추적선

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 수학적 표현
- 2.2. 매개변수 방정식
3. 성질
4. 역사
5. 응용
참조

1. 개요

추적선은 한 점이 일정한 길이의 선분으로 연결된 다른 점에 의해 끌려갈 때 그려지는 곡선이다. 추적선은 곡선 위의 점과 접선이 점근선과 만나는 점 사이의 거리가 일정하다는 특징을 가지며, 다양한 방식으로 표현될 수 있다. 수학적으로는 미분방정식과 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있으며, 현수선의 신개선이며, 초월함수 곡선이다. 추적선의 역사와 응용 분야로는 혼 스피커 설계, 판금 성형, 톱니 벨트 풀리 설계 등이 있다.

2. 정의

추적선(Tractrix)은 한 점이 일정한 길이의 선분으로 연결된 다른 점에 의해 끌려갈 때 그려지는 곡선이다. 이는 마치 한 점(끄는 점)이 특정 경로(예: 직선)를 따라 움직일 때, 일정한 길이의 끈이나 막대로 연결된 다른 점(끌려가는 점)이 그리는 자취와 같다.

추적선의 본질적인 특징은 곡선 위의 임의의 점 P와, 그 점에서의 접선이 곡선의 점근선과 만나는 점 사이의 거리가 항상 일정하다는 점이다.

추적선은 다음과 같은 다양한 방식으로 이해될 수 있다.

직선 위에서 미끄러짐 없이 구르는 쌍곡선 나선의 중심이 그리는 자취이다.
완전히 유연하고 비탄성적이며 균질한 끈이 두 점에 연결되어 중력장에 놓일 때 그려지는 현수선( $y(x) = a \cosh(x/a)$ )의 인벌루트이다.
처음에는 차량에 수직인 방향으로 일정한 속도와 방향으로 밧줄에 의해 당겨지는 자동차 뒷바퀴 차축 중앙의 궤적이다.
직선 위를 굴러가는 반지름 $a$ 의 원이 $x$ 축에 중심을 두고 항상 수직으로 교차하는 (비선형) 곡선이다.

이 함수는 수평 점근선을 가지며, 곡선은

y

축에 대해 대칭이다. 곡률 반경은

r = a \cot(x/y)

이다.

추적선은 점근선을 중심으로 회전시켜 얻는 회전면인 유사구 연구에서 중요한 의미를 지닌다. 1868년 에우제니오 벨트라미가 연구한 유사구는 일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 곡면으로, 쌍곡 기하학의 국소적인 모델을 제공한다.^[2] 이 아이디어는 에드워드 카스너와 제임스 뉴먼의 저서 ''상상력과 수학''에서도 다루어졌는데, 책에서는 장난감 기차가 회중시계를 끌고 가며 추적선을 만드는 모습을 보여준다.^[3]

2. 1. 수학적 표현

물체의 처음 위치가

(a, 0)

이고, 물체와 길이

a

의 선분으로 연결된 점이 원점에서 출발해 y축 방향으로 움직인다고 가정하자. 물체가 이동하는 경로인 추적선

y = y(x)

는 매 순간 물체와 끄는 점을 잇는 선분이 추적선의 접선이 된다는 조건으로 결정된다.

물체가 좌표평면 상에서

(x, y)

에 위치할 때, 끄는 점의 y좌표는 피타고라스의 정리에 의해

y + \operatorname{sign}(y)\sqrt{a^2 - x^2}

이다. 여기서

\operatorname{sign}(y)

는 y의 부호를 나타낸다. 물체와 끄는 점을 잇는 선분의 기울기는

\frac{dy}{dx}

와 같아야 하므로, 추적선은 다음의 미분방정식을 만족한다.

:

\frac{dy}{dx} = \pm\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}

이때 초기 조건은

y(a) = 0

이다.

주어진 미분방정식을 풀면 추적선의 해는 다음과 같이 적분 형태로 표현된다.

:

y = \int_x^a \frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt

이 적분을 계산하면 다음과 같은 해를 얻는다.

:

y = \pm\! \left( a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right)

여기서 부호

±

는 끄는 점이 y축의 양의 방향(+)으로 이동하는지, 음의 방향(-)으로 이동하는지에 따라 결정된다.

이 해의 첫 번째 항은 역 쌍곡선 시컨트 함수(

\operatorname{arsech}

)를 사용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

a \operatorname{arsech}\frac{x}{a}

따라서 추적선의 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다.

