디바이 모형

3. 이론적 전개

디바이 모형은 고체 내 원자 진동을 양자화된 포논으로 취급하며, 포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르는 보손 입자이다. 결정 내 포논은 선형 분산 관계를 가지며, 에너지는 다음과 같이 표현된다.^[3][4]

:$E=\backslash hbar\; v\backslash |\backslash mathbf\; k\backslash |$

여기서 $\backslash hbar$는 디랙 상수, $v$는 결정 속 음속, $\backslash mathbf\; k$는 포논의 파수 벡터이다.

토머스-페르미 근사를 이용하여 포논 기체의 큰 바른틀 앙상블 분배 함수를 계산하고, 이를 통해 에너지와 비열을 유도한다.

:$\backslash ln\backslash Xi(\backslash beta)=-3\backslash int\_0^\{\backslash sqrt[3]N\}\backslash int\_0^\{\backslash sqrt[3]N\}\backslash int\_0^\{\backslash sqrt[3]N\}\backslash ln\backslash left(1-\backslash exp(-\backslash beta\; hv\backslash |\backslash mathbf\; n\backslash |/2\backslash sqrt[3]L)\backslash right))\backslash ;d^3\backslash mathbf\; n$

::$\backslash approx-\backslash frac\{3\backslash pi\}2\backslash int\_0^\{\backslash sqrt[3]\{6N/\backslash pi\}\}n^2\backslash ln\backslash left(1-\backslash exp(-\backslash beta\; hvn/2\backslash sqrt[3]L)\backslash right)\backslash ;dn$

::$=-9N\backslash int\_0^1x^2\backslash ln\backslash left(1-\backslash exp(-x(T\_\{\backslash text\{D\}\}/T))\backslash right)\backslash ;dx$

디바이 온도($T\_\{\backslash text\{D\}\}$)와 디바이 주파수($\backslash nu\_\{\backslash text\{D\}\}$)는 데바이 모델의 핵심적인 물리량이며, 다음과 같이 정의된다.

:$T\_\{\backslash text\{D\}\}=\backslash frac\{hv\}k\backslash sqrt[3]\{3N/4\backslash pi\; V\}$

:$\backslash nu\_\{\backslash text\{D\}\}=v\backslash sqrt[3]\{3N/4\backslash pi\; V\}$

진동수가 파장에 반비례하는(일정한 음속을 제공하는) 근사는 저에너지 포논에는 적합하지만 고에너지 포논에는 적합하지 않으며, 이는 데바이 모델의 한계이다. 이 근사는 중간 온도에서 잘못된 결과를 초래하지만, 저온 및 고온 한계에서는 결과가 정확하다.

포논의 최소 파장이 원자 간격의 두 배라고 가정하면, 최대 모드 수 $n\_\{max\}$는 다음과 같다.

:$n\_\{\backslash rm\; max\}\; =\; \backslash sqrt[3]\{N\}\backslash ,.$

이는 최대 모드 수가 무한대인 광자와 대조적이다.

3. 1. 에너지와 비열

• 저온($T\; \backslash ll\; T\_D$)에서 비열은 $T^3$에 비례한다.

• 고온($T\; \backslash gg\; T\_D$)에서 비열은 뒬롱-프티 법칙에 따라 일정해진다.

3. 2. 다양한 유도 방법

3. 2. 1. 연속체 역학을 이용한 유도

3. 2. 2. 양자 조화 진동자를 이용한 유도

4. 데바이 온도

'''데바이 온도'''(Debye temperature^영어)는 결정 격자의 강성(stiffness)을 나타내는 물리량으로, 물질의 종류에 따라 다른 값을 가진다. 데바이 온도는 다음과 같이 정의된다.^[3]

:$T\_\{\backslash text\{D\}\}=\backslash frac\{hv\}k\backslash sqrt[3]\{3N/4\backslash pi\; V\}$

여기서 $h$는 플랑크 상수, $v$는 결정 속 음속, $k$는 볼츠만 상수, $N$은 원자의 개수, $V$는 부피이다.

이에 대응하는 주파수

:$\backslash nu\_\{\backslash text\{D\}\}=v\backslash sqrt[3]\{3N/4\backslash pi\; V\}$

를 '''디바이 주파수'''(Debye frequency^영어)라고 한다.

다양한 물질의 데바이 온도는 실험적으로 측정되어 있으며, 다음 표와 같이 정리되어 있다.^[3]

데바이 온도는 온도에 따라 변할 수 있으며, 이는 실험 데이터와의 정합성을 높이기 위해 고려된다.^[7] 예를 들어, 얼음의 데바이 온도는 절대 영도에서 약 100K로 증가함에 따라 약 222 K^[8]에서 300 K^[9]로 증가한다.

