기하적 대수학

1. 개요

기하적 대수학은 기하적 곱을 핵심 연산으로 하는 수학 분야로, 클리포드 대수를 사용하여 정의된다. 기하적 곱은 결합, 분배 법칙을 따르며, 내적과 외적을 포함한다. 기하적 대수학은 전자기학 및 양자역학 등 다양한 분야에 응용되며, 맥스웰 방정식과 파울리 행렬을 간결하게 표현하는 데 사용된다. 또한, 블레이드, 베르소르, 유사스칼라 등의 개념을 통해 기하학적 변환과 물리적 현상을 설명한다.

2. 기하적 곱

기하적 대수학의 핵심 연산인 기하적 곱은 임의의 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\)에 대해 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 결합법칙: \((\mathbf{a}\mathbf{b})\mathbf{c} = \mathbf{a}(\mathbf{b}\mathbf{c})\)
* 분배법칙: \(\mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{a}\mathbf{c}\) 와 \((\mathbf{a}+\mathbf{b})\mathbf{c} = \mathbf{a}\mathbf{c}+\mathbf{b}\mathbf{c}\)
* 축약: \(\mathbf{a}\mathbf{a} = \mathbf{a}^2 = |\mathbf{a}|^2\) (여기서 \(|\mathbf{a}|\)는 벡터 \(\mathbf{a}\)의 크기로, 양의 스칼라 값이다.)

두 벡터 \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)의 기하적 곱은 내적(대칭적인 부분)과 쐐기곱(외적)(반대칭적인 부분)의 합으로 나타낼 수 있다.

:\(\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\)

기하학적으로, \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)가 평행하면 기하적 곱은 내적과 같고, 수직이면 외적과 같다.

2.1. 내적

기하적 곱의 대칭적인 부분인 두 벡터의 내적은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{a\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash mathbf\{a\}\backslash mathbf\{b\}+\backslash mathbf\{b\}\backslash mathbf\{a\})=\backslash mathbf\{b\}\backslash cdot\backslash mathbf\{a\}$

이 식은 다음 식의 우항들의 축약성을 통해 스칼라임을 보일 수 있다.

:$\backslash mathbf\{a\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}=\; \backslash frac\{1\}\{2\}((\backslash mathbf\{a\}+\backslash mathbf\{b\})^2-\backslash mathbf\{a\}^2-\backslash mathbf\{b\}^2)$

일반적으로 이 내적은 통상적인 유클리드 공간에서의 내적과 같은 것으로 간주된다.

2.2. 쐐기곱 (외적)

기하적 곱의 반대칭적인 부분은 쐐기곱(외적)으로 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{a\}\backslash wedge\backslash mathbf\{b\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash mathbf\{a\}\backslash mathbf\{b\}-\backslash mathbf\{b\}\backslash mathbf\{a\})=-\backslash mathbf\{b\}\backslash wedge\backslash mathbf\{a\}$

두 벡터 \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)의 쐐기곱 \(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\)는 스칼라나 벡터와는 다른 이중벡터(bivector)라는 새로운 수학적 객체를 생성한다. 이중벡터는 방향성을 가진 평면의 일부를 나타내는데, 이는 벡터가 방향성이 있는 선분을 나타내는 것과 유사하다.

쐐기곱은 여러 벡터로 일반화될 수 있다.

:$\backslash mathbf\{a\}\_1\backslash wedge\; \backslash mathbf\{a\}\_2\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; \backslash mathbf\{a\}\_r\; =\; \backslash frac\{1\}\{r!\}\backslash sum\_\{\backslash sigma\backslash in\backslash mathfrak\{S\}\_r\}\; \backslash operatorname\{sgn\}(\backslash sigma)\; \backslash mathbf\{a\}\_\{\backslash sigma(1)\}\backslash mathbf\{a\}\_\{\backslash sigma(2)\}\; \backslash cdots\; \backslash mathbf\{a\}\_\{\backslash sigma(r)\},$

여기서 합은 모든 순열에 대해 계산되며, \(\operatorname{sgn}(\sigma)\)는 순열의 부호를 나타낸다.

