기하동역학
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1. 개요
기하동역학은 일반 상대성 이론의 동의어로 사용되며, 특히 아인슈타인 장 방정식을 초기 초평면의 기하학이 주어졌을 때 기하학이 시간에 따라 어떻게 진화하는지를 설명하는 진화 방정식으로 재구성하는 것을 지칭하기도 한다. 휠러는 물리학을 기하학으로 축소하기 위해 기하동역학을 통해 양자 중력의 토대를 마련하고 중력과 전자기력을 통합하려 했으며, 지온, 웜홀 등을 활용하여 '질량 없는 질량', '전하 없는 전하', '장 없는 장'의 개념을 제시했다. 현대에는 일반 상대성 이론의 초기값 공식화와 양자 중력에 대한 연구를 바탕으로 양자 기하동역학이 발전하고 있으며, 중력의 양자화를 위한 다양한 접근 방식이 시도되고 있다.
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| 기하동역학 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 분야 | 물리학, 수학 |
| 하위 분야 | 일반 상대성이론, 양자역학 |
| 관련 개념 | 블랙홀, 중력파, 우주론 |
| 주요 내용 | |
| 설명 | 시공간과 물질, 에너지의 상호작용을 기하학적으로 기술하는 이론적 틀 |
| 핵심 아이디어 | 물질과 에너지의 존재가 시공간의 곡률을 결정하고, 이 곡률이 다시 물질과 에너지의 움직임에 영향을 줌 |
| 주요 연구 대상 | 블랙홀의 구조와 역학 중력파의 생성과 전파 우주의 기원과 진화 시공간의 양자화 |
| 응용 분야 | 우주론 연구 블랙홀 연구 중력파 연구 양자 중력 연구 |
| 역사적 맥락 | |
| 기원 | 일반 상대성이론의 발전과 함께 등장 |
| 주요 인물 | 존 아치볼드 휠러 |
| 발전 | 1950년대: 휠러에 의해 본격적으로 연구 시작 1960년대: 브라이스 드윗에 의해 양자화 시도 1970년대 이후: 스티븐 호킹, 로저 펜로즈 등에 의해 블랙홀 연구에 응용 |
| 주요 개념 | |
| 시공간 | 시간과 공간을 통합한 4차원 기하학적 구조 |
| 곡률 | 시공간이 물질과 에너지에 의해 휘어지는 정도 |
| 아인슈타인 방정식 | 시공간의 곡률과 물질, 에너지의 분포 사이의 관계를 나타내는 방정식 |
| 블랙홀 | 시공간의 곡률이 극단적으로 커져 빛조차 탈출할 수 없는 영역 |
| 중력파 | 시공간의 곡률 변화가 파동의 형태로 전파되는 현상 |
| 수학적 도구 | |
| 미분기하학 | 곡면과 다양체의 기하학적 성질을 연구하는 수학 분야 |
| 텐서 해석 | 텐서를 이용하여 물리 법칙을 기술하는 수학적 방법 |
| 리만 기하학 | 곡률을 가진 공간의 기하학적 성질을 연구하는 수학 분야 |
| 참고 문헌 | |
| 주요 서적 | Geometrodynamics by John Archibald Wheeler |
| 관련 학문 분야 | |
| 관련 분야 | 일반 상대성이론 양자 중력 우주론 끈 이론 |
| 기타 | |
| 참고 | 상대성이론 |
2. 아인슈타인의 기하동역학
기하동역학은 일반 상대성이론과 동의어로 사용되기도 한다. 일부에서는 1960년경 아노윗, 데세르 및 미스너(ADM 형식주의)가 도입한 일반 상대성 이론의 초깃값 공식을 '아인슈타인의 기하동역학'이라고 부르기도 한다.
2. 1. ADM 형식
ADM 형식에서는 시공간을 공간적인 초평면으로 분할한다. 진공 아인슈타인 장 방정식은 초기 초평면의 기하학("초깃값")이 주어지면 기하학이 "시간"에 따라 어떻게 진화하는지를 설명하는 ''진화 방정식''으로 다시 공식화된다. 이것은 원래 초평면이 충족해야 하는 ''제약 방정식''을 제공하며, "게이지 선택", 즉 초평면 기하학을 설명하는 데 사용된 ''좌표계''가 어떻게 진화하는지에 대한 선택도 포함한다.3. 휠러의 기하동역학
휠러는 일반 상대성 이론을 ADM 재형식화하는 것보다 훨씬 근본적인 방식으로 물리학을 기하학으로 환원시키고자 했다.[1] 그의 이론은 시간에 따라 곡률이 변하는 동적 기하학을 사용하며, 다음 세 가지 개념을 실현하고자 했다.
