천-베유 준동형

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추상적 정의
- 2.2. 구체적 정의
3. 역사
4. 예
참조

1. 개요

천-베유 준동형은 리 군과 매끄러운 다양체 사이의 관계를 설명하는 수학적 개념이다. 이 준동형은 리 군의 불변 다항식에서 매끄러운 다양체의 코호몰로지로 가는 사상으로, 주접속과 곡률을 사용하여 구체적으로 정의된다. 천-베유 준동형은 천 특성류, 폰트랴긴 특성류 등 다양한 특성류를 정의하는 데 사용되며, 특히 천 특성류는 복소수 벡터 다발의 성질을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 이 개념은 1940년대 말 천싱선과 앙드레 베유에 의해 도입되었으며, 한국 수학계에도 기여한 바가 있다.

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천-베유 준동형
개요
유형	특성류
분야	미분기하학, 대수적 위상수학
관련 개념	드 람 코호몰로지 주다발 연결 곡률 형식 특성류
정의
정의	드 람 코호몰로지 환으로의 사상, 주다발의 곡률 형식에서 유도됨
대상	주다발
공역	드 람 코호몰로지 환
구성	불변 다항식 선택 곡률 형식에 적용 드 람 코호몰로지류 계산
성질
독립성	연결 선택에 독립적
위상 불변량	주다발의 위상 불변량을 계산하는 데 사용
활용
응용 분야	특성류 계산 미분기하학 대수적 위상수학
역사
이름의 유래	스 싱선베유

2. 정의

천-베유 준동형은 주어진 주다발의 곡률을 이용하여 특성류를 구성하는 방법이다.

다음 조건들이 주어졌다고 가정한다.

연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 $G$
매끄러운 다양체 $M$
$G$ -매끄러운 주다발 $\pi\colon P\twoheadrightarrow M$

이러한 조건 아래, 천-베유 준동형은 주접속과 곡률 형식을 사용하여 구체적으로 정의하거나, 분류 공간과 리 대수 코호몰로지를 사용하여 추상적으로 정의할 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

2. 1. 추상적 정의

분류 공간과 리 대수 코호몰로지를 이용하여 천-베유 준동형을 추상적으로 정의하면 다음과 같다.

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 $G$
$G$ -매끄러운 주다발 $\pi\colon P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, '''천-베유 준동형'''은 다음과 같은

\mathbb C

-결합 대수 준동형이다.

:

\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)

여기서,

$\mathfrak g$ 는 $G$ 의 복소수 리 대수 $\operatorname{Lie}(G)$ 이다.
$\mathbb C[\mathfrak g]$ 는 $\mathfrak g$ 위의 다항식환이다.
$\mathbb C[\mathfrak g]^G$ 는 $G$ 의 딸림표현 작용에 대한 불변량 부분 대수이다.
: $\mathbb C[\mathfrak g]^G = \left\{p\in\mathbb C[\mathfrak g]\colon p=g\cdot p\right\}$
: $(g\cdot p)(x) = p(\operatorname{Ad}_gx)\qquad(g\in G,\;p\in\mathbb C[\mathfrak g],\;x\in\mathfrak g)$
$\operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)$ 는 $M$ 의 드람 코호몰로지이다.

리 군

G

에 대하여, 분류 공간

\mathrm EG\twoheadrightarrow\mathrm BG

를 생각하자. 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.^[1]

:

\operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\mathbb C) \cong \mathbb C[\mathfrak g]^G

(복소수 계수이므로, 좌변은

G

의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라,

G

-주다발

P

는 어떤 연속 함수

:

f\colon M\to\mathrm BG

에 의하여

:

P = f^*\mathrm EB

로서 주어진다. 또한, 이

f

는 코호몰로지 환의 등급환 준동형

:

f^*\colon \operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\mathbb Z)\to\operatorname H^\bullet(M;\mathbb Z)

을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면,

f^*

는 등급환 준동형

:

\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)

을 정의한다. 이를 '''천-베유 준동형'''이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군

G

은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

2. 2. 구체적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 $G$
매끄러운 다양체 $M$
$G$ -매끄러운 주다발 $\pi\colon P\twoheadrightarrow M$

