중적분

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 조르당 측도
- 2.2. 중적분
3. 성질
4. 예
5. 응용
참조

1. 개요

중적분은 둘 이상의 변수를 갖는 함수의 적분으로, 함수의 그래프와 좌표축으로 둘러싸인 영역의 부피 또는 면적을 계산하는 데 사용된다. 리만 적분의 개념을 확장하여 정의되며, 조르당 측도를 기반으로 한다. 중적분은 리만 합의 극한으로 정의되며, 조르당 가측 집합 위에서만 정의된다. 중적분은 선형성, 가법성, 단조성 등의 성질을 가지며, 푸비니 정리를 통해 누차 적분으로 계산할 수 있다. 변수 변환을 통해 극좌표, 원통 좌표, 구면 좌표 등 다양한 좌표계에서 계산할 수 있으며, 야코비 행렬식을 활용한다. 중적분은 기하학적 의미를 가지며, 도형의 부피 계산에 활용된다. 이상 중적분은 무계 집합 또는 무계 함수에 대한 중적분의 확장이며, 수렴 조건은 절대 수렴이다. 중적분은 함수의 평균값 계산, 물리학(관성 모멘트, 중력 퍼텐셜), 전자기학(전기장 계산) 등 다양한 분야에 응용된다.

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중적분
개요
정의	다변수 함수의 적분을 일반화한 것
종류	이중적분 삼중적분 일반적인 n차원 적분
활용	넓이 계산 부피 계산 질량 계산 확률 계산
이중적분
대상 함수	f(x, y)
적분 영역	2차원 평면의 부분집합
계산 방법	반복 적분으로 계산
삼중적분
대상 함수	f(x, y, z)
적분 영역	3차원 공간의 부분집합
계산 방법	반복 적분으로 계산
일반적인 n차원 적분
대상 함수	f(x₁, x₂, ..., xₙ)
적분 영역	n차원 공간의 부분집합
계산 방법	반복 적분으로 계산

2. 정의

단일 변수의 양의 함수에 대한 정적분이 함수 그래프와 x-축 사이의 면적을 나타내는 것과 같이, 두 변수 함수의 '''이중 적분'''은 3차원 데카르트 좌표계에서 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면과 함수의 정의역을 포함하는 평면 사이의 부피를 나타낸다.^[2] 변수가 더 많으면 다중 적분은 함수의 초부피를 산출한다.

''n'' 변수 함수

f(x_1, x_2, \dots, x_n)

의 정의역 ''D''에 대한 다중 적분은 일반적으로 다음과 같이 표시한다.^[2]

:

\int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n

여기서 적분 기호는 실행 순서와 반대로 중첩되어 표시되며(가장 왼쪽 적분 기호가 마지막으로 계산됨), 함수와 피적분 변수는 적절한 순서로 온다(가장 오른쪽 변수에 대한 적분이 마지막으로 계산됨).

부정 적분은 단일 실수 변수의 함수에 대해서만 정의되므로, 다중 적분에는 바로 확장되지 않는다.

n>1

에 대해 다음과 같이 정의된 "반열린" n-차원 초직사각형 영역 T를 고려한다.

:

T= [ a_1, b_1) \times [ a_2, b_2) \times \cdots \times [ a_n, b_n) \subseteq \R^n

.

각 구간

[a_j, b_j)

를 겹치지 않는 유한한 부분구간으로 분할하고, 각 부분구간은 왼쪽 끝은 닫혀 있고 오른쪽 끝은 열려 있다. 그러면 다음과 같이 주어진 부분직사각형족 C는 T의 분할이다.

:

C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n

즉, 부분직사각형

C_k

는 서로 겹치지 않고 그 합집합은 T이다.

f: T \to \mathbb{R}

을 T에서 정의된 함수라고 하고, T의 분할 C를 고려한다. 여기서 C는 m개의 부분직사각형

C_m

의 집합이다.

:

T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m

다음 리만 합으로 n-차원 초직사각형 T 아래와 f의 n-차원 그래프 위에 의해 경계가 정해진 총 (n+1)-차원 부피를 근사할 수 있다.

:

\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)

여기서

P_k

는

C_k

의 점이고,

m(C_k)

는

C_k

인 구간들의 길이의 곱이며, 이는

C_k

의 측도로도 알려져 있다.

부분직사각형

C_k

의 '''지름'''은 구간 길이 중 가장 큰 값이다. T의 주어진 분할의 지름은 분할 내 부분직사각형 지름 중 가장 큰 값으로 정의된다. 직관적으로, 분할 C의 지름이 점점 작아짐에 따라, 부분직사각형의 개수 m은 커지고, 각 부분직사각형의 측도

m(C_k)

는 작아진다. 함수 f가 다음과 같은 경우 '''리만 적분 가능'''하다고 한다. 극한

:

S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m} (C_k)

가 존재하며, 여기서 극한은 지름이 최대

\delta

인 T의 모든 가능한 분할에 대해 취한다.^[3]

만약 f가 리만 적분 가능하다면, S는 T에 대한 f의 '''리만 적분'''이라고 부르며, 다음과 같이 나타낸다.

:

\int \cdots \int_T\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n

.

자주 이 표기는 다음과 같이 줄여 쓴다.

:

\int_T\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}

.

여기서

\mathbf{x}

는 n-튜플

(x_1, \dots, x_n)

을 나타내고,

d^n\mathbf{x}

는 n-차원 부피 미분이다.

