시간 역전 대칭

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1. 개요

시간 역전 대칭은 시간의 방향을 반전시키는 변환에 대한 물리 법칙의 불변성을 의미한다. 양자역학에서 시간 역전 연산자는 반유니타리 연산자로 표현되며, 페르미온의 경우 일반적으로 T² = -1, 보손의 경우 T² = 1의 특징을 갖는다. 시간 역전은 에너지 준위의 겹침을 유발하는 크라머르스 정리를 따르며, 양자 컴퓨팅 및 시뮬레이션 연구에 활용된다. 고전 물리학에서는 시간 역전 대칭이 성립하지만, 열역학 제2법칙과 같은 거시적 현상에서는 시간 비대칭성이 나타난다. 입자 물리학의 표준 모형은 CPT 대칭을 가지며, 시간 반전 위반은 CP 위반으로 나타난다.

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시간 역전 대칭
개요
설명	시간 역전 대칭(T-symmetry)은 물리학에서 시간의 방향을 바꾸어도 물리 법칙이 변하지 않는다는 대칭성이다.
상세 내용
시간 역전 변환	시간 역전 변환은 t → -t로 표현된다.
대칭	T-대칭은 물리 법칙이 시간 역전에 대해 불변함을 의미한다.
CPT 대칭	CPT 정리에 따르면, CPT 대칭은 항상 보존된다. 즉, 시간 역전 대칭이 깨지면 전하 켤레 대칭(C) 또는 패리티 대칭(P)도 함께 깨져야 한다.
약한 상호작용	약한 상호작용은 시간 역전 대칭을 깨는 것으로 알려져 있다.
활용	시간 역전 대칭은 입자 물리학, 응집 물질 물리학 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 활용된다.
시간 역전 대칭의 예
고전 역학	뉴턴의 운동 방정식은 시간 역전에 대해 대칭이다.
전자기학	맥스웰 방정식은 시간 역전에 대해 대칭이다.
양자 역학	슈뢰딩거 방정식은 시간 역전에 대해 대칭이다. (단, 복소수 켤레를 취해야 함)
시간 역전 대칭 깨짐의 예
약한 상호작용	K 중간자 붕괴는 시간 역전 대칭을 깨는 현상으로 알려져 있다.
관련 개념
관련 개념	CPT 대칭 전하 켤레 대칭 (C) 패리티 대칭 (P)

2. 양자역학에서의 시간 역전 대칭

양자역학에서 시간 역전 대칭은 시간 역전 연산자 $T$ 로 표현된다. 이 연산자는 다음과 같은 특징을 갖는다.

반유니타리 연산자이다. 즉, $\langle T\psi|T\phi\rangle=\langle\phi|\psi\rangle$ 이다.
페르미온의 경우 대개 $T^2=-1$ 이고, 보손의 경우 대개 $T^2=1$ 이다.

대부분의 시스템은 시간 반전에 대해 비대칭적이지만, 대칭성이 있는 현상도 있을 수 있다. 고전 역학에서 속도 ''v''는 ''T'' 연산 하에서 반전되지만 가속도는 반전되지 않는다.^[6] 따라서 소산 현상은 ''v''에 대해 홀수인 항을 통해 모델링된다. 그러나 소산의 알려진 원천을 제거하는 정밀한 실험은 역학 법칙이 시간 반전 불변임을 보여준다. 소산 자체는 열역학 제2법칙에서 기원한다.

자기장 ''B'' 내에서 전하를 띤 물체의 운동은 로렌츠 힘 항 ''v''×''B''를 통해 속도를 포함하며, 처음에는 ''T'' 하에서 비대칭적인 것처럼 보일 수 있다. 자세히 살펴보면 ''B''도 시간 반전 하에서 부호가 바뀐다는 것을 알 수 있다. 이는 자기장이 ''T'' 하에서 부호가 바뀌는 전류 ''J''에 의해 생성되기 때문이다. 따라서 전자기장 내의 고전적 전하 입자의 운동도 시간 반전 불변이다. (그럼에도 불구하고, 외부장이 고정된 상태, 즉 자기 광학 효과를 분석할 때와 같이 ''국소적'' 의미에서 시간 반전 불변성을 고려하는 것이 여전히 유용하다. 이를 통해 패러데이 아이솔레이터 및 [http://magnetooptics.phy.bme.hu/research/topics/optical-properties-of-multiferroic-materials/ 방향성 이색성]과 같이 시간 반전을 국소적으로 깨는 광학 현상이 발생할 수 있는 조건을 분석할 수 있다.)

