띠구조

3. 띠구조의 형성과 특징

블로흐 정리에 따라, 결정 속 전자의 파동 함수(전자 상태)는 파수에 의해 결정된다. 결정 속에는 이온 껍질에 의한 주기적인 전기장이 존재하며, 이에 따라 결정 속 전자가 가질 수 있는 에너지가 제한된다. 결정 속 전자가 존재할 수 있는 에너지 영역을 '''에너지 띠'''라고 부르고, 전자가 취할 수 없는 에너지 영역을 띠틈이라고 부른다.

4. 도체, 절연체, 반도체의 띠구조

• 도체: 금속과 같은 도체에서는 적어도 하나의 에너지 띠가 페르미면을 횡단한다. 즉, 페르미 준위가 전도띠와 겹쳐져 있어 전자가 자유롭게 이동할 수 있다.
• 절연체: 절연체는 원자가띠와 전도띠 사이에 큰 띠틈이 존재한다. 페르미 준위는 이 띠틈 속에 위치하며, 전자가 전도띠로 이동하기 어렵기 때문에 전기 전도성이 매우 낮다.
• 반도체: 반도체는 절연체와 비슷한 띠구조를 가지지만, 띠틈이 절연체보다 작다. 따라서 온도나 불순물 첨가와 같은 외부 조건에 따라 전자가 전도띠로 이동할 수 있는 확률이 변하며, 전기 전도도가 조절된다.

5. 띠구조 계산

띠구조를 이론적으로 계산하는 방법에는 여러 가지가 있다. 이 방법들은 경험적인 것부터 비경험적(제일원리적)인 것까지 다양하다. 보통 결정과 같은 고체를 다루지만, 표면계나 액체를 다루는 계산법도 있다.

대표적인 방법으로는 유사퍼텐셜과 평면파 기저를 이용한 APW, KKR과 같은 전전자 방법, 제일원리 분자역동학법, 밀접 결합 근사법 등이 있다. 제일원리 분자역동학 방법에서는 전자 상태와 함께 대상이 되는 계의 구조 최적화, 즉 안정 구조를 구할 수 있다.

띠 계산은 원래 결정과 같은 주기적 경계조건이 존재하는 계를 대상으로 했지만, 그 후에는 표면계나 불규칙 이원합금같은 비주기계에 대해서도 계산이 이루어지게 되었다. 표면계에 관해서는 슬래브 근사(slab approxmation|슬래브 근사^영어)를 이용해 계산하는 것이 가장 일반적이다. 불규칙 이원합금처럼 퍼텐셜이 무작위한 계에는 간접성 퍼텐셜 근사(coherent potential approximation|간접성 퍼텐셜 근사^영어)가 많이 이용된다. 또한 실공간법과 같이 경계 조건에 얽매이지 않는 계산 방법도 등장하고 있다.

6. 대칭성과 파수 벡터

블로흐 정리에 따라, 결정 속 전자의 파동 함수(전자 상태)는 파수 $\backslash mathbf\; K$에 의해 결정된다. 이 파수는 결정 구조의 병진 대칭성 때문에 나타나는 양자수이며, 실제 입자의 운동량으로 해석할 수는 없다. 결정 구조 속의 전자 상태 함수를 기술하기 위해 주기적 경계 조건을 사용하면, 이 파수 벡터들은 브릴루앙 영역 안에 모두 들어오게 된다. 따라서 브릴루앙 영역의 파수들에 대응하여 에너지 준위들을 그릴 수 있는데, 이를 전자의 '''띠구조'''라고 한다.

