카시미르 원소

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이차 카시미르 원소
- 2.2. 고차 카시미르 원소
3. 성질
4. 대칭 불변 텐서
- 4.1. 대칭 불변 텐서의 구성
- 4.2. 대칭 불변 텐서 간의 관계
5. 예
- 5.1. sl(2)의 경우
- 5.2. so(3)의 경우
6. 역사
참조

1. 개요

카시미르 원소는 체 K 위의 리 대수 g의 보편 포락 대수 U(g)의 중심에 속하는 원소로, 불변 다항식과 관련된다. 이차 카시미르 원소는 킬링 형식과 연관되며, 고차 카시미르 원소는 고차 동차 대칭 다항식에 해당한다. 카시미르 원소는 리 군의 라플라스-벨트라미 연산자와 관련되며, 하리시찬드라 동형과 같은 개념을 통해 표현론과 연결된다. 카시미르 불변량의 개수는 리 대수의 계수와 같으며, 대칭 불변 텐서와도 관련이 있다. 헨드릭 카시미르가 처음 사용했으며, 양자역학 및 리 대수 이론에서 중요한 역할을 한다.

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카시미르 원소
개요
종류	리 대수의 중심의 구별되는 원소
관련 개념	2차 카시미르 연산자
정의
정의	리 대수 mathfrak{g} 의 보편 포락 대수 U(mathfrak{g})의 중심의 원소
성질	리 대수의 표현에서 스칼라로 작용
예시	킬링 형식을 사용하여 구성 가능
응용
물리학	양자역학 입자물리학
용도	양자계의 에너지 준위 결정 입자 분류

2. 정의

체 K 위의 리 대수 g의 보편 포락 대수 U(g)의 환으로서의 중심 Z(U(g))는 g^* 변수의 불변 다항식들의 공간과 같다. (푸앵카레-버코프-비트 정리) 이때, 두 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 동차 불변 다항식에 대응하는 Z(U(g))의 원소를 g의 '''카시미르 원소'''라고 한다.

가장 일반적인 카시미르 불변량은 2차 불변량인데, 이는 정의하기 가장 간단하기 때문이다. 그러나 고차 동차 대칭 다항식에 해당하는 고차 카시미르 불변량도 존재한다.

g가 n차원 리 대수이고, g 위의 비퇴화 이중 선형 형식 B가 g의 수반 작용에 대해 불변(모든 X, Y, Z에 대해 B(ad_XY, Z) + B(Y, ad_X Z) = 0)이라고 하자. (B는 g가 반단순일 경우 킬링 형식을 주로 쓴다.)

{X_i}_i=1ⁿ을 g의 임의의 기저, {Xⁱ}_i=1ⁿ을 B에 대한 g의 쌍대 기저라고 할 때, '''카시미르 원소''' Ω는 U(g)의 원소이며, 다음 공식과 같다.

:Ω = ∑_i=1ⁿ X_i Xⁱ.

Ω는 기저 선택에는 독립적이지만, 이중 선형 형식 B에는 의존한다. B의 불변성은 카시미르 원소가 g의 모든 원소와 교환 가능하며, U(g)의 중심에 속한다는 것을 의미한다.^[2]

2. 1. 이차 카시미르 원소

표수 0의 체

K

위의 단순 리 대수

\mathfrak g

의 킬링 형식

B

는 비퇴화 이차 형식이므로, 그 역행렬

B^{-1}(-,-)

은

\mathfrak g^*

위의 2차 불변 다항식이 되어 카시미르 원소를 이룬다. 이를

\mathfrak g

의 '''이차 카시미르 원소'''(quadratic Casimir element^영어)라고 한다.

K

가 대수적으로 닫힌 체일 때,

B

에 대한 정규 직교 기저를

x_i

라고 하면, 이차 카시미르 원소는 다음과 같다.

:

C=\sum_i x_ix_i\in\operatorname U(\mathfrak g)

단순 리 대수에서 모든 불변 쌍선형 형식은 킬링 형식의 배수이므로, 해당 카시미르 원소는 상수를 제외하고 유일하게 정의된다.^[2]

2. 2. 고차 카시미르 원소

체

K

위의 리 대수

\mathfrak g

의 보편 포락 대수

\operatorname U(\mathfrak g)

의 중심

\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))

에는 고차 동차 대칭 다항식에 해당하는 고차 카시미르 불변량이 존재한다. 모든 카시미르 연산자는

\operatorname{ad}_\mathfrak{g}.