:

y = \pm\! \left(a \operatorname{arsech}\frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}\right)

양의 부호와 음의 부호에 해당하는 곡선은 모두 첨점

(a, 0)

에서 만난다.

2. 2. 매개변수 방정식

매개변수 표시로 나타내면 다음과 같다.

:

x=\pm a\left(\ln \tan \frac{\theta}{2} + \cos \theta \right),\; y=a\sin \theta, \quad \theta\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right].

이 방정식은 다음과 같은 상황을 묘사한다: 좌표 원점에 주인이 있고, y축 위의 점 (0, ''a'')에 길이 ''a''의 리드로 연결된 개가 있다고 가정하자. 주인이 x축을 따라 이동할 때, 리드줄의 길이가 변하지 않는다고 가정하면 개가 움직이는 궤적이 바로 추적선이다. 여기서 ''θ''는 주인과 개를 잇는 선분과 x축이 이루는 각을 나타낸다. 이러한 이유로 추적선을 '견인선' 또는 '개 곡선'이라고도 부른다.

또는,

\vartheta=\theta - \frac{\pi}{2}

로 치환하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

x=a\left(\operatorname{gd}^{-1}\vartheta - \sin \vartheta \right),\; y=a\cos \vartheta

여기서

\operatorname{gd}^{-1}\vartheta

는 구델만 함수의 역함수이다.

더 나아가,

t=\operatorname{gd}^{-1}\vartheta

로 치환하면 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

x=a\left(t - \tanh t\right),\; y=a\operatorname{sech} t

3. 성질

추적선은 다음과 같은 주요 성질을 가진다.

정의 및 기본 성질:
기하학적 정의에 따라, 추적선 위의 한 점과 그 점에서의 접선이 점근선(x축)과 만나는 점까지의 거리는 항상 일정하다. 이 일정한 거리를 보통 $a$ 로 나타낸다.^[19]^[4]
추적선은 y축에 대해 선대칭이며, x축을 점근선으로 가진다. 첨점은 $(0, a)$ 에 위치한다.
추적선은 초월 곡선으로, 다항 함수로는 표현할 수 없다.^[19]^[4]

매개변수 및 미분 방정식:
추적선은 다음 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다:^[19]^[4]

x = a(t - \tanh(t)), \quad y = a/\cosh(t)

(여기서

a

는 접선 길이 상수이다. 소스에 제시된

x = t - \tanh(t), y= 1/{\cosh(t)}

는

a=1

인 경우에 해당한다.)

추적선은 다음 상미분방정식을 만족한다:

\frac{y}

곡선의 길이 및 면적:
추적선의 한 구간( $y$ 좌표가 $y_1$ 에서 $y_2$ 까지 변하는 부분)의 호의 길이는 $a\ln\frac{y_1}{y_2}$ 이다.^[4]
추적선과 점근선(x축) 사이 영역의 면적은 $\frac{\pi a^2}{2}$ 이다. 이는 반지름이 $a$ 인 원의 넓이의 절반과 같다.^[19]^[4]^[14] 이 면적은 적분이나 마미콘 정리를 이용해 구할 수 있다.^[4]

현수선과의 관계:
추적선의 축폐선(evolute)은 현수선(catenary)이다. 반대로, 현수선의 신개선(involute)은 추적선이다.^[19]^[4]
이때 축폐선이 되는 현수선의 방정식은 $y = a \cosh\frac{x}{a}$ 이다.^[19]^[4]

곡률:
추적선 위의 점에서의 곡률 반경은 $r = a \cot\frac{x}{y}$ 이다.
추적선 위의 첨점 이외의 임의의 점을 $P$ , $P$ 에서의 곡률 중심을 $O$ , 선분 $OP$ 의 연장선과 x축(점근선)과의 교점을 $Q$ 라고 할 때, 선분 $OP$ 와 $PQ$ 의 길이의 곱( $OP \cdot PQ$ )은 항상 $a^2$ 으로 일정하다.^[13]

회전체 (유사구):
추적선을 점근선(x축)을 중심으로 회전시키면 유사구(pseudosphere)라는 회전면이 만들어진다.^[19]^[4]
유사구는 1868년 에우제니오 벨트라미에 의해 연구되었으며, 일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 곡면으로서 쌍곡 기하학의 국소적인 모델을 제공한다.^[2]
이 회전체의 겉넓이는 $4\pi a^2$ (반지름 $a$ 인 구의 겉넓이와 동일)이고,^[16] 부피는 $\frac{2\pi a^3}{3}$ (반지름 $a$ 인 구의 부피의 절반)이다.^[17]

기타 해석:
추적선은 직선 위에서 미끄러짐 없이 구르는 쌍곡선 나선의 중심 자취로도 해석될 수 있다.
또한, 일정한 속도로 직선 운동하는 물체(예: 배)에 길이 $a$ 의 끈으로 연결되어 끌려가는 다른 물체(예: 보트)의 궤적으로 생각할 수 있다 (초기 위치에서 끈은 직선 경로에 수직).^[3]

4. 역사

추적선은 17세기 후반부터 여러 수학자들의 관심을 끌었다.