물리학에서는 운동학이라고 불리는 운동 법칙을 역학이라고 불리는 힘의 법칙과 분리한다. 뉴턴 운동 법칙의 고전적 운동학에 따라, 양자 역학의 운동학은 역학의 시간 반전 대칭성에 대해 아무것도 가정하지 않는 방식으로 구축된다. 즉, 역학이 불변이면 운동학은 불변으로 유지되도록 허용하고, 그렇지 않으면 운동학도 이를 보여준다. 양자 운동 법칙의 구조는 더 풍부하다.

frame의 이차원 표현은 패리티 하에서 서로 변환되는 한 쌍의 양자 상태로 주어지지만, 이 표현은 항상 패리티 하에서 짝수 또는 홀수인 상태의 선형 결합으로 축소될 수 있다. '''크라머스 정리'''는 시간 반전이 반유니타리 연산자로 표현되기 때문에 이러한 속성을 가질 필요가 없다고 명시한다.]]

양자 역학에서 시간 반전은 다음 세 가지 중요한 속성을 갖는다.

# 반유니타리 연산자로 표현되어야 한다.

# 비퇴화 양자 상태가 전기 쌍극자 모멘트를 갖지 않도록 보호한다.

#

T^2=-1

의 속성을 가진 이차원 표현을 갖는다 (페르미온의 경우).

이 결과의 특이성은 패리티와 비교하면 명확해진다. 패리티가 한 쌍의 양자 상태를 서로 변환하는 경우, 이 두 기저 상태의 합과 차는 좋은 패리티를 갖는 상태이다. 시간 반전은 이와 같이 동작하지 않는다. 이는 모든 아벨 군이 일차원 기약 표현으로 표현되어야 한다는 정리를 위반하는 것처럼 보인다. 이렇게 되는 이유는 반유니타리 연산자로 표현되기 때문이다. 따라서 양자 역학에서 스피너의 길을 엽니다.

양자 역학적 시간 반전의 개념은 물리적으로 동기 부여된 양자 컴퓨팅 및 시뮬레이션 설정을 개발하는 데 유용한 도구로 밝혀졌으며, 해당 복잡성을 평가하는 비교적 간단한 도구를 제공한다. 예를 들어, 양자 역학적 시간 반전은 새로운 보존 샘플링 방식을 개발하고^[7] 빔 분할기와 압착 변환 사이의 이중성을 증명하는 데 사용되었다.^[8]

시간 역전 대칭의 형식적인 수학적 표현에서, '''T'''에 대한 세 가지 종류의 표기법을 구별해야 한다. 시간 좌표의 실제 반전을 포착하는 대합인 '''T''', 스피너와 벡터에 작용하는 일반적인 유한 차원 행렬인 '''T''', 그리고 무한 차원 힐베르트 공간에 대한 연산자인 '''T'''가 있다.

실수 (복소수가 아닌) 고전적 (양자화되지 않은) 스칼라장

\phi

의 경우, 시간 반전 대합은 다음과 같이 간단히 작성할 수 있다.

:

\mathsf{T} \phi(t,\vec{x}) = \phi^\prime(-t,\vec{x}) = s\phi(t,\vec{x})

시간 반전은 고정된 시공간 점에서 스칼라 값을 전체 부호

s=\pm 1

까지 변경하지 않기 때문이다.

스칼라장과 달리, 스피너와 벡터장

\psi

는 시간 반전에 대해 비자명한 동작을 가질 수 있다. 이 경우, 다음과 같이 표현한다.

:

\mathsf{T}: \psi(t,\vec{x}) \mapsto \psi^\prime(-t,\vec{x}) = T\psi(t,\vec{x})

여기서

T

는 일반적인 행렬이다. 복소수 필드의 경우, 복소 켤레가 필요할 수 있다. 디랙 스피너의 경우,

T

는 4x4 행렬로 쓸 수 없는데, 실제로 복소 켤레가 필요하기 때문이다.

