보골류보프 변환

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 보손 보골류보프 변환
- 3.2. 페르미온 보골류보프 변환
4. 다중 모드 보골류보프 변환
5. 행렬 표현
6. 응용
7. 유니터리 비동치성
8. 스퀴즈 변환과의 관계
참조

1. 개요

보골류보프 변환은 1947년 니콜라이 보골류보프에 의해 도입된 변환으로, 초유체 연구에 사용되었다. 이는 생성 및 소멸 연산자를 선형 변환하는 것으로, 보존되는 정준 교환 또는 반교환 관계를 유지하며, 보손과 페르미온에 각각 적용된다. 보골류보프 변환은 진공 상태를 변화시키며, 조화 진동자, 페르미온 시스템, 다중 모드 시스템 등 다양한 물리적 상황에 적용된다. 특히 초유동성, 초전도 현상(BCS 이론), 반강자성, 핵물리학, 페르미온 응축물 연구에 중요한 도구로 사용되며, 호킹 복사 유도 및 양자 광학 분야에도 활용된다. 보골류보프 변환은 유니터리 비동치성을 나타낼 수 있으며, 압착 변환과 연관되기도 한다.

더 읽어볼만한 페이지

응집물질물리학 - 띠구조
띠구조는 결정 내 전자의 에너지 범위를 나타내는 개념으로, 에너지 띠와 띠틈으로 구성되며, 도체, 절연체, 반도체의 전기적 특성을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.
응집물질물리학 - 절연체
절연체는 전기 전도성을 막아 전기의 흐름을 제어하고 안전을 확보하며, 밴드 이론에 따라 큰 띠틈을 가져 외부 전압이 띠틈을 넘어서면 절연 파괴가 발생하며, 유리에서 세라믹, 고분자 복합 재료 등으로 제작되어 전선, 케이블 등 다양한 분야에 사용된다.
양자장론 - 페르미-디랙 통계
페르미-디랙 통계는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미 입자의 통계적 분포를 설명하는 양자 통계로, 금속 내 전자 현상 등을 이해하는 데 기여하며 페르미 입자가 특정 에너지 준위를 점유할 확률을 나타낸다.
양자장론 - 양자 색역학
양자 색역학은 색 전하를 국소 대칭으로 정의한 SU(3) 게이지 군의 비아벨 게이지 이론으로, 쿼크와 글루온을 기본 입자로 하여 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개하며, 점근적 자유성과 색 가둠의 특징을 가지는 이론이다.

보골류보프 변환
개요
이름	보골류보프 변환
로마자 표기	Bogolyubov byeonhwan
분야	양자 광학, 일반 상대성 이론
설명	정준 교환 관계 대수 또는 정준 반교환 관계 대수를 보존하는 변환
상세 정보
정의	연산자 집합에 대한 선형 변환
조건	연산자의 교환 관계 유지
중요성	초전도 현상, 양자장론 연구에 활용
다른 이름	보골류보프-발라틴 변환 정준 변환 (특수한 경우)
관련 개념	양자 광학 일반 상대성 이론 정준 교환 관계 대수 정준 반교환 관계 대수

2. 역사

니콜라이 보골류보프가 1947년에 초유체를 다루기 위하여 도입하였다.^[30]

3. 정의

소멸 및 생성 연산자 $a$ 와 $a^\dagger$ 는 다음 관계를 만족한다.

: $[a,a^\dagger]=1$

: $[a,a]=[a^\dagger,a^\dagger]=0$

이를 '''정준 교환 관계'''(canonical commutation relation^영어, 약자 CCR)라고 한다.

페르미온의 '''정준 반교환 관계'''(canonical anticommutation relation^영어, 약자 CAR)는 다음과 같다.

: $\{b,b^\dagger\}=1$

: $\{b,b\}=\{b^\dagger,b^\dagger\}=0$

정준 교환 관계와 정준 반교환 관계는 다음과 같은 선형 변환 아래 불변이다. 이러한 변환을 '''보골류보프 변환'''이라고 한다.

보손의 경우

:

\tilde a=a\exp(i\theta_1)\cosh r+a^\dagger\exp(i\theta_2)\sinh r

:

\tilde a^\dagger=a\exp(-i\theta_2)\sinh r+a^\dagger\exp(-i\theta_1)\cosh r

.