임의의 유계 n-차원 집합에서 정의된 함수의 리만 적분은 원래 함수의 영역 밖의 값은 0이고, 반열린 직사각형에서 정의된 함수로 해당 함수를 확장하여 정의할 수 있다. 그러면 원래 영역에 대한 원래 함수의 적분은 (존재한다면) 확장된 함수의 직사각형 영역에 대한 적분으로 정의된다.

n차원의 리만 적분은 '''중적분'''이라고 부른다.

T \subseteq \R^2

인 경우, 적분

:

l = \iint_T f(x,y)\, dx\, dy

은 T에 대한 f의 '''이중 적분'''이며,

T \subseteq \R^3

인 경우 적분

:

l = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz

은 T에 대한 f의 '''삼중 적분'''이다.

관례에 따라 이중 적분은 두 개의 적분 기호를 가지고, 삼중 적분은 세 개의 적분 기호를 가진다.

2. 1. 조르당 측도

평면 도형이 조르당 가측 집합일 필요 충분 조건은, 각각 안과 밖에 놓인, 직사각형의 유한 합집합을 통해 얻은 근사 넓이가 서로 같다는 것이다.

'''중적분'''의 정의는 '''조르당 측도'''(Jordan measure^영어)에 기반한다.

유계 집합

E\subseteq\mathbb R^n

의 '''조르당 내측도'''(inner Jordan measure^영어)

\operatorname m_*(E)

는 이에 포함되는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.

:

\operatorname m_*(E)=\sup\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\subseteq E,\;a_{ij},b_{ij}\in\mathbb R,\;m\in\mathbb N\right\}

비슷하게,

E

의 '''조르당 외측도'''(outer Jordan measure^영어)

\operatorname m^*(E)

는 이를 덮는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.

:

\operatorname m^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\supseteq E,\;a_{ij},b_{ij}\in\mathbb R,\;m\in\mathbb N\right\}

유계 집합

E\subseteq\mathbb R^n

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

E

를 '''조르당 가측 집합'''(Jordan measurable set^영어)이라고 한다.

$\operatorname m_*(E)=\operatorname m^*(E)$ . 이 경우, $\operatorname m(E)$ 를 $E$ 의 '''조르당 측도'''라고 한다.
$m^*(\partial E)=0$

조르당 측도는 유한 가법 측도이지만, 이름과 달리 측도가 아니다. 중적분은 조르당 가측 집합 위에서만 정의된다.

2. 2. 중적분

조르당 가측 집합

E\subseteq\mathbb R^n

위에서 정의된 함수

f\colon E\to\mathbb R

의 중적분은 다음과 같이 정의된다.

리만 합: 분할 $\{E_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathcal P(E)$ 에 대한 리만 합은 다음과 같다.

:

\sum_{i=1}^mf(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)\operatorname m(E_i)\qquad(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)\in E_i

다르부 상합:

:

\sum_{i=1}^m\sup_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)

다르부 하합:

:

\sum_{i=1}^m\inf_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)

리만 $n$ 중적분: 다음 극한이 존재하고, 분할 및 각 집합의 점의 선택과 무관하면, $f$ 는 리만 적분 가능 함수라고 하며, 이 극한을 리만 $n$ 중적분이라고 한다.

:

\int_Ef(x)dx=\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^mf(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)\operatorname m(E_i)

다르부 상적분: (항상 존재)

:

\overline{\int_E}f(x)dx=\overline{\iint\cdots\int_E}f(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n  =\inf_{\mathcal P(E)\supseteq\{E_i\}_{i=1}^m\in\operatorname{dom}\lambda}\sum_{i=1}^m\sup_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)

다르부 하적분: (항상 존재)

:

\underline{\int_E}f(x)dx=\underline{\iint\cdots\int_E}f(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n  =\sup_{\mathcal P(E)\supseteq\{E_i\}_{i=1}^m\in\operatorname{dom}\lambda}\sum_{i=1}^m\inf_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)

리만 이중적분/삼중적분 표기:
이중적분: $\iint_Ef(x,y)dxdy=\iint_Ef(x,y)dA=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^mf(\xi_i,\eta_i)\operatorname m(E_i)$
삼중적분: $\iiint_Ef(x,y,z)dxdydz=\iiint_Ef(x,y,z)dV=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^mf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\operatorname m(E_i)$

이상 중적분:무계 집합이나 무계 함수에 대한 중적분으로 확장된 개념이다. 일변수 함수와 달리, 이상 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴한다는 것이다.
이상 중적분의 정의 (무계 집합, 유계 함수):

f

와

E

가 다음 조건을 만족할 때:

$E$ 는 무계 집합이다.
$f$ 는 유계 함수이다.
임의의 $r>0$ 에 대해, $E\cap\bar B_R(0)$ 는 조르당 가측 닫힌집합이다. ( $\bar B_R(0)$ 는 닫힌 공)
임의의 조르당 가측 닫힌집합 $F\subseteq E$ 에 대해, $f$ 는 $F$ 에서 리만 적분 가능하다.

다음 극한이 존재하고, 조르당 가측 닫힌집합

F\subseteq E

의 열의 선택과 무관하면, 이를

f

의

E

위의 이상 중적분이라고 한다.

:

\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\lim_{\sup\{r>0\colon F\supseteq E\cap\bar B_R(0)\}\to\infty}\iint\cdots\int_Ff(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n

이상 중적분의 정의 (유계 집합, 무계 함수):

E

,

(a_1,\dotsc,a_n)\in E

,

f\colon E\setminus\{(a_1,\dotsc,a_n)\}\to\mathbb R

가 다음 조건을 만족할 때:

$E$ 는 유계 집합이다.
$f$ 는 무계 함수이다.
임의의 $r>0$ 에 대해, $E\setminus B_R(a)$ 는 조르당 가측 닫힌집합이다. ( $B_R(a)$ 는 열린 공)
임의의 조르당 가측 닫힌집합 $F\subseteq E\setminus\{(a_1,\dotsc,a_n)\}$ 에 대해, $f$ 는 $F$ 에서 리만 적분 가능하다.