1692년 10월에서 11월 사이, 크리스티안 호이겐스는 추적선을 그리는 기계 세 대를 고안하여 설명했다.^[11] 이듬해인 1693년에는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 이론적으로 모든 1차 미분 방정식을 적분할 수 있는 "보편적인 견인 기계"를 구상했다.^[8] 이 기계는 추적선의 원리를 이용한 일종의 아날로그 계산 장치였으나, 당시 기술 수준으로는 제작이 어려워 실제로 구현되지는 못했다.

18세기에도 추적선과 관련된 기계 제작 시도가 이어졌다. 1706년 존 퍼크스는 쌍곡선의 면적을 구하는 문제(구적법)를 해결하기 위해 견인 기계를 만들었으며,^[9] 1729년에는 조반니 폴레니가 로그 함수 그래프를 그릴 수 있는 견인 장치를 제작했다.^[10] 이러한 초기 추적선 관련 기계들의 역사는 H. J. M. 보스의 논문에서 자세히 다루어지고 있다.^[11]

19세기에 들어 추적선은 쌍곡 기하학 연구에 중요한 역할을 하게 되었다. 1868년 에우제니오 벨트라미는 추적선을 그 점근선 주위로 회전시켜 얻는 회전면인 유사구를 연구했다.^[2] 그는 유사구가 일정한 음의 가우스 곡률을 가지며, 쌍곡 기하학의 국소적인 모델이 될 수 있음을 증명했다. 이는 비유클리드 기하학의 발전에 중요한 기여를 했다.

5. 응용

1927년, P. G. A. H. 보이그트(P. G. A. H. Voigt)는 혼을 통과하는 파면이 일정한 반경의 구형이라는 가정에 기초하여 혼 스피커 설계를 특허냈다. 이 아이디어는 혼 내부에서 음파의 내부 반사에 의해 발생하는 왜곡을 최소화하기 위한 것으로, 결과적인 모양은 추적선의 회전 표면이다.^[5]

판금 성형 기술에서도 중요한 적용 사례를 찾을 수 있다. 특히, 딥 드로잉 과정에서 판금이 구부러지는 다이의 모서리에 추적선 프로파일이 사용된다.^[6]

또한, 톱니 벨트 풀리 설계에서는 기계적 동력 전달의 효율성을 높이기 위해 치아에 추적선 모양을 사용한다.^[7] 이 모양은 움직이는 치아가 최소한의 미끄러짐으로 맞물리고 분리되도록 하여 벨트 치아가 풀리에 맞물릴 때 발생하는 마찰을 최소화한다. 이는 상당한 미끄러짐과 마찰을 유발했던, 단순한 사다리꼴 또는 원형 치아 모양을 사용한 초기 타이밍 벨트 설계와 대조된다.

참조

_[1] 서적 Mathematics and Its History https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[2] 간행물 A great mathematician of the nineteenth century. Papers in honor of Eugenio Beltrami (1835–1900) (Italian) LED–Ed. Univ. Lett. Econ. Diritto, Milan
_[3] 서적 Mathematics and the Imagination Courier Corporation
_[4] MacTutor Tractrix
_[5] 문서 Horn loudspeaker design pp. 4–5. (Reprinted from Wireless World, March 1974) http://www.volvotret[...]
_[6] 서적 Handbook of Metal Forming McGraw Hill Book Company
_[7] 웹사이트 Gates Powergrip GT3 Drive Design Manual https://www.gates.co[...] 2014
_[8] 서적 From Logic to Practice: Italian Studies in the Philosophy of Mathematics Springer 2014
_[9] 간행물 The construction and properties of a new quadratrix to the hyperbola 1706
_[10] 서적 Epistolarum mathematicanim fasciculus 1729
_[11] 간행물 Recognition and Wonder – Huygens, Tractional Motion and Some Thoughts on the History of Mathematics http://www.gewina.nl[...] 1989
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 서적 Mathematics and Its History https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[19] MacTutor Tractrix

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com