의 수반 표현의 대칭 대수에서 대칭 동차 다항식에 해당한다.

:

C_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} X_i \otimes X_j \otimes \cdots\otimes X_k

여기서

m

은 대칭 텐서

\kappa^{ij\cdots k}

의 차수이고

X_i

는

\mathfrak{g}

의 벡터 공간 기저를 형성한다. 이는 대칭 동차 다항식에 해당한다.

:

c_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} t_i t_j \cdots t_k

다항식 대수

K[t_i, t_j, \cdots ,t_k]

에서

m

개의 미정 변수

t_i

에 대해, 카시미르 원소는 보편 포락 대수의 중심에 속해야 한다. 즉, 모든 기저 원소

X_i

에 대해,

:

[C_{(m)}, X_i] = 0

이다.

해당하는 대칭 텐서

\kappa^{ij\cdots k}

의 관점에서 이 조건은 텐서가 불변이라는 것과 같다.

:

f_{ij}^{\;\; k} \kappa^{jl\cdots m} + f_{ij}^{\;\; l} \kappa^{kj\cdots m} + \cdots + f_{ij}^{\;\; m} \kappa^{kl\cdots j} = 0

여기서

f_{ij}^{\;\; k}

는 리 대수의 구조 상수이다. 즉,

[X_i,X_j]=f_{ij}^{\;\; k}X_k

이다.

3. 성질

카시미르 원소는 그 성질에 따라 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
하리시찬드라 동형표수 0인 체 위에서 정의된 가약 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대해, 하리시찬드라 동형 정리에 따라 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

: $\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g)) \to \operatorname{Sym}(\mathfrak g)^{\operatorname W(\mathfrak g)}$

여기서 우변은 $\mathfrak g$ 로 생성되는 대칭 대수의 원소 중, 바일 군 $\operatorname W(\mathfrak g)$ 의 작용에 대해 불변인 것들의 부분 공간을 의미한다.
라플라스-벨트라미 연산자와의 관계리 군 $G$ 의 리 대수가 반단순 리 대수일 때, 킬링 형식 $B$ 는 준 리만 계량을 정의한다. 이때 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체 $(G,B)$ 의 라플라스-벨트라미 연산자 $\Delta_B$ 와 같게 된다.^[2]

$G$ 가 리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 갖는 콤팩트 리 군이라면, $\mathfrak{g}$ 상의 비퇴화 불변 쌍선형 형식은 $G$ 상의 양방향 불변 리만 메트릭에 대응된다. 이때 $\mathfrak{g}$ 의 보편 포락 대수를 $G$ 상의 좌불변 미분 연산자로 본다면, $\mathfrak{g}$ 상의 쌍선형 형식의 카시미르 원소는 $G$ 의 라플라스-벨트라미 연산자로 변환된다.^[2]
표현론과의 관계라카의 정리에 따르면,^[3] 반단순 리 대수의 보편 포락 대수의 중심의 차원은 그 계수와 같다. 카시미르 연산자는 일반적인 반단순 리 군에서 라플라시안의 일반화된 개념을 제공하지만, 계수가 1보다 큰 경우에는 라플라시안과 정확히 일치하는 대상은 없다.

슈어의 보조정리에 따르면, 리 대수의 모든 기약 표현에서 카시미르 원소는 항등원에 비례한다. 따라서 모든 카시미르 원소의 고윳값은 리 대수(그리고 그 리 군)의 표현을 분류하는 데 사용될 수 있다.^[4]

물리적 질량과 스핀은 이러한 고윳값의 예시이며, 양자역학에서 나타나는 다른 많은 양자수 역시 마찬가지이다.

3. 1. 하리시찬드라 동형

만약

\mathfrak g

가 ((대수적으로 닫힌 체일 필요가 없는) 표수 0의 체 위의 가약 리 대수일 경우, '''하리시찬드라 동형'''(Harish-Chandra isomorphism^영어)에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:

\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g)) \to \operatorname{Sym}(\mathfrak g)^{\operatorname W(\mathfrak g)}

여기서 우변은

\mathfrak g

로 생성되는 대칭 대수의 원소 가운데, 바일 군

\operatorname W(\mathfrak g)

의 작용에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다.