다음 극한이 존재하고, 조르당 가측 닫힌집합

F\subseteq E\setminus\{(a_1,\dotsc,a_n)\}

의 열의 선택과 무관하면, 이를

f

의

E

위의 이상 중적분이라고 한다.

:

\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\lim_{\inf\{r>0\colon F\supseteq E\setminus B_R(a)\}\to0^+}\iint\cdots\int_Ff(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n

단일 변수의 양의 함수의 정적분이 함수 그래프와

x

-축 사이의 면적을 나타내는 것처럼, 두 변수의 양의 함수의 이중 적분은 함수 (

z=f(x,y)

인 3차원 데카르트 좌표계)에 의해 정의된 표면과 함수의 정의역을 포함하는 평면 사이의 부피를 나타낸다.^[2] 변수가 더 많으면 다중 적분은 다차원 함수의 초부피를 산출한다.

n

변수의 함수에 대한 다중 적분:

f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

정의역

\mathbf{D}

에 대한 다중 적분은 가장 일반적으로 실행의 반대 순서로 중첩된 적분 기호로 표시되며 (가장 왼쪽 적분 기호가 마지막으로 계산됨), 그 뒤에 적절한 순서로 함수와 피적분 변수가 온다 (가장 오른쪽 변수에 대한 적분이 마지막으로 계산됨). 적분 영역은 각 적분 기호에 대해 모든 변수에 대해 기호로 표시되거나 가장 오른쪽 적분 기호에서 변수로 축약된다:^[2]

:

\int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n

3. 성질

중적분은 일변수 함수의 리만 적분과 유사한 성질들을 가진다.^[16] 예를 들어 선형성, 적분 집합에 대한 가법성, 부등식 보존 등이 있다.^[16]

피적분 함수에 대한 선형성:

::

\int_D (\alpha f+\beta g)(\mathbf{x})d\mathbf{x} = \alpha\int_D f(\mathbf{x})d\mathbf{x} + \beta\int_D g(\mathbf{x})d\mathbf{x}.

적분 영역에 대한 가법성:

::

\int_{D\sqcup E} f(\mathbf{x})d\mathbf{x} = \int_D f(\mathbf{x})d\mathbf{x} + \int_E f(\mathbf{x})d\mathbf{x}.

피적분 함수에 대한 단조성: ''D'' 위에서 ''f'' ≤ ''g'' 이면

::

\int_D f(\mathbf{x})d\mathbf{x} \le \int_D g(\mathbf{x})d\mathbf{x}.

적분 영역에 대한 단조성: ''f'' ≥ 0, ''D'' ⊆ ''E'' 이면

::

\int_D f(\mathbf{x})d\mathbf{x} \le \int_E f(\mathbf{x})d\mathbf{x}.

절댓값에 관한 부등식:

::

\left|\int_D f(\mathbf{x})d\mathbf{x}\right| \le \int_D |f(\mathbf{x})|d\mathbf{x}.

적분의 평균값 정리:

::

\inf_{\mathbf{x}\in D}f(\mathbf{x})\le \frac{1}{\text{vol}(D)}\int_D f(\mathbf{x})d\mathbf{x}\le \sup_{\mathbf{x}\in D}f(\mathbf{x}).

적분 영역이 적분 변수 중 적어도 하나에 대해 원점에 관하여 대칭이고, 피적분 함수가 이 변수에 관하여 기함수일 때, 적분은 0과 같다. 피적분 함수가 이 변수에 관하여 우함수일 경우에는 영역의 절반에 대한 적분의 두 배와 같다.

예를 들어, 함수

f(x,y) = 2 \sin(x) - 3y^3 + 5

를 적분 영역

T=\left \{ ( x,y) \in \R^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \}

(경계가 포함된 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 원반)에 대해 적분하는 경우를 생각해 보자. 선형성에 따라 적분을 세 부분으로 분해하면, 함수

2 \sin(x)

는 변수

x

에 대한 기함수이고 원반

T

는

y

축에 대해 대칭이므로 첫 번째 적분은 0이 된다. 마찬가지로 함수

3y^3

은

y

의 기함수이고

T

는

x

축에 대해 대칭이므로, 최종 결과는 원반 면적에 5를 곱한

5\pi

가 된다.

다른 예시로, 함수

f(x, y, z) = x \exp(y^2 + z^2)

를 적분 영역

T = \left \{ ( x,y, z) \in \R^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}

(원점을 중심으로 하는 반지름 2인 구)에 대해 적분하는 경우, "구"는 세 축 모두에 대해 대칭이지만, 함수가

x

축에 대한 기함수이므로 적분은 0이 된다.

3. 1. 누차 적분과의 관계

푸비니 정리에 따르면, 중적분은 누차 적분(반복 적분)으로 계산할 수 있다. 즉, 변수 순서에 상관없이 반복 적분을 수행하여 중적분 값을 구할 수 있다.^[4]

:

\iint_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)=\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy

특히, |''f''(''x'', ''y'')|가 유계 함수이고, ''A'', ''B''가 모두 유계 집합일 때 위 조건이 충족된다.