페르미온의 경우

:

\tilde b=b\exp(i\theta_1)\cos r+b^\dagger\exp(i\theta_2)\sin r

:

\tilde b^\dagger=b\exp(-i\theta_2)\sin r+b^\dagger\exp(-i\theta_1)\cos r

.

진공

|0\rangle

은 모든 소멸 연산자에 의하여 소멸되는 상태이다.

:

a_i|0\rangle=0\forall i

보골류보프 변환을 가하면 소멸 연산자가 바뀌므로, 일반적으로 진공 상태도 달라진다. 변환된 소멸 연산자에 대한 진공 상태를

|\tilde0\rangle

이라고 하면,

:

\tilde a_i|\tilde0\rangle=0\forall i

일반적으로 두 진공 상태는 다르다. (

|0\rangle\ne|\tilde 0\rangle

)

3. 1. 보손 보골류보프 변환

조화 진동자 기저에서 보손 생성 소멸 연산자에 대한 정준 교환 관계는 다음과 같다.

:

\left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ] = 1.

새로운 연산자 쌍을 다음과 같이 정의한다.

:

\hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger,

:

\hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a},

여기서 ''u''와 ''v''는 복소수이고,

\hat{b}^\dagger

는

\hat{b}

의 Hermitian 켤레이다.

보골류보프 변환은 연산자

\hat{a}

와

\hat{a}^\dagger

을

\hat{b}

와

\hat{b}^\dagger

으로 매핑하는 정준 변환이다. 변환이 정준이 되기 위한 상수 ''u''와 ''v''의 조건은 교환자를 통해 구한다.

:

\left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ]= \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger , u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ]= \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ].

따라서 변환이 정준이 되기 위한 조건은

|u|^2 - |v|^2 = 1

이다.

이 조건은 쌍곡선 함수 항등식

:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

을 만족하므로,

상수 와 는 다음과 같이 매개변수화할 수 있다.

:

u = e^{i \theta_1} \cosh r,

:

v = e^{i \theta_2} \sinh r.

이는 위상 공간의 심플렉틱 벡터 공간 선형 심플렉틱 변환으로 해석된다. 블로흐-메시아 분해와 비교하면, 두 각

\theta_1

과

\theta_2

는 직교 심플렉틱 변환(회전)에 해당하고 스퀴즈 연산자

r

은 대각 변환에 해당한다.

3. 2. 페르미온 보골류보프 변환

페르미온의 정준 반교환 관계(canonical anticommutation relation^영어, CAR)는 다음과 같다.^[19]

:

\{b,b^\dagger\}=1

:

\{b,b\}=\{b^\dagger,b^\dagger\}=0

이 관계는 다음과 같은 보골류보프 변환 아래 불변이다.

:

\tilde b=b\exp(i\theta_1)\cos r+b^\dagger\exp(i\theta_2)\sin r

:

\tilde b^\dagger=b\exp(-i\theta_2)\sin r+b^\dagger\exp(-i\theta_1)\cos r

반교환 관계

:

\left\{ \hat{a}, \hat{a}\right\} = 0, \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1,

에 대해, 보골류보프 변환은

uv=0, |u|^2+|v|^2=1

에 의해 제약된다. 유일한 비자명한 가능성은

u=0, |v|=1,

이며, 이는 입자와 반입자의 교환(또는 다체계에서 입자-홀 교환)에 해당하며, 위상 이동이 포함될 수 있다.^[19]

단일 입자의 경우, 변환은 (1) 입자와 반입자가 구별되는 디랙 페르미온(마요라나 페르미온 또는 카이랄 페르미온과 반대로) 또는 (2) 둘 이상의 페르미온 유형이 있는 다중 페르미온 시스템에 대해서만 구현될 수 있다.

두 종류의 페르미 입자의 생성 소멸 연산자를 고려하면, 유니터리 연산자는 다음과 같다. (간단하게 위상을

\phi=0

으로 가정)^[19]

:

U_\theta=\exp(\theta G_{\phi})=\exp[\theta(\hat{b}_1\hat{b}_2-\hat{b}_2^\dagger\hat{b}_1^\dagger)]

이에 대한 보골류보프 변환은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix} \hat{b}_{1,\text{new}} \\ \hat{b}_{2,\text{new}}^\dagger \\ \end{pmatrix} \equiv U_\theta \begin{pmatrix} \hat{b}_{1} \\ \hat{b}_{2}^\dagger \\ \end{pmatrix} U_\theta^\dagger = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{b}_{1} \\ \hat{b}_{2}^\dagger \\ \end{pmatrix}

이 행렬의 행렬식이 1이라는 것(

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

)으로부터,

U_\theta

가 유니터리 연산자임을 알 수 있으며, 또한 새로운 생성 소멸 연산자가 페르미 입자의 교환 관계를 만족함을 보장받는다.^[19]

보골류보프 변환된 기저 상태

|\theta\rangle=U_\theta|0\rangle

는 다음을 만족한다.

