칼레손의 정리

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1. 개요
2. 역사
3. 카르레손 정리의 내용
- 3.1. 푸리에 급수에 대한 정리
- 3.2. 푸리에 변환에 대한 정리
4. 칼레손 연산자
참조

1. 개요

칼레손의 정리는 푸리에 급수의 수렴성에 대한 중요한 정리로, 1966년 렌나르트 칼레손이 증명했다. 이 정리는 L^p 함수(1 < p < ∞)의 푸리에 급수가 거의 모든 점에서 원래 함수로 수렴한다는 것을 보이며, 푸리에 급수가 수렴하지 않는 연속 함수의 존재를 밝힌 뒤 부진했던 푸리에 급수 연구에 큰 진전을 가져왔다. 칼레손의 증명은 복잡하여 여러 수학자들이 단순화된 증명을 제시했으며, 리처드 헌트는 칼레손의 정리를 p > 1인 경우로 확장했다.

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칼레손의 정리
칼레손의 정리
분야	수학, 조화 해석
증명	레나르트 칼레손(1966), 리처드 헌트(1968)
내용
내용	'L²에서의 푸리에 급수 점별 수렴 (레나르트 칼레손)' 'L^p에서의 푸리에 급수 점별 수렴 (p ∈ (1, ∞)) (리처드 헌트)'

2. 역사

푸리에가 19세기 초 푸리에 급수를 발견한 이래, 특정 조건 아래에서 함수의 푸리에 급수가 원래 함수로 점마다 수렴하는지에 대한 문제는 오랫동안 수학계의 중요한 문제였다. 초기에는 디리클레를 비롯한 여러 수학자들이 연속 함수의 푸리에 급수는 항상 수렴할 것이라고 추측했으나, 1876년 파울 뒤 부아레몽이 발산하는 연속 함수의 예를 발견하면서 이 추측은 반증되었다.

이후 연구는 특정 함수 공간에서의 수렴 문제로 초점이 옮겨갔다. 1915년 니콜라이 루진은 L² 함수(제곱해서 적분 가능한 함수)의 푸리에 급수는 거의 모든 곳에서 원래 함수로 수렴할 것이라는 '루진의 추측'을 제시했다. 반면, 콜모고로프는 L¹ 함수(절댓값을 적분 가능한 함수) 중에서는 거의 모든 점에서 발산하거나 모든 점에서 발산하는 푸리에 급수를 갖는 함수가 존재함을 보여, 루진의 추측이 모든 함수 공간에서 성립하지는 않음을 밝혔다.

수십 년간 루진의 추측은 미해결 상태로 남아 있었으며, 일부 전문가들은 추측이 거짓일 수도 있다고 생각했다. 그러나 1966년 칼레손이 L² 함수에 대한 루진의 추측이 참임을 증명하면서 이 오랜 난제를 해결했다. 칼레손의 증명은 매우 복잡하고 어려운 것으로 알려져 있다.

칼레손의 증명 이후, 리처드 헌트는 1968년 이 결과를 ''p'' > 1인 L^''p'' 공간으로 확장했으며, 이후에도 푸리에 급수의 수렴 조건, 발산 집합의 특성, 더 일반적인 함수 공간으로의 확장, 여러 변수로의 일반화 등 다양한 방향으로 연구가 이어졌다. 칼레손의 정리는 푸리에 해석 분야의 중요한 이정표로 평가받는다.

2. 1. 푸리에 급수의 등장과 초기 연구

19세기 초 푸리에가 푸리에 급수를 발견한 이래, 연속 함수의 푸리에 급수가 원래 함수로 점마다 수렴하는지에 대한 질문은 오랫동안 해결되지 않은 중요한 문제였다.

함수에 더 강한 조건을 가정하면 푸리에 급수가 모든 점에서 수렴함을 비교적 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, 함수가 유계 변동 함수라면 그 푸리에 급수는 모든 점에서 원래 함수의 국소적 평균값으로 수렴한다. 또한, 함수가 연속 미분 가능 함수일 경우, 푸리에 급수는 모든 점에서 원래 함수 자체로 수렴한다. 이를 증명한 디리클레는 이 결과가 모든 연속 함수에 대해서도 성립할 것이라는 기대를 나타냈다.

모든 점에서 수렴하도록 하는 또 다른 방법은 급수를 합하는 방식을 바꾸는 것이다. 예를 들어, 페예르의 정리에 따르면 일반적인 합 대신 체사로 합을 사용하면, 연속 함수의 푸리에 급수는 원래 함수로 균등수렴한다. 또한, ''L''² 노름을 기준으로 보면 ''L''² 함수의 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴한다는 사실도 쉽게 증명될 수 있다.

