단사층

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 드람 코호몰로지의 계산
참조

1. 개요

단사층은 위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층의 범주에서 단사 대상인 층을 의미한다. 단사층은 섬세층, 물렁한 층, 말랑한 층, 비순환층 등과 같은 다른 종류의 층과 관련되어 있으며, 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동한다. 단사층은 플래비, 부드럽고 비순환적이기 때문에 다른 층보다 우수하며, 층 코호몰로지를 정의하는 데 사용된다. 단사층, 섬세층, 물렁한 층, 비순환층 사이의 관계가 존재하며, 드람 코호몰로지를 계산하는 데 활용될 수 있다.

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단사층
정의
정의	층 이론에서, 단사층은 모든 단사 사상에 대해 확장 성질을 갖는 층이다.
성질
아벨 범주	단사층은 아벨 범주를 이룬다.
분해	아벨 범주의 모든 대상은 단사 대상으로의 단사 분해를 갖는다.
연산	단사층의 직합은 단사층이다.
가환성	단사층의 텐서곱은 일반적으로 단사층이 아니다.
국소화	스킴 위의 층의 경우, 국소화를 통해 단사층을 판별할 수 있다.
관련 개념
연관 개념	가해층 섬세층 비순환층
관련 정리	동북 논문 르레 스펙트럼 열

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군 값을 갖는 층들은 아벨 범주 $\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})$ 를 이룬다. 이 범주는 항상 충분한 단사 대상을 가지며, 이러한 단사 대상을 '''단사층'''이라고 부른다.

단사층 외에도 층의 특별한 성질을 나타내는 여러 개념들이 정의되어 사용된다. 대표적인 예로는 다음 층들이 있다.

'''섬세층'''(纖細層, fine sheaf^영어, faisceau fin^프랑스어)
'''물렁한 층'''(soft sheaf^영어, faisceau mou^프랑스어)
'''말랑한 층'''(flabby sheaf^영어, faisceau flasque^프랑스어)
'''비순환층'''(非循環層, acyclic sheaf^영어, faisceau acyclique^프랑스어)

이러한 개념들은 특히 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 정의된 층을 다룰 때 유용하게 사용된다. 하지만 대수다양체와 같이 다른 종류의 위상 공간에서는 이러한 성질들이 잘 성립하지 않거나 그 유용성이 떨어질 수 있다. 각 층의 구체적인 정의와 성질은 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

2. 1. 단사층

위상 공간

X

위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주

\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})

는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지는 않는다.

X

위의 아벨 군 층의 범주에서 단사 대상이 되는 층을 '''단사층'''이라고 한다. 즉, 아벨 군층

\mathcal F

가 단사층이라는 것은, 임의의

층 $\mathcal B\in\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})$
$\mathcal B$ 의 부분층 $\mathcal A\subseteq \mathcal B$
층 준동형 $\phi\colon\mathcal A\to\mathcal F$

가 주어졌을 때, 항상

\tilde\phi|_{\mathcal A}=\phi

를 만족하는 층 준동형

\tilde\phi\colon\mathcal B\to\mathcal F

가 존재한다는 의미이다.

이 밖에도 단사층과 관련된 개념으로 다음 층들이 있다.

'''섬세층'''(纖細層, fine sheaf^eng, faisceau fin^fra)
'''물렁한 층'''(soft sheaf^eng, faisceau mou^fra)
'''말랑한 층'''(flabby sheaf^eng, faisceau flasque^fra)
'''비순환층'''(非循環層, acyclic sheaf^eng, faisceau acyclique^fra)

이 개념들은 파라콤팩트 공간 하우스도르프 공간 위에서는 유용하게 사용되지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 적용되지 않는 경우가 많다.

아벨 층의 범주는 충분한 단사 대상을 가진다. 이는 어떤 층이든 항상 어떤 단사층의 부분층으로 표현될 수 있다는 것을 의미한다. 알렉산더 그로텐디크가 증명한 이 결과는 범주의 ''생성자''(명시적으로 기술 가능하며, 부분 대상 분류기와 관련이 있다)의 존재로부터 도출된다. 이 성질은 임의의 좌 완전 함자에 대해 우 도함수가 존재하며, 표준 동형을 제외하고 유일하다는 것을 보이는 데 충분하다.

기술적인 관점에서 단사층은 위에서 언급된 다른 종류의 층들(말랑한 층, 물렁한 층, 비순환층 등)보다 일반적으로 더 다루기 편리하다. 단사층은 다른 층들이 가지는 유용한 성질들을 대부분 포함하면서도, 그 이론이 더 간결하고 일반적이기 때문이다. 실제로 모든 단사층은 말랑한 층(flabby), 물렁한 층(soft), 비순환층(acyclic)의 성질을 모두 만족한다. 그럼에도 불구하고, 특정 상황, 특히 구체적인 계산을 수행할 때는 다른 종류의 층들이 더 자연스럽게 등장하기도 한다.