:

\hat{b}_{i,new}|\theta\rangle=U_\theta\hat{b}_iU_\theta^\dagger|\theta\rangle=0

이 기저 상태는 포크 상태를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

|\theta\rangle=\cos\theta\exp(\hat{b}_1^\dagger\hat{b}_2^\dagger\tan\theta)|0\rangle=\cos\theta|0\rangle+\sin\theta|1\rangle_1\otimes|1\rangle_2

파울리 배타 원리 때문에 입자쌍은 하나만 생성된다.^[19]

반교환 관계

:

\left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1

에 대해, 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\left\{ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right\} = (|u|^2 + |v|^2) \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\}

변환을 정준 형식으로 만들기 위해,

u

와

v

는 삼각 함수를 이용하여 다음과 같이 매개변수화할 수 있다.^[19]

:

u = e^{i \theta_1} \cos r ,

:

v = e^{i \theta_2} \sin r  .

4. 다중 모드 보골류보프 변환

고려 중인 힐베르트 공간에는 생성 및 소멸 연산자가 갖춰져 있으며, 이는 더 높은 차원의 양자 조화 진동자(일반적으로 무한 차원)를 설명한다.

해당 해밀토니안의 바닥 상태는 모든 소멸 연산자에 의해 소멸된다.

: $\forall i \qquad a_i |0\rangle = 0.$

모든 들뜬 상태는 일부 생성 연산자에 의해 들뜬 바닥 상태의 선형 결합으로 얻어진다.

: $\prod_{k=1}^n a_{i_k}^\dagger |0\rangle.$

생성 및 소멸 연산자는 다음과 같은 선형 재정의를 통해 다시 정의할 수 있다.

: $a'_i = \sum_j (u_{ij} a_j + v_{ij} a^\dagger_j),$

여기서 계수 $u_{ij},v_{ij}$ 는 소멸 연산자와 에르미트 수반 방정식에 의해 정의된 생성 연산자 $a^{\prime\dagger}_i$ 가 보손의 경우 동일한 교환자를, 페르미온의 경우 반교환자를 갖도록 보장하기 위해 특정 규칙을 충족해야 한다.

위의 방정식은 연산자의 보골류보프 변환을 정의한다.

모든 $a'_i$ 에 의해 소멸되는 바닥 상태는 원래의 바닥 상태 $|0\rangle$ 와 다르며, 연산자-상태 대응을 사용하여 서로의 보골류보프 변환으로 볼 수 있다. 또한 압착된 결맞는 상태로 정의할 수 있다. BCS 파동 함수는 페르미온의 압착된 결맞는 상태의 예이다.^[14]

5. 행렬 표현

보골류보프 변환은 연산자들의 선형 결합이므로, 행렬 변환으로 나타내는 것이 유용하다. 소멸 연산자 쌍 $(a, b)$가 다음과 같이 변환된다고 하자.

$

\begin{pmatrix}

\alpha\\

\beta

\end{pmatrix}

=

U

\begin{pmatrix}

a\\

b

\end{pmatrix}

$

여기서 $U$는 $2\times2$ 행렬이다. 그러면 자연스럽게

$

\begin{pmatrix}

\alpha^\dagger\\

\beta^\dagger

\end{pmatrix}

=

U^*

\begin{pmatrix}

a^\dagger\\

b^\dagger

\end{pmatrix}

$

가 된다.

페르미온 연산자의 경우, 교환 관계에 의해 행렬 $U$는 다음과 같은 형태를 가진다.

$

U=

\begin{pmatrix}

u & v\\

v^* & u^*

\end{pmatrix}

$

그리고

$

|u|^2 + |v|^2 = 1

$

을 만족해야 한다.

보손 연산자의 경우, 교환 관계에 의해 행렬 $U$는 다음과 같은 형태를 가진다.