그러나 함수의 절댓값의 이중 적분이 유한하지 않다면(적분이 절대 수렴하지 않는 경우) 적분 순서를 바꾸면 결과값이 달라질 수 있다.

또한, 누차 적분이 존재하더라도 중적분이 존재하지 않는 경우가 있을 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

:

f(x,y)=\begin{cases}x&(x,y)\in\{1,1/2,1/3,\dots\}\times\mathbb Q\\0&(x,y)\not\in\{1,1/2,1/3,\dots\}\times\mathbb Q\end{cases}

이 경우,

:

\iint_{[0,1]\times[0,1]}f(x,y)dxdy=0

:

\int_0^1dy\int_0^1f(x,y)dx=0

이지만,

f(1/n,y)=1_\mathbb Q(y)/n

(

n=1,2,\dots

)가 리만 적분 가능 함수가 아니므로

:

\int_0^1dx\int_0^1f(x,y)dy

는 존재하지 않는다.

따라서, '중적분'과 '반복 적분'의 개념을 혼동하지 않도록 주의해야 한다.

3. 2. 치환 적분

함수

g\colon E\to\mathbb R^n

(

E\subseteq\mathbb R^n

는 조르당 가측 닫힌집합) 및

f\colon g(E)\to\mathbb R

가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

$g$ 는 단사 $\mathcal C^1$ 함수이다.
임의의 $t\in D$ 에 대하여, $\det J_g(t)\ne0$
$f$ 는 $g(E)$ 에서 리만 적분 가능 함수이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

:

\int_{g(E)}f(x)dx=\int_Ef(g(t))\left|\det J_g(t)\right|dt

여기서

\det J_g

는

g

의 야코비 행렬식인데, 어떤 점에서의 야코비 행렬식의 값은 대략 변환이 그 점 주위의 초부피를 확대시키는 배수를 나타낸다.

예를 들어, 극좌표 변환

:

x=r\cos\theta

:

y=r\sin\theta

:

\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta \end{vmatrix}=r

에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

:

\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{g^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta

또한, 원통 좌표 변환

:

x=r\cos\theta

:

y=r\sin\theta

:

z=z

:

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}=r

에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

:

\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\iiint_{g^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta

또한, 구면 좌표 변환

:

x=r\cos\theta\sin\varphi

:

y=r\sin\theta\sin\varphi

:

z=r\cos\varphi

:

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=-r^2\sin\varphi

에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

:

\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\iiint_{g^{-1}(D)}f(r\cos\theta\sin\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\theta d\varphi

극좌표 변환 · 원통 좌표 변환 · 구면 좌표 변환 외의 변환을 사용하여 구할 수 있는 중적분의 한 가지 예는 다음과 같다.

:

\iint_{\{(x,y)\colon0\le x,y\le x+y\le1\}}\sqrt\frac{xy}{x+y}dxdy

여기에서 다음과 같은 변환을 사용하자.

:

x=r\cos^2\theta

:

y=r\sin^2\theta

이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

:

\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}\cos^2\theta&-r\sin2\theta\\\sin^2\theta&r\sin2\theta\end{vmatrix}=r\sin2\theta

따라서 상술 이중 적분을 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\iint_{\{(x,y)\colon0\le x,y\le x+y\le1\}}\sqrt\frac{xy}{x+y}dxdy=\frac12\int_0^1\sqrt{r^3}dr\int_0^{\frac\pi2}\sin^22\theta d\theta=\frac{\pi}{20}

적분 구간은 종종 쉽게 교환할 수 없다(정규성을 사용하지 않거나 복잡한 공식을 적분해야 하는 경우). 적분을 더 "편안한" 영역으로 다시 쓰기 위해 변수 변환을 수행하며, 이 영역은 더 간단한 공식으로 설명할 수 있다. 이렇게 하려면 함수를 새로운 좌표에 맞게 조정해야 한다.

> '''예시 1a.''' 함수는

f(x, y) = (x - 1)^2 + \sqrt{y}

이고, 만약 치환

u = x - 1

,

v = y

를 사용하면, 따라서

x = u + 1

,

y = v

새로운 함수

f_2(u, v) = (u)^2 + \sqrt{v}

를 얻는다.

마찬가지로 영역도 이전에 변환된 원래 변수(예시에서 $x$ 와 $y$ )에 의해 경계가 정해지기 때문이다.
미분 $dx$ 와 $dy$ 는 새로운 변수에 관한 변환의 편도함수를 포함하는 야코비 행렬식의 절댓값을 통해 변환된다(예시로 극좌표에서의 미분 변환을 고려).

변수 변환에는 세 가지 주요 "종류"가 있다(

\mathbb{R}^2

에서 하나,

\mathbb{R}^3

에서 둘); 그러나 동일한 원리를 사용하여 더 일반적인 치환을 할 수 있다.

\mathbb{R}^2

에서 정의역이 원형 대칭을 가지고 함수가 특정 특성을 갖는 경우, (그림의 예시 참조) ''극좌표 변환''을 적용할 수 있다. 즉, 데카르트 좌표계의 일반적인 점

P(x, y)

가 극좌표계의 해당 점으로 바뀝니다. 이를 통해 정의역의 모양을 변경하고 연산을 단순화할 수 있다.

변환을 위한 기본 관계는 다음과 같다.

:

f(x,y) \rightarrow f(\rho \cos \varphi,\rho \sin \varphi )

.

> '''예시 2a.''' 함수는

f(x, y) = x + y

이고 변환을 적용하면 다음과 같다.

