킨친 상수

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1. 개요
2. 표현
3. 성질
- 3.1. 킨친의 증명 (개요)
- 3.2. 일반화
4. 미해결 문제
참조

1. 개요

킨친 상수는 다음과 같은 무한 곱으로 표현되는 수학 상수이다.

$K_0=\prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r}$

이 상수는 연분수와 관련된 에르고딕 이론을 사용하여 증명되었으며, 여러 가지 적분과 급수 표현을 갖는다. 킨친 상수의 대수적 성질과 특정 숫자들의 연분수 계수 기하 평균과의 관계는 아직 미해결 문제로 남아 있다.

2. 표현

킨친 상수는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $K_{-1}=1.74540566240\dots$ ^[1]

: $K_{-2}=1.45034032849563 \dots$ ^[2]

: $K_{-3}=1.3135070786879 \dots$ ^[3]

일반화하면,

: $K_{p}=\left[\sum_{k=1}^\infty -k^p \log_2\left( 1- \frac{1}{(k+1)^2} \right) \right]^{1\over p}$

: $\;\;\; =\left[\frac{1}{\ln 2} \sum_{k=1}^{\infty} k^p \ln \left( 1+ \frac{1}{k(k+2)} \right) \right]^{1\over p}$

2. 1. 무한곱 표현

킨친 상수는 다음과 같은 무한곱으로 표현될 수 있다.

:

K = \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k^2+2k}\right)}^{\log_2 k}= \prod_{k=1}^\infty k^{\log_{2}^{}\left( 1+{1\over k^2+2k}\right) }

:

K = \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k(k+2)}\right)}^{\log_2 k}  =  \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k(k+2)}\right)}

:

K = \sum_{s=1}^\infty \sum_{k=1}^{2s-1} \over{k}}

:

K = exp \left( \sum_{k=1}^{\infty} \right)

여기서

H

는 조화수,

\zeta

는 리만 제타 함수이다.

킨친 상수는 다음의 무한 곱으로 나타낼 수 있다.

:

K_0=\prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r}

이는 다음을 의미한다.

:

\ln K_0=\sum_{r=1}^\infty \ln{\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}{\log_2 r}

킨친 상수는 또한 다음과 같은 형태의 유리 제타 급수로 표현될 수 있다.^[1]

:

\ln K_0 = \frac{1}{\ln 2} \sum_{n=1}^\infty\frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

혹은 급수의 항을 벗겨내어,

:

\ln K_0 = \frac{1}{\ln 2} \left[

\sum_{k=2}^N \ln \left(\frac{k-1}{k} \right) \ln \left(\frac{k+1}{k} \right)

+ \sum_{n=1}^\infty\frac {\zeta (2n,N+1)}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\right]

여기서 ''N''은 고정된 정수이며, ζ(''s'', ''n'')는 복소 Hurwitz zeta 함수이다. 두 급수 모두 매우 수렴하며, ζ(''n'') − 1은 큰 ''n''에 대해 빠르게 0에 접근한다. 이중 대수를 사용하여 다음과 같은 전개를 할 수도 있다.

:

\ln \frac{K_0}{2} = \frac{1}{\ln 2} \left[\mbox{Li}_2 \left( \frac{-1}{2} \right) +\frac{1}{2}\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mbox{Li}_2 \left( \frac{4}{k^2} \right)\right].

2. 2. 급수 표현

킨친 상수는 유리 제타 급수를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.^[1]

:

\ln K_0 = \frac{1}{\ln 2} \sum_{n=1}^\infty\frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

또는, 급수의 항을 벗겨내어 후르비츠 제타 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\ln K_0 = \frac{1}{\ln 2} \left[

\sum_{k=2}^N \ln \left(\frac{k-1}{k} \right) \ln \left(\frac{k+1}{k} \right)

+ \sum_{n=1}^\infty\frac {\zeta (2n,N+1)}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\right]

여기서 ''N''은 고정된 정수이다.

이중 대수를 사용하여 다음과 같은 표현도 가능하다.

:

\ln \frac{K_0}{2} = \frac{1}{\ln 2} \left[\mbox{Li}_2 \left( \frac{-1}{2} \right) +\frac{1}{2}\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mbox{Li}_2 \left( \frac{4}{k^2} \right)\right].

2. 3. 적분 표현

킨친 상수는 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.^[2]

:

\int_0^1 \frac{\log_2 \lfloor x^{-1} \rfloor}{x+1} \mathrm dx = \ln {K_0}

:

\int_0^1 \frac{\log_2(\Gamma(2+x)\Gamma(2-x))}{x(x+1)} \mathrm dx = \ln K_0-\ln2

:

\int_0^1 \frac{1}{x(x+1)}\log_2\left(\frac{\pi x (1-x^2)}{\sin \pi x}\right) \mathrm dx = \ln K_0 - \ln2

:

\int_0^\pi \frac{\log_2(x|\cot x|)}{x}\mathrm dx = \ln K_0 - \frac12\ln2 - \frac{\pi^2}{12\ln 2}

3. 성질

킨친 상수는 연분수와 관련된 중요한 성질을 가지고 있다. 거의 모든 실수에 대해, 그 실수의 연분수 표현에서 계수들의 기하 평균은 킨친 상수와 같다.^[3] 즉, 실수 x의 연분수 표현을 [a₀; a₁, a₂, ...]라 할 때, 다음이 성립한다.