디리클레의 연구 이후, 리만, 바이어슈트라스, 데데킨트를 포함한 여러 수학자들은 모든 연속 함수의 푸리에 급수가 모든 점에서 원래 함수로 수렴할 것이라고 추측했다. 그러나 이러한 기대는 1876년 파울 뒤 부아레몽에 의해 깨졌다. 그는 푸리에 급수가 특정 한 점에서 발산하는 연속 함수가 존재함을 실제로 보여주었다.

2. 2. 반례의 등장과 루진의 추측

푸리에가 19세기 초 푸리에 급수를 발견한 이래, 연속 함수의 푸리에 급수가 원래 함수로 점마다 수렴하는지에 대한 질문은 오랫동안 해결되지 않았다. 디리클레, 리만, 바이어슈트라스, 데데킨트를 포함한 여러 수학자들은 모든 연속 함수의 푸리에 급수가 모든 점에서 원래 함수로 수렴할 것이라고 추측했다.

그러나 1876년, 파울 뒤 부아레몽(Paul du Bois-Reymond)이 푸리에 급수가 특정 한 점에서 발산하는 연속 함수가 존재함을 보이면서 이러한 추측은 거짓으로 밝혀졌다. 이는 함수의 연속성이라는 조건만으로는 푸리에 급수의 점마다 수렴을 보장할 수 없음을 의미했다.

이후 연구의 초점은 다른 함수 공간으로 옮겨갔다. 1915년 니콜라이 루진은 ''L''² 함수(제곱해서 르베그 적분 가능한 함수)의 푸리에 급수는 거의 모든 점에서 원래 함수로 수렴할 것이라는 추측을 제시했다. 이 문제는 이후 '루진의 추측'으로 알려지게 되었다.

한편, 콜모고로프는 1923년에 거의 모든 곳에서 푸리에 급수가 발산하는 ''L''¹ 함수(절댓값을 르베그 적분 가능한 함수)의 예를 발견하였고, 1926년에는 모든 점에서 발산하는 예를 찾아냈다. 이는 ''L''² 함수에 대한 루진의 추측이 ''L''¹ 함수 공간에서는 성립하지 않음을 보여주었다.

칼레손의 정리가 증명되기 전까지, ''L''^''p'' 함수의 푸리에 급수 부분합 ''s''_''n''에 대해 알려진 가장 좋은 결과는 거의 모든 곳에서 다음과 같았다.

:

s_n(x)=o( \log (n)^{1/p})

이는 ''p'' = 2일 때 콜모고로프, 셀리베르스토프, 플레스너가, ''p'' = 1일 때 하디가, ''p'' > 1일 때 리틀우드와 페일리가 증명한 결과였다. 이 결과는 수십 년간 개선되지 않았고, 콜모고로프의 ''L''¹ 반례 등의 영향으로 일부 전문가들은 루진의 추측이 거짓일 수도 있다고 생각하게 되었다. 칼레손 자신도 처음에는 루진 추측의 반례가 되는 연속 함수를 찾으려 했으나 실패했고, 이후 추측이 참일 것이라 확신하고 증명을 시도하게 되었다.

2. 3. 카르레손의 증명과 확장

1915년에 니콜라이 루진은 L² 함수의 푸리에 급수가 거의 모든 점에서 원래 함수로 수렴할 것이라는 추측을 제시하였다. 이 문제는 칼레손이 1966년에 증명하기 전까지 ‘루진의 추측’으로 알려져 있었다. 1923년에 콜모고로프는 거의 모든 곳에서 푸리에 급수가 발산하는 L¹ 함수의 예를 발견하였고 (1926년에는 모든 곳에서 발산하는 예를 발견했다), 이는 L¹ 공간에서는 카르레손 정리와 같은 결과가 성립하지 않음을 보였다.

칼레손의 정리 이전까지 L^''p'' 함수의 푸리에 급수의 부분합 ''s''_''n''에 대해 알려진 가장 좋은 추정값은 다음과 같았다.

s_n(x)=o( \log (n)^{1/p})\text{ 거의 모든 곳에서}.

이는 콜모고로프·셀리베르스토프·플레스너가 ''p'' = 2인 경우를 보였고, 하디가 ''p'' = 1인 경우를, 리틀우드·페일리가 ''p'' > 1인 경우를 보였다. 이후 수십 년간 이 문제는 진척이 없었으며, 몇몇 전문가들은 루진의 추측이 거짓일지도 모른다고 생각하게 되었다. 칼레손은 인터뷰에서 처음에는 루진의 추측에 반례가 되는 연속함수를 찾으려 했으나 실패했다고 밝혔다. 그는 루진의 추측이 참일 것이라 확신하고 증명하기로 마음먹었다.

1966년, 칼레손은 마침내 L² 함수의 푸리에 급수가 거의 모든 점에서 원래 함수로 수렴함을 증명하여 루진의 추측을 해결했다. 칼레손의 원래 증명은 매우 난해한 것으로 알려져 있으며, 여러 수학자들이 증명을 단순화하려 노력했지만 여전히 쉬운 증명은 없는 상태이다.