> :

f(x, y) = f(\rho \cos \varphi,\rho \sin \varphi) = \rho \cos \varphi + \rho \sin \varphi = \rho(\cos \varphi + \sin \varphi )

.

> '''예시 2b.''' 함수는

f(x, y) = x^2 + y^2

이고, 이 경우 다음과 같다.

> :

f(x, y) = \rho^2 \left(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi\right) = \rho^2

> 피타고라스 삼각법 항등식을 사용한다(이 연산을 단순화하는 데 유용할 수 있다).

도메인의 변환은

x, y

에서 시작하여

\rho, \varphi

간격을 정의하기 위해 반지름의 원 길이와 설명된 각도의 진폭을 정의하여 이루어진다.

> '''예시 2c.''' 도메인은

D = \{x^2 + y^2 \le 4\}

이며, 이는 반지름이 2인 원이다. 덮인 각도가 원의 각도이므로

\varphi

는 0에서

2\pi

까지 변하고, 원의 반지름은 0에서 2까지 변한다(내부 반지름이 0인 원은 단지 원일 뿐이다).

> '''예시 2d.''' 도메인은

D = \{x^2 + y^2 \le 9, x^2 + y^2 \ge 4, y \ge 0\}

이며, 이는 양의

y

반평면의 원형 고리이다(예시의 그림 참조).

\varphi

는 평면 각도를 설명하고,

\rho

는 2에서 3까지 변한다. 따라서 변환된 도메인은 다음과 같은 직사각형이 된다.

:

T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le \pi \}

.

이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \varphi)} = \begin{vmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{vmatrix} = \rho

,

이는

x = \rho \cos(\varphi)

,

y = \rho \sin(\varphi)

의 편도함수를

\rho

에 대해 첫 번째 열에,

\varphi

에 대해 두 번째 열에 삽입하여 얻었으며, 이 변환에서

dx dy

미분은

\rho d\rho d\varphi

가 된다.

함수가 변환되고 도메인이 평가되면 극좌표에서 변수 변경을 위한 공식을 정의할 수 있다.

:

\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) \rho \, d \rho\, d \varphi

.

\varphi

는

[0, 2\pi]

구간에서 유효하며, 길이를 측정하는

\rho

는 양수 값만 가질 수 있다.

> '''예시 2e.''' 함수는

f(x, y) = x

이고 도메인은 예시 2d와 같다.

D

에 대한 이전 분석에서

\rho

(2에서 3까지)와

\varphi

(0에서

\pi

까지)의 구간을 알고 있다. 이제 함수를 변경한다.

:

f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\varphi) = \rho \cos \varphi

.

마지막으로 적분 공식을 적용해 보자.

:

\iint_D x \, dx\, dy = \iint_T \rho \cos \varphi \rho \, d\rho\, d\varphi

.

구간이 알려지면 다음을 얻는다.

:

\int_0^\pi \int_2^3 \rho^2 \cos \varphi \, d \rho \, d \varphi = \int_0^\pi \cos \varphi \ d \varphi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_2^3 = \Big[ \sin \varphi \Big]_0^\pi \ \left(9 - \frac{8}{3} \right) = 0

.

\mathbb{R}^3

에서 원형 밑면을 가진 영역에 대한 적분은 ''원통 좌표로의 변환''을 통해 수행할 수 있으며, 함수의 변환은 다음 관계를 통해 이루어진다.

:

f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z)

영역 변환은 밑면의 모양만 변하고 높이는 시작 영역의 모양을 따르기 때문에 그래픽적으로 얻을 수 있다.

> '''예시 3a.''' 영역이

D = \{x^2 + y^2 \le 9, x^2 + y^2 \ge 4, 0 \le z \le 5\}

(즉, 밑면이 예시 2d의 원형 고리이고 높이가 5인 "관")인 경우 변환을 적용하면 다음 영역이 얻어진다.

> :

T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le z \le 5 \}

> (즉, 밑면이 예시 2d의 직사각형과 유사하고 높이가 5인 평행육면체).

z

성분은 변환 중에 변경되지 않으므로,

dx dy dz

미분은 극좌표로의 변환과 같이 변화한다. 따라서

\rho d\rho d\varphi dz

가 된다.

마지막으로, 원통 좌표에 대한 최종 공식을 적용할 수 있다.

:

\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z) \rho \, d\rho\, d\varphi\, dz

.

이 방법은 원통형 또는 원뿔형 영역, 또는 ''z'' 구간을 쉽게 파악하고 원형 밑면과 함수를 변환할 수 있는 영역의 경우에 편리하다.

> '''예시 3b.''' 함수는

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z

이고, 적분 영역은 이 원기둥:

D = \{x^2 + y^2 \le 9, -5 \le z \le 5\}

이다.

D

를 원통 좌표로 변환하면 다음과 같다.

> :

T = \{ 0 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ -5 \le z \le 5 \}

.

함수는 다음과 같이 변환된다.

:

f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z) = \rho^2 + z

.

마지막으로 적분 공식을 적용할 수 있다.

:

\iiint_D \left(x^2 + y^2 +z\right) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T \left( \rho^2 + z\right) \rho \, d\rho\, d\varphi\, dz

;

공식을 전개하면 다음과 같다.

:

\int_{-5}^5 dz \int_0^{2 \pi} d\varphi \int_0^3 \left( \rho^3 + \rho z \right)\, d\rho = 2 \pi \int_{-5}^5 \left[ \frac{\rho^4}{4} + \frac{\rho^2 z}{2} \right]_0^3 \, dz = 2 \pi \int_{-5}^5 \left( \frac{81}{4} + \frac{9}{2} z\right)\, dz = \cdots = 405 \pi

.