: $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = K$

여기서 K는 킨친 상수이다.

킨친 상수는 연분수 항들의 횔더 평균 중 첫 번째로 볼 수 있다. 연분수 전개의 항을 a_n^영어이라 할 때, 횔더 평균은 다음과 같이 주어진다.

: $K_p = \left[ \sum_{k=1}^\infty -k^p \log_2 \left( 1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right) \right]^{1/p}$

산술 평균은 발산하며, 조화 평균은 다음과 같다.

: $K_{-1}=1.74540566240\dots$

3. 1. 킨친의 증명 (개요)

체스와프 릴-나르제프스키^[3]가 정리한 증명은 에르고딕 이론을 사용하지 않은 킨친의 원래 증명보다 훨씬 간단하다.

연분수의 첫 번째 계수 ''a''₀는 킨친의 정리에 아무런 역할을 하지 않고, 유리수는 르베그 측도가 0이므로, 단위 구간에 있는 무리수, 즉

I=[0,1]\setminus\mathbb{Q}

에 속하는 무리수를 연구한다. 이 숫자들은 [''a''₁, ''a''₂, ...] 형태의 무한 연분수와 전단사 관계에 있으며, 여기서 ''a''₁, ''a''₂, ...는 양의 정수이다. 변환 ''T'':''I'' → ''I''는 다음과 같이 정의한다.

:

T([a_1,a_2,\dots])=[a_2,a_3,\dots].\,

변환 ''T''는 가우스-쿠즈민-비르싱 연산자라고 한다. ''I''의 모든 보렐 집합 ''E''에 대해, ''E''의 가우스-쿠즈민 분포를 정의한다.

:

\mu(E)=\frac{1}{\ln 2}\int_E\frac{dx}{1+x}.

''μ''는 ''I''의 보렐 부분 집합의 시그마 대수에 대한 확률 측도이다. ''μ''는 ''I''의 르베그 측도와 동치이지만, 변환 ''T''가 ''μ''를 보존하는 추가적인 속성을 가지고 있다. ''T''가 확률 측도 ''μ''가 부여된 가측 공간 ''I''의 에르고딕 변환임이 증명될 수 있다(이것이 증명의 어려운 부분이다). 에르고딕 정리는 ''I''에 대한 임의의 ''μ''-적분 가능 함수 ''f''에 대해,

f \left( T^k x \right)

의 평균값이 거의 모든

x

에 대해 동일하다고 말한다.

:

\lim_{n\to\infty} \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\int_I f d\mu\quad\text{for }\mu\text{-almost all }x\in I.

''f''([''a''₁, ''a''₂, ...]) = ln(''a''₁)로 정의된 함수에 적용하면, 다음을 얻는다.

:

\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\ln a_k=\int_I f \, d\mu = \sum_{r=1}^\infty\ln\left[1+\frac{1}{r(r+2)}\right]\log_2r

''n'' → ∞일 때, ''I''에 있는 거의 모든 [''a''₁, ''a''₂, ...]에 대해 위 식이 성립한다.

양쪽에 지수 함수를 취하면, 왼쪽에는 연분수의 처음 ''n''개 계수의 기하 평균이, 오른쪽에는 킨친의 상수가 나타난다.

3. 2. 일반화

킨친 상수는 연분수 항들의 일련의 횔더 평균 중 첫 번째로 볼 수 있다. 임의의 수열 a_n^영어이 주어졌을 때, 이 수열의 차수 ''p''에 대한 횔더 평균은 다음과 같다.

:

K_p = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k^p \right]^{1/p}

a_n^영어이 연분수 전개의 항일 때, 상수들은 다음과 같이 주어진다.

:

K_p = \left[ \sum_{k=1}^\infty -k^p \log_2 \left( 1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right) \right]^{1/p}

이는 가우스-쿠즈민 분포와 함께 ''p''차 평균을 취함으로써 얻어진다. 이는

p < 1

일 때 유한하다.

산술 평균은 발산한다:

\lim_{n\to\infty}\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k = K_1 = +\infty

따라서 계수는 임의로 커진다:

\limsup_n a_n = +\infty

.

''K''₀의 값은 ''p'' → 0의 극한에서 얻어진다.

조화 평균(''p'' = −1)은

:

K_{-1}=1.74540566240\dots

이다.

4. 미해결 문제

π, 오일러-마스케로니 상수 γ와 같은 잘 알려진 숫자들의 연분수 계수들의 기하 평균이 킨친 상수로 수렴할 것으로 예상되지만,^[4]^[5]^[2] 이는 엄밀하게 증명되지 않았으며, 특별히 구성된 숫자를 제외한 어떤 실수에 대해서도 증명되지 않았다.^[6]

킨친 상수 자체의 유리수, 대수적 무리수, 초월수 여부 등 대수적 성질 또한 알려져 있지 않다.^[2]

참조

_[1] 서적 In that paper, a slightly non-standard definition is used for the Hurwitz zeta function. 1997
_[2] MathWorld Khinchin's constant https://mathworld.wo[...]
_[3] 간행물 On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)
_[4] 웹사이트 Euler-Mascheroni Constant Continued Fraction https://mathworld.wo[...] 2020-03-23
_[5] 웹사이트 Pi Continued Fraction https://mathworld.wo[...] 2020-03-23
_[6] 학술지 A Khinchin Sequence https://www.ams.org/[...] 2008
_[7] PDF http://www.davidhbai[...]

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