팔원수

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 팔원수의 발견
3. 정의
4. 성질
5. 응용
6. 정수 팔원수
참조

1. 개요

팔원수는 8개의 실수 성분으로 이루어진 수 체계로, 1843년 존 T. 그레이브스와 아서 케일리에 의해 독립적으로 발견되었다. 팔원수는 덧셈과 곱셈 연산을 가지지만, 곱셈은 결합 법칙과 교환 법칙을 따르지 않는다. 팔원수는 켤레, 노름, 역수를 가지며, 7차원 외적과 관련이 있다. 팔원수는 예외적 리 군, 블랙홀 엔트로피, 끈 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 정수 팔원수는 E₈ 격자와 관련이 있다.

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팔원수
개요
팔원수의 곱셈을 나타내는 그림
종류	초복소수 대수
단위	e₀, ..., e₇
항등원	e₀
성질	비가환, 비결합
역사
창시자	아서 케일리
설명
정의	팔원수는 실수체에 대한 8차원 결합 대수이다. 팔원수는 사원수의 일반화된 형태이며, 실수, 복소수, 사원수에 이어 네 번째로 큰 노름 나눗셈 대수이다.
성질	팔원수는 결합 법칙을 만족하지 않지만, 교대 대수이다. 팔원수는 멱등원, 영인자, 켤레를 갖는다. 팔원수는 실수체 위에서 유일한 8차원 노름 나눗셈 대수이다.
응용
활용 분야	끈 이론 초끈 이론 특수 상대성 이론
관련 개념	리 군 리 대수 스핀 군
참고
관련 문서	사원수 초복소수 케일리-딕슨 구성

2. 역사

1818년 10월 7일, 덴마크의 수학자 카를 페르디난 데겐(Carl Ferdinand Degen|카를 페르디난 데겐^da)은 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 발견하였다.^[39] 이는 팔원수의 노름이 팔원수 곱셈과 호환된다는 것과 같다.

1843년 10월 6일, 윌리엄 로언 해밀턴은 사원수를 발견하고, 다음 날 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves|존 토머스 그레이브스^영어)에게 편지로 알렸다. 같은 해 크리스마스 즈음, 그레이브스는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하고, 이를 바탕으로 팔원수를 고안하였다. 그레이브스는 팔원수를 "옥타브"(octave^영어)라고 불렀으며, 윌리엄 로언 해밀턴에게 편지로 언급했으나, 대외적으로 발표하지는 않았다.

해밀턴은 1844년에 사원수 발견을 대외적으로 발표하였고, 곧 아서 케일리가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.^[40] 이 논문은 타원 함수에 대한 것이었는데, 거의 모두 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.^[38] 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만,^[41] 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

2. 1. 팔원수의 발견

1818년 10월 7일, 덴마크의 수학자 카를 페르디난 데겐(Carl Ferdinand Degen|카를 페르디난 데겐^da)은 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 발견하였다.^[39] 이는 팔원수의 노름이 팔원수 곱셈과 호환된다는 것과 같다.

1843년 10월 6일, 윌리엄 로언 해밀턴은 사원수를 발견하고, 다음 날 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves|존 토머스 그레이브스^영어)에게 편지로 이 발견을 알렸다. 같은 해 크리스마스 즈음, 그레이브스는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하고, 이를 바탕으로 팔원수를 고안하였다. 그레이브스는 팔원수를 "옥타브"(octave^영어)라고 불렀다. 그는 이 발견을 윌리엄 로언 해밀턴에게 편지로 언급했으나, 대외적으로 발표하지는 않았다.

해밀턴은 1844년에 사원수 발견을 대외적으로 발표하였고, 곧 아서 케일리가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.^[40] 이 논문은 타원 함수에 대한 것이었는데, 거의 모두 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.^[38] 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만,^[41] 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

1843년 12월, 존 T. 그레이브스는 친구 윌리엄 로언 해밀턴의 사원수 발견에 영감을 받아 팔원수를 발견했다. 그레이브스가 팔원수를 발견하기 직전인 1843년 10월 26일, 그레이브스는 해밀턴에게 보낸 편지에서 "만약 당신의 연금술로 금 세 파운드를 만들 수 있다면, 왜 거기서 멈춰야 하는가?"라고 적었다.^[1]