3. 전자기학에서의 응용

기하적 대수학(Geometric Algebra, GA)은 전자기학의 여러 개념과 방정식을 간결하게 표현하는 데 유용하다. 특히, 민코프스키 3+1 시공간의 기하적 대수학은 시공간 대수(STA)라고 불리며, 전자기학을 다루는 데 효과적인 도구이다.

STA에서 시공간의 점은 벡터로 표현되며, 물리적 공간의 대수(APS)에서는 3+1차원 시공간의 점이 3차원 벡터(공간)와 1차원 스칼라(시간)의 조합인 준벡터로 표현된다.

시공간 대수에서 전자기장 텐서는 이중 벡터 표현 $\backslash mathbf\{F\}\; =\; (\backslash mathbf\{E\}\; +\; i\; c\; \backslash mathbf\{B\})\backslash gamma\_0$을 갖는다. 여기서 $i\; =\; \backslash gamma\_0\; \backslash gamma\_1\; \backslash gamma\_2\; \backslash gamma\_3$는 단위 유사 스칼라(또는 4차원 부피 요소)이고, $\backslash gamma\_0$는 시간 방향의 단위 벡터이며, $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$는 고전적인 전기장 및 자기장 벡터이다. 사중 전류 $\backslash mathbf\{J\}$를 사용하면 맥스웰 방정식은 기하적 대수를 통해 간결하게 표현될 수 있다.

기하적 미적분학에서 $DF$와 같이 벡터를 나란히 놓는 것은 기하학적 곱을 나타내며, 이는 $DF\; =\; D\; ~\backslash rfloor~\; F\; +\; D\; \backslash wedge\; F$로 분해될 수 있다. 여기서 $D$는 모든 시공간에서 공변 벡터 미분이며, 평평한 시공간에서는 $\backslash nabla$로 축소된다. $\backslash bigtriangledown$는 민코프스키 4 시공간에서 유클리드 3 공간에서 $\backslash nabla$의 역할과 유사하며 달랑베르시안과 $\backslash Box\; =\; \backslash bigtriangledown^2$로 관련된다. 미래를 가리키는 시간 유사 벡터 $\backslash gamma\_0$로 표현되는 관찰자가 주어지면 다음을 얻는다.

:$\backslash gamma\_0\; \backslash cdot\; \backslash bigtriangledown\; =\; \backslash frac\{1\}\{c\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}$
:$\backslash gamma\_0\; \backslash wedge\; \backslash bigtriangledown\; =\; \backslash nabla$

이 로렌츠 계량 공간의 로렌츠 부스트는 유클리드 공간에서의 회전과 동일한 표현 $e^\{\backslash beta\}$를 가지며, 여기서 $\backslash beta$는 시간과 관련된 공간 방향으로 생성된 이중 벡터이고, 유클리드 사례에서는 두 공간 방향으로 생성된 이중 벡터이므로 "유사성"을 거의 동일하게 강화한다.

디랙 행렬은 $\backslash mathcal\{G\}(1,3)$의 표현으로, 물리학자들이 사용하는 행렬 표현과의 등가성을 보여준다.

3.1. 전자기장 멀티벡터

3차원 공간에서 벡터인 전기장 E와 이중벡터인 자기장 $\backslash vec\{\backslash vec\{B\}\}$를 생각할 수 있다. 3차원 공간의 표준기저를 이루는 단위벡터 $\backslash vec\{e\}\_1,\; \backslash vec\{e\}\_2,\; \backslash vec\{e\}\_3$를 이용해서 E와 $\backslash vec\{\backslash vec\{B\}\}$를 표현하면 다음과 같다.

:$\backslash vec\{E\}\; =\; E\_1\backslash vec\{e\}\_1\; +\; E\_2\backslash vec\{e\}\_2\; +\; E\_3\backslash vec\{e\}\_3$
:$\backslash vec\{\backslash vec\{B\}\}\; =\; B\_\{12\}\backslash vec\{e\}\_1\backslash wedge\backslash vec\{e\}\_2\; +\; B\_\{23\}\backslash vec\{e\}\_2\backslash wedge\backslash vec\{e\}\_3\; +\; B\_\{31\}\backslash vec\{e\}\_3\backslash wedge\backslash vec\{e\}\_1$

