마슬로프 지표

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 심플렉틱 벡터 공간과 라그랑주 부분 공간
- 2.2. 라그랑주 그라스만 다양체의 구성
3. 성질
- 3.1. 기본군
- 3.2. 차원
4. 심플렉틱 다양체와 라그랑주 그라스만 다발
- 4.1. 라그랑주 부분 다양체와 마슬로프 지표
5. 역사
- 5.1. 빅토르 파블로비치 마슬로프
- 5.2. 블라디미르 아르놀트
참조

1. 개요

마슬로프 지표는 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체에서 정의되는 중요한 개념이다. 2n차원 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간인 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군이며, 라그랑주 그라스만 다발을 정의할 수 있다. 라그랑주 부분 다양체 L이 축약 가능 공간일 경우, 마슬로프 지표는 코호몰로지를 통해 정의되며, 폐곡선 또는 1차 호몰로지류의 마슬로프 지표는 정수이다. 이 개념은 빅토르 파블로비치 마슬로프가 WKB 근사를 다루기 위해 도입했으며, 블라디미르 아르놀트에 의해 대수적 위상수학을 통해 재정립되었다.

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마슬로프 지표
개요
이름	마슬로프 지표
분야	수학, 물리학
정의	실수 벡터 공간의 라그랑주 부분 공간의 경로에 할당된 정수
수학적 정의
기본 공간	실수 벡터 공간
관련 개념	라그랑주 부분 공간, 심플렉틱 벡터 공간
응용 분야	심플렉틱 기하학, 양자역학, 진동 이론
물리학적 의미
관련 분야	양자역학, 반고전 근사
응용	에너지 준위 계산, 고전적 가우시안 빔의 초점 이동
역사
창시자	블라디미르 마슬로프
발표 연도	1965년
같이 보기
관련 항목	심플렉틱 다양체 라그랑주 다양체 켈러 다양체

2. 정의

$2n$ 차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 안에 놓인 라그랑주 부분 다양체 $L\subset M$ 을 생각하자. 각 점 $x\in L$ 에서 $L$ 의 접공간 $T_xL$ 은 $M$ 의 접공간 $T_xM$ 안의 라그랑주 부분 공간이 된다. 이를 이용해, $L$ 에서 라그랑주 그라스만 다발 $\Lambda M$ 로 가는 자연스러운 다발 사상 $L\to \Lambda M$ 을 정의할 수 있다.

만약 $L$ 이 위상수학적으로 축약 가능 공간이라면, $L$ 위에서의 라그랑주 그라스만 다발 $\Lambda M|_L$ 은 라그랑주 그라스만 다양체 $\operatorname U(n)/\operatorname O(n)$ 과 호모토피 동치 관계에 있다. 이 때문에 두 공간의 기본군 사이에는 다음과 같은 자연스러운 군 동형 관계가 성립한다.

: $\pi_1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong\pi_1(\Lambda M|_L)$

여기서 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 정수의 덧셈군 $\mathbb Z$ 와 동형이다.

이 기본군의 동형 관계는 대수적 위상수학의 코호몰로지 이론을 통해 다음과 같은 사상의 열로 이어진다.

: $\mathbb Z\cong\langle a\rangle\cong H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong H^1(\Lambda M|_L;\mathbb Z)\to H^1(L;\mathbb Z)$

여기서 $H^1(\cdots;\mathbb Z)$ 는 정수 계수를 가지는 1차 코호몰로지 군을 나타내고, $a$ 는 $H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))$ 의 생성원이다. 이 생성원 $a$ 가 위의 사상들을 통해 최종적으로 $H^1(L;\mathbb Z)$ 안으로 보내진 상을 라그랑주 부분 다양체 $L$ 의 '''마슬로프 지표'''(Maslov index^영어) $m\in H^1(L;\mathbb Z)$ 라고 정의한다.

특히, $L$ 이 폐곡선 $\gamma$ 인 경우, 그 호몰로지 류 $[\gamma]\in H_1(L;\mathbb Z)$ 에 대응하는 마슬로프 지표는 하나의 정수값 $m([\gamma])\in\mathbb Z$ 으로 결정된다.

2. 1. 심플렉틱 벡터 공간과 라그랑주 부분 공간

2n

차원 심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega)

가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

:

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

이는

n(n+1)/2

차원의 동차공간이며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다양체'''(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

이다. 구체적으로,

\operatorname U(n)

의 기본군은

\mathbb Z

이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수

\det M\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은

\pm1

이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은

\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z

의 부분군인

2\mathbb Z

이다.