에너지띠 구조 계산은 결정 격자의 주기성을 이용하여 대칭성을 활용한다. 단일 전자 슈뢰딩거 방정식은 격자 주기적 전위의 전자에 대해 풀리고, 해로서 블로흐 전자를 제공한다.

$$\backslash psi\_\{n\backslash mathbf\{k\}\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; e^\{i\backslash mathbf\{k\}\backslash cdot\backslash mathbf\{r\}\}\; u\_\{n\backslash mathbf\{k\}\}(\backslash mathbf\{r\}),$$

여기서 $\backslash mathbf\{k\}$는 파수 벡터이다. $\backslash mathbf\{k\}$의 각 값에 대해 슈뢰딩거 방정식의 여러 해가 있으며, 에너지띠를 번호 매기는 띠 지수 $n$으로 표시된다.

각 에너지 준위는 $\backslash mathbf\{k\}$의 변화에 따라 부드럽게 변화하여 매끄러운 상태띠를 형성한다. 각 띠에 대해 해당 띠의 전자에 대한 분산 관계인 함수 $E\_n(\backslash mathbf\{k\})$를 정의할 수 있다.

파수 벡터는 결정의 격자와 관련된 파수 벡터(역격자) 공간의 다면체인 브릴루앙 영역 내의 모든 값을 취한다. 브릴루앙 영역 외부의 파수 벡터는 브릴루앙 영역 내의 상태와 물리적으로 동일하다. 브릴루앙 영역의 특수한 고대칭 점/선에는 Γ, Δ, Λ, Σ와 같은 레이블이 지정된다(그림 1 참조).

• 직접 띠 간격: 띠 간격 위의 가장 낮은 에너지 상태는 띠 간격 아래의 가장 높은 에너지 상태와 같은 $\backslash mathbf\{k\}$를 갖는다.
• 간접 띠 간격: 띠 간격 위아래의 가장 가까운 상태는 $\backslash mathbf\{k\}$ 값이 같지 않다.

7. 상태 밀도

상태 밀도 함수density of states, DOS^영어는 전자 에너지가 근처일 때 단위 부피, 단위 에너지 당 전자 상태의 수로 정의된다.

상태 밀도 함수는 띠 이론에 기반한 효과 계산에 중요하다. 페르미의 황금률에서, 광흡수 속도 계산에서, 그것은 여기 가능한 전자의 수와 전자의 최종 상태 수를 모두 제공한다. 전기 전도도 계산에서 이동 가능한 상태의 수를 제공하고, 전자 산란 속도 계산에서 산란 후 최종 상태의 수를 제공한다.

띠 간격 내의 에너지에 대해서는 이다.

8. 띠 채움

열역학적 평형 상태에서 에너지 E의 상태가 전자로 채워질 가능성은 페르미-디랙 분포에 의해 주어진다. 이는 파울리 배타 원리를 고려하는 열역학적 분포이다.

:$$f(E)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\; +\; e^\}$$

여기서:

• 볼츠만 상수와 온도의 곱이며,
• 는 전자의 전체 화학퍼텐셜 또는 ''페르미 준위''이다. (반도체 물리학에서는 이 값을 로 나타내는 경우가 더 많다.) 고체의 페르미 준위는 전압계로 측정한 해당 고체의 전압과 직접적으로 관련이 있다. 관례적으로, 띠 구조 그림에서는 페르미 준위를 에너지의 영점으로 취한다(임의의 선택).

9. 페르미 준위 근처의 띠 (전도띠, 원자가띠)

페르미 준위 근처의 띠와 띠 간격은 재료에 따라 특별한 이름이 주어진다.