표준기저를 이루는 서로 다른 벡터 간의 내적은 0이므로, $a\; \backslash neq\; b$인 $a,\; b$에 대해 $\backslash vec\{e\}\_a\backslash wedge\backslash vec\{e\}\_b\; =\; \backslash vec\{e\}\_a\backslash vec\{e\}\_b$이며, 따라서 자기장은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash vec\{\backslash vec\{B\}\}\; =\; B\_\{12\}\backslash vec\{e\}\_1\backslash vec\{e\}\_2\; +\; B\_\{23\}\backslash vec\{e\}\_2\backslash vec\{e\}\_3\; +\; B\_\{31\}\backslash vec\{e\}\_3\backslash vec\{e\}\_1$

$\backslash vec\{e\}\_1\backslash vec\{e\}\_2\backslash vec\{e\}\_3$를 유사스칼라(pseudoscalar)라고 하며, $i$로 표현하는데, 이는 허수와 역할이 비슷하다. 이를 제곱하면 기하적 곱의 반교환성 때문에 -1을 얻기 때문이다. $B\_\{23\}=B\text{'}\_\{1\}$, $B\_\{31\}=B\text{'}\_\{2\}$, $B\_\{12\}=B\text{'}\_\{3\}$으로 성분을 갖는 벡터 $\backslash vec\{B\}\text{'}$을 생각하면,

:$\backslash vec\{\backslash vec\{B\}\}\; =\; i\backslash vec\{B\}\text{'}$

가 된다. 이중벡터 $\backslash vec\{\backslash vec\{B\}\}$와 벡터 $\backslash vec\{B\}\text{'}$ 간에는 쌍대(dual) 관계가 있다고 한다. B'을 B로 표현하면, 전자기장 멀티벡터 *F*는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathit\{F\}\; =\; \backslash mathbf\{E\}/c\; +\; (i\backslash mathbf\{B\})$

여기서 c는 빛의 속도이다. 멀티벡터는 기하적 대수학에서 다루는 수학적 개체로, 보통은 더해지지 않는 스칼라, 벡터 등의 서로 다른 텐서들의 합으로 주어지는 개체이다.

3.2. 맥스웰 방정식

기하적 대수에서 맥스웰 방정식은 다음과 같은 하나의 간결한 방정식으로 표현된다.

:$\backslash Box\; \backslash mathit\{F\}\; =\; \backslash mu\_0\; J$

이 방정식은 4차원 미분 연산자($\backslash Box$)와 전자기장 멀티벡터($\backslash mathit\{F\}$)를 사용하여 전자기장의 시공간적 변화를 기술한다.

4차원 미분형식의 형식을 따르는 미분연산자 $\backslash Box$와 앞서 정의한 전자기장 멀티벡터 $\backslash mathit\{F\}$를 대입하면 좌변은 다음과 같다.

:$\backslash Box\; \backslash mathit\{F\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; -\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\backslash right)e\_0(\backslash mathbf\{E\}/c\; +\; i\backslash mathbf\{B\})$

$\{e\}\_0\backslash mathbf\{e\}\_a\; =\; -\backslash mathbf\{e\}\_a\{e\}\_0$이고 $\{e\}\_0\; i\; =\; \{e\}\_0\backslash mathbf\{e\}\_1\backslash mathbf\{e\}\_2\backslash mathbf\{e\}\_3\; =\; -\backslash mathbf\{e\}\_1\backslash mathbf\{e\}\_2\backslash mathbf\{e\}\_3\{e\}\_0\; =\; -i\; \{e\}\_0$이므로 위 식은 다음과 같이 된다.

:$\backslash Box\; \backslash mathit\{F\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; -\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\backslash right)(-\backslash mathbf\{E\}/c\; +\; i\backslash mathbf\{B\})e\_0$

위 식은 시간에 대한 미분 부분과 공간에 대한 미분 부분으로 나눠지는데, 공간에 대한 미분 부분 중 전기장에 대한 미분 부분은 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash bf\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{E\}$

여기서 $\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{E\}$는 이중벡터가 되는데, 앞서 이중벡터였던 자기장이 벡터꼴로 써질 수 있었던 방법과 비슷하게 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; i\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}$

그러므로 $\backslash Box\; \backslash mathit\{F\}$는 다음과 같다.