일반적인 설정에서

T

에 대해 주어질 ''a priori'' 값은 없다. 그 실제 형태는 검토 중인 특정 방정식에 따라 달라진다. 일반적으로, 방정식이 시간 반전 대칭이어야 한다고 명시한 다음, 이 목표를 달성하는

T

의 명시적 값을 구한다. 3차원 유클리드 공간 또는 4차원 민코프스키 공간의 스피너의 경우, 다음과 같이 명시적인 변환을 제공할 수 있다.

:

T=e^{i\pi J_y}K

여기서

J_y

는 각운동량 연산자의 y 성분이고

K

는 복소 켤레이다.

초기 상태와 종결 상태를 반전시키는 변환 하에서의 물리적 현상의 불변성이 물리학에서 자주 고찰된다. 시간 반전 연산자를

T

라고 하면

:

THT^{\dagger}=H

:

Te^{-iH(t_{f}-t_{i})}T^{\dagger}=e^{iH(t_{f}-t_{i})*}

가 된다.

초기 상태

|\phi_{i}\rangle

에서 종결 상태

|\phi_{f}\rangle

로 시간 발전하는 어떤 물리 현상을 생각했을 경우, 행렬 요소가

:

\langle\phi_{f} | e^{-i H(t_{f }-t_{i} ) } | \phi_{i} \rangle

가 된다.^[12]

반유니타리 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

A (  c_{1} | \phi_{1} \rangle +  c_{2} |  \phi_{2} \rangle   ) =   c^{*}_{1} A | \phi_{1} \rangle +  c^{* }_{2}  A |  \phi_{2} \rangle

:

A^{\dagger} A = I

예를 들어, 어떤 계의 기본 방정식은

:

i \hbar \frac{\partial | \psi \rangle }{\partial t} = H  | \psi \rangle

이다. 만약 시간 반전 연산자가 유니타리라면, 원래 계의 방정식과 부호가 달라진다. 따라서 시간 반전 연산자

T

는 반유니타리 연산자여야 한다.

2. 1. 시간 역전의 반유니타리 표현

위그너 정리에 따르면, 양자역학에서 대칭은 유니타리 연산자 또는 반유니타리 연산자로 나타낼 수 있다. 시간 역전 연산자를 유니타리 연산자로 나타내려고 하면 문제가 발생한다.

예를 들어, 어떤 물리적 계를 켓 |''α''〉로 표현하고, 이 계를 무한소 시간 ''δt'' 만큼 시간 변화시키면 다음과 같다.

:

\begin{align}|\alpha, t_0 = 0, t = \delta t \rangle & = T( \delta t ) | \alpha \rangle\\ & = \left( 1 - {iH \over \hbar} \delta t \right) | \alpha \rangle\end{align}

만약 이 계의 운동이 시간 역전 대칭성을 갖는다면, ''δt'' 만큼 시간이 흐른 후 계의 시간을 역전시킨 것

:

\Theta T( \delta t ) | \alpha \rangle = \Theta \left( 1 - {iH \over \hbar} \delta t \right) | \alpha \rangle

과 먼저 계의 시간을 역전시키고 -''δt'' 만큼 시간이 흐르게 한 것은 같다.

:

T( - \delta t ) \Theta | \alpha \rangle = \left( 1 - {iH \over \hbar} (-\delta t) \right) \Theta | \alpha \rangle

위 두 식은 같아야 하므로, 이로부터 다음 관계식을 얻을 수 있다.

:

H \Theta = - \Theta H \;

이 식에 에너지 고유켓 |''n''〉을 적용하면

:

H \Theta | n \rangle = - \Theta H | n \rangle = (- E_n) \Theta | n \rangle

이 된다. 이는 에너지 고유값이 -''E''_''n''인 새로운 고유켓 ''Θ''|''n''〉이 존재함을 의미한다. 하지만 자유 입자의 경우 에너지 스펙트럼은 0부터 ∞까지만 존재하므로, 이는 모순이다. 이러한 이유로 시간 역전 연산자는 반유니타리 연산자여야 한다.^[12]

유진 위그너는 해밀토니안의 대칭 연산 ''S''가 양자역학에서 유니타리 연산자 (''S'' = ''U'') 또는 반유니타리 연산자 (''S'' = ''UK'')로 표현됨을 보였다. 여기서 ''U''는 유니타리 연산자이고, ''K''는 복소수 켤레 연산자이다. 이들은 힐베르트 공간에서 상태 벡터의 투영 "길이"를 보존하는 유일한 연산이다.

