끝 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 끝 콤팩트화
3. 성질
- 3.1. 위상군
4. 예
5. 그래프와 군의 끝
- 5.1. 그래프의 끝
- 5.2. 군의 끝
6. CW 복합체의 끝
7. 역사
8. 한국 사회에 대한 함의
참조

1. 개요

끝(Ends)은 위상 공간의 '무한대'를 형식화하는 개념으로, 콤팩트 집합의 여집합의 연결 성분들을 통해 정의된다. 위상 공간의 끝은 콤팩트화에 사용되며, 끝 콤팩트화는 항상 콤팩트 공간이다. 끝은 위상 공간 범주에서 집합 범주로의 함자를 형성하며, 위상군과 같은 특정 공간의 특성을 결정하는 데 사용된다. 예를 들어, 실수선은 두 개의 끝을 가지며, 유클리드 공간은 차원에 따라 하나의 끝을 갖는다. 그래프 이론과 군론에서도 끝의 개념이 사용되며, 무한 그래프와 유한 생성군의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 이 개념은 한스 프로이덴탈에 의해 1931년에 도입되었다.

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끝 (위상수학)
위상수학적 끝
분야	위상수학, 기하학
관련 개념
관련 개념	콤팩트화, 경계, 프레게-라이데마이스터 끝, 스톤-체흐 콤팩트화

2. 정의

위상 공간 $X$ 가 주어졌다고 하자. $X$ 의 '''끝'''(영어: end)은 콤팩트 집합을 제거했을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한으로 정의된다.

좀 더 자세히 설명하면, $X$ 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합 $\operatorname{Comp}(X)$ 를 생각한다. 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, 그 여집합의 연결 성분들의 집합 $\pi_0(X\setminus K)$ 를 생각할 수 있다.

각 포함 사상 $K\subseteq K'\subseteq X$ 에 대하여 자연스러운 함수

: $\pi_0(X\setminus K')\to\pi_0(X\setminus K)$

: $C'\mapsto C\iff C'\subseteq C\qquad\forall C\in\pi_0(X\setminus K),\;C'\in\pi_0(X\setminus K')$

가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한

: $\operatorname{Ends}(X)=\varprojlim_{K\in\operatorname{Comp}(X)}\pi_0(X\setminus K)$

를 취할 수 있다. $\operatorname{Ends}(X)$ 를 $X$ 의 끝들의 집합이라고 한다.

이 정의에 따르면, 끝의 집합은 사상이 "고유" 연속 사상인 위상 공간 범주에서 집합 범주로의 함자이다.

2. 1. 끝 콤팩트화

위상

X

가 주어졌을 때, 분리합집합

X\sqcup\operatorname{Ends}(X)

에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다.

:

\operatorname{Open}(X)\cup \left\{U\sqcup\{e\}\colon U\in\operatorname{Open}(X),\;e\in\operatorname{Ends}(X),\;\exists K\in\operatorname{Comp}(K)\colon e_K\subseteq U\right\}

여기서

\operatorname{Open}(X)

는

X

의 열린집합들의 족이다.

이를

X

의 '''끝 콤팩트화'''라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다.

X

를 위상 공간이라고 하고,

K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq \cdots

가

X

의 콤팩트 집합들의 증가하는 수열이고, 그 내부가

X

를 덮는다고 가정하자. 그러면

X

는 다음과 같은 모든 수열에 대해 하나의 '''끝'''을 갖는다.

U_1 \supseteq U_2 \supseteq U_3 \supseteq \cdots,

여기서 각

U_n

은

X\setminus K_n

의 연결 성분이다. 끝의 개수는 콤팩트 집합의 특정 수열

(K_i)

에 의존하지 않으며, 임의의 두 수열과 관련된 끝의 집합 사이에는 자연스러운 전단사가 존재한다.

이 정의를 사용하면, 끝

(U_i)

의 '''근방'''은 어떤

n

에 대해

V\supset U_n

을 만족하는 열린 집합

V

이다. 이러한 근방은 '''끝 콤팩트화'''에서 해당 무한대 점의 근방을 나타낸다(이 "콤팩트화"는 항상 콤팩트하지 않다. 위상 공간 ''X''는 연결되어 있고 국소적으로 연결되어야 한다).

위에 주어진 끝의 정의는 콤팩트 집합에 의한 소진을 갖는 공간

X

에만 적용된다(즉,

X

는 반콤팩트여야 한다). 그러나 다음과 같이 일반화할 수 있다.