5. 다른 준입자로의 확장

데바이 모형은 포논(양자화된 음파)뿐만 아니라 마그논(양자화된 스핀파)과 같은 다른 보손 준입자에도 적용될 수 있다. 강자성체에서 저주파수 영역의 운동량과 에너지 분산 관계는 포논과 마그논이 서로 다르다. 예를 들어, 마그논의 경우 $E(\backslash nu\; )\backslash propto\; k^2$인 반면, 포논의 경우 $E(\backslash nu\; )\backslash propto\; k$이다($k=2\backslash pi\; /\backslash lambda$). 상태 밀도 또한 다르다. 결과적으로, 강자성체에서는 열용량에 마그논 기여분 $\backslash Delta\; C\_\{\backslash ,\{\backslash rm\; V|\backslash ,magnon\}\}\backslash ,\backslash propto\; T^\{3/2\}$이 생기는데, 이는 충분히 낮은 온도에서 포논 기여분 $\backslash ,\backslash Delta\; C\_\{\backslash ,\{\backslash rm\; V|\backslash ,phonon\}\}\backslash propto\; T^3$보다 지배적이다. 반대로 금속에서는 열용량에 대한 주요 저온 기여분 $\backslash propto\; T$이 전자에서 나오며, 이는 페르미온 기체이고, 아놀드 조머펠트의 자유 전자 모형으로 계산된다.

6. 액체로의 확장

데바이 모델은 액체의 열용량을 설명하는 데에도 활용될 수 있다. 최근 연구에서는 순간 정규 모드(INM)가 액체의 비열을 결정하는 데 중요한 역할을 한다는 것이 밝혀졌다.^[13]

7. 한계

디바이 모형은 저주파에서 정확한 분산 관계를 제공하지만, 고주파에서는 정확도가 떨어진다.^[3][4] 이는 진동수가 파장에 반비례하는 근사가 저에너지 포논에는 적합하지만, 고에너지 포논에는 적합하지 않기 때문이다. 중간 온도 범위에서는 실험 결과와 다소 차이를 보일 수 있다.

또한, 비조화성을 고려하지 않아 고온에서 열용량이 더 증가하는 현상을 설명하지 못한다.^[3][4]

8. 아인슈타인 모델과의 비교

아인슈타인 모델은 결정 내 모든 원자가 동일한 진동수로 진동한다고 가정하는 반면, 데바이 모형은 다양한 진동수의 포논을 고려한다.

두 모형 모두 실험 데이터와 잘 일치하지만, 특히 저온에서는 데바이 모형이 더 정확한 결과를 제공한다. 아인슈타인 모델은 고온에서는 비교적 잘 맞지만, 저온에서는 큰 차이를 보인다.

두 모델의 차이점을 비교하기 위해, 아인슈타인 온도($T\_\{\backslash rm\; E\}$)와 데바이 온도($T\_\{\backslash rm\; D\}$)를 도입하여 두 모델의 스케일을 조정한다. 아인슈타인 온도는 아인슈타인 모델에서 모든 원자가 진동하는 단일 주파수에 해당하며, 데바이 온도는 데바이 모델에서 고려하는 최대 진동 주파수에 해당한다.

두 온도의 비율은 다음과 같이 주어진다.

:$\{T\_\{\backslash rm\; E\}\backslash over\; T\_\{\backslash rm\; D\}\}\; =\; \backslash sqrt[3]\{\backslash pi\backslash over6\}\backslash approx\; 0.806$.

이 비율은 3차원 구의 8분원의 부피와 그것을 포함하는 정육면체의 부피의 비율의 세제곱근과 같다.

이 비율을 사용하여 두 모델의 예측값을 동일한 그래프에 나타낼 수 있다. 그래프에서 볼 수 있듯이, 저온에서는 데바이 모델이 아인슈타인 모델보다 실험값에 더 가깝게 나타난다. 이는 데바이 모델이 저온에서 포논의 분포를 더 정확하게 반영하기 때문이다.

참조

_[1] 보고서 Lattice vibrations in noncrystalline solids https://www.osti.gov[...] Cornell Univ., Ithaca, N.Y. (USA). Lab. of Atomic and Solid State Physics 1973-08-01
_[2] 저널 Zur Theorie der spezifischen Waerme https://zenodo.org/r[...]
_[3] 서적 Introduction to Solid State Physics John Wiley & Sons
_[4] 서적 An Introduction to Thermal Physics Addison-Wesley
_[5] 서적 An Introduction to Statistical Mechanics https://archive.org/[...] Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1960
_[6] 서적 A First Course in Thermodynamics Prentice-Hall of India Private Limited 1974
_[7] 서적 Solid-State Physics: Introduction to the Theory Springer
_[8] 저널 The heat capacity of water ice in interstellar or interplanetary conditions
_[9] 저널 Heat Capacity of Ice at Low Temperatures
_[10] 서적 Kinetic Theory of Liquids
_[11] 저널 The phonon theory of liquid thermodynamics 2012
_[12] 저널 Explaining the specific heat of liquids based on instantaneous normal modes 2021
_[13] 저널 Zur Theorie der spezifischen Wärmen https://zenodo.org/r[...]
_[14] 웹사이트 The one dimensional monatomic solid https://openphysicsl[...] 2018-04-27
_[15] 웹사이트 Specific heats of solids http://farside.ph.ut[...] 2006-00-00
_[16] 서적 The Oxford Solid State Basics Oxford University Press 2013-06-20
_[17] 웹사이트 The Oxford Solid State Basics https://podcasts.ox.[...] 2024-01-12
_[18] 서적 The Physics of Phonons https://books.google[...] Routledge 2019-07-16
_[19] 저널 Zur Theorie der spezifischen Wärmen
_[20] 서적 Introduction to Solid State Physics Wiley
_[21] 저널 Zur Theorie der spezifischen Wärmen