또한,

$G$ 의 복소수 리 대수 $\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)$
$\mathfrak g$ 위의 다항식환 $\mathbb C[\mathfrak g]$
$\mathbb C[\mathfrak g]$ 위의 $G$ 의 딸림표현 작용. 이에 따라 $\mathbb C[\mathfrak g]$ 는 군환 $\mathbb C[G]$ 의 왼쪽 가군을 이룬다.
$(g\cdot p)(x) = p(\operatorname{Ad}_gx)\qquad(g\in G,\;p\in\mathbb C[\mathfrak g],\;x\in\mathfrak g)$
$G$ 의 작용에 대한 불변량 부분 대수 $\mathbb C[\mathfrak g]^G$ .
$\mathbb C[\mathfrak g]^G = \left\{p\in\mathbb C[\mathfrak g]\colon p=g\cdot p\right\}$
$G$ 의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
$\mathbb C[\mathfrak g]^G = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathbb C_k[\mathfrak g]^G$
$p\in \mathbb C_k[\mathfrak g]^G \iff\forall \lambda\in\mathbb C,\;x\in\mathfrak g\colon p(\lambda x)=\lambda^kp(x)$
동차 다항식 $p\in \mathbb C_k[\mathfrak g]^G$ 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 $k$ 개의 변수를 갖는 함수 $\bar p\colon\mathfrak g^{\oplus k}\to\mathbb C$ 가 존재한다.
$\bar p(x,\dotsc,x)=p(x)\qquad\forall x\in\mathfrak g$
$\bar p(x_1,\dotsc,x_k) = \bar p(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(k)})\qquad\forall\sigma \in \operatorname{Sym}(k),\;(x_i)_{1\le i\le k}\in\mathfrak g^{\oplus k}$

이 주어졌다고 하자.

그렇다면, '''천-베유 준동형'''은 다음과 같은

\mathbb C

-결합 대수 준동형이다.

:

\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)

천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

P

위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률을

:

F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)

라고 하자. 그렇다면,

p\in\mathbb C_k[\mathfrak g]^G

에 대하여 다음을 정의한다.

:

p(F) \in \Omega^{2k}(P;\mathfrak g)

:

p(F)(v_1,\dotsc,v_{2k}) = \frac1{(2k)!} \sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(2k)} (-)^\sigma \bar p\left(F(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)}),\dotsc,F(v_{\sigma(2k-1)},v_{\sigma(2k)})\right)

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

$s\in P$ 는 주다발 전체 공간의 점
$v_1,\dotsc,v_{2k} \in \mathrm T_sP$ 는 주다발의 한 접공간의 $2k$ 개의 벡터들
$(-)^\sigma$ 는 순열의 부호수
$\operatorname{Sym}(2k)$ 는 크기 $(2k)!$ 의 대칭군

그러면, 다음을 보일 수 있다.

$p$ 의 $G$ -불변성에 의하여, $p(F)$ 는 $P$ 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, $\mathrm dp(F) = 0$ 이다.
$p(\Omega) = \pi^*\alpha_F$ 가 되는 유일한 미분 형식 $\alpha_F\in\Omega^{2k}(M;\mathbb C)$ 가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.^[1]
$\alpha_F$ 는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 $[\alpha_F]\in\operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)$ 는 주접속에 의존하지 않는다.^[2]

이에 따라, '''천-베유 준동형'''은 다음과 같다.

:

\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)

:

p \mapsto [\alpha_F]

'''보조정리 1:''' ''P'' 위의 형식

f(\Omega)

는 ''M'' 위의 (고유한) 형식

\overline{f}(\Omega)

로 내려간다. 즉, ''M'' 위에

f(\Omega)

로 당겨지는 형식이 있다.

'''보조정리 2:''' ''P'' 위의 형식

\varphi

가 ''M'' 위의 형식으로 내려가면,

d\varphi = D\varphi

이다.

비안키의 두 번째 항등식에 따라

D \Omega = 0

이고, ''D''가 등급 유도이므로

D f(\Omega) = 0

이다. 보조정리 1은

f(\Omega)

가 보조정리 2의 가정을 만족한다고 말한다.

보조정리 2를 보기 위해,

\pi\colon P \to M

을 투영으로 하고 ''h''를

T_u P

에서 수평 부분 공간으로의 투영으로 둔다. 그러면 보조정리 2는

d \pi(h v) = d \pi(v)

라는 사실의 결과이다.

보조정리 1의 경우, 먼저 다음이 성립한다.