그레이브스는 자신의 발견을 "옥타브"라고 불렀으며, 1843년 12월 26일 해밀턴에게 보낸 편지에서 언급했다.^[2] 그는 아서 케일리의 논문보다 약간 늦게 자신의 결과를 처음 발표했다.^[3] 팔원수는 케일리에 의해 독립적으로 발견되었으며,^[4] 때로는 '''케일리 수''' 또는 '''케일리 대수'''라고 불린다. 해밀턴은 그레이브스의 발견 초기에 대해 설명했다.^[5]

3. 정의

팔원수는 8개의 실수 성분으로 이루어진 수 체계이다. 모든 팔원수는 8개의 '''단위 팔원수'''^[38]

: $\bigl\{ e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7 \bigr\}\ ,$

의 실수 선형 결합으로 표현할 수 있다. 여기서 $e_0$ 는 실수(스칼라) 성분이며, 1과 동일시된다. 즉, 모든 팔원수 $x$ 는

: $x = x_0 e_0 + x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4 + x_5 e_5 + x_6 e_6 + x_7 e_7\ ,$

와 같이 표현 가능하다. 여기서 $x_i$ 는 실수 계수이다.^[32] 팔원수의 곱셈은 사원수와 달리 결합적이지 않다.

3. 1. 덧셈과 뺄셈

팔원수의 덧셈과 뺄셈은 사원수와 마찬가지로 해당 항과 그 계수를 더하고 빼는 방식으로 수행된다.^[32] 팔원수는 실수의 튜플(tuple, 묶음)로 간주할 수 있다. 임의의 팔원수 ''x''는 ''e''₀을 스칼라 원 또는 실수원(실수와 동일시됨)으로 하는 단위 팔원수의 실수 계수 선형 결합으로, 적당한 실수 계수 {''x''_''i''}를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

x = x_0e_0 + x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 + x_4e_4 + x_5e_5 + x_6e_6 + x_7e_7

팔원수의 덧셈 및 뺄셈은 (사원수의 경우와 마찬가지로) 각각의 대응하는 항에서 해당 계수에 대한 덧셈 및 뺄셈으로 정의한다.^[32]

3. 2. 곱셈

팔원수의 곱셈은 덧셈에 대한 분배적이므로, 두 팔원수의 곱은 각 항의 곱을 더하여 계산할 수 있다. 각 항의 곱은 계수의 곱과 단위 팔원수의 곱셈표를 통해 구할 수 있다. 다음은 1845년 아서 케일리와 1843년 존 T. 그레이브스가 제공한 단위 팔원수의 곱셈표이다.^[7]

$e_ie_j$		$e_j$
$e_ie_j$		$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$
$e_i$	$e_0$	$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$
	$e_1$	$e_1$	$-e_0$	$e_3$	$-e_2$	$e_5$	$-e_4$	$-e_7$	$e_6$
	$e_2$	$e_2$	$-e_3$	$-e_0$	$e_1$	$e_6$	$e_7$	$-e_4$	$-e_5$
	$e_3$	$e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-e_0$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$-e_4$
	$e_4$	$e_4$	$-e_5$	$-e_6$	$-e_7$	$-e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$
	$e_5$	$e_5$	$e_4$	$-e_7$	$e_6$	$-e_1$	$-e_0$	$-e_3$	$e_2$
	$e_6$	$e_6$	$e_7$	$e_4$	$-e_5$	$-e_2$	$e_3$	$-e_0$	$-e_1$
	$e_7$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$e_4$	$-e_3$	$-e_2$	$e_1$	$-e_0$

이 표는 주 대각선의 요소를 제외하고는 거의 왜곡 대칭 행렬에 가깝다.

이 곱셈표는 크로네커 델타와 완전 반대칭 텐서를 사용하여 다음과 같이 요약할 수 있다.^[8]

: $e_\ell e_m =\begin{cases}e_m , & \text{if }\ell = 0 \\e_\ell , & \text{if }m = 0 \\$

\delta_{\ell m}e_0 + \varepsilon _{\ell m n} e_n, & \text{otherwise}

\end{cases}

여기서

\delta_{\ell m}

은 크로네커 델타이고,

\varepsilon _{\ell m n}

는

\ell m n

= 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365일 때 +1의 값을 갖는 완전 반대칭 텐서이다.

단위 팔원수의 곱셈을 기억하기 위한 기억술로는 파노 평면을 이용하는 방법이 있다.^[7]^[12]

7개의 점과 7개의 선(1, 2, 3을 통과하는 원은 선으로 간주)이 있는 이 그림은 파노 평면이라고 불린다. 선은 방향성을 가지며, 화살표 방향으로 정렬된 세 점 (''a'', ''b'', ''c'')의 곱셈은 다음과 같다.