- 질량 없는 질량
- 전하 없는 전하
- 장 없는 장
휠러는 이를 통해 양자 중력의 기초를 마련하고 중력과 전자기력을 통합하고자 했다. (당시에는 강력 및 약력 상호작용은 충분히 이해되지 않아 포함되지 않았다.)
휠러는 지온 개념을 도입했는데, 이는 시공간의 좁은 영역에 갇혀 자체 파동의 중력장 에너지의 중력 인력에 의해 유지되는 중력파 묶음이다.[2] 휠러는 지온이 마치 질량을 가진 물체처럼 시험 입자에 영향을 줄 수 있다는 점에 주목했고, 이것이 바로 ''질량 없는 질량''이다.
또한 휠러는 일반 상대성 이론의 (비자전) 점질량 해인 슈바르츠실트 진공이 웜홀의 특성을 갖는다는 사실에 주목했다. 전하 입자의 경우, 라이스너-노르드스트룀 전자기 진공 해의 기하학은 전기장선이 실제로 끝나지 않고 웜홀을 통해 멀리 떨어진 곳이나 우주의 다른 지점으로 이동한다는 개념을 제시한다. 조지 레이니치는 응력-에너지 텐서에 대한 전자기적 기여로부터 전자기장 텐서를 얻을 수 있음을 보였고, 이는 일반 상대성 이론에서 시공간 곡률과 직접 연결된다. 휠러와 미스너는 이를 ''이미 통일된 장 이론''으로 발전시켜 중력과 전자기력을 부분적으로 통합하고 ''전하 없는 전하''를 생성했다.
일반 상대성 이론의 ADM 재형식화에서 휠러는 ''운동량 제약 조건''을 도출하면 전체 아인슈타인 장 방정식을 복구할 수 있다고 주장했다. 그는 이것이 기하학적 고려만으로 가능하며, 일반 상대성 이론을 일종의 논리적 필연성으로 만들 수 있다고 제안했다. 특히 곡률(중력장)은 시공간 거품이라 불리는 매우 작은 규모의 복잡한 위상수학적 현상에 대한 "평균화"로 나타날 수 있으며, 이는 양자 중력이 시사하는 ''장 없는 장''이라는 기하학적 직관을 실현하는 것이었다.
3. 1. 휠러의 세 가지 개념
휠러는 일반 상대성이론을 ADM 재형식화하는 것을 넘어, 물리학을 더욱 근본적인 수준에서 기하학으로 환원하고자 했다. 그는 시간에 따라 곡률이 변하는 동적 기하학을 사용했으며, 다음 세 가지 개념을 통해 자신의 이론을 구체화하려 했다.[1]- 질량 없는 질량
- 전하 없는 전하
- 장 없는 장
휠러는 이러한 개념들을 통해 양자 중력의 기초를 다지고, 중력과 전자기력을 통합하는 것을 목표로 했다. 당시에는 강한 상호작용과 약한 상호작용이 충분히 이해되지 않았기 때문에 통합 대상에 포함되지 않았다.[1]
이러한 휠러의 아이디어는 많은 물리학자들의 관심을 끌었지만, 휠러 자신은 자신의 프로그램에 대한 초기 기대와 달리 여러 어려움에 직면했다. 특히 스핀 1/2 페르미온을 다루는 데 어려움을 겪었으며, 이를 해결하기 위해서는 아인슈타인-맥스웰-디랙 시스템, 더 나아가 아인슈타인-양-밀스-디랙-힉스 시스템의 아인슈타인 통일장 이론이 필요했다.[1]
한편, 기하동역학은 데카르트와 스피노자의 공간 개념에 대한 아이디어를 실현할 가능성을 제시하며 철학자들의 관심을 끌기도 했다.[1]
3. 1. 1. 질량 없는 질량
휠러는 지온 개념을 도입했는데, 이는 시공간의 좁은 영역에 갇혀 자체 파동의 중력장 에너지의 중력 인력에 의해 유지되는 중력파 묶음이다.[2] 휠러는 지온이 마치 질량을 가진 물체처럼 시험 입자에 영향을 줄 수 있다는 가능성에 주목했고, 이것이 바로 ''질량 없는 질량''이다.3. 1. 2. 전하 없는 전하