:

f(\Omega)(d R_g(v_1), \dots, d R_g(v_{2k})) = f(\Omega)(v_1, \dots, v_{2k}), \, R_g(u) = ug;

이는

R_g^* \Omega = \operatorname{Ad}_{g^{-1}} \Omega

이고 ''f''가 불변이기 때문이다. 따라서, 다음 공식을 사용하여

\overline{f}(\Omega)

를 정의할 수 있다.

:

\overline{f}(\Omega)(\overline{v_1}, \dots, \overline{v_{2k}}) = f(\Omega)(v_1, \dots, v_{2k}),

여기서

v_i

는

\overline{v_i}

의 임의의 올림이다.

''M'' 위의

\overline{f}(\Omega)

의 드람 코호몰로지 클래스가 접속의 선택에 독립적임을 보이기 위해^[2]

\omega_0, \omega_1

을 ''P'' 위의 임의의 접속 형식으로 하고

p\colon P \times \R \to P

를 투영으로 둔다. 다음을 둔다.

:

\omega' = t \, p^* \omega_1 + (1 - t) \, p^* \omega_0

여기서 ''t''는

P \times \mathbb{R}

위의 매끄러운 함수로

(x, s) \mapsto s

로 주어지고,

\Omega', \Omega_0, \Omega_1

을

\omega', \omega_0, \omega_1

의 곡률 형식으로 둔다.

i_s: M \to M \times \mathbb{R}, \, x \mapsto (x, s)

를 포함으로 두면,

i_0

는

i_1

에 호모토피하다. 따라서,

i_0^* \overline{f}(\Omega')

과

i_1^* \overline{f}(\Omega')

는 드람 코호몰로지의 호모토피 불변성에 의해 동일한 드람 코호몰로지 클래스에 속한다. 마지막으로, 다음이 성립한다.

:

i_0^* \overline{f}(\Omega') = \overline{f}(\Omega_0)

:

\Omega_1

에 대해서도 마찬가지이다. 따라서,

\overline{f}(\Omega_0), \overline{f}(\Omega_1)

은 동일한 코호몰로지 클래스에 속한다.

따라서, 구성은 다음 선형 사상을 제공한다.

:

\Complex[\mathfrak g]^{G}_k \to H^{2k}(M; \Complex), \, f \mapsto \left[\overline{f}(\Omega)\right].

다음과 같이 얻어진 사상

:

\Complex[\mathfrak g]^{G} \to H^*(M; \Complex)

은 대수 준동형사상이다.

3. 역사

천싱선과 앙드레 베유가 1940년대 말에 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,^[5] 이 강의록 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인용하였다.

> 나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다.

4. 예

천-베유 준동형의 예시는 다음과 같다.

1차 천 특성류: $\operatorname{GL}(1;\mathbb C)$ 주다발은 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류로 주어진다.
천 특성류: $\operatorname{GL}(n;\mathbb C)$ -매끄러운 주다발의 경우, 특성류는 총 천 특성류로 주어지며, 이를 차수별로 분해하여 k차 천 특성류를 정의할 수 있다.
폰트랴긴 특성류: 실수 벡터 다발의 경우, 폰트랴긴 특성류는 복소화된 벡터 다발의 짝수 차수 천 특성류를 통해 정의된다.
정칙 벡터 다발: 복소다양체 위의 정칙 벡터 다발의 경우, 천-베유 준동형은 (1, 1)-형식인 곡률 형식을 통해 특성류를 정의한다.

4. 1. 1차 천 특성류

\operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \mathbb C^\times

(또는 이에 대응하는 콤팩트 군

\operatorname U(1)

)을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간

:

\operatorname B\operatorname U(1)\simeq\operatorname{\mathbb CP}^\infty

이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수

:

\operatorname H^\bullet(\operatorname{\mathbb CP}^\infty;\mathbb C) = \operatorname{Span}_{\mathbb C}\{1,x,x^2,\dotsc\}

:

\deg x=2

:

\mathrm dx=0

이다.

\mathbb C^\times

는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우

:

\mathbb C[x] \cong \operatorname H^\bullet(\operatorname{\mathbb CP}^\infty;\mathbb C)

이다.

\mathbb C^\times

-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류

:

p(x) \mapsto p(\operatorname c_1(F))

로서 주어진다.