$

U=

\begin{pmatrix}

u & v\\

v^* & u^*

\end{pmatrix}

$

그리고

$

|u|^2 - |v|^2 = 1

$

을 만족해야 한다.

이러한 조건들은 다음과 같이 통합하여 나타낼 수 있다.

$

U \Gamma_\pm U^\dagger = \Gamma_\pm

$

여기서

$

\Gamma_\pm =

\begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & \pm1

\end{pmatrix}

$

이며, $\Gamma_\pm$는 각각 페르미온과 보손에 해당한다.

보골류보프 변환을 이용하면 다음과 같은 2차 해밀토니안을 대각화할 수 있다.

$

\hat{H} =

\begin{pmatrix}

a^\dagger & b^\dagger

\end{pmatrix}

H

\begin{pmatrix}

a \\ b

\end{pmatrix}

$

이는 행렬 $\Gamma_\pm H$를 대각화함으로써 가능하다. 여기서 연산자 $\hat{H}$와 수치 행렬 $H$를 구분하는 것이 중요하다.

$\hat{H}$는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$

\hat{H} =

\begin{pmatrix}

\alpha^\dagger & \beta^\dagger

\end{pmatrix}

\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}

\begin{pmatrix}

\alpha \\ \beta

\end{pmatrix}

$

$U$가 $\Gamma_\pm H$를 대각화하면, 즉 $U (\Gamma_\pm H) U^{-1} = \Gamma_\pm D$ 일 때, $\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}=D$ 가 성립한다.

보골류보프 변환의 유용한 성질은 아래 표와 같다.^[19]

	보손	페르미온
변환 행렬	$U=\begin{pmatrix}u & v\\v^* & u^*\end{pmatrix}$	$U=\begin{pmatrix}u & v\\-v^* & u^*\end{pmatrix}$
역 변환 행렬	$U^{-1} = \begin{pmatrix}u^* & -v\\-v^* & u\end{pmatrix}$	$U^{-1}=\begin{pmatrix}u^* & -v\\v^* & u\end{pmatrix}$
감마	$\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$	$\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$
대각화	$U(\Gamma H) U^{-1} = \Gamma D $	$U H U^{-1} = D $

6. 응용

보골류보프 변환은 초유체, 초전도, 반강자성 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용된다.^[6]^[7]^[8] 곡선 시공간에서의 양자장론 계산 및 호킹 복사 유도에도 응용되며,^[8] 양자 광학에서 빔 분할기, 위상 변환기, 압착 연산 등 가우시안 유니터리를 다룰 때도 사용된다. 페르미온 응축물을 이해하고 설명하는 데에도 중요한 도구이다.^[5]

6. 1. 초유동

니콜라이 보고류보프는 초유동성 맥락에서 보고류보프 변환을 직접 사용하였다.^[6]^[7] 다른 적용 사례로는 해밀토니안과 반강자성 이론에서의 여기(勵起, excitation)가 있다.^[8]

6. 2. 초전도 (BCS 이론)

BCS 이론에서 초전도 현상을 설명하는 데 보골류보프 변환이 사용된다.^[8]^[9]^[10]^[11] 평균장 근사에서 시스템의 해밀토니안은 원래 생성 및 소멸 연산자에 대한 2차 항의 합으로 표현될 수 있다. 이는 유한한

\langle a_i^+a_j^+\rangle

항을 포함하므로, 통상적인 하트리-폭 방법을 넘어서야 한다. 특히, 초전도 페어링 항

\Delta a_i^+a_j^+ + \text{h.c.}

과 같은 평균장 보골류보프-드 젠 해밀토니안 형식에서, 보골류보프 변환 연산자

b, b^\dagger

는 준입자를 소멸 및 생성한다. 이 준입자는 잘 정의된 에너지, 운동량 및 스핀을 가지지만, 전자와 홀 상태의 양자 중첩에 있으며, 보골류보프-드 젠 행렬의 고유 벡터에 의해 주어진

u

와

v

의 계수를 갖는다.