:''ab'' = ''c'', ''ba'' = −''c''

이에 세 점의 순환 치환을 통해 얻을 수 있는 관계식과 다음 두 규칙을 추가하면 팔원수의 곱셈 구조가 완전히 정의된다.

1은 곱셈 항등원이다.
그림의 각 점에 대해 $e_i^2 = -1$ 이다.

3. 3. 케일리-딕슨 구성

팔원수를 정의하는 체계적인 방법은 케일리-딕슨 구성을 이용하는 것이다. 쿼터니언(사원수)에 케일리-딕슨 구성을 적용하면 팔원수가 생성된다.^[6]

쿼터니언이 복소수의 쌍으로 정의될 수 있는 것처럼, 팔원수는 쿼터니언의 쌍으로 정의될 수 있다. 덧셈은 쌍별로 정의된다. 두 쌍의 쿼터니언 및 의 곱은 다음과 같이 정의된다.

:

( a, b )( c, d ) = ( a c - d^{*}b, da + bc^{*} )\ ,

여기서 는 쿼터니언의 켤레 복소수 를 나타낸다. 이 정의는 8개의 단위 팔원수를 다음 쌍으로 식별할 때 위에 주어진 정의와 동일하다.

:

팔원수는 실수의 튜플(tuple, 묶음)로 간주할 수 있다. 임의의 팔원수 ''x''는, ''e''₀을 스칼라 원 또는 실수원 (실수 과 동일시됨)으로 하는 '''단위 팔원수'''

:

\{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\}

의 실수 계수 선형 결합으로, 적당한 실수 계수 {''x''_''i''}를 사용하여

:

x = x_0e_0 + x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 + x_4e_4 + x_5e_5 + x_6e_6 + x_7e_7

의 형태로 쓸 수 있다.

팔원수의 덧셈 및 뺄셈은 (사원수의 경우와 마찬가지로) 각각의 대응하는 항에서 해당 계수에 대한 덧셈 및 뺄셈으로 정의한다. 곱셈은 더 복잡하다. 곱은 합에 대해 분배적이므로, 두 팔원수의 곱셈은 (역시 사원수의 경우와 마찬가지로) 각각의 항의 곱의 총합으로 계산할 수 있다. 각 항의 곱은 계수의 곱과 단위 팔원수에 대한 곱셈표로부터 결정된다. 곱셈표로서는 예를 들어^[32] 다음을 생각할 수 있다.

이 곱셈표는 다음의 관계

: $e_i e_j = - \delta_{ij}e_0 + \varepsilon _{ijk} e_k$

(여기서 는 ''ijk'' = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365일 때 값이 +1이 되는 완전 반대칭 텐서), 및

: $e_ie_0 = e_0e_i = e_i;\quad e_0e_0 = e_0$

(''e''₀는 스칼라 원이며 ''i'', ''j'', ''k'' = 1, …, 7)로 정리할 수 있다.^[33]

위의 곱셈 결정 방법은 유일하게 결정되는 것은 아니지만, 팔원수의 곱셈을 정의할 수 있는 480 종류의 곱셈표 중 하나이다. 다른 곱셈은 비스칼라 원을 재배열하여 얻을 수 있으며, 이는 기저의 교환에 해당한다. 그 외의 경우에는 몇 가지 곱셈 법칙을 고정하면 팔원수가 갖는 다른 법칙이 붕괴되는 것을 볼 수 있다. 이러한 480 종류의 팔원수의 대수계는 서로 동형이므로, 실용상 동일시해도 상관없으며, 애초에 어떤 곱셈표를 사용했는지를 고려할 필요가 생기는 경우는 드물다.^[34]^[35]

4. 성질

팔원수의 곱셈은 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않는다. 즉, 일반적으로 다음이 성립한다.

$x(xy)=x^2y$
$(yx)x=yx^2$

:

e_ie_j = -e_je_i \neq e_je_i

(단,

i \ne j

이며,

i

,

j

는 0이 아니다.)

:

(e_ie_j)e_k = -e_i(e_je_k) \neq e_i(e_je_k)

(단,

i

,

j

,

k

는 서로 다르고 0이 아니며

e_ie_j \neq \pm e_k

이다.)