• 반도체 또는 띠 절연체에서 페르미 준위는 띠 간격으로 둘러싸여 있으며, 이를 ''띠 간격''(띠 구조의 다른 띠 간격과 구분하기 위해)이라고 한다. 띠 간격 위의 가장 가까운 띠를 ''전도띠''라고 하고, 띠 간격 아래의 가장 가까운 띠를 ''원자가띠''라고 한다. "원자가띠"라는 이름은 화학과의 유추에 따라 만들어졌는데, 반도체(및 절연체)에서 원자가띠는 원자가 오비탈로 구성되기 때문이다.
• 금속 또는 반금속에서 페르미 준위는 하나 이상의 허용띠 안에 있다. 반금속의 경우, 반도체와 유사하게 전하 수송이 전자와 같은지 또는 정공과 같은지에 따라 띠를 일반적으로 "전도띠" 또는 "원자가띠"라고 한다. 그러나 많은 금속에서 띠는 전자와 같은 것도 정공과 같은 것도 아니며, 원자가 오비탈로 구성되어 있기 때문에 종종 "원자가띠"라고만 한다.^[11] 금속의 띠 구조에서 띠 간격은 페르미 준위에서 너무 멀리 떨어져 있기 때문에 저에너지 물리학에는 중요하지 않다.

10. 다양한 띠구조 이론

띠구조를 이론적으로 계산하는 다양한 방법이 존재한다. 이 방법들은 경험적인 방법부터 제일원리적인 방법까지 다양하며, 보통 결정과 같은 고체를 다루지만, 표면계나 액체를 다루는 계산법도 존재한다.

• '''거의 자유 전자 근사(Nearly Free Electron Approximation)''': 전자 간 상호작용을 무시하고, 전자를 자유 전자로 취급하는 근사법이다. 알루미늄과 같이 인접한 원자 사이의 거리가 작은 금속에 잘 적용된다. 이 경우 전자의 파동 함수는 수정된 평면파로 근사할 수 있으며, 빈 격자 근사에 가까워진다.^[12]

• '''강결합 모형(Tight Binding Model)''': 전자가 개별 원자에 속박되어 있다고 가정하는 근사법이다. 원자 궤도 함수의 선형 결합으로 전자의 상태를 표현한다.^[12] Si, GaAs, SiO₂, 다이아몬드와 같은 재료의 띠 구조는 원자 sp³ 궤도 함수를 기반으로 하는 TB-해밀토니안으로 잘 설명된다. 전이 금속에서는 넓은 NFE 전도띠와 좁게 내장된 TB d-띠를 설명하기 위해 혼합된 TB-NFE 모델을 사용하기도 한다.^[14]

• '''KKR 방법(Korringa-Kohn-Rostocker method)''': 다중 산란 이론을 기반으로 띠구조를 계산하는 방법이다. 코링가, 콘, 로스토커(Rostocker)가 제안한 변분법적 구현은 ''코링가-콘-로스토커 방법''으로 불린다.^[15][16]

• '''빈 격자 근사''': 격자가 없는 자유 공간에서의 띠구조를 계산하는 방법이다.

• '''k·p 섭동 이론''': 몇 가지 매개변수로 띠구조를 근사적으로 설명하는 방법으로, 반도체에 주로 사용된다.

• '''크로니히-페니 모델(Kronig-Penney Model)''': 1차원 주기적 퍼텐셜 모델로, 띠구조 형성의 기본 원리를 설명하는 데 유용하다.

• '''허바드 모델''': 전자 간 상호작용을 고려하는 모델로, 모트 절연체와 같은 강상관계 물질을 설명하는 데 사용된다.

11. 실공간에서의 띠구조

실제 공간에서 페르미 준위를 기준으로 에너지 띠 구조가 어떻게 변하는지 이해하기 위해, 띠 구조 그림을 종종 띠 그림 형태로 단순화한다. 띠 그림에서 세로축은 에너지를, 가로축은 실제 공간을 나타낸다. 수평선은 에너지 준위를, 블록은 에너지 띠를 나타낸다. 이 그림에서 수평선이 기울어져 있으면 준위 또는 띠의 에너지가 거리에 따라 변화함을 의미한다. 이는 결정계 내에 전기장이 존재함을 보여준다. 띠 그림은 서로 접촉했을 때 서로 다른 물질의 일반적인 띠 구조 특성을 서로 관련짓는 데 유용하다.

예로써 N개의 탄소 원자로 이루어진 다이아몬드 결정 속 전자의 밴드 구조를 생각해 보자.