:$\backslash left[\backslash left(\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}/c\; +\; \backslash left(\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{c^2\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)\backslash right)\; -\; i\backslash left(\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{B\}\; -\; \backslash left(\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}/c\; +\; \backslash frac\{1\}\{c\}\backslash frac\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{B\})\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)\; \backslash right)\backslash right]e\_0$

보통 벡터미적분으로 기술하는 맥스웰 방정식을 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash rho\}\{\backslash epsilon\_0\; c\}\; +\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{J\}\backslash right)e\_0\; =\; \backslash mu\_0(\backslash rho\; c\; +\backslash mathbf\{J\})e\_0\; =\; \backslash mu\_0\; J$

즉, 벡터 미적분학의 맥스웰 방정식은 이 기하적 대수 표현으로부터 유도될 수 있다.

3.3. 전자기 포텐셜

로렌츠 게이지를 만족하는 경우, 4차원 벡터 포텐셜 $A$와 미분 연산자 $\backslash Box$의 기하적 곱을 통해 전자기장 $F$를 $\backslash Box\; A\; =\; F$와 같이 표현할 수 있다. 4차원 시공간-벡터공간의 기하적 대수 구조를 이용하면, 모든 게이지에서 성립하는 공식 $\backslash nabla\; \backslash wedge\; A\; =\; F$를 유도할 수 있다.

4. 양자역학에서의 응용

기하적 대수는 양자역학의 파울리 행렬과 관련된 계산을 간소화하는 데 사용될 수 있다. 벡터의 외적을 전체 대수로 확장하는 것은 일반적이며, 등급 투영 연산자를 사용하여 수행할 수 있다.

:$C\; \backslash wedge\; D\; :=\; \backslash sum\_\{r,s\}\backslash langle\; \backslash langle\; C\; \backslash rangle\_r\; \backslash langle\; D\; \backslash rangle\_s\; \backslash rangle\_\{r+s\}$     (외적)

이는 반대칭화와 관련된 정의와 일치한다. 외적과 관련된 또 다른 일반화는 교환자 곱이다.

:$C\; \backslash times\; D\; :=\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(CD-DC)$     (교환자 곱)

회귀적 곱은 외적의 쌍대(각각 "만남"과 "결합"에 해당)이다.

:$C\; \backslash vee\; D\; :=\; ((CI^\{-1\})\; \backslash wedge\; (DI^\{-1\}))I$

여기서 $I$는 대수의 단위 유사스칼라이다. 회귀적 곱도 결합적이다.

벡터의 내적 역시 여러 방식으로 일반화될 수 있다.

벡터 내적의 일반화:

:$C\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; D\; :=\; \backslash sum\_\{r,s\}\backslash langle\; \backslash langle\; C\; \backslash rangle\_r\; \backslash langle\; D\; \backslash rangle\_\{s\}\; \backslash rangle\_\{s-r\}$   (왼쪽 축약)
:$C\; \backslash ;\backslash lfloor\backslash ;\; D\; :=\; \backslash sum\_\{r,s\}\backslash langle\; \backslash langle\; C\; \backslash rangle\_r\; \backslash langle\; D\; \backslash rangle\_\{s\}\; \backslash rangle\_\{r-s\}$   (오른쪽 축약)
:$C\; *\; D\; :=\; \backslash sum\_\{r,s\}\backslash langle\; \backslash langle\; C\; \backslash rangle\_r\; \backslash langle\; D\; \backslash rangle\_s\; \backslash rangle\_\{0\}$   (스칼라 곱)
:$C\; \backslash bullet\; D\; :=\; \backslash sum\_\{r,s\}\backslash langle\; \backslash langle\; C\; \backslash rangle\_r\; \backslash langle\; D\; \backslash rangle\_\{s\}\; \backslash rangle\_$

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

  ((fat) 점 곱)

축약을 포함하는 많은 항등식은 입력 제한 없이 유효하다. 예:

:$C\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; D\; =\; (\; C\; \backslash wedge\; (\; D\; I^\{-1\}\; )\; )\; I$
:$C\; \backslash ;\backslash lfloor\backslash ;\; D\; =\; I\; (\; (\; I^\{-1\}\; C)\; \backslash wedge\; D\; )$
:$(\; A\; \backslash wedge\; B\; )\; *\; C\; =\; A\; *\; (\; B\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; C\; )$
:$C\; *\; (\; B\; \backslash wedge\; A\; )\; =\; (\; C\; \backslash ;\backslash lfloor\backslash ;\; B\; )\; *\; A$
:$A\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; (\; B\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; C\; )\; =\; (\; A\; \backslash wedge\; B\; )\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; C$
:$(\; A\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; B\; )\; \backslash ;\backslash lfloor\backslash ;\; C\; =\; A\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; (\; B\; \backslash ;\backslash lfloor\backslash ;\; C\; )\; .$

왼쪽 축약을 벡터 내적의 확장으로 사용하면, $ab\; =\; a\; \backslash cdot\; b\; +\; a\; \backslash wedge\; b$ 항등식은 모든 벡터 $a$와 멀티벡터 $B$에 대해 $aB\; =\; a\; \backslash ;\backslash rfloor\backslash ;\; B\; +\; a\; \backslash wedge\; B$로 확장된다.

4.1. 파울리 행렬과의 관계

파울리 행렬은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원 공간의 표준 기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 3차원 공간의 표준 기저 $e\_1,\; e\_2,\; e\_3$이 다음과 같은 기하적 대수 구조를 가진다면,

:$\backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; +\; i\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash times\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; =\; \backslash delta\_\{ij\}\; +\; i\; \backslash sum\_k\; \backslash epsilon\_\{ijk\}\; \backslash mathbf\{e\}\_k$

그리고 파울리 행렬 $\backslash sigma\_1,\; \backslash sigma\_2,\; \backslash sigma\_3$이 이러한 표준 기저 벡터들의 행렬 표현으로 간주된다면, 파울리 행렬은 자연스럽게 다음과 같은 성질들을 만족한다.

:$\backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_j\; =\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash cdot\; I\; +\; i\; \backslash sum\_k\; \backslash epsilon\_\{ijk\}\; \backslash sigma\_k$
:$[\backslash sigma\_i,\; \backslash sigma\_j]\; =\; 2\; \backslash sigma\_i\; \backslash wedge\; \backslash sigma\_j\; =\; 2\; i\; \backslash sum\_k\; \backslash epsilon\_\{ijk\}\; \backslash sigma\_k$
:$\backslash lbrace\backslash sigma\_i,\; \backslash sigma\_j\backslash rbrace\; =\; 2\; \backslash sigma\_i\; \backslash cdot\; \backslash sigma\_j\; =\; 2\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash cdot\; I$

일반적으로 양자역학에서 다루는 파울리 벡터($\backslash mathbf\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash sigma\_1\; \backslash hat\{x\}\; +\; \backslash sigma\_2\; \backslash hat\{y\}\; +\; \backslash sigma\_3\; \backslash hat\{z\}$)와 보통 벡터($\backslash mathbf\{v\}\; =\; v\_1\; \backslash hat\{x\}\; +\; v\_2\; \backslash hat\{y\}\; +\; v\_3\; \backslash hat\{z\}$) 간의 내적인 $\backslash mathbf\{\backslash sigma\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; =\; v\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; v\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; v\_3\; \backslash sigma\_3$은 기하적 대수를 만족하는 3차원 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 즉, 벡터 $\backslash mathbf\{v\}\; =\; [v\_1,\; v\_2,\; v\_3]$가 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터라면 행렬 라고 표현될 수 있으며, 이 행렬은 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터 $\backslash mathbf\{v\}\; =\; [v\_1,\; v\_2,\; v\_3]$로 생각될 수 있는 것이다. 기하적 대수 구조를 가지는 공간의 두 벡터 $\backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{w\}$는 다음과 같은 식을 만족한다.

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash mathbf\{w\}\; =\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{w\}\; +\; i\; \backslash mathbf\{v\}\backslash times\backslash mathbf\{w\}$

위 식을 표준 기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다.