3. 2. 라플라스-벨트라미 연산자

리 군

G

의 리 대수가 반단순 리 대수일 때, 킬링 형식

B

는 준 리만 계량을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체

(G,B)

의 라플라스-벨트라미 연산자

\Delta_B

와 같다.^[2]

만약

G

가 리 대수

\mathfrak{g}

를 갖는 콤팩트 리 군이라면,

\mathfrak{g}

상의 비퇴화 불변 쌍선형 형식의 선택은

G

상의 양방향 불변 리만 메트릭의 선택에 해당한다. 그러면

\mathfrak{g}

의 보편 포락 대수를

G

상의 좌불변 미분 연산자로 식별하면,

\mathfrak{g}

상의 쌍선형 형식의 카시미르 원소는

G

의 라플라스-벨트라미 연산자로 매핑된다.^[2]

3. 3. 표현론과의 관계

라카의 정리에 따르면,^[3] 반단순 리 대수의 보편 포락 대수의 중심의 차원은 그 계수와 같다. 카시미르 연산자는 일반적인 반단순 리 군에서 라플라시안의 개념을 제공하지만, 계수가 1보다 클 경우 라플라시안에 대한 고유한 유사체는 존재하지 않는다.

정의에 따르면 보편 포락 대수의 중심에 속하는 모든 원소는 대수의 다른 모든 원소와 교환한다. 슈어의 보조정리에 따르면, 리 대수의 모든 기약 표현에서 카시미르 원소는 항등원에 비례한다. 모든 카시미르 원소의 고유값은 리 대수(그리고 그 리 군)의 표현을 분류하는 데 사용될 수 있다.^[4]

물리적 질량과 스핀은 이러한 고유값의 예이며, 양자역학에서 발견되는 많은 다른 양자수도 마찬가지이다.

4. 대칭 불변 텐서

차수 $m$ 의 카시미르 원소는 $C_{(m)} = \kappa^{i_1i_2\cdots i_m} X_{i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m}$ 을 통해 동일한 차수의 대칭 불변 텐서에 해당한다. 카시미르 원소를 구성하고 연관시키는 것은 대칭 불변 텐서에 대해 동일한 작업을 수행하는 것과 같다.^[10]

4. 1. 대칭 불변 텐서의 구성

대칭 불변 텐서는 정의 표현에서 대칭화된 대각합으로 구성될 수 있다.^[10]

:

k^{(m)}_{i_1i_2\cdots i_m} = \text{Tr}\left(X_{(i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m)}\right)

여기서 지수는 킬링 형식에 의해 올리고 내려지며 모든 순열에 대해 대칭화된다.

또한 다음과 같은 유형의 반대칭 불변 텐서로부터 대칭 불변 텐서를 구성하는 것도 가능하다.

:

\Omega^{(2m-1)}_{i_1i_2\cdots i_{2m-1}} = f_{i_1[i_2}^{j_1} \cdots f^{j_{m-1}}_{i_{2m-3}i_{2m-2}]} k^{(m)}_{j_1\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}

대칭 불변 텐서^[9]

:

t_{i_1i_2\cdots i_m}^{(m)} = \Omega^{(2m-1)}_{j_1j_2\cdots j_{2m-2} i_m} f_{i_1}^{j_1j_2}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}

는

m>2

에 대해 무대각합이다. 이러한 불변 텐서는

n>m

인 경우

t^{(m)}_{i_1i_2\cdots i_m} \left(t^{(n)}\right)^{i_1i_2\cdots i_m i_{m+1}\cdots i_n} = 0

과 같은 의미에서 서로 직교한다.

단순 리 대수

A_l=\mathfrak{sl}_{l+1}

의 경우, 정의 표현에서 다음과 같이 3차 완전 대칭 텐서

d_{ijk}

를 도입한다.