만약 탄소 원자들이 서로 멀리 떨어져 있다면, 각각의 탄소 원자는 같은 에너지를 가진 s 오비탈과 p 오비탈을 갖는다(축퇴). 탄소 원자들이 서로 가까워지면 오비탈이 겹쳐서 서로 다른 에너지를 가진 N개의 오비탈로 분리된다. N은 매우 큰 수이기 때문에 분리된 에너지 간격은 매우 좁아서 연속적인 띠 모양으로 볼 수 있다. 이것을 '''에너지 밴드''' 또는 간단히 '''밴드'''라고 부른다. 원자간 거리 ''a''에서는, 원자가띠와 전도띠라고 불리는 두 개의 밴드를 만든다. 각각 화학 결합에서의 결합성 오비탈과 반결합성 오비탈에 대응한다.

에너지적으로 인접한 밴드의 에너지 차이(에너지 갭)는 밴드갭이라고 불린다. 다이아몬드의 전도띠와 원자가띠의 밴드갭은 5.5eV이다. 밴드갭에는 에너지 준위가 존재하지 않는다.

12. 비결정질 고체의 띠구조

준결정 및 비정질 고체도 띠 틈을 나타낼 수 있다. 그러나 이러한 비정질 고체의 띠 틈은 결정의 단순한 대칭성이 없기 때문에 이론적으로 연구하기가 다소 어렵고, 정확한 분산 관계를 결정하는 것이 일반적으로 불가능하여 더욱 복잡하다. 결과적으로, 고체의 전자 띠 구조에 대한 기존의 거의 모든 이론적 연구는 결정성 물질에 초점을 맞추고 있다.^[1]

13. 기타 띠구조

전자의 띠 구조와 유사한 것으로 포논의 분산 곡선(포노닉 띠 구조), 포토닉 결정 구조, 플라즈모닉 띠 구조 등이 있다.

참조

_[1] 서적 The Oxford Solid State Basics http://archive.org/d[...] Oxford University Press 2013
_[2] 서적 Modern Condensed Matter Physics Cambridge University Press 2019
_[3] 서적 Understanding Solid State Physics https://books.google[...] CRC Press 2009
_[4] 서적 Fundamentals of Physics, Extended, 10th Ed. https://books.google[...] John Wiley and Sons 2013
_[5] 서적 Optical Metamaterials: Fundamentals and Applications https://books.google[...] Springer Science and Business Media 2009
_[6] 서적 Solid-State Physics: An Introduction to Principles of Materials Science, 4th Ed. https://books.google[...] Springer Science and Business Media 2009
_[7] 웹사이트 NSM Archive - Aluminium Gallium Arsenide (AlGaAs) - Band structure and carrier concentration http://www.ioffe.ru/[...]
_[8] 웹사이트 Electronic Band Structure https://www.springer[...] Springer 2016-11-10
_[9] 학술지 Low-Energy Electron-Diffraction Dispersion Surfaces and Band Structure in Three-Dimensional Mixed Laue and Bragg Reflections
_[10] 텍스트
_[11] 웹사이트 Fermi Surface https://www.phys.ufl[...]
_[12] 서적 Introduction to Solid State Physics Wiley
_[13] 서적 The Many-Body Problem: Encyclopaedia of Exactly Solved Models in One Dimension https://books.google[...] World Scientific
_[14] 서적 Electronic Structure and the Properties of Solids https://books.google[...] Dover Publications
_[15] 서적 Impurity Scattering in Metal Alloys https://books.google[...] Springer
_[16] 서적 Photonic Crystals https://books.google[...] Springer
_[17] 저널 Theoretical study on copper's energetics and magnetism in TiO₂ polymorphs 2013-06-21
_[18] 저널 Inhomogeneous Electron Gas 1964-11
_[19] 저널 Screened hybrid density functionals applied to solids 2006
_[20] 저널 Electronic structure of silicon