휠러는 라이스너-노르드스트룀 계량에서 전기장선이 실제로 끝나지 않고 웜홀을 통해 멀리 떨어진 곳이나 우주의 다른 지점으로 이동한다는 아이디어를 통해 "전하 없는 전하" 개념을 제시했다. 조지 레이니치는 응력-에너지 텐서에 대한 전자기적 기여로부터 전자기장 텐서를 얻을 수 있음을 보였고, 이는 일반 상대성 이론에서 시공간 곡률과 직접 연결된다. 휠러와 미스너는 이를 바탕으로 중력과 전자기력을 부분적으로 통합하여 '전하 없는 전하'를 생성하는 '이미 통일된 장 이론'으로 발전시켰다.[2]3. 1. 3. 장 없는 장
일반 상대성 이론의 ADM 재형식화에서 휠러는 '운동량 제약 조건'을 도출할 수 있다면 전체 아인슈타인 장 방정식을 복구할 수 있다고 주장했다. 그는 이것이 기하학적 고려만으로 가능하며, 일반 상대성 이론을 일종의 논리적 필연성으로 만들 수 있다고 제안했다. 특히 곡률(중력장)은 시공간 거품이라고 하는 매우 작은 규모의 매우 복잡한 위상수학적 현상에 대한 일종의 "평균화"로 나타날 수 있다. 이것은 양자 중력에서 제시하는 기하학적 직관, 즉 '장 없는 장'을 실현할 수 있다는 것이다.[1]3. 2. 한계점
이러한 아이디어는 많은 물리학자들의 상상력을 사로잡았지만, 휠러 자신은 그의 프로그램에 대한 초기 희망을 재빨리 무너뜨렸다.[1] 특히, 스핀 1/2 페르미온은 다루기 어려운 것으로 판명되었다. 이를 위해서는 아인슈타인-맥스웰-디랙 시스템의 아인슈타인 통일장이론 또는 더 일반적으로 아인슈타인-양-밀스-디랙-힉스 시스템으로 가야 했다.[1]또한 데카르트와 스피노자의 공간의 본성에 대한 아이디어들 중 일부를 실현할 가능성에 흥미를 가진 여러 철학자들이 기하동역학에 관심을 보였다.[1]
4. 기하동역학의 현대적 개념
현대의 양자 기하동역학은 크리스토퍼 아이샴, 제레미 버터필드와 그들의 제자들이 중력의 양자 이론을 향한 최근 연구와 일반 상대성 이론의 초기값 공식화에 대한 광범위한 수학적 이론의 발전을 고려하며 발전해왔다.[3] 이들은 양자 중력의 기초를 마련하고자 했던 휠러의 초기 목표를 여전히 중요하게 생각하며 연구를 진행하고 있다.
1919년 헤르만 바일 및 1974년 양전닝이 제안한 중력의 곡률 제곱 '양-밀케 이론'은 순간자 유형 해를 유도하지만, 이러한 해는 '진공 축퇴'를 나타낸다. 따라서 유도된 우주 상수를 갖는 아인슈타인 방정식을 유지하려면 scale breaking 항을 통해 곡률의 이중 쌍대성을 수정해야 한다.[4]
4. 1. 위상수학적 아이디어
중력 분야의 위상수학적 아이디어는 리만, 클리퍼드, 바일로 거슬러 올라가며, 오일러 지표로 특징지어지는 휠러의 웜홀에서 보다 구체적인 실현을 발견했다. 이는 블랙홀에 손잡이를 부착한 결과이다.[3]4. 2. 중력의 양자화 문제
일반 상대성 이론에서 계량 텐서는 시공간의 거리를 측정하는 동시에 크리스토펠 기호의 중력 포텐셜 역할을 하는 이중적인 역할을 수행한다. 이러한 이중성은 중력을 양자화하는 데 있어 주요한 어려움 중 하나로 여겨진다.[4] 아서 스탠리 에딩턴은 1924년에 이미 접속을 기본 장으로, 계량 텐서를 파생된 개념으로 간주할 것을 제안하기도 했다.[4]4. 3. 에딩턴의 제안
에딩턴은 1924년 저서 ''상대성 이론의 수학적 이론''(2판)에서 접속을 기본 장으로 보고 계량을 파생된 개념으로 간주할 것을 제안했다.[3] 그는 일반 상대성이론에서 계량이 시공간의 거리를 측정하고 크리스토펠 기호의 중력 포텐셜 역할을 하는 두 가지 역할을 한다는 점에 주목했는데, 이러한 이분법은 중력을 양자화하는 데 주요 장애물 중 하나로 여겨진다.[3]4. 4. 위상수학적 작용