:

X_iX_j = \frac{2}{\ell+1} \delta_{ij} + f_{ij}^k X_k + d_{ij}^k X_k

그러면 Sudbery 대칭 불변 텐서는 다음과 같다.^[10]

:

d^{(2)}_{i_1i_2} = \delta_{i_1i_2}

:

d^{(3)}_{i_1i_2i_3} = d_{i_1i_2i_3}

:

d^{(4)}_{i_1i_2i_3i_4} = d_{(i_1i_2}{}^j d_{i_3i_4)j}

:

d^{(5)}_{i_1i_2i_3i_4i_5} = d_{(i_1i_2}{}^j d^j{}_{i_3}{}^kd_{i_4i_5)k}

4. 2. 대칭 불변 텐서 간의 관계

랭크가

r

인 단순 리 대수의 경우,

r

개의 대수적으로 독립적인 대칭 불변 텐서가 존재한다. 따라서 이러한 텐서는

r

개의 주어진 텐서로 표현될 수 있다. 대칭 불변 텐서 간의 완전한 항등식 집합을 도출하는 체계적인 방법이 있다.^[10]

리 대수

A_l

의 경우, 대칭 불변 텐서

t^{(m)}

은

t^{(m>l+1)}=0

을 따른다.^[9] 이 텐서를

d^{(m)}

또는

k^{(m)}

과 같은 다른 계열로 다시 표현하면 이러한 다른 계열 내에서 자명하지 않은 관계가 발생한다. 예를 들어, Sudbery 텐서

d^{(m>l+1)}

은

d^{(2)},\cdots , d^{(l+1)}

으로 표현될 수 있으며 다음과 같은 유형의 관계가 있다.^[9]

:

d^{(4)}_{i_1i_2i_3i_4}\ \underset{l=2}{=}\ \frac13\delta_{(i_1i_2}\delta_{i_3i_4)}

:

d^{(5)}_{i_1i_2i_3i_4i_5}\ \underset{l=2}{=}\ \frac13 d_{(i_1i_2i_3}\delta_{i_4i_5)}

:

d^{(5)}_{i_1i_2i_3i_4i_5}\ \underset{l=3}{=}\ \frac23 d_{(i_1i_2i_3}\delta_{i_4i_5)}

구조 상수 역시 대칭 불변 텐서와 직접적으로 관련되지 않은 항등식을 따른다. 예를 들어^[8]

:

3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ \underset{l=2}{=}\ \delta_{ac}\delta_{bd}+\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}

5. 예

리 대수 $\mathfrak{sl}_2 (\mathbb{C})$ 는 대각합이 0인 2x2 복소수 행렬로 구성되며, 표준 기저 원소 $e$ , $f$ , $h$ 를 사용하여 나타낼 수 있다. 이때 카시미르 원소는 다음과 같이 주어진다.

: $\Omega = ef + fe + \frac{1}{2}h^2 = \frac{1}{2}h^2 + h + 2fe = \frac{3}{2}I_2.$

리 대수 $\mathfrak{so}(3)$ 는 3차원 유클리드 공간의 회전군 SO(3)의 리 대수이며, 하나의 독립적인 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 대수의 생성원 $L_x,\, L_y,\, L_z$ 의 제곱의 합으로 주어지며, 양자역학에서 총 각운동량 양자수 $\ell$ 과 다음과 같은 관계를 갖는다.^[6]

: $L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = \ell(\ell + 1)I.$

$\ell$ 은 정수 또는 반정수 값을 가지며, 주어진 $\ell$ 값에 대해 행렬 표현은 $(2\ell + 1)$ 차원을 갖는다. 예를 들어, $\mathfrak{so}(3)$ 에 대한 3차원 표현은 $\ell = 1$ 에 해당하며, 이 경우 이차 카시미르 불변량은 다음과 같이 계산된다.^[7]

: $L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = 2\begin{pmatrix}1& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 1\end{pmatrix}$

이는 카시미르 연산자의 고유값이 리 대수의 기약 표현을 분류하는 데 사용됨을 의미한다.

5. 1. sl(2)의 경우

리 대수

\mathfrak{sl}_2 (\mathbb{C})

는 대각합이 0인 2x2 복소수 행렬로 구성된다. 표준 기저 원소

e

,

f

,

h

는 다음과 같다.

:

\begin{align}e &= \begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}, &f &= \begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}, &h &= \begin{bmatrix}1 &  0\\0 & -1\end{bmatrix}.\end{align}

교환자는 다음과 같다.

:

\begin{align}[][e, f] &=   h, &[h, f] &= -2f, &[h, e] &=  2e.\end{align}

카시미르 원소는 다음과 같다.

:

\Omega = ef + fe + \frac{1}{2}h^2 = \frac{1}{2}h^2 + h + 2fe = \frac{3}{2}I_2.