두 종류의 페르미 입자의 생성 소멸 연산자를 고려할 때,^[19] 유니터리 연산자는 위상

\phi=0

을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

:

U_\theta=\exp(\theta G_{\phi})=\exp[\theta(\hat{b}_1\hat{b}_2-\hat{b}_2^\dagger\hat{b}_1^\dagger)]

이에 대한 보골류보프 변환은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix} \hat{b}_{1,\text{new}} \\ \hat{b}_{2,\text{new}}^\dagger \\ \end{pmatrix} \equiv U_\theta \begin{pmatrix} \hat{b}_{1} \\ \hat{b}_{2}^\dagger \\ \end{pmatrix} U_\theta^\dagger = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{b}_{1} \\ \hat{b}_{2}^\dagger \\ \end{pmatrix}

이 행렬의 행렬식이 1 (

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

) 이므로,

U_\theta

는 유니터리 연산자이며, 새로운 생성 소멸 연산자가 페르미 입자의 교환 관계를 만족함을 보장한다.

보스 입자의 경우와 마찬가지로 해밀토니안을 유니터리 변환할 수 있으며, 보골류보프 변환된 기저 상태

|\theta\rangle=U_\theta|0\rangle

는 다음을 만족한다.

:

\hat{b}_{i,new}|\theta\rangle=U_\theta\hat{b}_iU_\theta^\dagger|\theta\rangle=0

이 기저 상태를 포크 상태를 사용하여 구체적으로 나타내면 다음과 같다.

:

|\theta\rangle=\cos\theta\exp(\hat{b}_1^\dagger\hat{b}_2^\dagger\tan\theta)|0\rangle=\cos\theta|0\rangle+\sin\theta|1\rangle_1\otimes|1\rangle_2

보스 입자의 때와 마찬가지로 입자쌍이 생성되지만, 파울리 배타 원리 때문에 하나의 입자쌍만 생성된다.

페르미 입자의 보골류보프 변환은 초전도의 BCS 이론에 응용된다.^[23]^[24]^[25]^[26] 평균장 근사에서 계의 해밀토니안이 생성·소멸 연산자에 의한 쌍선형항의 합(유한개의

\,\langle a_i^+a_j^+\rangle

등)으로 표현되기 때문에 보골류보프 변환이 필요하다. 즉, 일반적인 하트리-폭 방법을 넘어서야 하며, 보골류보프 변환에 의해 확장된 방법은 하트리-폭-보골류보프 방법이라고 불린다.

핵물리학에서도 보골류보프 변환을 응용할 수 있으며, 중원소의 핵자 '쌍 에너지'를 기술할 수 있다.^[27]

6. 3. 반강자성

니콜라이 보고류보프가 초유동성 맥락에서 직접 사용한 것 외에,^[6]^[7] 다른 적용 사례로는 해밀토니안과 반강자성 이론에서의 여기(勵起, excitation)가 있다.^[8]

6. 4. 핵물리학

핵물리학에서도 보골류보프 변환을 응용할 수 있으며, 중원소의 핵자 쌍 에너지를 기술하는 데 사용된다.^[27]

6. 5. 페르미온 응축물

보골류보프 변환은 페르미온 응축물을 이해하고 설명하는 데 중요한 수학적 도구이다. 이는 응축물이 있는 상호 작용하는 페르미온 시스템의 해밀토니안을 대각화하여 시스템의 기본 여기, 즉 준입자를 식별할 수 있게 한다.^[5]

페르미온이 쌍을 이룰 수 있는 시스템에서, 응축물의 존재는 입자 수가 다른 상태의 일관된 중첩을 의미하며, 일반적인 생성 및 소멸 연산자를 부적절하게 만든다. 이러한 시스템의 해밀토니안은 일반적으로 다음과 같이 페르미온 쌍을 생성하거나 소멸시키는 항을 포함한다.

:

H \sim \sum_k \epsilon_k c_k^\dagger c_k + \sum_k \Delta_k c_k^\dagger c_{-k}^\dagger + \Delta_k^* c_{-k} c_k

여기서

c_k^\dagger

및

c_k

는 운동량

k

를 가진 페르미온에 대한 생성 및 소멸 연산자이고,

\epsilon_k

는 단일 입자 에너지이며,

\Delta_k

는 응축물의 강도를 특징짓는 페어링 진폭이다. 이 해밀토니안은 원래 페르미온 연산자 측면에서 대각선이 아니므로 시스템의 물리적 특성을 직접 해석하기 어렵다.

보골류보프 변환은 원래 페르미온 연산자의 선형 조합인 새로운 준입자 연산자 집합

\gamma_k^\dagger

및

\gamma_k

를 도입하여 해결책을 제공한다.