하지만, 팔원수는 약한 형태의 결합 법칙인 교대성을 만족한다. 즉, 임의의 두 원소에 의해 생성된 부분 대수는 결합적이다. 실제로,

\mathbb{O}

의 임의의 두 원소에 의해 생성된 부분 대수는 실수, 복소수, 또는 사원수와 동형이며, 이들은 모두 결합적이다.

팔원수는 나눗셈 대수이다. 즉, 모든 0이 아닌 원소는 역원을 가진다. 따라서 0이 아닌 팔원수들은 곱셈에 대해 무팡 고리를 이룬다. 후르비츠가 보여준 바와 같이, 실수, 복소수, 사원수, 그리고

\mathbb{O}

는 실수에 대한 유일한 노름 나눗셈 대수이다. 이 네 개의 대수는 또한 실수에 대한 유일한 대안적 유한 차원 나눗셈 대수를 형성한다(동형 사상까지).

팔원수는 실수, 복소수, 사원수가 공유하는 중요한 속성으로,

\mathbb{O}

의 노름은 다음을 만족한다.

:

\| x y \| = \| x \|\ \| y \| ~.

이 방정식은 팔원수가 합성 대수를 형성함을 의미한다. 케일리-딕슨 구성에 의해 정의된 고차원 대수(예: 세데니언)는 이 속성을 모두 만족하지 못하며, 모두 영인자를 갖는다.

비결합성으로 인해, 팔원수는 실수, 복소수, 사원수와 달리 위의 행렬환의 부분 대수로 표현될 수 없다.

4. 1. 켤레, 노름, 역수

팔원수의 켤레(conjugate^영어)는 허수 성분의 부호를 바꾸는 선형 변환이다. 즉, 다음과 같다.

:

\overline{a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7}=a_0-a_1e_1-\cdots-a_7e_7

팔원수의 노름(norm^영어)은 다음과 같다.

:

|a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7|=\sqrt{a_0^2+a_1^2+\cdots+a_7^2}

임의의 팔원수

a,b\in\mathbb O

에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

:

a\bar a=\bar aa=|a|^2

:

|ab|=|a||b|

두 번째 항등식은 데겐의 여덟 제곱수 항등식과 같다.

0이 아닌 팔원수의 역수는 켤레를 노름의 제곱으로 나눈 것이며, 다음과 같다.

:

x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}

^[32]

4. 2. 교환자와 외적

두 팔원수 ''x'', ''y''의 교환자는 다음과 같이 주어진다.

:

[x, y] = xy - yx

이는 반대칭적이며 허수이다. 허수 부분 공간 Im('''O''')에서만 곱을 고려하면, 교환자는 Im('''O''') 상의 새로운 곱(7차원 외적)

:

x \times y = \frac{1}{2}(xy - yx)

을 정의한다. 3차원 외적과 마찬가지로, ''x'' × ''y''는 ''x''와 ''y''에 직교하며, 그 크기는

:

\|x \times y\| = \|x\| \|y\| \sin \theta

로 주어진다. 단, 팔원수의 곱과 달리 이 곱의 값은 유일하게 결정되지 않는다. 실제로, 팔원수의 곱을 결정하는 방식에 따라 무수히 많은 서로 다른 외적이 존재한다.^[37]

4. 3. 자기 동형

8차원 실수 벡터 공간

\mathbb O

의 곱셈을 보존하는 가역 선형 변환이다. 팔원수의 자기 동형 사상

A

는 다음을 만족한다.

:

A(xy) = A(x)A(y)

\mathbb O

의 모든 자기 동형 사상의 집합은 G₂라고 불리는 군을 형성한다.^[14] G₂는 14차원의 단일 연결, 콤팩트, 실수 리 군이다. 이 군은 예외적인 리 군 중 가장 작으며, 8차원 실수 스피너 표현에서 선택된 특정 벡터를 보존하는 부분군과 동형이다.

4. 4. 동위

대수 동형의 한 종류인 동위는 a, b, c 세 개의 전단사 선형 사상의 묶음으로, xy = z일 때 a(x)b(y) = c(z)인 경우를 말한다. a = b = c인 경우는 자기 동형과 동일하다. 대수의 동위군은 모든 동위의 군으로, 자기 동형군을 부분군으로 포함한다.

팔원수의 동위군은 군이며, a, b, c는 세 개의 8차원 표현으로 작용한다.^[15] c가 항등원을 고정하는 원소의 부분군은 부분군 이며, a, b, c 모두 항등원을 고정하는 부분군은 자기 동형군 이다.