단사층의 쌍대 개념인 '''사영층'''은 일반적인 층의 범주에서는 그 수가 충분하지 않기 때문에 상대적으로 덜 사용된다. 즉, 모든 층이 사영층의 몫(quotient)으로 표현될 수 있는 것은 아니며, 특히 사영 분해가 항상 존재하지 않는다. 예를 들어, 자리스키 위상을 갖는 사영 공간 위의 층의 범주가 이러한 경우에 해당한다. 이는 Tor와 같은 우 완전 함자의 좌 도함수를 정의하려고 할 때 문제를 일으킨다. 때로는 평탄 분해를 사용하는 등의 임시적인 방법으로 이 문제를 해결하기도 하지만, 이 경우 정의된 함자가 분해 방식의 선택에 의존하지 않음을 별도로 보여야 하는 어려움이 있다. 물론 모든 층의 범주가 이러한 문제를 겪는 것은 아니며, 예를 들어 아핀 스킴 위의 층의 범주는 충분한 사영 대상을 가진다.

2. 2. 섬세층

위상 공간

X

와 그 열린 덮개

\{U_i\}_{i\in I}

및 아벨 군 값을 갖는 층

\mathcal F

가 주어졌다고 하자. 이때,

\{U_i\}_{i\in I}

에 종속된

\mathcal F

의 '''단위 분할'''은 각

i\in I

에 대한 자기 사상

\phi_i\in\operatorname{End}(\mathcal F)

들의 모임으로, 다음 조건들을 만족시킨다.

각 $i\in I$ 에 대하여, $\phi_i$ 의 지지집합은 $U_i$ 에 포함된다 ( $\operatorname{supp}\phi_i\subseteq U_i$ ).
각 점 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 를 포함하는 지지집합을 갖는 $\phi_i$ 들의 집합 $\{i\in I\colon x\in\operatorname{supp}\phi_i\}$ 는 유한 집합이다.
모든 $\phi_i$ 들의 합 $\textstyle\sum_i\phi_i$ 는 $\mathcal F$ 위의 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간

X

위의 아벨 군층

\mathcal F

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 '''섬세층'''이라고 한다.

자기 사상들의 층 $\operatorname{End}(\mathcal F)$ 이 물렁한 층이다.
임의의 열린 덮개에 대하여, 그 덮개에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

즉, 섬세층은 공간

X

의 임의의 열린 덮개가 주어졌을 때, 각 덮개 원소 바깥에서는 영 사상(

0

)이 되고 합해서 항등 사상(

1

)이 되는 자기 준동형 사상들의 모임(단위 분할)을 찾을 수 있는 층이다.

섬세층은 주로 파라콤팩트 하우스도르프 공간

X

위에서 다루어진다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 실수 값 연속 함수들의 싹으로 이루어진 층
매끄러운 (파라콤팩트 하우스도르프) 다양체 위의 매끄러운 함수들의 싹으로 이루어진 층
위와 같은 환들의 층 위의 가군층

또한, 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 섬세층은 연약하고(flabby) 비환형적(acyclic)이다.

매끄러운 다양체 위의 층에 대해, 알렉산더-스패니어 분해(Alexander–Spanier resolution)를 사용하여 섬세층으로 구성된 분해를 찾을 수 있다.^[1]^[2]

섬세층의 중요한 응용 중 하나는 드람 코호몰로지 계산이다. 실수 다양체

X

를 생각해보자. 상수층

\mathbb{R}

은 매끄러운 미분 형식들의 층

C^k_X

(여기서

k

는 미분 형식의 차수)을 이용하여 다음과 같은 분해를 가진다. 이 층들은 모두 섬세층이다.

:

0\to\mathbb{R}\to C^0_X \xrightarrow{d_0} C^1_X \xrightarrow{d_1} \cdots \xrightarrow{d_{\dim X-1}} C^{\dim X}_X \to 0.

여기서

d_k

는 외미분 연산자이다. 푸앵카레 보조정리에 따르면, 이 열은 완전 복합체를 이루며, 이를 드람 분해라고 한다. 섬세층은 비환형적이므로, 이 분해를 이용하여

X

의 실수 계수 층 코호몰로지

H^i(X,\mathbb{R})

를 전역적으로 정의된 미분 형식들의 복합체

C^\bullet_X(X)

의 코호몰로지, 즉 드람 코호몰로지

H^i_{dR}(X)

로 계산할 수 있다.