시간 반전 연산자 ''T''는 x-연산자에는 영향을 주지 않지만 (''TxT''⁻¹ = ''x''), 운동량 ''p''의 방향을 반전시킨다 (''TpT''⁻¹ = −''p''). 정준 교환자 ([''x'', ''p''] = ''iħ'')를 보존하려면 ''T''는 반유니타리, 즉 ''TiT''⁻¹ = −''i''로 선택해야 한다.

에너지(4-운동량의 시간 성분)를 고려하면, 시간 반전이 유니타리 연산자라면 에너지 부호가 반전되어야 하는데, 에너지는 항상 양수이므로 불가능하다. 따라서 양자역학에서 에너지를 보존하면서 시간을 반전시키려면 "''i''"의 방향을 반전시켜 위상의 방향을 반전시켜야 한다.

결론적으로, ''i''의 부호를 바꾸는 모든 반유니타리 연산은 양의 에너지를 음의 에너지로 바꾸지 않기 위해 시간 방향을 반전시켜야 한다. 모든 반유니타리 연산자는 시간 반전 연산자와 시간을 반전시키지 않는 유니타리 연산자의 곱으로 나타낼 수 있다.

2. 2. 크라머르스 정리

해밀토니언

H

가 시간 역전 연산자

T

와 가환하고, 페르미온의 경우

T^2=-1

이다. 에너지 고유 상태

|\psi\rangle

가 주어지면

T^\dagger=T^{-1}=-T

이므로

:

\langle\psi|T\psi\rangle=-\langle T\psi|\psi\rangle=0

이다. 따라서

|\psi\rangle

와

T|\psi\rangle

는 서로 다른 상태이고, 이 에너지 준위는 겹치게 된다. 이를 '''크라머르스 정리'''(Kramers' theorem^영어)라고 한다. 이 정리는 헨드릭 안토니 크라머르스가 1930년 최초로 유도하였으며,^[14] 유진 위그너가 1932년에 이를 시간 역전 대칭을 통하여 설명하였다.^[15]

3. 거시적 현상

일상적인 경험에서 대부분의 거시적인 법칙은 열역학 제2법칙처럼 시간 대칭성이 적용되지 않는다. 마찰이 있는 물체의 운동이나 유체의 점성 운동과 같이 에너지가 열로 소산되는 현상들이 그 예이다.^[6]

맥스웰의 도깨비라는 사고 실험은 시간 비대칭성이 불가피한지에 대한 질문을 제기한다. 제임스 클러크 맥스웰이 제안한 이 실험에서, 미세한 도깨비는 방의 두 부분 사이의 문을 지키며 느린 분자는 한쪽으로, 빠른 분자는 다른 쪽으로만 통과시킨다. 이로써 방의 한쪽은 더 차가워지고 다른 쪽은 더 뜨거워져 엔트로피가 감소하는 것처럼 보인다. 그러나 방과 도깨비의 엔트로피를 함께 고려하면 총 엔트로피는 항상 증가한다는 것이 밝혀졌다.

현대 물리학은 클로드 E. 섀넌의 정보와 엔트로피 간의 관계를 통해 이 문제를 분석하며, 가역 컴퓨팅, 양자 컴퓨팅 등과도 관련이 있다. 볼츠만-섀넌 식별에 따르면, 거시적 시스템의 초기 상태는 낮은 엔트로피를 가지지만, 시스템이 소산과 함께 진화하면서 분자 좌표가 더 넓은 위상 공간으로 이동하여 불확실성이 커지고 엔트로피가 증가한다.