\mathbb{R}^3

에서 일부 영역은 구형 대칭을 가지므로 적분 영역의 모든 점의 좌표를 두 각도와 한 거리로 지정할 수 있다. 따라서 ''구면 좌표로의 변환''을 사용할 수 있으며, 이 관계에 의해 함수가 변환된다.

:

f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi, \rho \sin \theta \sin \varphi, \rho \cos \varphi)

.

z

축 위의 점은 구면 좌표에서 정확한 특성을 갖지 않으므로,

\theta

는

0

과

2\pi

사이에서 변할 수 있다.

이 변환에 더 적합한 적분 영역은 구이다.

> '''예제 4a.''' 영역은

D = x^2 + y^2 + z^2 \le 16

(반지름이 4이고 중심이 원점인 구)이며, 변환을 적용하면 영역이 다음과 같이 된다.

> :

T = \{ 0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}

.

이 변환의 야코비안 행렬식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \varphi)} = \begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi & - \rho \sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \sin \varphi & \rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi & 0 & - \rho \sin \varphi \end{vmatrix} = \rho^2 \sin \varphi

.

따라서

dx dy dz

미분은

\rho^2 \sin(\varphi) d\rho d\theta d\varphi

로 변환된다.

이것은 최종 적분 공식을 산출한다.

:

\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi

.

이 방법은 구형 영역 '''및''' 삼각법의 기본 관계를

\mathbb{R}^3

으로 확장하여 쉽게 단순화할 수 있는 함수의 경우에 사용하는 것이 좋다(예제 4b 참조). 그 외의 경우에는 원통 좌표를 사용하는 것이 더 좋을 수 있다(예제 4c 참조).

:

\iiint_T f(a,b,c) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi

.

추가

\rho^2

및

\sin \varphi

는 야코비안에서 비롯된다.

다음 예제에서는

\varphi

와

\theta

의 역할이 바뀌었다.

> '''예제 4b.'''

D

는 예제 4a와 동일한 영역이며

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

는 적분할 함수이다. 이 함수의 변환은 매우 쉽다.

:

f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) = \rho^2

,

한편 변환된 영역

T

의 간격은

D

에서 알고 있다.

:

T=\{0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi\}

.

따라서 적분 공식을 적용한다.

:

\iiint_D \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T \rho^2 \, \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi

,

그리고 전개하면

:

\iiint_T \rho^4 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \int_0^{\pi} \sin \varphi \,d\varphi \int_0^4 \rho^4 d \rho \int_0^{2 \pi} d\theta = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin \varphi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \, d \varphi = 2 \pi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \Big[- \cos \varphi \Big]_0^{\pi} = \frac{4096 \pi}{5}

.

> '''예제 4c.''' 영역

D

는 중심이 원점이고 반지름이

3a

인 구이다.

:

D = \left \{ x^2 + y^2 + z^2 \le 9a^2 \right \}

,

그리고

f(x, y, z) = x^2 + y^2

는 적분할 함수이다.

영역을 살펴보면 구면 좌표로의 변환을 채택하는 것이 편리해 보이며, 실제로 새로운

T

영역을 경계 짓는 변수의 간격은 다음과 같다.

:

T=\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le \theta \le \pi\}

.

그러나 변환을 적용하면,

:

f(x,y,z) = x^2 + y^2 \longrightarrow \rho^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi = \rho^2 \sin^2 \theta

.

적분 공식을 적용하면 다음을 얻는다.

:

\iiint_T \rho^2 \sin^2 \theta \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi

,

이것은 반복 적분으로 변환하여 풀 수 있다.

:

\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \underbrace{\int_0^{3a}\rho^4 d\rho}_{I} \,\underbrace{\int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta}_{II}\, \underbrace{\int_0^{2\pi} d \varphi}_{III}

.

:

I = \left.\int_0^{3a}\rho^4 d\rho = \frac{\rho^5}{5}\right\vert_0^{3a} = \frac{243}{5}a^5

,

:

II = \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = -\int_0^\pi \sin^2\theta \, d(\cos \theta) = \int_0^\pi (\cos^2\theta-1) \, d(\cos \theta) = \left.\frac{\cos^3\theta}{3}\right|^\pi_0 - \left.\cos\theta\right|^\pi_0 = \frac{4}{3}

,

:

III = \int_0^{2\pi} d \varphi = 2\pi

.

모든 부분을 모으면,

:

\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = I\cdot II\cdot III = \frac{243}{5}a^5\cdot \frac{4}{3}\cdot 2\pi = \frac{648}{5}\pi a^5

.

또는 이 문제는 원통 좌표로의 변환을 사용하여 풀 수 있다. 새로운

T

간격은 다음과 같다.

:

T=\left\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ - \sqrt{9a^2 - \rho^2} \le z \le \sqrt{9a^2 - \rho^2}\right\}

;

z

간격은 구를 두 개의 반구로 나누어

D

의 공식에서 부등식을 풀어서 얻었고(그 후

x^2 + y^2

를

\rho^2

로 직접 변환했다). 새 함수는 단순히

\rho^2

이다. 적분 공식을 적용하면

:

\iiint_T \rho^2 \rho \, d \rho \, d \varphi \, dz

.

그런 다음 다음을 얻는다.