:

H^i(X,\mathbb{R}) \cong H^i(C^\bullet_X(X)) =: H^i_{dR}(X).

2. 3. 물렁한 층

위상 공간

X

위의 아벨 군층

\mathcal F

에 대하여, 그 에탈레 공간

\pi_{\mathcal F}\colon E\twoheadrightarrow X

을 정의할 수 있다.

X

의 부분 집합

C\subseteq X

위에서 정의되고

\pi_{\mathcal F}\circ s=\operatorname{id}_C

를 만족하는 연속 함수

s\colon C\to E

를

\mathcal F

의

C

위의 '''단면'''이라고 하며, 이러한 단면들의 집합을

\Gamma(C;\mathcal F)

라고 표기한다.

위상 공간

X

위의 아벨 군층

\mathcal F

에 대하여, 만약

X

의 모든 닫힌집합

C\subseteq X

위의 임의의 단면

s \in \Gamma(C;\mathcal F)

가

X

전체의 단면

\tilde{s} \in \Gamma(X;\mathcal F)

으로 확장될 수 있다면 (즉,

\tilde{s}|_C = s

),

\mathcal F

를 '''물렁한 층'''(soft sheaf^영어)이라고 한다.

위상 공간

X

위의 아벨 군층

\mathcal F

에 대하여, 만약

X

의 모든 콤팩트 집합

K\subseteq X

위의 임의의 단면

s \in \Gamma(K;\mathcal F)

가

X

전체의 단면

\tilde{s} \in \Gamma(X;\mathcal F)

으로 확장될 수 있다면,

\mathcal F

를 '''콤팩트 물렁한 층'''(c-soft sheaf^영어)이라고 한다.

2. 4. 말랑한 층

위상 공간

X

위의, 특정 구체적 범주

\mathcal C

의 값을 갖는 층

\mathcal F

가 주어졌을 때, 임의의 두 열린집합

V\subseteq U\subseteq X

에 대하여 제한 사상

:

\operatorname{res}_{UV}\colon\Gamma(U,\mathcal F)\to\Gamma(V,\mathcal F)

이 항상 전사 함수라면,

\mathcal F

를 '''말랑한 층'''이라고 부른다.^[3]^[4] 이는 어떤 열린집합에 정의된 단면이라도 공간 전체로 확장할 수 있음을 의미한다.

"말랑하다"는 이름은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 마치 말랑말랑한 찰흙처럼 다루기 쉽다는 것에 빗댄 것이다.^[3] 이 용어는 프랑스어 flasque^fra 또는 영어 flabby^eng를 번역한 것으로, 문헌에 따라 '''취약층''' 또는 '''단사층'''(늘어진 층) 등 다양한 이름으로 불리기도 한다.

말랑한 층은 정의상 단면을 확장할 수 있기 때문에 호몰로지 대수적 관점에서 다루기 쉬운 층 중 하나이다. 모든 층은 그 에탈레 공간의 모든 불연속 단면으로 이루어진 말랑한 층으로 표준적으로 매장될 수 있으며, 이 과정을 반복하여 임의의 층에 대한 표준적인 '''말랑한 분해'''(flasque resolution) 또는 '''취약 분해'''를 구성할 수 있다. 이러한 분해는 층 코호몰로지를 정의하는 한 가지 중요한 방법이다.

또한, 모든 말랑한 층은 연약층(soft sheaf)이며 비순환층(acyclic sheaf)의 성질을 만족한다.

2. 5. 비순환층

위상 공간

X

위의 아벨 군층

\mathcal F

에 대해, 만약 모든 양수

i

에 대해

i

차 층 코호몰로지 군

H^i(X;\mathcal F)

가 자명군이라면,

\mathcal F

를 '''비순환층'''(acyclic sheaf)이라고 부른다.

:

H^i(X;\mathcal F)=0\qquad(\forall i>0)

0차 코호몰로지 군

H^0(X;\mathcal F)

는

X

위의

\mathcal F

의 대역적 단면들의 군

\Gamma(X;\mathcal F)

과 같으므로,

\mathcal F

가 자명한 층이 아니라면 일반적으로 자명군이 아니다.

임의의 층의 코호몰로지 군은 그 층의 비순환 분해를 이용하여 계산할 수 있다. 이를 드람-바일 정리라고 한다.

주입층, 취약층은 비순환층의 예시이다. 또한, 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 세층 역시 비순환층이다.

3. 성질

위상 공간 ''X'' 위의 아벨 군층 ℱ에 대하여 여러 가지 성질을 정의할 수 있다.