2. 2. 라그랑주 그라스만 다양체의 구성

2n

차원 심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega)

가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

:

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

이는

n(n+1)/2

차원의 동차공간이며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다양체'''(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

이다. 구체적으로, U(n)의 기본군은

\mathbb Z

이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수

\det M\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은

\pm1

이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 여전히

\mathbb Z

와 동형이다.

2n

차원 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간

T_xM

에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

인 올다발

\Lambda M\twoheadrightarrow M

을 정의할 수 있다. 이를 '''라그랑주 그라스만 다발'''이라고 한다.

3. 성질

$2n$ 차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 가 주어졌다고 하자. 각 접공간 $T_xM$ 에 대하여, 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간인 라그랑주 그라스만 다양체 $\operatorname U(n)/\operatorname O(n)$ 를 올(fiber)로 가지는 올다발 $\Lambda M\twoheadrightarrow M$ 을 정의할 수 있다. 이를 '''라그랑주 그라스만 다발'''이라고 한다.

$M$ 속의 라그랑주 부분 다양체 $L\subset M$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $L$ 위의 각 점 $x \in L$ 에서 그 점에서의 접공간 $T_xL$ 을 대응시키는 자연스러운 다발 사상 $L\to \Lambda M$ 이 존재한다.

만약 $L$ 이 축약 가능 공간이라고 하면, $\Lambda M|_L$ ( $L$ 위로 제한된 라그랑주 그라스만 다발)과 라그랑주 그라스만 다양체 $\operatorname U(n)/\operatorname O(n)$ 는 서로 호모토피 동치이며, 그들의 기본군 사이에 자연스러운 군 동형이 성립한다:

: $\pi_1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong\pi_1(\Lambda M|_L)$

이 동형 관계는 코호몰로지 군 사이의 당김 사상을 유도한다:

: $\mathbb Z\cong\langle a\rangle\cong H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong H^1(\Lambda M|_L;\mathbb Z)\to H^1(L;\mathbb Z)$

여기서 $H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))$ 은 정수 $\mathbb Z$ 와 동형이고, $a$ 는 그 생성원이다. 이 당김 사상에 의해 생성원 $a$ 가 $L$ 의 1차 코호몰로지 군 $H^1(L;\mathbb Z)$ 으로 보내진 상을 '''마슬로프 지표'''(Maslov index^영어) $m\in H^1(L;\mathbb Z)$ 라고 한다.

특히, 폐곡선 또는 1차 호몰로지류 $[\gamma]\in H_1(L;\mathbb Z)$ 에 대한 마슬로프 지표는 정수 $m([\gamma])\in\mathbb Z$ 값을 가진다. 이는 라그랑주 부분 다양체 $L$ 이 심플렉틱 다양체 $M$ 안에서 어떻게 감겨 있는지를 나타내는 위상적인 불변량으로 해석될 수 있다.

3. 1. 기본군

라그랑주 그라스만 다양체

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

의 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

의 부분군인

2\mathbb Z

(짝수 정수들의 집합)와 동형이다. 즉,

\pi_1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n)) \cong 2\mathbb Z

이다.

이는 다음과 같이 이해할 수 있다. 유니터리 군

\operatorname U(n)

의 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

이다 (

\pi_1(\operatorname U(n)) = \mathbb Z

). 이 성질은 유니터리 행렬의 행렬식이 항상 크기가 1인 복소수 (단위원 위의 점,

\det M\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

)라는 사실로부터 기인한다. 단위원 위의 점은 한 바퀴 회전할 때마다 위상이

2\pi

씩 변하며, 이 회전 수를 정수로 나타내는 것이 기본군

\mathbb Z

에 해당한다.

한편, 직교 행렬의 행렬식은

+1

또는

-1

의 값만 가진다. 라그랑주 그라스만 다양체는 유니터리 군

\operatorname U(n)

을 직교군

\operatorname O(n)

으로 나눈 동차공간이다. 이 과정에서 기본군은

\operatorname U(n)

의 기본군

\mathbb Z

의 부분군인

2\mathbb Z

로 축소된다. 즉, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은

2\mathbb Z \subset \pi_1(\operatorname U(n)) = \mathbb Z

와 같이 표현된다.

3. 2. 차원

2n

차원 심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega)

가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

:

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

이는

n(n+1)/2

차원의 동차공간이며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다양체'''(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 한다.