:$(v\_1\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; +\; v\_2\; \backslash mathbf\{e\}\_2\; +\; v\_3\; \backslash mathbf\{e\}\_3)(w\_1\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; +\; w\_2\; \backslash mathbf\{e\}\_2\; +\; w\_3\backslash mathbf\{e\}\_3)\; =\; (v\_1\; w\_1\; +\; v\_2\; w\_2\; +\; v\_3\; w\_3)\; +\; i((v\_2\; w\_3\; -\; v\_3\; w\_2)\backslash mathbf\{e\}\_1+(v\_3\; w\_1\; -\; v\_1\; w\_3)\backslash mathbf\{e\}\_2+(v\_1\; w\_2\; -\; v\_2\; w\_1)\backslash mathbf\{e\}\_3)$

그러면 기하적 대수 구조를 가지는 3차원 공간의 두 벡터 $\backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{w\}$의 행렬 표현도 자연스럽게 다음의 성질을 만족한다.

:$(v\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; v\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; v\_3\; \backslash sigma\_3)(w\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; w\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; w\_3\; \backslash sigma\_3)\; =\; (v\_1\; w\_1\; +\; v\_2\; w\_2\; +\; v\_3\; w\_3)\; +\; i((v\_2\; w\_3\; -\; v\_3\; w\_2)\backslash sigma\_1+(v\_3\; w\_1\; -\; v\_1\; w\_3)\backslash sigma\_2+(v\_1\; w\_2\; -\; v\_2\; w\_1)\backslash sigma\_3)$

일반적으로 양자역학에서 다루는, $\backslash hat\{x\},\; \backslash hat\{y\},\; \backslash hat\{z\}$ 표현으로 위의 식을 바꿔주면,

:$(\backslash mathbf\{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})(\backslash mathbf\{w\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})\; =\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{w\}\; +\; i\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\}\; \backslash cdot\; (\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{w\}\; )$

가 된다.

4.2. 스핀과 각운동량

파울리 행렬은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원 공간의 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각할 수 있다. 파울리 벡터와 일반 벡터의 내적은 기하적 대수를 통해 간결하게 표현될 수 있다.

일반적으로 양자역학에서 다루는 파울리 벡터($\backslash mathbf\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash sigma\_1\; \backslash hat\{x\}\; +\; \backslash sigma\_2\; \backslash hat\{y\}\; +\; \backslash sigma\_3\; \backslash hat\{z\}$)와 보통 벡터($\backslash mathbf\{v\}\; =\; v\_1\; \backslash hat\{x\}\; +\; v\_2\; \backslash hat\{y\}\; +\; v\_3\; \backslash hat\{z\}$) 간의 내적인 $\backslash mathbf\{\backslash sigma\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; =\; v\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; v\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; v\_3\; \backslash sigma\_3$은 기하적 대수를 만족하는 3차원 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다.

기하적 대수 구조를 가지는 공간의 두 벡터 $\backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{w\}$는 다음과 같은 식을 만족한다.
:$\backslash mathbf\{v\}\backslash mathbf\{w\}\; =\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{w\}\; +\; i\; \backslash mathbf\{v\}\backslash times\backslash mathbf\{w\}$

기하적 대수 구조를 가지는 3차원 공간의 두 벡터 $\backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{w\}$의 행렬 표현은 다음의 성질을 만족한다.
:$(v\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; v\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; v\_3\; \backslash sigma\_3)(w\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; w\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; w\_3\; \backslash sigma\_3)\; =\; (v\_1\; w\_1\; +\; v\_2\; w\_2\; +\; v\_3\; w\_3)\; +\; i((v\_2\; w\_3\; -\; v\_3\; w\_2)\backslash sigma\_1+(v\_3\; w\_1\; -\; v\_1\; w\_3)\backslash sigma\_2+(v\_1\; w\_2\; -\; v\_2\; w\_1)\backslash sigma\_3)$

양자역학에서 다루는 $\backslash hat\{x\},\; \backslash hat\{y\},\; \backslash hat\{z\}$ 표현으로 위의 식을 바꾸면 다음과 같다.
:$(\backslash mathbf\{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})(\backslash mathbf\{w\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})\; =\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{w\}\; +\; i\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\}\; \backslash cdot\; (\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{w\}\; )$

기하 대수학에서 토크 또는 각운동량과 같은 회전량은 이중 벡터로 설명된다. 정규 직교 벡터 $\backslash widehat\{u\}$와 $\backslash widehat\{\backslash \; \backslash !v\}$를 포함하는 임의의 평면에서 원형 경로는 각도로 매개변수화된다. 이 평면의 단위 이중 벡터를 허수로 지정하여 복소 지수 형식으로 표현할 수 있다.