일반 상대성이론에서 4차원 기본 작용은 해당 게이지 접속의 폰트랴긴 불변량과 같이 계량이 없는 위상수학적 작용으로부터 구성되어야 한다. 중력 영역의 위상수학적 아이디어는 리만, 클리퍼드, 바일로 거슬러 올라가며, 오일러 지표로 특징지어지는 휠러의 웜홀에서 보다 구체적으로 실현되었다.[4] 웜홀은 블랙홀에 손잡이를 부착한 결과이다.4. 4. 1. 양-밀스 이론과의 유사성
양-밀스 이론과 마찬가지로, 위상수학적 유령을 통해 곡률 및 비앙키 항등식의 정의를 수정하여 양자화를 할 수 있다.[4] 이러한 등급이 매겨진 카르탕 형식에서 유령 연산자의 멱영원적 성질은 외미분에 대한 푸앵카레 보조정리와 같다. 쌍대성 게이지 고정과 함께 BRST 반(反)장 형식을 사용하여 이중 쌍대 곡률 공간에서 일관된 양자화를 얻는다.4. 4. 2. BRST 양자화
일반 상대성 이론에서 계량은 시공간의 거리를 측정하고 크리스토펠 기호의 중력 포텐셜 역할을 하는 이중 역할을 갖는다. 이러한 이분법은 중력을 양자화하는 데 주요 장애물 중 하나로 여겨진다. 에딩턴은 접속을 기본 장으로, 계량을 파생된 개념으로 간주할 것을 제안했다. 결과적으로, 4차원에서 기본적 작용은 해당 게이지 접속의 폰트랴긴 불변량과 같은 계량이 없는 위상수학적 작용으로부터 구성되어야 한다. 양-밀스 이론과 유사한 방식으로, 위상수학적 유령을 통해 곡률 및 비앙키 항등식의 정의를 수정하여 양자화를 할 수 있다. 이러한 등급화된 카르탕 형식화에서 유령 연산자의 멱영원적 성질은 외미분에 대한 푸앵카레 보조정리와 동등하다. 쌍대성 게이지 고정과 함께 BRST 반장 형식을 사용하여 이중 쌍대 곡률 공간에서 일관된 양자화를 얻는다.[4]4. 5. BF 방식
BF 방식은 제약 형식화에서 자연스럽게 발생하는 스케일 파괴 항을 포함하며, 중력의 경우 4차원 SL(5, '''R''')에서 벗어나, (반) 드 시터 게이지 중력 이론을 일반화한다.[5]이 위상 BF 이론에 자발적 대칭 파괴를 적용하면 대칭 파괴 규모와 관련된 작은 우주 상수가 있는 아인슈타인 공간이 다시 나타난다. 여기서 '배경' 계량은 힉스 같은 메커니즘을 통해 유도된다.[5] 이러한 변형된 위상수학적 체계의 유한성은 자발적으로 깨진 모델의 양자화 후 점근적 안전성으로 변환될 수 있다.[5]
4. 6. 비틀림과 우주론적 모델
리처드 J. 페티는 아인슈타인-카르탕 이론을 기반으로 한, 비틀림이 있지만 회전 입자가 없는 우주론적 모델이 "장 없이 (전파되지 않는) 장"의 상황을 보여준다고 믿는다.[6]참조
[1]
논문
Classical physics as geometry
1957
[2]
논문
Geons
1955-01
[3]
arXiv
Spacetime and the Philosophical Challenge of Quantum Gravity
1999-03-18
[4]
논문
Torsion Wave Solutions in Yang-Mielke Theory of Gravity
Hindawi Limited
[5]
논문
Spontaneously broken topological SL(5,R) gauge theory with standard gravity emerging
2011-02-01
[6]
논문
On the local geometry of rotating matter
[7]
서적
"Curved empty space as the building material of the physical world: an assessment."
Stanford University Press
1962
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