1968년에 리처드 헌트는 칼레손의 정리가 ''p'' > 1인 L^''p'' 공간에서도 성립함을 보였다. 헌트 자신은 이 증명이 칼레손의 증명을 rather obvious|다소 뻔하게^영어 확장한 것이라고 언급했다.

칼레손의 원 논문에 대한 해설은 카한, 모조키, 예르스보에와 메일브로, 아리아스 데 레이나 등이 발표했다. 페퍼먼은 1973년에 최대 연산자를 이용하여 헌트의 확장에 대한 새로운 증명을 제시했고, 이는 다시 마이클 레이시와 크리스토프 틸레가 2000년에 발표한 훨씬 단순화된 L² 결과 증명으로 이어졌다. 프렘린과 그라파코스의 저서에도 카르레손 정리의 증명이 실려 있다.

카츠넬슨은 1966년에 측도가 0인 임의의 집합에 대해, 푸리에 급수가 정확히 그 집합의 모든 점에서 발산하는 연속 주기 함수가 존재함을 보였다. 이는 카르레손의 정리와 결합하여, 푸리에 급수가 주어진 실수 집합의 모든 점에서 발산하는 연속 함수가 존재하기 위한 필요충분조건이 그 집합의 측도가 0이라는 것을 의미한다.

카르레손의 결과는 셸린(Sjölin, 1971)에 의해 공간 ''L''log₊(''L'')log₊log₊(''L'')로, 안토노프(Antonov, 1996)에 의해 공간 ''L''log₊(''L'')log₊log₊log₊(''L'')로 더욱 개선되었다. (여기서 log₊(''L'')는 ''L'' > 1이면 log(''L'')이고 그렇지 않으면 0이며, 함수 ''φ''에 대해 ''φ''(''L'')는 ''φ''(|''f''(''x'')|)가 적분 가능한 함수 ''f''의 공간을 나타낸다.)

코냐긴(Konyagin, 2000)은 ''L''log₊(''L'')^1/2보다 약간 더 큰 공간에서 모든 곳에서 발산하는 푸리에 급수를 갖는 함수를 찾아 콜모고로프의 반례를 개선했다. 이는 푸리에 급수가 거의 모든 곳에서 수렴하는 가장 큰 자연스러운 함수 공간이 ''L''log₊(''L'')일 수 있다는 추측과 관련이 있다.

카르레손 정리를 여러 변수의 푸리에 급수 및 적분으로 확장하는 것은 계수를 합산하는 방식(예: 증가하는 공 또는 직사각형)이 다양하기 때문에 더 복잡하다. 직사각형 부분합(및 일반적인 다각형 부분합)의 수렴은 1차원 경우로부터 유도될 수 있지만, 구면 합산 문제의 경우 L²에 대해서도 여전히 미해결 상태이다.

2. 4. 추가 연구 및 발전

칼레손의 증명 이후, 여러 수학자에 의해 관련 연구가 진행되고 발전되었다.

1968년 리처드 헌트(Richard Hunt)는 칼레손의 정리가 ''p'' > 1인 L^''p'' 공간에서도 성립함을 증명했다. 그는 자신의 증명이 칼레손의 증명을 "다소 뻔하게"(rather obvious^영어) 확장한 것이라고 언급했다.

이츠하크 카츠넬슨(Yitzhak Katznelson)은 1966년에 측도가 0인 임의의 집합에 대해, 그 집합의 모든 점에서 푸리에 급수가 발산하는 연속 함수가 존재함을 보였다. 이를 칼레손의 정리와 결합하면, 주어진 실수 집합 위에서 푸리에 급수가 모든 점에서 발산하는 연속 함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 그 집합의 측도가 0이라는 것을 알 수 있다.

칼레손의 결과는 더 넓은 함수 공간으로 확장되었다. 1971년 페르 숄린(Per Sjölin)은 칼레손의 정리가 ''L''log₊(''L'')log₊log₊(''L'') 공간에서도 성립함을 보였고, 1996년 니콜라이 안토노프(Nikolai Yu. Antonov)는 이를 ''L''log₊(''L'')log₊log₊log₊(''L'') 공간까지 확장했다. 여기서 log₊(''L'')은 ''L'' > 1일 때 log(''L'')이고, 그 외에는 0을 의미하며, ''φ''(''L'') 표기는 함수 ''f''에 대해 ''φ''(abs(''f''(''x'')))가 적분 가능한 함수 공간을 나타낸다.

