z'')=(0,...,0)인 ''Dⁿ''의 내부 점 ''z''가 존재한다.

모든 ''i''에 대해 ''f_i''(''v_i'')>0이 되도록 ''f_i''를 정규화하면, 조건은 더 간단해진다.

1,...,''n''의 모든 ''i''에 대해, ''f_i''(''v_i'')>0이고, ''v_i''의 반대편 면의 모든 점 ''x''에 대해 ''f_i''(''x'')<0이다. 특히, ''f_i''(''v₀'')<0이다.
''v''₀의 반대편 면의 모든 점 ''x''에 대해, 1,...,''n'' 중 적어도 하나의 ''i''에 대해 ''f_i''(''x'')>0이다.

이 정리는 Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz 보조정리를 바탕으로 증명할 수 있으며, 고정점 및 영점의 근사값을 구하는 데 사용될 수 있다.^[13]

6. 역사

헤라클레아의 브리슨은 5세기 이전에 원적 문제를 연구하면서 중간값 정리와 비슷한 개념을 사용했다. 브리슨은 주어진 정사각형보다 크고 작은 원이 모두 존재하므로, 넓이가 같은 원이 존재해야 한다고 주장했다.^[6] 베르나르트 볼차노는 1817년에 중간값 정리를 처음으로 엄밀하게 증명하면서 다음과 같은 공식을 사용했다.^[7]

: $f, \varphi$ 를 $\alpha$ 와 $\beta$ 사이의 구간에서 연속 함수라고 하자. $f(\alpha) < \varphi(\alpha)$ 이고 $f(\beta) > \varphi(\beta)$ 일 때, $f(x) = \varphi(x)$ 인 $\alpha$ 와 $\beta$ 사이의 $x$ 가 존재한다.

오귀스탱 루이 코시는 1821년에 현대적인 형태의 중간값 정리와 증명을 제시하였다.^[8] 볼차노와 코시는 모두 함수의 분석을 공식화하고 연속성에 대한 엄밀한 정의를 내리는 과정에서 중간값 정리를 증명하였다.

연속 함수가 중간값 성질을 가진다는 생각은 이들보다 더 이른 시기부터 있었다. 시몽 스테빈은 해의 소수 전개법을 구성하는 알고리즘을 제공하여 다항 함수에 대한 중간값 정리를 증명했다(예시로 삼차 함수 사용).^[9] 연속성의 공식적인 정의가 주어지기 전에는, 중간값 성질이 연속 함수의 정의의 일부로 주어지기도 했다. 루이 아르보가스트는 함수에 점프가 없고 중간값 성질을 만족하며 변수의 증가량 크기에 해당하는 증가량을 갖는다고 가정했다.^[10]

7. 구성수학에서의 중간값 정리

구성수학에서는 중간값 정리가 일반적으로 성립하지 않는다. 대신 결론을 약화시켜야 한다.

$a$ 와 $b$ 를 실수, $f:[a,b] \to R$ 을 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 실수선으로의 점별 연속 함수라고 하자. 그리고 $f(a) < 0$ 이고 $0 < f(b)$ 라고 가정하자. 그러면 모든 양수 $\varepsilon > 0$ 에 대해 단위 구간 내에 $\vert f(x) \vert < \varepsilon$ 인 점 $x$ 가 존재한다.^[15]

8. 응용

브르수크-울람 정리와 유사한 정리에 따르면, $n$ 차원 구에서 유클리드 공간 $n$ 차원으로의 연속 함수는 항상 몇몇 대척점 쌍을 같은 위치로 매핑한다. 일반적인 경우, 정의역이 닫힌 볼록 도형이고 도형 내부의 임의의 점(반드시 중심일 필요는 없음)을 잡을 때, 임의의 연속 함수에 대해 주어진 점에 대해 대척점인 두 점이 존재하며, 이 점들의 함수 값은 동일하다. 이 정리는 흔들리는 테이블을 회전시켜 안정 상태로 만드는 방법을 설명하는 데에도 활용된다.^[16]

이는 직관적으로 다음과 같이 설명할 수 있다. 평면 위에 서로 다른 두 점을 잡고, 이 두 점을 잇는 연속적인 곡선을 그린다. 그리고 두 점의 위치 관계가 서로 반대편이 되도록 직선을 그렸을 때, 그 곡선과 직선은 어딘가에서 반드시 교점을 갖게 된다.

중간값 정리는 "존재" 여부는 보장하지만, "구체적으로 어디에 있는지"는 알 수 없다. 구체적인 위치를 알고 싶을 경우에는 다른 고찰이 필요하지만, "존재"만 확인되면 충분한 경우도 많다.^[18]

9. 비판적 관점

중간값 정리는 해의 존재성만을 보장할 뿐, 구체적인 해의 위치는 알려주지 않는다는 한계가 있다.^[18] 해의 존재성만으로 충분한 경우도 많지만, 해의 위치를 구체적으로 알아야 할 때는 추가적인 고찰이 필요하다.^[18]

또한, 중간값 정리는 실수의 완비성에 의존하며, 유리수 집합에서는 성립하지 않는다. 유리수는 그 사이에 간극이 존재하기 때문이다. 예를 들어, $x\in\Q$ 에 대한 함수 $f(x) = x^2$ 는 $f(0) = 0$ 과 $f(2) = 4$ 를 만족하지만, $\sqrt 2$ 가 무리수이므로 $f(x)=2$ 를 만족하는 유리수 $x$ 는 존재하지 않는다.

참조

_[1] MathWorld Bolzano's Theorem
_[2] 서적 Cauchy's Calcul Infinitésimal
_[3] 서적 Foundations of Analysis Appleton-Century-Crofts
_[4] 서적 Understanding Analysis Springer
_[5] arXiv Nonstandard Analysis and Constructivism! 2017
_[6] 서적 Redefining Geometrical Exactness: Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction Springer
_[7] 학술지 A translation of Bolzano's paper on the intermediate value theorem 1980
_[8] 학술지 Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus http://www.maa.org/s[...] 1983-03
_[9] 간행물 A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography https://doi.org/10.1[...] 2011
_[10] MacTutor Biography Louis François Antoine Arbogast
_[11] 서적 MVT: A Most Valuable Theorem https://books.google[...] Springer 2017-04-07
_[12] 학술지 Generalization of the Bolzano theorem for simplices https://www.scienced[...] 2016-04-01
_[13] 학술지 Intermediate value theorem for simplices for simplicial approximation of fixed points and zeros 2020-04-15
_[14] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[15] 학술지 Interpolating Between Choices for the Approximate Intermediate Value Theorem 2020-07-14
_[16] 웹사이트 How to stabilize a wobbly table https://web.archive.[...] 2007
_[17] 문서 したがって、中間値の定理を仮定して[[デデキント切断]]を定義すると、実数の連続性を証明することができる。
_[18] 문서 c は、実際には f(x) が γ 以下となる I に属する x 全体からなる集合の[[上限 (数学)|上限]]として与えられる。f(c) が γ でないと仮定すると、直ちに矛盾が生じる。
_[19] 웹인용 수학용어 http://www.kms.or.kr[...] 2019-03-31
_[20] 서적 "[별책8]수학과 교육과정(교육과학기술부 고시 제2011-361호)(최종수정)" http://ncic.go.kr/mo[...] 2019-03-31
_[21] 서적 An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach

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