기호의 남용

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1. 개요
2. 수학적 대상
3. 해석학 및 기타 분야에서의 남용
4. 주관성
5. 부르바키
참조

1. 개요

기호의 남용은 수학적 대상, 함수 표기법, 등식, 동치류 등에서 나타나는, 엄밀한 의미와 다른 기호를 사용하는 것을 의미한다. 이는 수학적 표현을 단순화하고 이해를 돕기 위해 널리 사용되지만, 오해를 불러일으킬 수 있다. 예를 들어, 정수 집합, 군, 환을 모두 ℤ로 표기하거나, 함수 f와 f(x)를 혼용하는 경우가 있다. 해석학에서는 도함수 표기법 dy/dx를 분수처럼 취급하거나, 델 연산자 ∇를 벡터처럼 사용하는 것 등이 기호의 남용에 해당한다. 이러한 기호의 남용은 문맥에 따라 정당화될 수 있으며, 부르바키와 같은 수학자들은 정확성과 단순함 사이의 균형을 유지하기 위해 이러한 관행에 주의를 기울였다.

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기호의 남용
기호 남용
정의	수학적 표기법이 엄밀한 의미에서 올바르지 않거나, 기존의 합의된 의미와 일치하지 않지만, 일반적으로 이해하기 쉽고 의미를 명확히 전달할 수 있기 때문에 사용되는 관행이다.
설명
개요	"기호 남용"은 때때로 부정적인 의미로 사용될 수 있지만, 많은 경우에 수학자들은 엄격함을 유지하면서도 의사 소통을 간소화하기 위해 의도적으로 사용한다. 이러한 관행은 독자나 청중이 문맥을 통해 저자의 의도를 정확하게 파악할 수 있다는 가정하에 이루어진다.
예시	미분기하학에서 접선 공간을 나타낼 때, 다양체 위의 점 p에서의 접선 공간 TpM을 간단히 M으로 표기하는 경우가 있다. 선형대수학에서 벡터 공간 V와 부분 공간 W가 주어졌을 때, 몫공간 V/W를 나타낼 때, V의 원소 v의 몫공간에서의 동치류를 v + W 대신 v로 표기하는 경우가 있다. 측도론에서, 함수 f가 르베그 적분 가능할 때, ∫f(x)dx 대신 ∫f로 표기하는 경우가 있다. 집합론에서, 순서수 α의 멱집합을 P(α) 대신 2^α로 표기하는 경우가 있다. 군론에서, 군 G의 원소 g의 위수를 \|g\|로 표기하는 경우가 있다.
주의사항	기호 남용은 수학적 엄밀성을 해칠 수 있으므로, 사용에 주의해야 한다. 특히, 정의가 명확하지 않거나, 문맥이 불분명한 경우에는 사용을 피해야 한다.
같이 보기
관련 항목	수학적 표기법 수학적 엄밀성

2. 수학적 대상

많은 수학적 대상은, 종종 기본 집합이라고 불리는, 몇 가지 추가적인 구조, 예를 들어 수학적 연산이나 위상을 갖춘 집합으로 구성된다. 기본 집합과 구조화된 객체에 동일한 표기법을 사용하는 것은 표기법의 남용으로 흔히 발생한다 (이 현상은 ''매개변수 억제''라고 알려져 있다^[3]).

2. 1. 구조화된 수학적 대상

수학적 대상은 종종 기본 집합에 수학적 연산이나 위상과 같은 추가적인 구조를 덧붙인 집합으로 구성된다. 이러한 기본 집합과 구조화된 객체에 동일한 표기법을 사용하는 것은 "매개변수 억제"라고 불리는 표기법 남용의 흔한 예시이다.^[3] 예를 들어,

\mathbb Z

는 정수의 집합, 덧셈과 함께 정수의 군, 또는 덧셈과 곱셈과 함께 정수의 환을 나타낼 수 있다.

일반적으로 참조 대상이 명확하다면 문제가 되지 않지만, 혼란을 피하기 위해 덧셈을 가진 정수 군은

(\mathbb Z, +)

, 정수 환은

(\mathbb Z, +, \cdot)

와 같이 표기하여 구별할 수 있다.

마찬가지로, 위상 공간은 집합 (기본 집합)과 위상

\mathcal{T}

(열린 집합의 집합)으로 구성된다. 보통 하나의 위상만 고려하므로, 를 기본 집합과 쌍

(X, \mathcal{T})

모두를 지칭하는 데 사용해도 문제가 없다. 그러나 동일 집합에 두 개의 다른 위상을 고려할 때는

(X, \mathcal{T})

및

(X, \mathcal{T}')

와 같이 표기하여 구별해야 한다.