5. 추가적인 정의 및 표기법

기하 대수학을 정의하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 헤스테네스(Hestenes)의 원래 접근 방식은 공리적이었으며, "기하학적 의미가 풍부"하며 보편적인 클리포드 대수와 동일하다.

체 위의 유한 차원 벡터 공간 가 대칭 쌍선형 형식(예: 유클리드 또는 로렌츠 계량) 를 갖는 경우, 의 기하 대수는 클리포드 대수 이며, 이 대수의 원소를 멀티벡터라고 한다.

; 정의: 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 를 갖는 단위 결합 대수 는 다음 조건을 만족하는 경우 의 클리포드 대수이다.
;* :
;* 와 를 서로 다른 부분 공간으로 포함한다.
;* for
;* 가 대수로서 를 생성한다.
;* 는 의 적절한 부분 공간에 의해 생성되지 않는다.

이 문서에서는 실수 경우만 고려하며, 표기법 (또는 )는 쌍선형 형식 가 시그니처 (또는 )를 갖는 기하 대수를 나타내는 데 사용된다.

대수 내의 곱은 기하 곱이라고 하고, 포함된 외대수 내의 곱은 외적(쐐기곱 또는 외적)이라고 한다. 일반적으로 기하곱은 나란히 놓기(명시적인 곱셈 기호 억제)로, 외적은 기호 로 나타낸다.

멀티벡터 에 대해 기하 곱의 속성은 다음과 같다.
* (닫힘)
* , 여기서 는 항등원이다(항등원의 존재).
* (결합 법칙)
* and (분배 법칙)
* for .

외적은 위와 동일한 속성을 가지지만, for 로 대체된다.

기하 곱의 중요한 속성은 곱셈 역원을 갖는 요소의 존재이다. 벡터 에 대해, 이면 이 존재하고 와 같다. 그러나 대수의 0이 아닌 요소가 반드시 곱셈 역원을 갖는 것은 아니다. 예를 들어, 가 에 있는 벡터이고 이면, 요소 는 비자명한 멱등원이자 0이 아닌 영인자이므로 역원이 없다.

와 를 자연스러운 매장 및 에 따른 이미지와 식별하는 것이 일반적이며, 이 문서에서는 이 식별을 가정한다. 스칼라와 벡터라는 용어는 각각 과 의 요소(그리고 이 매장에 따른 이미지)를 나타낸다.

벡터 와 에 대해, 기하 곱은 대칭 곱과 반대칭 곱의 합으로 쓸 수 있다.
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따라서 벡터의 "내적"을 다음과 같이 정의할 수 있다.
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대칭 곱은 다음과 같이 쓸 수 있다.
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반대로, 는 대수에 의해 완전히 결정된다. 반대칭 부분은 두 벡터의 외적, 즉 포함된 외대수의 곱이다.
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간단한 덧셈을 통해 기하 곱의 일반화되지 않은 벡터 형식을 얻는다.
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내적과 외적은 표준 벡터 대수의 개념과 관련이 있다. 기하학적으로, 와 는 기하 곱이 내적과 같으면 평행하고, 기하 곱이 외적과 같으면 수직이다. 임의의 0이 아닌 벡터의 제곱이 양수인 기하 대수에서 두 벡터의 내적은 표준 벡터 대수의 점곱과 동일하게 식별할 수 있다. 두 벡터의 외적은 벡터가 측면인 평행사변형으로 둘러싸인 부호가 있는 면적과 동일하게 식별할 수 있다. 양의 정부호 2차 형식을 갖는 3차원에서 두 벡터의 외적은 외적과 밀접한 관련이 있다.

외적은 대수의 임의의 두 요소 사이의 연관 쌍선형 이항 연산자로 자연스럽게 확장되어 다음 항등식을 만족한다.
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여기서 합은 인덱스의 모든 순열에 대해 수행되며, 는 순열의 부호이고, 는 벡터(대수의 일반 요소가 아님)이다. 대수의 모든 요소는 이 형식의 곱의 합으로 표현될 수 있으므로 대수의 모든 요소 쌍에 대한 외적이 정의된다. 정의에 따르면 외적은 교대 대수를 형성한다.