5. 응용

팔원수는 다른 수학적 대상의 분류 및 구성에 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 예외적 리 군 G₂는 팔원수의 자기 동형 군이며, 다른 예외적 리 군 F₄, E₆, E₇, E₈는 팔원수를 사용하여 정의된 특정 사영 평면의 등거리 변환으로 이해될 수 있다.^[16] 자기 수반 3×3 팔원수 행렬의 집합은 대칭 행렬 곱을 갖추고 알버트 대수를 정의한다. 이산 수학에서 팔원수는 리치 격자를 초등적으로 유도하며, 따라서 불규칙 단순군과 밀접한 관련이 있다.^[17]^[18]

팔원수의 물리학 응용은 대체로 추측에 근거해 왔다. 예를 들어, 1970년대에는 팔원수 힐베르트 공간을 사용하여 쿼크를 이해하려는 시도가 있었다.^[19] 팔원수와 단 4개의 노름 나눗셈 대수만 존재한다는 사실은 초대칭 양자장론을 구성할 수 있는 시공간 차원과 관련이 있는 것으로 알려져 있다.^[20]^[21] 또한, "딕슨 대수"를 사용하여 팔원수 구성을 통해 표준 모형을 얻으려는 시도가 있었다.^[22]^[23]

팔원수는 블랙홀 엔트로피, 양자 정보 과학,^[24]^[25] 끈 이론,^[26] 및 이미지 처리 연구에서도 나타났다.^[27]

팔원수는 로봇 공학에서 핸드-아이 캘리브레이션 문제의 해결에 사용되어 왔다.^[28]

심층 팔원수 네트워크는 기계 학습 응용 분야에서 효율적이고 간결한 표현 수단을 제공한다.^[29]^[30]

6. 정수 팔원수

좌표가 정수인 팔원수를 그레이비안 팔원수라고 한다. 그레이비안 팔원수는 최대 순서가 아니며, 이를 포함하는 7개의 최대 순서가 존재한다. 이 7개의 최대 순서는 자기동형 사상에 따라 모두 동치이다. "정수 팔원수"라는 용어는 보통 이 7개의 순서 중 하나를 고정적으로 선택하는 것을 의미한다.^[1]

이러한 최대 순서는 딕슨(Dickson)과 브루크(Bruck)에 의해 구성되었다. 8개의 기저 벡터는 7개의 원소를 갖는 체 위의 사영 직선의 점으로 레이블이 지정된다. 먼저 좌표가 정수 또는 반 정수인 팔원수로 구성된 "키르메 정수"를 형성한다. 여기서 반 정수는 다음 16개의 집합 중 하나에 속해야 한다.^[1]

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134) (6245)^[1]

이는 2개의 원소 체 위의 길이 8인 확장된 이차 잉여 코드로 주어지며, ∅, (∞124) 및 상수를 추가하여 얻은 이미지 모듈로 7, 그리고 이 8개 집합의 보수로 주어집니다. 그런 다음 무한대와 다른 하나의 좌표를 전환하면 키르메 정수와 다른 집합 간의 전사(bijection)가 생성되며, 이는 최대 순서가 된다. 이 연산은 7가지 방법으로 수행할 수 있으며, 7개의 최대 순서를 제공한다. 이들은 7개의 좌표 0123456의 순환 순열에 따라 모두 동치이다. 키르메는 처음에 키르메 정수도 최대 순서를 형성한다고 잘못 생각하여 8개의 최대 순서가 있다고 생각했지만, 콕서터(Coxeter)가 지적했듯이 곱셈에 대해 닫혀 있지 않다.^[1]

키르메 정수와 7개의 최대 순서는 모두 E₈ 격자에 의 인수로 재조정된 것과 등거리이다. 특히 이러한 각 순서에는 1의 최소 비영 노름을 갖는 240개의 원소가 있으며, 이는 240차의 무팡 루프를 형성한다.^[1]

정수 팔원수는 "나머지가 있는 나눗셈" 속성을 갖는다. 정수 팔원수 ''a''와 ''b'' ≠ 0이 주어지면, ''a'' = ''qb'' + ''r''에서 나머지 ''r''의 노름이 ''b''의 노름보다 작은 ''q''와 ''r''을 찾을 수 있다.^[1]

정수 팔원수에서 모든 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼은 2-양면 아이디얼이며, 유일한 2-양면 아이디얼은 ''n''이 음이 아닌 정수인 주 아이디얼 ''nO''이다.^[1]