X

를 임의의 위상 공간이라고 하고,

X

의 콤팩트 부분 집합의 직접 계

\{K\}

와 포함 사상을 고려한다. 해당 역 계

\{\pi_0(X\setminus K)\}

가 존재하며, 여기서

\pi_0(Y)

는 공간

Y

의 연결 성분의 집합을 나타내고, 각 포함 사상

Y\to Z

는 함수

\pi_0(Y)\to\pi_0(Z)

를 유도한다. 그러면

X

의 '''끝의 집합'''은 이 역 계의 역 극한으로 정의된다.

이 정의에 따르면, 끝의 집합은 사상이 단지 "고유" 연속 사상인 위상 공간 범주에서 집합 범주로의 함자이다. 명시적으로,

\varphi:X\to Y

가 고유 사상이고

x=(x_K)_K

가

X

의 끝(즉, 가족의 각 원소

x_K

는

X\setminus K

의 연결 성분이며 포함에 의해 유도된 사상과 호환됨)이면,

\varphi(x)

는

\varphi_*(x_{\varphi^{-1}(K')})

가족이다. 여기서

K'

는 ''Y''의 콤팩트 부분 집합에 걸쳐 있고,

\varphi_*

는

\varphi

에 의해

\pi_0(X \setminus \varphi^{-1}(K'))

에서

\pi_0(Y \setminus K')

로 유도된 사상이다.

\varphi

의 고유성은 각

\varphi^{-1}(K)

가

X

에서 콤팩트임을 보장하는 데 사용된다.

위에 주어진 원래 정의는 콤팩트 부분 집합의 직접 계가 공종 수열을 갖는 특수한 경우를 나타낸다.

3. 성질

끝 집합은 위상 공간과 연속 고유 함수에 대한 함자를 이룬다.

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

$\operatorname{Top_{prop}}$ 은 위상 공간을 대상으로 하고, 연속 고유 함수를 사상으로 하는 범주이다.
$\operatorname{Set}$ 은 집합과 함수의 범주이다.

끝 집합은 함자

:

\operatorname{Ends}\colon\operatorname{Top_{prop}}\to\operatorname{Set}

를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수

f\colon X\to X'

및 끝

(C_K)_{K\in\operatorname{Comp}(X)}

에 대하여,

:

\operatorname{Ends}(f)\colon(C_K)_{K\in\operatorname{Comp}(X)}\mapsto\left(f_{*,K'}C_{f^{-1}(K')}\right)_{K'\in\operatorname{Comp}(X')}

이다. 여기서

:

f_{*,K'}\colon\pi_0(X\setminus f^{-1}(K'))\to\pi_0(X'\setminus K')

는

f

로 유도되는 표준적인 함수이다.

X

를 위상 공간이라고 하고,

:

K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq \cdots

가

X

의 콤팩트 집합들의 증가하는 수열이고, 그 내부가

X

를 덮는다고 가정하자. 그러면

X

는 다음과 같은 모든 수열에 대해 하나의 끝을 갖는다.

:

U_1 \supseteq U_2 \supseteq U_3 \supseteq \cdots,

여기서 각

U_n

은

X\setminus K_n

의 연결 성분이다. 끝의 개수는 콤팩트 집합의 특정 수열

(K_i)

에 의존하지 않으며, 임의의 두 수열과 관련된 끝의 집합 사이에는 자연스러운 전단사가 존재한다.

이 정의를 사용하면, 끝

(U_i)

의 '''근방'''은 어떤

n

에 대해

V\supset U_n

을 만족하는 열린 집합

V

이다.

위에 주어진 끝의 정의는 콤팩트 집합에 의한 소진을 갖는 공간(반콤팩트 공간)

X

에만 적용된다. 그러나 다음과 같이 일반화할 수 있다.

X

를 임의의 위상 공간이라고 하고,

X

의 콤팩트 부분 집합의 직접 계

\{K\}

와 포함 사상을 고려한다. 해당 역 계

\{\pi_0(X\setminus K)\}

가 존재하며, 여기서

\pi_0(Y)

는 공간

Y

의 연결 성분의 집합을 나타내고, 각 포함 사상

Y\to Z

는 함수

\pi_0(Y)\to\pi_0(Z)

를 유도한다. 그러면

X

의 '''끝의 집합'''은 이 역 계의 역 극한으로 정의된다.

이 정의에 따르면, 끝의 집합은 사상이 고유 연속 사상인 위상 공간 범주에서 집합 범주로의 함자이다.

3. 1. 위상군

경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.^[1]

4. 예

콤팩트 공간은 정의에 따라 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.

모든 콤팩트 공간의 끝점 집합은 공집합이다.
$\mathbb{R}^2$ 에서 원점에서 시작하는 ''n''개의 서로 다른 반직선의 합집합은 ''n''개의 끝점을 갖는다.
무한 완전 이진 트리는 루트에서 시작하는 무수히 많은 서로 다른 내림 경로에 해당하는, 셀 수 없이 많은 끝점을 갖는다. 이러한 끝점들은 무한 트리의 "잎"이라고 생각할 수 있다. 끝점 콤팩트화에서 끝점 집합은 칸토어 집합의 위상을 갖는다.