군은 군 연산이 문맥상 명확할 때에는 단순히 로 표기된다.

2. 2. 함수 표기법

많은 교과서에서 "함수

f(x)

를 생각해 보자"와 같은 문장을 접할 수 있다. 이는 기호의 남용인데, 함수의 이름은

f

이며,

f(x)

는 정의역의 원소

x

에 대한

f

의 값을 나타내기 때문이다. 보다 정확한 표현은 "변수

x

에 대한 함수

f

를 생각해 보자" 또는 "

x \mapsto f(x)

를 함수로 정의하자"와 같다. 이러한 기호의 남용은 표현을 단순화하므로 널리 사용되며, 정확한 기호를 체계적으로 사용하면 지나치게 세세하게 보일 수 있다.

유사한 기호의 남용은 "함수

x^2 + x + 1

을 생각해 보자"와 같은 문장에서 발생하는데, 사실

x^2 + x + 1

은 그 자체로 함수가 아니라 다항식 식이기 때문이다.

x^2 + x + 1

을

x

에 대응시키는 함수는

x \mapsto x^2 + x + 1

로 나타낼 수 있다. 그럼에도 불구하고, 이 기호의 남용은 더 간결하면서도 일반적으로 혼동을 일으키지 않으므로 널리 사용된다.

"f(x)^영어를 함수로 한다"와 같은 표현이 종종 사용되지만, 이는 기호의 남용이다. 함수란 f^영어를 의미하며, f(x)^영어는 정의역의 원소 x^영어를 f^영어에 의해 얻은 값이므로, 엄밀히 말하면 "f^영어를 변수 x^영어의 함수로 한다" 또는 "x 를 함수로 한다"라고 쓰는 것이 옳지만, 기술의 간편함을 위해 기호의 남용이 널리 사용되고 있다.

마찬가지로 예를 들어 "함수 x² + x + 1^영어을 생각한다"라는 표현도 기호의 남용이며, 원래 함수는 x^영어에 x² + x + 1^영어을 대응시키는 규칙이지만, 이 역시 혼란을 야기하지 않기 때문에 널리 사용되고 있다. 하지만 대부분의 수식 처리 시스템에서는 수식과 함수를 구분하기 때문에, 컴퓨터 대수 초보자는 이러한 습관 때문에 종종 잘못된 입력을 하는 경우가 있다.

2. 3. 등식과 동형

많은 수학적 대상은 수학적 연산이나 위상과 같이 추가적인 구조를 갖춘 집합으로 구성된다. 수학에서 서로 다른 방식으로 구성된 객체들이 동일한 속성(동형)을 가질 수 있다.^[2] 예를 들어, 데카르트 곱의 결합 법칙은 다음과 같다.

:

(E \times F) \times G = E \times (F \times G) = E \times F \times G

.

하지만 엄밀히 말하면 이는 사실이 아니다. 만약

x \in E

,

y \in F

,

z \in G

라면, 항등식

((x, y), z) = (x, (y, z))

는

(x, y) = x

와

z = (y, z)

를 의미하며, 따라서

((x, y), z) = (x, y, z)

는 아무 의미가 없게 된다. 하지만 이러한 등식은 범주론에서 자연 동형 개념을 사용하여 정당화할 수 있다.^[2]

"8차 비가환군은 2개 있다"라는 표현은 더 정확하게는 "8차 비가환군의 동형류가 2개 있다"라는 뜻이다.^[2]

2. 4. 동치류

동치류를 나타낼 때, [ ''x'' ] 대신 ''x''를 사용하는 것은 기호의 남용이다. 형식적으로, 집합 ''X''가 동치 관계에 의해 분할되면, 각 ''x'' ∈ ''X''에 대해 동치류 { ''y'' ∈ ''X'' | ''y'' ~ ''x'' }는 [ ''x'' ]로 표시된다. 그러나 실제로는, 논의의 나머지 부분이 기본 집합의 개별 요소보다는 동치류에 초점을 맞추고 있다면, 논의에서 대괄호를 생략하는 것이 일반적이다.

예를 들어, 모듈러 산술에서 유한군의 차수 ''n''에 대해 ''x'' ~ ''y''는 ''x'' ≡ ''y'' (mod ''n'')인 경우에만 성립한다는 동치 관계를 통해 정수를 분할하여 군을 형성할 수 있다. 그러면 해당 군의 요소는 [0], [1], ..., [ ''n'' − 1]이 되지만, 실제로는 0, 1, ..., ''n'' − 1로 간단히 표시된다.