:

\begin{aligned}\gamma_k &= u_k c_k - v_k c_{-k}^\dagger \\\gamma_k^\dagger &= u_k^* c_k^\dagger - v_k^* c_{-k}\end{aligned}

여기서

u_k

와

v_k

는 정규화 조건

|u_k|^2 + |v_k|^2 = 1

을 만족하는 복소수 계수이다. 이 변환은 입자 생성 연산자와 홀 생성 연산자를 혼합하여 페어링 상호 작용으로 인해 준입자가 입자와 홀의 중첩이라는 사실을 반영한다.

계수

u_k

와

v_k

는 준입자 연산자 측면에서 표현될 때 해밀토니안이 다음과 같이 대각선이 되도록 선택된다.

:

H = E_0 + \sum_k E_k \gamma_k^\dagger \gamma_k

여기서

E_0

는 바닥 상태 에너지이고

E_k

는 운동량

k

를 가진 준입자의 에너지이다. 대각화 과정에는 계수

u_k

,

v_k

및 페어링 진폭

\Delta_k

에 대한 일련의 자체 일관 방정식인 보골류보프-드 젠 방정식을 푸는 과정이 포함된다.^[15]

보골류보프 변환은 페르미온 응집체의 몇 가지 핵심 특징을 드러낸다.

준입자: 시스템의 기본 여기는 개별 페르미온이 아니라 입자와 홀의 일관된 중첩인 준입자이다. 이러한 준입자는 변형된 에너지 스펙트럼 $E_k = \sqrt{\epsilon_k^2 + |\Delta_k|^2}$ 을 가지며, 여기에는 운동량이 0일 때 크기 $|\Delta_k|$ 의 갭이 포함된다. 이 갭은 쿠퍼 쌍을 깨는 데 필요한 에너지를 나타내며 초전도 현상 및 기타 페르미온 응집 현상의 특징이다.
바닥 상태: 시스템의 바닥 상태는 단순히 비어있는 페르미의 바다가 아니라, 모든 준입자 레벨이 비어 있는 상태, 즉 모든 $k$ 에 대해 $\gamma_k |\mathrm{BCS}\rangle = 0$ 인 상태이다. 이 상태는 초전도 현상의 맥락에서 종종 BCS 상태라고 불리며, 입자 수가 다른 상태들의 일관된 중첩이며 거시적인 응집체를 나타낸다.
대칭성 깨짐: 페르미온 응집체의 형성은 종종 초전도체에서 U(1) 게이지 대칭성과 같은 대칭성의 자발적인 깨짐과 관련이 있다. 보골류보프 변환은 깨진 대칭성 위상에서 시스템을 설명하는 방법을 제공한다.^[16]

두 종류의 페르미 입자의 생성 소멸 연산자를 고려할 때,^[19] 유니터리 연산자는 위상을

\phi=0

으로 하면 다음과 같다.

:

U_\theta=\exp(\theta G_{\phi})=\exp[\theta(\hat{b}_1\hat{b}_2-\hat{b}_2^\dagger\hat{b}_1^\dagger)]

보골류보프 변환은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix} \hat{b}_{1,\text{new}} \\ \hat{b}_{2,\text{new}}^\dagger \\ \end{pmatrix} \equiv U_\theta \begin{pmatrix} \hat{b}_{1} \\ \hat{b}_{2}^\dagger \\ \end{pmatrix} U_\theta^\dagger = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{b}_{1} \\ \hat{b}_{2}^\dagger \\ \end{pmatrix}

이 행렬의 행렬식이 1이라는 것(

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

)으로부터,

U_\theta

가 유니터리 연산자임을 알 수 있으며, 또한 새로운 생성 소멸 연산자가 페르미 입자의 교환 관계를 만족함을 보장받는다.

보스 입자의 경우와 마찬가지로 해밀토니안을 유니터리 변환할 수 있으며, 보골류보프 변환된 기저 상태

|\theta\rangle=U_\theta|0\rangle

는 다음을 만족한다.

:

\hat{b}_{i,new}|\theta\rangle=U_\theta\hat{b}_iU_\theta^\dagger|\theta\rangle=0

이 기저 상태를 포크 상태를 사용하여 구체적으로 나타내면 다음과 같다.

:

|\theta\rangle=\cos\theta\exp(\hat{b}_1^\dagger\hat{b}_2^\dagger\tan\theta)|0\rangle=\cos\theta|0\rangle+\sin\theta|1\rangle_1\otimes|1\rangle_2

보스 입자의 때와 마찬가지로 입자쌍이 생성되고 있지만, 파울리 배타 원리 때문에 하나의 입자쌍밖에 생성되지 않는다.