:

\begin{align} \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{3a} \rho^3 d\rho \int_{-\sqrt{9a^2 - \rho^2}}^{\sqrt{9 a^2 - \rho^2}}\, dz &= 2 \pi \int_0^{3a} 2 \rho^3 \sqrt{9 a^2 - \rho^2} \, d\rho \\&= -2 \pi \int_{9 a^2}^0 (9 a^2 - t) \sqrt{t}\, dt && t = 9 a^2 - \rho^2 \\&= 2 \pi \int_0^{9 a^2} \left ( 9 a^2 \sqrt{t} - t \sqrt{t} \right ) \, dt \\&= 2 \pi \left( \int_0^{9 a^2} 9 a^2 \sqrt{t} \, dt - \int_0^{9 a^2} t \sqrt{t} \, dt\right) \\&= 2 \pi \left[9 a^2 \frac23 t^{ \frac32 } - \frac{2}{5} t^{ \frac{5}{2}} \right]_0^{9 a^2} \\&= 2 \cdot 27 \pi a^5 \left ( 6 - \frac{18}{5} \right ) \\&= \frac{648 \pi}{5} a^5\end{align}

원통 좌표로의 변환 덕분에 삼중 적분을 더 쉬운 일변수 적분으로 줄일 수 있었다.

원통 및 구면 좌표의 nabla에서 차등 부피 항목도 참조하십시오.

적분의 경계는 (영역이 좋은 성질을 가지거나, 복잡한 식을 사용하지 않는 한) 보통 쉽게 바꿀 수 없다. 다루는 식이 더 간단해지는, 더 "성질이 좋은" 영역에서의 적분으로 다시 쓰기 위해 변수 변환을 수행하려면 함수를 새로운 좌표계에서 적절하게 다룰 필요가 있다.^[14]

영역 ''A''를 움직이는 변수 '''x'''를 미분 가능 동형 사상 Φ: ''B'' → ''A''에 의해 '''y'''로 변수 변환할 때, ''A'' 상의 함수 ''f'': ''A'' → '''R'''의 적분은

:

\int_A f(\mathbf{x})d\mathbf{x} = \int_B f(\Phi(\mathbf{y}))|\det(J_\Phi(\mathbf{y}))|d\mathbf{y}

와 같이 변환을 받는다. 여기서 ''J''_Φ는 Φ의 야코비 행렬이며, det는 그 행렬식을, 세로줄은 그 절댓값을 나타낸다. 즉, 함수의 인수는 변수 변환에 따라 그대로 대체하면 되지만, 체적 요소의 대체에는 국소적인 비를 나타내는 야코비 행렬식이 나타나는 것이다.

3. 3. 기하학적 성질

음이 아닌 값의 함수

f\colon E\to\mathbb R

(

E\subseteq\mathbb R^n

는 조르당 가측 집합)의 중적분은 밑면이 정의역, 윗면이 함수의 그래프인 도형의 조르당 측도와 같다.

:

\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\operatorname m(\{(x_1,\dotsc,x_{n+1})\colon(x_1,\dotsc,x_n)\in E,\;0\le x_{n+1}\le f(x_1,\dotsc,x_n)\})

특히, 상수 함수 1의 중적분은 정의역의 조르당 측도와 같다.

:

\iint\cdots\int_Edx_1\cdots dx_n=\operatorname m(E)

단일 변수의 양의 함수의 정적분이 함수 그래프와 x-축 사이의 면적을 나타내는 것처럼, 두 변수의 양의 함수의 이중 적분은 함수 (

z = f(x, y)

인 3차원 데카르트 좌표계에서)에 의해 정의된 표면과 함수의 정의역을 포함하는 평면 사이의 부피를 나타낸다.^[2] 변수가 더 많으면 다중 적분은 다차원 함수의 초부피를 산출한다.

피적분 함수가 상수 함수

c

일 때, 적분은

c

와 적분 영역의 측도의 곱과 같다. 만약

c = 1

이고 영역이

\mathbb{R}^2

의 부분 영역이라면, 적분은 해당 영역의 면적을 제공하며, 영역이

\mathbb{R}^3

의 부분 영역이라면, 적분은 해당 영역의 부피를 제공한다.

3. 4. 이상 중적분의 성질

이상 중적분은 중적분과 비슷한 성질을 가진다. 예를 들어 함수 f가 영역 [a, ∞) × [b, ∞)에서 정의되고, 임의의 조르당 가측 닫힌집합 F ⊆ [a, ∞) × [b, ∞)에 대해 f가 F에서 리만 적분 가능하다면 다음이 성립한다.^[17]

만약 $\int_a^\infty dx\int_b^\infty|f(x,y)|dy<\infty$ 라면, $\iint_{[a,\infty)\times[b,\infty)}f(x,y)dxdy=\int_a^\infty dx\int_b^\infty|f(x,y)|dy$ 이다.
만약 $\int_a^\infty dx\int_b^\infty|f(x,y)|dy=\infty$ 라면, $\iint_{[a,\infty)\times[b,\infty)}f(x,y)dxdy$ 는 발산한다.

또한, 무계 닫힌집합 E ⊆ ℝⁿ, 단사 C¹ 함수 g: E → ℝⁿ, 함수 f: g(E) → ℝ에 대해, 다음 두 이상 적분 중 하나가 존재한다면, 다른 하나도 존재하며, 그 값은 서로 같다.^[17]

:

\iint\cdots\int_{g(E)}f(x)dx=\iint\cdots\int_Ef(g(t))\left|\det J_g(t)\right|dt

이상 중적분

:

\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n

이 수렴할 필요충분조건은

:

\iint\cdots\int_E|f(x_1,\dotsc,x_n)|dx_1\cdots dx_n<\infty

이다. 즉, 이상 중적분은 절대 수렴해야만 수렴한다.