3. 1. 열역학 제2법칙

일상적인 경험에서 대부분의 거시적인 법칙은 열역학 제2법칙처럼 시간 대칭성(T-대칭성)이 적용되지 않는다. 마찰이 있는 물체의 운동이나 유체의 점성 운동과 같이 에너지가 열로 소산되는 현상들이 이러한 법칙에 해당한다.^[6]

이러한 시간 비대칭적인 에너지 소산이 불가피한지에 대한 질문은 맥스웰의 도깨비라는 사고 실험을 통해 논의되기도 한다. 제임스 클러크 맥스웰이 제안한 이 실험에서, 미세한 도깨비가 방의 두 부분 사이의 문을 지키며 느린 분자는 한쪽으로, 빠른 분자는 다른 쪽으로만 통과시킨다. 이를 통해 방의 한쪽은 더 차가워지고 다른 쪽은 더 뜨거워져서 엔트로피가 감소하고 시간의 화살표가 반전되는 것처럼 보인다. 그러나 방과 도깨비의 엔트로피를 함께 고려하면 총 엔트로피는 항상 증가한다는 것이 밝혀졌다.

현대 물리학에서는 클로드 E. 섀넌의 엔트로피와 정보 사이의 관계를 통해 이 문제를 분석한다. 가역 컴퓨팅, 양자 컴퓨팅, 컴퓨팅의 물리적 한계 등 현대 컴퓨팅의 여러 결과들이 이 문제와 밀접하게 관련되어 있다.

현재의 합의는 위상 공간 부피의 로그를 섀넌 정보의 음수, 즉 엔트로피와 동일시하는 볼츠만-섀넌 식별에 기반한다. 이 개념에 따르면, 거시적 시스템의 초기 상태는 분자 좌표가 제한되어 상대적으로 낮은 엔트로피를 가진다. 시스템이 소산과 함께 진화하면서 분자 좌표는 더 큰 부피의 위상 공간으로 이동하고, 불확실성이 커져 엔트로피가 증가한다.

3. 2. 빅뱅

우리가 관찰하는 엔트로피의 지속적인 증가는 우리 우주의 초기 상태 때문에 일어난다는 주장이 있다. 우주의 다른 가능한 상태(예: 열적 죽음 평형 상태의 우주)에서는 엔트로피가 증가하지 않을 것이다. 이러한 관점에서 우리 우주의 명백한 T-비대칭성은 우주론의 문제이다. 즉, 왜 우주는 낮은 엔트로피로 시작되었는가? 우주 마이크로파 배경의 등방성과 같은 우주론적 관측에 의해 뒷받침되는 이 견해는 이 문제를 우주의 '초기 조건' 문제와 연결한다.

3. 3. 블랙홀

중력의 법칙은 고전역학에서 시간 역전 대칭을 이루는 것으로 보이지만, 특정 해는 그렇지 않을 수 있다.

어떤 물체는 외부에서 사건 지평선을 통과하여 블랙홀로 들어갈 수 있으며, 그 후 물리학에 대한 우리의 이해가 무너지는 중심 영역으로 빠르게 떨어진다. 블랙홀 내부에서는 정방향 광선 다발이 중심을 향하고 역방향 광선 다발이 바깥쪽을 향하므로, 통상적인 방식으로 시간 반전을 정의하는 것조차 불가능하다. 블랙홀에서 어떤 것이 탈출할 수 있는 유일한 방법은 호킹 복사를 통해서이다.

블랙홀의 시간 반전은 화이트홀로 알려진 가상의 물체이다. 외부에서 보면 유사하게 보인다. 블랙홀은 시작점이 있고 탈출할 수 없는 반면, 화이트홀은 종착점이 있고 들어갈 수 없다. 화이트홀의 정방향 광선 다발은 바깥쪽을 향하고, 역방향 광선 다발은 중심을 향한다.

블랙홀의 사건 지평선은 국소 광속으로 바깥쪽으로 이동하는 표면으로 생각할 수 있으며, 탈출과 다시 떨어지는 경계에 있다. 화이트홀의 사건 지평선은 국소 광속으로 안쪽으로 이동하는 표면으로, 바깥으로 쓸려 나가 중심에 도달하는 것 사이의 경계에 있다. 이것들은 서로 다른 종류의 지평선으로, 화이트홀의 지평선은 블랙홀의 지평선을 뒤집은 것과 같다.