정수 팔원수는 소인수분해 버전이 있지만, 팔원수가 결합적이지 않기 때문에 팔원수의 곱셈이 곱을 수행하는 순서에 따라 달라지므로 표현하기가 복잡하다. 기약 정수 팔원수는 정확히 소수 노름을 갖는 팔원수이며, 모든 정수 팔원수는 기약 팔원수의 곱으로 쓸 수 있다. 보다 정확하게는 노름 ''mn''인 정수 팔원수는 노름 ''m''과 ''n''인 정수 팔원수의 곱으로 쓸 수 있다.^[1]

정수 팔원수의 자기동형 사상군은 차수 12,096인 군 G₂(𝔽₂)이며, 이는 지수 2인 단순 부분군을 가지며, 이는 유니타리 군 ²''A''₂(3²)과 동형이다. 정수 팔원수의 동위군(isotopy group)은 E₈ 격자의 회전군(group of rotations)의 완전한 이중 덮개이다.^[1]

참조

_[1] Harv
_[2] 서적 Hypercomplex Analysis https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2009-04-21
_[3] Harv
_[4] 간행물 On Jacobi's Elliptic functions, in reply to the Rev. Brice Bronwin; and on Quaternions https://zenodo.org/r[...]
_[5] 간행물 Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq. https://archive.org/[...]
_[6] 웹사이트 Ensembles de nombre https://mathsci.kais[...] Forum Futura-Science 2011-09-06
_[7] 서적 Hypercomplex Analysis Birkhäuser
_[8] 서적 Non-Associative Algebra and its Applications CRC Press
_[9] 서적 Clifford Algebras with Numeric and Symbolic Computations Birkhäuser
_[10] 간행물 Octonionic representations of Clifford algebras and triality 1996-01
_[11] Harv
_[12] 서적 Clifford Algebras: Applications to mathematics, physics, and engineering Birkhäuser
_[13] Harv
_[14] Harv
_[15] Harv
_[16] 문서 Baez (2002), section 4.
_[17] 간행물 Octonions and the Leech lattice http://www.maths.qmu[...] 2009-09-15
_[18] 간행물 Conway's group and octonions http://www.maths.qmu[...] 2010-08-13
_[19] 간행물 Quark structure and octonions
_[20] 간행물 Supersymmetry and the division algebras https://cds.cern.ch/[...] 1983-07-11
_[21] encyclopedia Division Algebras and Supersymmetry I American Mathematical Society
_[22] magazine The peculiar math that could underlie the laws of nature https://www.quantama[...] 2018-07-20
_[23] 간행물 Unified theory of ideals 2012-07-20
_[24] 간행물 Black holes, qubits and octonions
_[25] 간행물 Sporadic SICs and the Normed Division Algebras
_[26] 웹사이트 Beyond space and time: 8D – Surfer's paradise https://www.newscien[...]
_[27] 간행물 Octonion Phase Retrieval https://ieeexplore.i[...] 2024
_[28] 간행물 Hand-Eye Calibration: 4-D Procrustes Analysis Approach 2020-06
_[29] 간행물 Deep octonion networks 2020
_[30] 간행물 Marine Debris Segmentation Using a Parameter Efficient Octonion-Based Architecture 2023
_[31] Harvs
_[32] Citation Hypercomplex analysis https://books.google[...] Birkaüser
_[33] Citation Non-associative algebra and its applications https://books.google[...] CRC Press
_[34] Citation Clifford algebras with numeric and symbolic computations https://books.google[...] Birkhäuser
_[35] Citation Octonionic representations of Clifford algebras and triality http://www.springerl[...] Springer
_[36] 서적 Clifford algebras: applications to mathematics, physics, and engineering https://books.google[...] Birkhäuser 2004
_[37] 문서 Baez (2002) p 37-38
_[38] 저널 The octonions http://math.ucr.edu/[...] 2002
_[39] 저널 Adumbratio demonstrationis theorematis arithmetici maxime universalis http://biodiversityl[...] 1818
_[40] 저널 XXVIII. On Jacobi's Elliptic functions, in reply to the Rev. Brice Bronwin; and on Quaternions. To the editors of the Philosophical Magazine and Journal http://books.google.[...] 1845
_[41] 저널 XLVI. On a connection between the general theory of normal couples and the theory of complete quadratic functions of two variables http://books.google.[...] 1845

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