배럴 공간

3. 정의

$K$가 실수체($\backslash mathbb\; R$) 또는 복소수체($\backslash mathbb\; C$)라고 하자. $K$-위상 벡터 공간 $V$ 속의 '''배럴'''(barrel|배럴^영어, tonneau|토노^프랑스어) $B\backslash subseteq\; V$는 다음 조건들을 만족시키는 부분 집합이다.

• 볼록 집합이다.
• 닫힌집합이다.
• (균형성) $\backslash textstyle\; B\backslash supseteq\backslash bigcup\_\{a\backslash in\; K\}^$

4. 예시

• 반노름 공간에서 단위구는 배럴이다.
• 모든 국소 볼록 공간은 배럴 집합으로 이루어진 근방 기저를 가진다.
• 프레셰 공간, 특히 바나흐 공간은 배럴 공간이다.
• 몽텔 공간은 배럴 공간이다.
• 베르 공간인 국소 볼록 공간은 배럴 공간이다.

5. 성질

하우스도르프 국소 볼록 공간 $X$와 그 연속 쌍대 공간 $X\text{'}$에 대해서, 다음 명제들은 모두 동등하다.^[4]

• $X$는 배럴 공간이다.
• 연속 쌍대 공간 $X\text{'}$의 모든 $\backslash sigma(X\text{'},\; X)$-유계 부분 집합은 동등연속이다. (이는 바나흐-슈타인하우스 정리의 부분적인 역을 제공한다).
• $X$는 강한 위상 $\backslash beta(X,\; X\text{'})$을 지닌다.
• $X$에서 모든 낮은 반-연속 반노름은 연속이다.
• $X$의 0-근방 기저와 $E\_\{\backslash beta\}\text{'}$의 유계 집합의 기본족은 극성으로 서로 대응한다.
• 연속 쌍대 공간 $X\text{'}$의 모든 부분 집합 ''A''에 대해서, 다음 성질들은 동등하다:
• 동등연속이다.
• 상대적 약한 콤팩트이다.
• 강한 유계이다.
• 약한 유계이다.

• 모든 순차적 완전 준배럴 공간은 배럴 공간이다.
• 배럴 공간은 몽텔, 완전, 거리화 가능, 비순차적 베르같은, 또는 바나흐 공간의 유도한계일 필요는 없다.
• 어떤 위상 벡터 공간($X$)에서든, $X$의 모든 배럴은 $X$의 모든 콤팩트 볼록 부분 집합을 흡수한다.
• 국소 볼록 하우스도르프 위상 벡터 공간 $X$에서, $X$의 모든 배럴은 $X$의 모든 볼록 유계 완비 부분 집합을 흡수한다.
• 만약 $X$가 국소 볼록 공간이면, $X\text{'}$의 부분 집합 $H$가 $\backslash sigma\backslash left(X^\{\backslash prime\},\; X\backslash right)$-유계일 필요충분조건은 $H\; \backslash subseteq\; B^\{\backslash circ\}$을 만족하는 배럴 $B$가 $X$에 존재하는 것이다.
• $(X,\; Y,\; b)$가 쌍대 시스템이고 $\backslash nu$가 쌍대성에 일치하는 $X$상의 국소 볼록 위상이라고 하자. 그러면 $X$의 부분 집합 $B$가 $(X,\; \backslash nu)$에서 배럴이 될 필요충분조건은 $B$가 $Y$의 어떤 $\backslash sigma(Y,\; X,\; b)$-유계 부분 집합의 극인 것이다.
• 국소 볼록 공간 $X$에서 $M$이 유한 공차원을 갖는 벡터 부분 공간이고 $B\; \backslash subseteq\; M$이라고 하자. 만약 $B$가 $M$에서 배럴(각각 보른 포식 배럴, 보른 포식 디스크)이면, $B\; =\; C\; \backslash cap\; M$을 만족하는 $X$에서 배럴(각각 보른 포식 배럴, 보른 포식 디스크) $C$가 존재한다.

• F-공간은 완비 거리화 가능 TVS이다.

• 선형 사상 $F\; :\; X\; \backslash to\; Y$는 그래프가 $X\; \backslash times\; Y$의 닫힌 부분 집합이면 '''닫힌'''이라고 한다.

• 선형 사상 $F\; :\; X\; \backslash to\; Y$는 $Y$의 원점의 모든 근방 $V$에 대해 $F^\{-1\}(V)$의 폐포가 $X$의 원점의 근방인 경우 '''준연속'''이라고 한다.

5. 1. 함의 관계

5. 2. 균등 유계성 원리

• (점별 유계성) 임의의 $v\backslash in\backslash mathcal\; F$에 대하여, $\backslash \{Fv\backslash colon\; F\backslash in\backslash mathcal\; F\backslash \}$는 유계 집합이다.
• $\backslash mathcal\; F$는 동등 연속 함수족이다.
• $\backslash mathcal\; F$는 균등 동등 연속 함수족이다.

6. 준-배럴 공간

어떤 위상 벡터 공간 $X$에서 공간 내 모든 배럴 유계형 집합이 $0$의 근방이면, $X$는 준-배럴 공간이다. 어떤 집합이 $X$의 모든 유계 부분집합을 흡수하면 그 집합은 유계형 집합이다. 모든 배럴 공간은 준-배럴 공간이다.

국소 볼록 공간 $X$와 그 연속 쌍대 $X\text{'}$에 대해서 다음 명제는 동등하다.

• $X$가 준-배럴 공간이다.
• $X$의 모든 유계 낮은 반-연속 반노름은 연속이다.
• $\backslash beta(X\text{'},\; X)$를 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 모든 $X\text{'}$의 부분집합은 동등연속이다.

7. 추가 정보

• 모든 하우스도르프 배럴 공간은 준배럴 공간이다.^[1]
• 배럴 공간에서 국소 볼록 공간으로의 선형 사상은 거의 연속이다.
• 국소 볼록 공간에서 배럴 공간으로의 선형 사상은 거의 열린 사상이다.
• 배럴 공간의 곱에서 국소 볼록 공간으로의 분리 연속 쌍선형 사상은 가성 연속이다.^[2]
• 배럴 위상 벡터 공간에서 $B\_r$-완비 위상 벡터 공간으로의 닫힌 그래프를 가진 선형 사상은 반드시 연속이다.^[3]

참조

_[1] 서적 1999
_[2] 서적 1999
_[3] 저널 Sur certains espaces vectoriels topologiques http://www.numdam.or[...] 1950
_[4] 서적 1999