4. 예

중적분을 통해 여러 가지 도형의 부피를 계산할 수 있다.

직육면체: 가로, 세로, 높이가 각각 a, b, c인 직육면체의 부피는 다음과 같이 계산한다.

:

\iiint_{[0,a]\times[0,b]\times[0,c]}dxdydz = abc

삼각뿔: 밑면이 직각삼각형이고 높이가 h인 삼각뿔(사면체)의 부피는 다음과 같이 계산한다.

:

\iiint_{\{(x,y,z)\colon0\le x,y,z\le x+y+z\le1\}}dxdydz = \frac16

타원 포물면과 원기둥으로 둘러싸인 도형: 타원 포물면 z = x² + y²과 원기둥 x² + y² = a²으로 둘러싸인 도형의 부피는 다음과 같이 계산한다.

:

\iiint_{\{(x,y,z)\colon 0\le z\le x^2+y^2\le a^2\}}dxdydz = \frac23\pi a^3

구와 원뿔로 둘러싸인 도형: 구 x² + y² + z² = a²와 원뿔 z² = (x² + y²)tan²α로 둘러싸인 도형의 부피는 다음과 같이 계산한다.

:

\iiint_{\left\{(x,y,z)\colon\sqrt{x^2+y^2}\cot\alpha\le z\le\sqrt{a^2-x^2-y^2}\right\}}dxdydz = \frac23\pi a^3(1-\cos\alpha)

치환 적분을 이용한 예:복잡한 형태의 영역에 대한 적분은 치환 적분을 이용하여 계산할 수 있다. 예를 들어, 다음 적분을 보자.

:

\iint_{\{(x,y)\colon0\le x,y\le x+y\le1\}}\sqrt\frac{xy}{x+y}dxdy

여기서 다음과 같은 변환을 사용한다.

:

x=r\cos^2\theta

:

y=r\sin^2\theta

이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

:

\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}\cos^2\theta&-r\sin2\theta\\\sin^2\theta&r\sin2\theta\end{vmatrix}=r\sin2\theta

따라서 주어진 이중 적분은 다음과 같이 계산된다.

:

\iint_{\{(x,y)\colon0\le x,y\le x+y\le1\}}\sqrt\frac{xy}{x+y}dxdy=\frac12\int_0^1\sqrt{r^3}dr\int_0^{\frac\pi2}\sin^22\theta d\theta=\frac{\pi}{20}

이상 중적분을 이용한 예:가우스 함수의 적분은 다음과 같은 이상 중적분을 이용하여 계산할 수 있다.

:

\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt\pi}{2}

5. 응용

중적분은 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 주어진 집합에서 함수의 평균값을 계산하는 데 사용될 수 있다. 집합 과 에 대한 적분 가능한 함수 가 주어지면, 해당 영역에서 의 평균값은 다음과 같이 주어진다.

: $\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, dx$

여기서 는 의 측도이다.

역학에서 관성 모멘트는 축으로부터의 거리 제곱으로 가중된 밀도의 부피 적분(삼중 적분)으로 계산된다.^[11]

: $I_z = \iiint_V \rho r^2\, dV$ .

3차원 유클리드 공간 에서의 질량 측도 로 주어진 질량 분포와 관련된 중력 퍼텐셜은 다음과 같다.

: $V(\mathbf{x}) = -\iiint_{\mathbf{R}^3} \frac{G}$

\,dm(\mathbf{y}).

에서 분포의 밀도를 나타내는 연속 함수 가 있어 가 성립하고, 여기서 는 유클리드 부피 요소이면, 중력 퍼텐셜은 다음과 같다.

:

V(\mathbf{x}) = -\iiint_{\mathbf{R}^3} \frac{G}

\,\rho(\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y}.

전자기학에서 맥스웰 방정식은 총 자기장 및 전기장을 계산하기 위해 다중 적분을 사용하여 작성할 수 있다.^[12] 다음 예에서, 부피 전하 밀도 로 주어진 전하 분포에 의해 생성된 전기장은 벡터 함수의 ''삼중 적분''으로 얻는다.

:

\vec E = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint \frac {\vec r - \vec r'}{\left \| \vec r - \vec r' \right \|^3} \rho (\vec r')\, d^3 r'

.

참조

_[1] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks Cole Cengage Learning 2008
_[2] 서적 Multivariable Calculus Cengage Learning 2014
_[3] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw–Hill
_[4] 서적 Lebesgue Integration on Euclidean Space https://archive.org/[...] Jones and Bartlett 2001
_[5] 서적 Calculus, 8th Edition Cengage Learning 2015-05-07
_[6] 서적 An Interactive Introduction to Mathematical Analysis Cambridge
_[7] 학술지 Some applications of the bounded convergence theorem for an introductory course in analysis https://digitalcommo[...] AMS 1987
_[8] 학술지 A finitely additive generalization of the Fichtenholz–Lichtenstein theorem AMS 1974
_[9] 서적 Measure Theory Springer
_[10] 웹사이트 5.4 Triple Integrals - Calculus Volume 3 {{!}} OpenStax https://openstax.org[...] 2016-03-30
_[11] 서적 Classical Mechanics "[[Imperial College Press]]"
_[12] 서적 Classical Electrodynamics https://archive.org/[...] Wiley
_[13] 기타 高木第8章§92定理77など
_[14] 기타 高木第8章§96
_[15] 저널 일단의 중적분을 단적분으로 변환시키는 것에 대한 새로운 증명 http://www.dbpia.co.[...]
_[16] 문서 Multiple integral
_[17] 서적 数学分析. 第三册

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