단사층(injective sheaf): 아벨 군층의 범주에서 단사 대상이 되는 층이다. 즉, 임의의 층 $\mathcal A$ 와 이를 포함하는 층 $\mathcal B$ 에 대하여, 준동형 사상 $\mathcal A \to \mathcal F$ 는 항상 $\mathcal B \to \mathcal F$ 로 확장될 수 있다. 아벨 군층의 범주는 충분한 단사 대상을 가지므로, 모든 층은 어떤 단사층의 부분층으로 나타낼 수 있다. 이는 층 코호몰로지와 같은 호몰로지 대수의 도구를 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 단사층은 아래에서 설명할 말랑한 층, 물렁한 층, 비순환층의 성질을 모두 만족한다.

말랑한 층(flasque^프랑스어, flabby sheaf^영어): 임의의 두 열린집합 ''V'' ⊆ ''U'' ⊆ ''X''에 대하여, 제한 사상 res_''UV'': Γ(''U'', ℱ) → Γ(''V'', ℱ)이 전사 함수인 층이다.^[3]^[4] 즉, 임의의 열린집합 ''V''에 정의된 단면을 더 큰 열린집합 ''U''의 단면으로 확장할 수 있다는 의미이다. (단, ''X'' 전체로의 확장은 보장되지 않을 수 있다.) 이름의 "말랑한"은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 비유적으로 표현한 것이다.
위상 공간 ''X'', ''Y'' 사이의 연속 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''가 주어졌을 때, ''X'' 위의 말랑한 층 ℱ의 직상 ''f''_\*ℱ는 ''Y'' 위에서 다시 말랑한 층이다.^[3]
위상 공간 ''X''의 열린집합 ''U'' 및 말랑한 층 ℱ에 대하여, 제약층 ℱ|_''U'' 역시 말랑한 층이다.
기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.^[3]

물렁한 층(soft sheaf): 임의의 닫힌집합 ''C'' ⊆ ''X'' 위의 모든 단면 ''s'' ∈ Γ(''C''; ℱ)을 ''X'' 전체의 단면 $\tilde{s}$ ∈ Γ(''X''; ℱ)으로 확장시킬 수 있는 층이다. 여기서 Γ(''C''; ℱ)는 ''C''의 모든 열린 근방 ''U''에 대한 단면들의 귀납적 극한 $\varinjlim_{U\supseteq C}\Gamma(U;\mathcal F)$ 으로 정의된다 (만약 ''X''가 파라콤팩트 공간일 경우).

콤팩트 물렁한 층(c-soft sheaf^영어): 임의의 콤팩트 집합 ''K'' ⊆ ''X'' 위의 모든 단면을 ''X'' 전체의 단면으로 확장시킬 수 있는 층이다.

섬세층(fine sheaf): 파라콤팩트 하우스도르프 공간 ''X'' 위의 아벨 군층 ℱ에 대하여, 임의의 열린 덮개 {''U''_''i''}_{''i''∈''I''}에 대해 이에 종속되는 '''단위 분할'''(partition of unity)이 존재하는 층이다. 단위 분할은 각 ''i''∈''I''에 대한 자기 사상 $\phi_i$ ∈End(ℱ)들의 모임으로, 각 $\phi_i$ 의 지지집합이 ''U''_''i''에 포함되고, 각 점 ''x''∈''X''에서 ''x''를 지지집합에 포함하는 $\phi_i$ 는 유한하며, 모든 $\phi_i$ 의 합은 항등 사상이 되는 조건을 만족한다. 이는 자기 사상의 층 End(ℱ)이 물렁한 층이라는 조건과 동치이다. 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 섬세층은 물렁하며 비순환적이다.

비순환층(acyclic sheaf): 모든 양수 차수 ''i'' > 0에 대하여 층 코호몰로지 군 ''H''^''i''(''X''; ℱ)이 자명군인 층이다. 즉, ''H''^''i''(''X''; ℱ) = 0 (∀ ''i'' > 0)이다. (0차 코호몰로지 군 ''H''⁰(''X''; ℱ) = Γ(''X''; ℱ)는 일반적으로 자명하지 않다.)

파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.

: 단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

: 단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

그러나 일반적으로 말랑한 층이면서 섬세층이 아닐 수도 있고, 섬세층이면서 말랑한 층이 아닐 수도 있다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소기하학 등에서 단사 분해(injective resolution) 대신 섬세층을 이용한 분해(fine resolution)를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 예를 들어, 돌보 분해(Dolbeault resolution)는 상수층 C를 미분 형식들의 섬세층으로 분해하는 대표적인 예이다. 이 분해를 이용하면 푸앵카레 보조정리에 의해 실수 다양체 ''X''의 드람 코호몰로지 ''H''^''i''_dR(''X'')를 전역적으로 정의된 미분 형식들의 코호몰로지로 계산할 수 있듯이, 복소다양체의 코호몰로지를 계산할 수 있다.