또 다른 예는 측도 공간에 대한 가측 함수(혹은 클래스)의 공간 또는 르베그 적분 가능한 함수의 클래스로, 동치 관계는 "거의 모든 곳에서" 동일하다는 것이다.

3. 해석학 및 기타 분야에서의 남용

해석학에서 도함수의 라이프니츠 표기법인 $\frac{dy}{dx}$ 를 분수처럼 취급하여 연쇄 법칙을 표현하거나, 미분 방정식을 풀 때 변수 분리를 하는 것은 편리하지만 기호의 남용이다.^[4]

델 연산자 ∇를 편미분 연산자를 벡터로 나열한 것으로 정의하여 기울기, 발산, 회전을 표현하는 것 역시 기호의 남용이다. ∇는 벡터처럼 작동하여 편리하지만, 벡터와 가환하지 않는 등 벡터의 모든 속성을 만족하지는 않는다.^[4]

벡터의 외적을 행렬식을 사용하여 나타내는 것, 란다우 표기법에서 ''f''(''x'') = ''O''(''g''(''x''))''라고 쓰는 것, 디랙 델타 "함수"를 함수처럼 취급하는 것 또한 기호의 남용에 해당한다.^[4]

3. 1. 도함수

해석학에서의 도함수의 라이프니츠 표기법

\frac{dy}{dx}

에 관한 어떤 대수적 조작은 기호의 남용이다.

\frac{dy}{dx}

를 분수처럼 취급하는 것은 종종 편리하다. 예를 들어 합성함수의 미분에 대해

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

는 옳다(연쇄 법칙). 다른 예는 미분 방정식을 풀 때의 변수 분리이다. 방정식

\frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{h(y)}

를

h(y)dy = g(x)dx

로 다시 쓰고, 적분하는 것이다.

관련된 기호의 남용으로,

\int \frac{1}{x} dx

와 같은 적분을

\int \frac{dx}{x}

라고, 마치

dx

가

\frac{1}{x}

에 곱해진 인자인 것처럼 쓴다.

이러한 조작은 미분 형식의 이론으로 엄밀하게 할 수 있다.

3. 2. 나블라 연산자

델 연산자 ∇는 편미분 연산자를 벡터로 나열한 것이다.

:∇=(∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z).

이를 통해 기울기 ∇''f'', 발산 ∇⋅v, 회전 ∇×v와 같은 표기가 가능하다. ∇는 많은 경우 벡터처럼 작동하므로 이 표기법은 매우 편리하지만, ∇는 벡터와 가환하지 않으며 벡터의 ''모든'' 속성을 만족하는 것은 아니므로 기호의 남용이라고 할 수 있다.

3. 3. 외적

벡터 '''a''' = (''a''₁, ''a''₂, ''a''₃)와 '''b''' = (''b''₁, ''b''₂, ''b''₃)의 외적을 형식적으로 행렬식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix}

(첫 번째 행에 대해 "여인수 전개"를 한다.) 이것은 기호 남용이지만 외적을 기억하는 방법이자 계산에서도 유용하다^[4]。

3. 4. 란다우 표기법

란다우 표기법에서 ''f''(''x'') ''는'' ''O''(''g''(''x''))'' ''이다''라고 말하거나, ''f''(''x'') = ''O''(''g''(''x''))''라고 쓰는 것은 기호의 남용이다.

3. 5. 디랙 델타 함수

디랙 델타 "함수"는 함수가 아니지만, 예를 들어 컨볼루션을 계산할 때 종종 함수로 취급된다.

4. 주관성

"언어의 남용"과 "표기법의 남용"이라는 용어는 문맥에 따라 의미가 달라진다. 예를 들어, 에서 로의 부분 함수를 ""로 쓰는 것은 일반적으로 표기법의 남용이다.^[3] 하지만, 범주론에서는 ''f''를 집합과 부분 함수의 범주에서 사상으로 볼 수 있으므로 이러한 표기법이 허용될 수 있다.

5. 부르바키

니콜라 부르바키의 저서에는 "용어의 남용"이라는 표현이 자주 등장한다.^[5] 부르바키는 단순함을 희생하지 않으면서도 엄밀하고 정확한 언어를 사용하기 위해 노력했으며, 읽기 어려울 정도로 용어의 남용에 주의를 기울였다고 밝혔다.

참조

_[1] 웹사이트 Common Errors in College Math https://math.vanderb[...] 2019-11-03
_[2] 웹사이트 Glossary — Abuse of notation https://abstractmath[...]
_[3] 웹사이트 More about the languages of math — Suppression of parameters https://abstractmath[...]
_[4] 서적 Multivariable Calculus Brooks/Cole
_[5] 서적 Algebra I: Chapters 1-3 Springer

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