5. 2. so(3)의 경우

리 대수

\mathfrak{so}(3)

는 3차원 유클리드 공간의 회전군 SO(3)의 리 대수이다. 이는 랭크 1의 단순 리 대수이므로, 하나의 독립적인 카시미르 불변량을 갖는다. 회전군의 킬링 형식은 단순히 크로네커 델타이므로, 카시미르 불변량은 대수의 생성원

L_x,\, L_y,\, L_z

의 제곱의 합이다. 즉, 카시미르 불변량은 다음과 같이 주어진다.^[6]

:

L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2.

L_z

의 가장 큰 고유값이

\ell

인

\mathfrak{so}(3)

의 기약 표현을 고려해 보자. 여기서

\ell

의 가능한 값은

0,\, \frac{1}{2},\, 1,\, \frac{3}{2},\, \ldots

이다. 카시미르 연산자의 불변성은 이 연산자가 항등 연산자

I

의 배수임을 의미한다. 이 상수는 명시적으로 계산할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다.^[6]

:

L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = \ell(\ell + 1)I.

양자역학에서 스칼라 값

\ell

은 총 각운동량 양자수라고 한다. 회전군의 유한 차원 행렬값 표현의 경우,

\ell

은 항상 정수 값(보손 표현) 또는 반정수 값(페르미온 표현)을 갖는다.

주어진

\ell

값에 대해, 행렬 표현은

(2\ell + 1)

차원이다. 따라서, 예를 들어

\mathfrak{so}(3)

에 대한 3차원 표현은

\ell = 1

에 해당하며, 생성원은 다음과 같다.^[7]

:

\begin{align}L_x &=i\begin{pmatrix}0& 0&  0\\0& 0& -1\\0& 1&  0\end{pmatrix}; &L_y &=i\begin{pmatrix}0& 0& 1\\0& 0& 0\\

1& 0& 0

\end{pmatrix}; &L_z &=i\begin{pmatrix}0& -1& 0\\1& 0& 0\\0& 0& 0\end{pmatrix},\end{align}

여기서

i

의 인수는 생성원이 반 자기 수반 연산자가 되어야 한다는 물리학적 관례와 일치시키기 위해 필요하다.

이차 카시미르 불변량은 손쉽게 직접 계산할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

:

L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = 2\begin{pmatrix}1& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 1\end{pmatrix}

\ell = 1

일 때

\ell(\ell + 1) = 2

이기 때문이다.

이것은 카시미르 연산자의 고유값이 리 대수(및 관련 리 군)의 기약 표현을 분류하는 데 사용된다는 의미이다. 즉, 리 대수의 두 기약 표현은 카시미르 원소가 동일한 고유값을 갖는 경우에만 서로 동등하다. 이 경우,

\mathfrak{so}(3)

의 기약 표현은

\ell

의 값, 또는 이와 동등하게

\ell(\ell + 1)

의 값에 의해 완전히 결정된다.

마찬가지로, 2차원 표현은 파울리 행렬에 의해 주어지는 기저를 가지며, 이는 스핀 에 해당하며, 카시미르에 대한 공식도 직접 계산하여 다시 확인할 수 있다.

6. 역사

헨드릭 카시미르가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서 $\mathfrak{so}(3)$ 의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.^[11]^[12] 하리시찬드라 메로트라가 하리시찬드라 동형을 도입하였다.

참조

_[1] 서적 The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world https://archive.org/[...] Springer
_[2] 문서 Proposition 10.5
_[3] 서적 Group theory and spectroscopy Springer Berlin Heidelberg 1965
_[4] 강연 Universal enveloping algebras and some applications in physics http://www.ulb.ac.be[...]
_[5] 문서 Proposition 10.6
_[6] 문서 Proposition 17.8
_[7] 문서 Proposition 17.3
_[8] 학술지 Useful relations among the generators in the defining and adjoint representations of SU(N) 2019-12-31
_[9] 학술지 Invariant tensors for simple groups 1997-06-03
_[10] 학술지 Invariant tensors and Casimir operators for simple compact Lie groups
_[11] 서적 The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2004
_[12] 서적 Rotation of a rigid body in quantum mechanics http://ilorentz.org/[...] J. B. Wolters’ Uitgevers-Maatschappĳ N.V. 1931

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