4. 심플렉틱 다양체와 라그랑주 그라스만 다발

$2n$ 차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega)$ 가 주어졌다고 하자. 이 공간 안의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같이 표현된다.

: $\operatorname U(n)/\operatorname O(n)$

이 공간은 $n(n+1)/2$ 차원의 동차공간이며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다양체'''(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 부른다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군 $\mathbb Z$ 와 동형이다. 구체적으로 살펴보면, 유니터리 군 $\operatorname U(n)$ 의 기본군은 $\mathbb Z$ 인데, 이는 유니터리 행렬의 행렬식 값이 절댓값이 1인 복소수, 즉 $\det M\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}$ 이기 때문이다. 반면, 직교 행렬의 행렬식 값은 $\pm1$ 이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 $\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z$ 의 부분군인 $2\mathbb Z$ 와 관련된다.

$2n$ 차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 가 주어졌을 때, 각 점 $x \in M$ 에서의 접공간 $T_xM$ 에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 대응시킬 수 있다. 이렇게 만들어진, 올(fiber)이 $\operatorname U(n)/\operatorname O(n)$ 인 올다발 $\Lambda M\twoheadrightarrow M$ 을 정의할 수 있으며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다발'''이라고 한다.

4. 1. 라그랑주 부분 다양체와 마슬로프 지표

2n

차원 심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega)

가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

:

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

이는

n(n+1)/2

차원의 동차공간이며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다양체'''(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

이다. 구체적으로,

\operatorname U(n)

의 기본군은

\mathbb Z

이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수

\det M\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은

\pm1

이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은

2\mathbb Z\subset\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z

이다.

2n

차원 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간

T_xM

에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

인 올다발

\Lambda M\twoheadrightarrow M

을 정의할 수 있다. 이를 '''라그랑주 그라스만 다발'''이라고 한다.

M

속의 라그랑주 부분 다양체

L\subset M

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의

x\in L

에 대하여 라그랑주 그라스만 다발

\Lambda M

으로 가는 다발 사상

:

L\to \Lambda M

이 존재한다. 만약

L

이 축약 가능 공간이라고 하면,

\Lambda M|_L

과

\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

은 서로 호모토피 동치이며, 자연스러운 군 동형

:

\pi_1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong\pi_1(\Lambda M|_L)

이 주어진다. 위 동형은 코호몰로지에 의한 당김

:

\mathbb Z\cong\langle a\rangle\cong H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong H^1(\Lambda M|_L;\mathbb Z)\to H^1(L;\mathbb Z)

이 존재한다. 이 경우,

H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))

의 생성원

a

의

H^1(L;\mathbb Z)

에서의 상을 '''마슬로프 지표'''(Maslov index^영어)

m\in H^1(L;\mathbb Z)

라고 한다. 폐곡선 또는 1차 호몰로지류

[\gamma]\in H_1(M;\mathbb Z)

의 마슬로프 지표는 정수

m([\gamma])\in\mathbb Z

이다.

5. 역사

마슬로프 지표는 빅토르 파블로비치 마슬로프( Ви́ктор Па́влович Ма́слов^ru )가 WKB 근사 연구를 위해 처음 도입하였으며,^[3]^[4] 이후 1967년 블라디미르 아르놀트가 대수적 위상수학을 통해 이를 설명하며 발전시켰다.^[5]

5. 1. 빅토르 파블로비치 마슬로프

빅토르 파블로비치 마슬로프(Ви́ктор Па́влович Ма́слов^ru)가 WKB 근사를 다루기 위하여 도입하였다.^[3]^[4] 이후 블라디미르 아르놀트가 1967년에 이를 대수적 위상수학을 통해 설명하였다.^[5]

5. 2. 블라디미르 아르놀트

블라디미르 아르놀트는 1967년에 마슬로프 지표를 대수적 위상수학을 통해 설명하였다.^[5]

참조

_[1] 웹사이트 講演の概要 https://research.kek[...] 2022-09-06
_[2] 간행물 周期軌道の安定性とマスロフ指数に関する最近の話題(「有限量子多体系の励起構造と相関効果」-原子核・量子ドット・ボース凝縮・クラスターを中心として-,研究会報告) https://hdl.handle.n[...] 物性研究刊行会 2002-06
_[3] 서적 Теория возмущений и асимптотические методы Издательство Московского государственного университета 1965
_[4] 서적 Введение в метод фазовы хинтегралов Издательство «Мир» 1965
_[5] 저널 О характеристическом классе, входящем в условия квантования http://mi.mathnet.ru[...] 1967

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