7. 유니터리 비동치성

이상의 내용은 유한 개의 생성 소멸 연산자에서 성립한다. 그러나 무한 개의 생성 소멸 연산자에 보골류보프 변환을 하여 만들어진 무한 개의 새로운 생성 소멸 연산자는 유니터리 변환으로는 연결되지 않는다. 즉, 원래의 생성 소멸 연산자로 만들어진 양자론과 새로운 생성 소멸 연산자로 만들어진 양자론은 유니터리 동치가 아니게 되며, 폰 노이만의 유일성이 성립하지 않게 된다. 따라서 물리량을 계산해도 다른 값이 된다. 이것을 유니터리 비동치성이라고 한다.

8. 스퀴즈 변환과의 관계

압착 변환을 보골류보프 변환이라고 부르는 경우도 있으므로 주의해야 한다.

다음과 같이 새로운 작용소 쌍을 정의한다.

: $\hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger,$

: $\hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a}~$

여기서 $\hat{b}^\dagger$ 는 $\hat{b}$ 의 에르미트 수반이다.

스퀴즈 변환은 이들 작용소의 정준 변환이다. 변환이 정준 변환이 되도록 하는 상수 $u$ 와 $v$ 의 조건을 찾기 위해 교환자를 계산하면 다음과 같다.

: $\left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ]= \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger , u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ]= \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ]$

따라서, $|u|^2 - |v|^2 = 1$ 이 변환이 정준 변환이 되기 위한 조건임을 알 수 있다.

이 조건의 형태는 쌍곡선 함수의 관계식

: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

을 연상시키며, 상수 $u$ , $v$ 는 다음과 같이 매개변수화할 수 있다.

: $u = e^{i \theta_1} \cosh r ,$

: $v = e^{i \theta_2} \sinh r .$

참조

_[1] 학술지 Nonunitary bogoliubov transformations and extension of Wick’s theorem https://link.springe[...] 1969-11-01
_[2] 서적 Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter https://www.google.f[...] Cambridge University Press 2015-08-27
_[3] 서적 A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem: Second Edition https://www.google.f[...] Courier Corporation 2012-08-21
_[4] 학술지 Comments on the theory of superconductivity 1958-03
_[5] 학술지 On a new method in the theory of superconductivity 1958-03
_[6] 간행물 On the theory of superfluidity
_[7] 웹사이트 On the theory of Superfluidity http://ufn.ru/pdf/jp[...] Lebedev Physical Institute 2017-04-27
_[8] 서적 Quantum theory of solids Wiley
_[9] 학술지 A new method in the theory of superconductivity. I 1958-01-01
_[10] 학술지 A new method in the theory of superconductivity III http://www.jetp.ac.r[...] 2017-04-27
_[11] 학술지 A new method in the theory of superconductivity 1958-11
_[12] 학술지 Shell effects in nuclear masses and deformation energies 1967-04
_[13] 학술지 Squeezed fermion states American Physical Society (APS) 1990-12-24
_[14] 학술지 Squeezed fermion states American Physical Society (APS) 1990-12-24
_[15] 서적 Superconductivity of metals and alloys Westview press 1999
_[16] 학술지 Random-phase approximation in the theory of superconductivity 1958
_[17] 학술지 Comments on the theory of superconductivity 1958-03
_[18] 학술지 On a new method in the theory of superconductivity 1958-03
_[19] 서적 現代物理学の基礎としての場の量子論共立出版
_[20] 서적 多粒子系の量子論理論編マグロウヒル出版
_[21] 서적 物性研究者のための場の量子論II (新物理学シリーズ 17)
_[22] 간행물 On the theory of superfluidity
_[23] 서적 Quantum theory of solids Wiley
_[24] 학술지 A new method in the theory of superconductivity. I 1958-01-01
_[25] 학술지 A new method in the theory of superconductivity III http://www.jetp.ac.r[...] 1958-07
_[26] 학술지 A new method in the theory of superconductivity 1958-11
_[27] 간행물 Shell effects in nuclear physics and deformation energies http://www.sciencedi[...]
_[28] 학술지 Squeezed fermion states
_[29] 서적 現代量子物理学倍風館
_[30] 학술지

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com