클리포드 대수에 대한 등가 구조 방정식은 다음과 같다.
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여기서 는 의 Pfaffian이고 는 개의 인덱스를 와 부분으로 나누어 제공하는 조합, 를 제공하며, 는 패리티 조합의 패리티이다.

5.1. 블레이드, 등급

선형 독립적인 벡터들의 외적은 블레이드라고 불리며, 블레이드를 구성하는 벡터의 개수를 등급이라고 한다.

$r$개의 선형 독립적인 벡터의 외적은 블레이드(blade)라고 불리며, 등급 $r$을 갖는다고 한다. 등급 $r$의 블레이드의 합인 다중벡터는 등급 $r$의 (균질) 다중벡터라고 불린다. 기하 대수의 모든 다중벡터는 블레이드의 합이다.

등급 $r$의 모든 블레이드는 $r$개의 벡터의 외적으로 쓸 수 있다. 퇴화 기하 대수가 허용되는 경우, 직교 행렬은 비퇴화 블록에서 직교하는 블록 행렬로 대체되고, 대각 행렬은 퇴화 차원을 따라 0 값을 갖는 항목을 갖는다. 비퇴화 부분 공간의 새로운 벡터가 다음 식을 따라 단위 벡터로 정규화되는 경우:

:$\backslash widehat\{e\_i\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt$

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📌 열 고정 해제

}e_i,

이 정규화된 벡터는 제곱하면 +1 또는 -1이 되어야 한다. 실베스터의 관성 법칙에 의해, 대각 행렬을 따라 +1과 -1의 총 개수는 불변이다. 제곱하면 +1이 되는 이러한 벡터의 총 개수 $p$와 제곱하면 -1이 되는 총 개수 $q$는 불변이다. (제곱하면 0이 되는 기저 벡터의 총 개수도 불변이며, 퇴화 경우를 허용하는 경우 0이 아닌 값이 될 수 있다.)

"k-벡터"라는 용어는 종종 하나의 등급의 원소만 포함하는 다중벡터를 설명하기 위해 사용된다. 고차원 공간에서, 그러한 다중벡터 중 일부는 블레이드가 아니다(k개의 벡터의 외적으로 인수분해될 수 없다). 예를 들어, $\backslash mathcal\{G\}(4,0)$에서 $e\_1\; \backslash wedge\; e\_2\; +\; e\_3\; \backslash wedge\; e\_4$는 인수분해될 수 없다.

5.2. 베르소르

versor^영어는 가역 벡터들의 기하적 곱으로 표현될 수 있는 멀티벡터이다. 베르소르는 회전과 반사를 포함하는 등거리 변환을 나타내는 데 사용된다.

립시츠 군과 베르서 군은 서로 다른 정의를 가지고 있지만, 실제로는 같은 군(Group)이다.

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📌 열 고정 해제

부분군	정의	기하 대수학 용어
$\backslash Gamma$	$\backslash \{\; S\; \backslash in\; \backslash mathcal\{G\}^\{\backslash times\}\; \backslash mid\; \backslash widehat\{S\}\; V\; S^\{-1\}\; \backslash subseteq\; V\; \backslash \}$	베르서
$\backslash operatorname\{Pin\}$	$\backslash \{\; S\; \backslash in\; \backslash Gamma\; \backslash mid\; S\; \backslash widetilde\{S\}\; =\; \backslash pm\; 1\; \backslash \}$	단위 베르서
$\backslash operatorname\{Spin\}$	$\{\backslash operatorname\{Pin\}\}\; \backslash cap\; \backslash mathcal\{G\}^\{[0]\}$ || 짝수 단위 베르서
$\backslash operatorname\{Spin\}^\{+\}$	$\backslash \{\; S\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Spin\}\; \backslash mid\; S\; \backslash widetilde\{S\}\; =\; 1\; \backslash \}$	회전자

5.3. 유사 스칼라

주어진 공간에서 가장 높은 등급의 블레이드를 유사 스칼라라고 한다.