반면, 쌍대 개념인 사영층(projective sheaf)은 일반적인 층의 범주에서 충분히 많이 존재하지 않아 잘 사용되지 않는다. 모든 층이 사영층의 몫으로 표현되지 않으며, 사영 분해가 항상 존재하지 않을 수 있다. 이는 Tor 함자와 같은 우 완전 함자의 좌 도함수 함자를 정의할 때 어려움을 야기한다. 다만, 아핀 스킴 위의 층의 범주와 같이 충분한 사영 대상을 가지는 경우도 있다.

4. 예

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위에서 정의되는 아벨 군층 중 다음은 섬세층의 대표적인 예이다.

다양체 $M$ 위의 실수 연속 함수들의 층 $\mathcal C(M;\mathbb R)$
매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 매끄러운 함수들의 층 $\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$
매끄러운 다양체 $M$ 위의 $p$ 차 미분 형식들의 층 $\Omega^p(M)$ ^[1]^[2]
위의 실수 연속 함수 층이나 매끄러운 함수 층과 같은 환의 층 위의 가군

그러나 모든 층이 섬세층인 것은 아니다. 예를 들어, 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 이는 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수가 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수도 있기 때문이다.

4. 1. 드람 코호몰로지의 계산

매끄러운 다양체

M

위의 상수층

\underline{\mathbb R}

의 층 코호몰로지는 드람 코호몰로지를 이용하여 계산할 수 있다. 이는 상수층

\underline{\mathbb R}

이 미분 형식의 층

\Omega^k(M)

을 이용한 분해를 가지기 때문이다. 푸앵카레 보조정리에 의해 다음은 층의 완전 복합체(분해)가 된다.

:

0\to\underline{\mathbb R}\to\Omega^0(M)\xrightarrow{d}\Omega^1(M)\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^{\dim M}(M)\to 0

여기서

\Omega^k(M)

은

k

-형식의 층을 나타내고,

d

는 외미분이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서, 매끄러운 미분 형식의 층

\Omega^k(M)

은 '''섬세층(fine sheaf)'''이다. 섬세층은 비순환층(acyclic sheaf)의 중요한 예시이다. '''비순환층'''

\mathcal{F}

는

M

위의 층 중 모든 양의 차수(

i>0

) 층 코호몰로지 군

H^i(M;\mathcal F)

이 자명군(0)이 되는 층을 말한다. (0차 코호몰로지 군

H^0(M;\mathcal F)

는 층의 대역적 단면의 군

\Gamma(M;\mathcal F)

이므로 일반적으로 자명군이 아니다.)

어떤 층의 코호몰로지 군은 그 층의 임의의 비순환 분해(acyclic resolution)로부터 계산될 수 있다. 위의 미분 형식 층을 이용한 분해

0\to\underline{\mathbb R}\to\Omega^0(M)\to\Omega^1(M)\to\cdots

에서 각

\Omega^k(M)

은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서 이 분해는

\underline{\mathbb R}

의 비순환 분해이다. 드람-베유 정리에 따르면, 이러한 비순환 분해를 이용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 즉,

\underline{\mathbb R}

의 층 코호몰로지는 분해를 이루는 복합체

\Omega^\bullet(M)

의 코호몰로지와 동형이다.

:

H^i(M;\underline{\mathbb R})\cong H^i(\Gamma(M, \Omega^\bullet(M)))

우변은 정의에 따라

M

의 드람 코호몰로지

H^i_{\text{dR}}(M)

과 같다. 따라서, 실수 계수를 가지는 층 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 동형이다.

:

H^i(M;\underline{\mathbb R}) \cong H^i_{\text{dR}}(M)

그러나 돌보 코호몰로지를 계산할 때는 상황이 다르다. 복소다양체 위에서 정칙 함수층

\mathcal{O}

의 분해에 사용되는

(p,q)

-형식의 층

\Omega^{p,q}(M)

은 일반적으로 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서 드람-베유 정리를 직접 적용하여 돌보 코호몰로지를 계산할 수 없으며, 이 경우에는 초코호몰로지hypercohomology^영어와 스펙트럼 열과 같은 더 복잡한 도구를 사용해야 한다.^[1]^[2]

참조

_[1] 서적 Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups - Springer
_[2] 서적 Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups - Springer http://link.springer[...]
_[3] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[4] 서적 Sheaf theory Cambridge University Press 1975

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