4. 2. 천 특성류

\operatorname{GL}(n;\mathbb C)

-매끄러운 주다발을 생각하자. 이 주다발에 대응하는 특성류는 '''총 천 특성류'''

\operatorname c(P) \in \operatorname H^\bullet(M;\mathbb Z)

이다. 이를 차수별로 분해하여

k

차 '''천 특성류'''

\operatorname c_k(P) \in \operatorname H^{2k}(M;\mathbb Z)

를 정의할 수 있다.^[3]

\operatorname{GL}(n;\mathbb C)

-주다발

P

대신, 이에 대한 연관 다발

E = P\times_{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}\mathbb C^n

을 사용하여 천 특성류를 정의할 수도 있다. 이 경우,

\operatorname c_k(E)=\operatorname c_k(P) \in \operatorname H^{2k}(M;\mathbb Z)

로 쓸 수 있다.

''E''가 매니폴드 ''M'' 위의 랭크 ''n''의 매끄러운 복소수 벡터 다발이라고 하자. ''E''의 ''k''번째 천 클래스

c_k(E) \in H^{2k}(M, \Z)

는 ''E''의 프레임 다발에 의해 정의된 천-베유 준동형사상 아래의, 특성 다항식

\det \left( I - t{x \over 2 \pi i} \right) = \sum_{k=0}^n f_k(x) t^k

에서 얻어지는 불변 다항식

f_k

의 이미지로 주어진다.^[3]

''E''의 총 천 클래스는

c(E) = 1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)

와 같이 주어진다.

천 클래스는 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.

휘트니 합 공식: 벡터 다발 ''E''가 $E_i$ 들의 직접 합이고, $\Omega_i$ 가 $E_i$ 의 곡률 2-형식이라면, $c_t(E) = c_t(E_1) \cdots c_t(E_m)$ 가 성립한다. 여기서 곱셈은 코호몰로지 링의 컵 곱이다.
정규화 속성: 복소사영선의 첫 번째 천 클래스를 계산하여 확인한다. (자세한 내용은 천 클래스#예: 리만 구의 복소 접선 다발 참고)
텐서곱: $c_1(E \otimes E') = c_1(E) \operatorname{rank} (E') + \operatorname{rank}(E) c_1(E').$ ^[4]

''E''의 천 지표는

\operatorname{ch}(E) = [\operatorname{tr}(e^{-\Omega/2\pi i})] \in H^*(M, \Q)

로 주어지며, 여기서

\Omega

는 ''E''에 대한 어떤 접속의 곡률 형식이다. 천 지표는 환 준동형사상이며, 다음을 만족한다.

:

\operatorname{ch}(E \oplus F) = \operatorname{ch}(E) + \operatorname{ch}(F), \, \operatorname{ch}(E \otimes F) = \operatorname{ch}(E) \operatorname{ch}(F).

4. 3. 폰트랴긴 특성류

''E''가 매끄러운 다양체 ''M'' 위의 실수 벡터 다발이라면, ''E''의 ''k''번째 폰트랴긴 특성류는 다음과 같이 주어진다.

:

p_k(E) = (-1)^k c_{2k}(E \otimes \mathbb{C}) \in H^{4k}(M; \mathbb{Z})

여기서

E \otimes \mathbb{C}

는 ''E''의 복소화를 나타낸다. 동등하게, 이것은 다음과 같은

\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})

위의 불변 다항식

g_{2k}

의 천-베유 준동형 사상 아래의 상이다.

:

\operatorname{det}\left(I - t \frac{x}{2 \pi}\right) = \sum_{k = 0}^n g_k(x) t^k

4. 4. 정칙 벡터 다발

복소다양체 ''M'' 위의 정칙 벡터 다발 ''E''에 대해, 임의의 에르미트 계량을 사용하면 ''E''의 곡률 형식

\Omega

는 (1, 1)-형식이 된다. (정칙 벡터 다발#정칙 벡터 다발의 에르미트 계량 참조) 따라서

G = \operatorname{GL}_n(\Complex)

일 때, 천-베유 준동형은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\Complex[\mathfrak{g}]_k \to H^{k, k}(M; \Complex), f \mapsto [f(\Omega)].

참조

_[1] 서적 1969
_[2] 웹사이트 Archived copy https://math.berkele[...] 2014-12-11
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 서적 Topics in differential geometry https://hdl.handle.n[...] The Institute for Advanced Study 1951

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