4. 1. 실수선

실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 이 두 끝점은 각각 양의 무한대와 음의 무한대로 불린다. 예를 들어, ''K''_''n''을 닫힌 구간 [-''n'','' ''n'']이라고 하면, 두 개의 끝점은 열린 집합의 수열 ''U''_''n'' = (''n'','' ∞)와 ''V''_''n'' = (-∞, -''n'')이다.

4. 2. 유클리드 공간

2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가진다. 이는 모든 콤팩트 집합 ''K''에 대해

\mathbb{R}^n \smallsetminus K

가 하나의 무경계 연결 성분만을 가지기 때문이다. n^영어 > 1이면, 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

은 하나의 끝점만 갖는다.^[1]

4. 3. 다양체

콤팩트 다양체

M

에서 유한 개의 점

x_1, x_2, \dots, x_n \in M

을 제거하면,

M \setminus \{x_1, \dots, x_n\}

은

n

개의 끝을 갖는다. 이때 끝 콤팩트화는 원래의 다양체

M

이 된다.

5. 그래프와 군의 끝

그래프 이론에서 무한 그래프의 끝은 그래프 내의 반무한 경로의 동치류 또는 헤이븐으로 정의된다. 헤이븐은 유한한 정점 집합을 여집합의 연결 요소에 매핑하는 함수이다. 국소 유한 그래프(각 정점이 유한 차수를 갖는 그래프)의 경우, 이러한 방식으로 정의된 끝은 그래프에서 정의된 위상 공간의 끝과 일대일로 대응된다.^[1]

유한 생성군의 끝은 해당 케일리 그래프의 끝으로 정의되며, 이 정의는 생성 집합의 선택에 의존하지 않는다. 모든 유한 생성 무한군은 1개, 2개 또는 무한히 많은 끝을 가지며, 군의 끝점에 관한 스탈링스 정리는 하나 이상의 끝을 가진 군에 대한 분해를 제공한다.

5. 1. 그래프의 끝

무한 그래프 그래프 이론에서 끝은 그래프 내의 반무한 경로의 동치류 또는 헤이븐으로 정의된다. 헤이븐은 유한한 정점 집합을 여집합의 연결 요소에 매핑하는 함수이다. 국소 유한 그래프(각 정점이 유한 차수를 갖는 그래프)의 경우, 이러한 방식으로 정의된 끝은 그래프에서 정의된 위상 공간의 끝과 일대일로 대응된다.^[1]

유한 생성군의 끝은 해당 케일리 그래프의 끝으로 정의되며, 이 정의는 생성 집합의 선택에 민감하지 않다. 모든 유한 생성 무한군은 1개, 2개 또는 무한히 많은 끝을 가지며, 군의 끝에 관한 스탈링스 정리는 하나 이상의 끝을 가진 군에 대한 분해를 제공한다.

5. 2. 군의 끝

유한 생성군의 끝은 해당 케일리 그래프의 끝으로 정의되며, 이 정의는 생성 집합의 선택에 민감하지 않다. 모든 유한 생성 무한군은 1개, 2개 또는 무한히 많은 끝을 가지며, 군의 끝점에 관한 스탈링스 정리는 하나 이상의 끝을 가진 군에 대한 분해를 제공한다.

6. CW 복합체의 끝

경로 연결된 CW 복합체의 경우, 끝은 ''X''에서 반직선이라고 하는, $\mathbb{R}^+\to X$ 의 proper 사상의 호모토피류로 특징지을 수 있다.^[1] 더 정확히 말하면, 이러한 사상 중 임의의 두 사상의 부분 집합 $\mathbb{N}$ 에 대한 제한 사이에 proper 호모토피가 존재한다면, 이들은 동치이며 proper 반직선의 동치류를 정의한다고 말한다.^[1] 이 집합을 ''X''의 '''끝'''이라고 한다.^[1]

7. 역사

끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다.^[2]

8. 한국 사회에 대한 함의

이전 출력이 없으므로, 주어진 원본 소스가 없이는 수정할 수 없습니다. 원본 소스를 제공해주시면, 지시사항에 따라 `끝 (위상수학)` 문서의 `한국 사회에 대한 함의` 섹션을 수정하고 위키텍스트 형식으로 출력하겠습니다.

참조

_[1] 논문 The theory of ends https://sites.ualber[...] 1990
_[2] 논문 Über die Enden topologischer Räume und Gruppen 1931

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