한편, 콜모고로프가 제시했던 L¹ 함수에 대한 반례 역시 개선되었다. 2000년 세르게이 코냐긴(Sergei V. Konyagin)은 ''L''log₊(''L'')^1/2보다 약간 더 큰 공간에서 모든 곳에서 발산하는 푸리에 급수를 갖는 함수를 구성함으로써 콜모고로프의 결과를 발전시켰다. 안토노프와 코냐긴의 결과는 푸리에 급수가 거의 모든 곳에서 수렴하는 가장 큰 자연스러운 함수 공간이 무엇인지에 대한 질문을 제기하며, 가장 유력한 후보로는 ''L''log₊(''L'') 공간이 거론된다.

칼레손의 정리를 여러 변수의 푸리에 급수나 푸리에 적분으로 확장하는 문제는 더 복잡하다. 이는 여러 변수에서는 급수의 항들을 합산하는 방식(예: 증가하는 공 모양 영역 또는 증가하는 직사각형 모양 영역으로 합산)이 다양하기 때문이다. 직사각형 모양 영역에 대한 부분합(더 일반적으로는 다각형 모양 영역에 대한 부분합)의 수렴 문제는 1차원의 경우로부터 유도될 수 있지만, 공 모양 영역에 대한 부분합 문제(구면 합산 문제)는 L² 공간에 대해서조차 아직 해결되지 않은 상태로 남아 있다.

칼레손의 원래 증명은 매우 난해한 것으로 알려져 있으며, 이후 여러 수학자들이 증명을 단순화하려는 노력을 기울였다. 페퍼먼은 1973년에 최대 연산자를 이용한 새로운 증명을 제시했고, 이는 다시 마이클 레이시(Michael Lacey)와 크리스토프 틸레(Christoph Thiele)가 2000년에 L² 경우에 대한 훨씬 더 간결한 증명을 내놓는 계기가 되었다.

3. 카르레손 정리의 내용

칼레손의 정리는 특정 함수 공간에 속하는 함수의 푸리에 급수 또는 푸리에 변환의 부분합(또는 부분적분)이 거의 모든 점에서 원래 함수로 수렴한다는 것을 보이는 중요한 결과이다.

푸리에 급수에 대한 칼레손 정리의 내용은 다음과 같다. $p$ 가 1보다 큰 실수 ( $p \in (1, \infty)$ )일 때, 함수 $f$ 가 $\operatorname L^p$ 공간에 속하는 주기함수이고 푸리에 계수 $\hat{f}(n)$ 를 가지면, 거의 모든 점 $x$ 에서 다음 등식이 성립한다.

$\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{|n| \leq N} \hat{f}(n) e^{inx} = f(x)$

또한, 푸리에 변환에 대해서도 유사한 결과가 성립한다. $p$ 가 1보다 크고 2보다 작거나 같은 실수 ( $p \in (1, 2]$ )일 때, 함수 $f$ 가 L^p(ℝ)에 속하고 푸리에 변환 $\hat{f}(\xi)$ 를 가지면, 거의 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음 식이 성립한다.

$\lim_{R \rightarrow \infty} \int_$

3. 1. 푸리에 급수에 대한 정리

p

가 1보다 큰 실수 (

p \in (1, \infty)

)일 때, 함수

f

가

\operatorname L^p

공간에 속하는 주기함수이고,

f

의 푸리에 계수를

\hat{f}(n)

이라고 하자. 이때

f

의 푸리에 급수의 부분합은 다음과 같이 정의된다.

S_N(f)(x) = \sum_{|n| \leq N} \hat{f}(n) e^{inx}

칼레손의 정리는 이 푸리에 급수의 부분합이

N

이 무한대로 갈 때 거의 모든 점

x

에서 원래 함수

f(x)

로 수렴한다는 것을 보여준다. 즉, 거의 모든

x

에 대해 다음 등식이 성립한다.

\lim_{N \rightarrow \infty} S_N(f)(x) = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_

3. 2. 푸리에 변환에 대한 정리

푸리에 적분에 대한 유사한 결과는 다음과 같다.

p \in (1, 2]

일 때, 함수

f

가 L^p(ℝ)에 속하고 푸리에 변환

\hat{f}(\xi)

를 갖는다고 하자. 그러면 거의 모든

x \in \mathbb{R}

에 대해 다음 식이 성립한다.

\lim_{R \rightarrow \infty} \int_

4. 칼레손 연산자

칼레손 연산자 ''C''는 다음과 같이 정의되는 비선형 연산자이다.

Cf(x) = \sup_N\left|\int_{-N}^N \hat f(y)e^{2\pi i xy} \, dy\right|

칼레손-헌트 정리는 1 < ''p'' < ∞ 에 대해 칼레손 연산자가 ''L''^''p''('''R''')에서 자기 자신으로 가는 유계라는 사실로부터 비교적 쉽게 유도할 수 있다. 그러나 이 유계임을 증명하는 것은 매우 어려우며, 실제로 칼레손이 증명한 것이 바로 이 사실이다.

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