블랙홀 비가역성에 대한 현대적인 관점은 이를 열역학 제2법칙과 관련시키는 것으로, 블랙홀은 열역학적 대상으로 간주되기 때문이다. 예를 들어, 게이지-중력 쌍대성 추측에 따르면, 블랙홀 내의 모든 미시적 과정은 가역적이며, 다른 모든 거시적 열적 시스템에서와 마찬가지로 집단적 행동만이 비가역적이다.

3. 4. 운동론적 결과: 상세 균형 및 온사거 상반 관계

물리 및 화학 반응 속도론에서 역시간 대칭성은 상세 평형의 원리와 온사거 상호 관계라는 두 가지 중요한 법칙을 내포한다. 미시적 묘사의 역시간 대칭성과 그 운동론적 결과는 미시적 가역성이라고 불린다.^[6]

3. 5. 고전 물리학 변수에 대한 시간 반전의 영향

일상 경험에서 열역학 제2법칙과 같이 거시적인 물리 법칙들은 시간 대칭성을 따르지 않는 것처럼 보인다. 하지만, 마찰이나 점성과 같이 에너지를 열로 소산시키는 현상들도 결국 열역학 제2법칙으로 설명할 수 있다.

맥스웰의 도깨비와 같은 사고 실험을 통해 시간 비대칭성이 불가피한지 질문이 제기되었지만, 방과 도깨비를 함께 고려하면 총 엔트로피는 항상 증가한다는 것이 밝혀졌다. 현대 물리학은 클로드 E. 섀넌의 정보와 엔트로피 간의 관계를 통해 이 문제를 분석하며, 가역 컴퓨팅, 양자 컴퓨팅과 같은 분야와도 관련이 있다.

볼츠만-섀넌 식별에 따르면, 거시적 시스템의 초기 상태는 낮은 엔트로피를 가지지만, 시스템이 소산과 함께 진화하면서 분자 좌표가 더 넓은 위상 공간으로 이동하여 불확실성이 커지고 엔트로피가 증가한다.

시간 반전 연산자는 반유니타리 연산자로 정의되는데, 이는 켤레 복소수를 취하는 연산이 포함됨을 의미한다. 시간 반전 연산자를 적용했을 때 원래 방정식과 부호가 달라지는 경우가 발생하는데, 이는 시간 반전 연산자가 반유니타리 연산자여야 함을 보여준다.

3. 5. 1. 짝수

다음은 시간 역전에 대해 변하지 않는 고전 변수들이다.

3차원 공간에서 입자의 위치 ${\vec x}$^[1]
입자의 가속도 ${\vec a}$^[2]
입자에 작용하는 힘 ${\vec F}$^[3]
입자의 에너지 $E$^[4]
전위(전압) $V$^[5]
전기장 ${\vec E}$^[6]
전기 변위 ${\vec D}$^[7]
전하 밀도 $\rho$^[8]
전기 분극 ${\vec P}$^[9]
전자기장의 에너지 밀도^[10]
맥스웰 응력 텐서 $T_{ij}$^[11]
약력을 제외한 모든 질량, 전하, 결합 상수 및 기타 물리 상수.^[12]

3. 5. 2. 홀수

변수	설명
$t$	사건이 발생하는 시간
$\vec v$	입자의 속도
$\vec p$	입자의 선운동량
$\vec l$	입자의 각운동량 (궤도 및 스핀 모두)
$\vec A$	전자기 벡터 포텐셜
$\vec B$	자기장
$\vec H$	자기 보조장
$\vec j$	전류 밀도
$\vec M$	자화
$\vec S$	포인팅 벡터
$\mathcal{P}$	일률 (일의 율)

3. 5. 3. 예시: 자기장과 온사거 상반 관계

외부 자기장의 영향을 받는 하전 입자 시스템의 경우, 속도와 시간

t

를 반전시키고 좌표를 변경하지 않는 정준 시간 반전 연산은 더 이상 시스템의 대칭성이 아니다. 이러한 고려 사항에 따르면 온사거-카시미르 상호 관계만 성립할 수 있다.^[2] 이 등식은 서로 다른 두 시스템, 즉

\vec B

의 영향을 받는 시스템과

-\vec B

의 영향을 받는 시스템을 관련시키므로 유용성이 제한된다. 그러나 동역학을 보존하고 온사거 상호 관계를 만족하는 다른 시간 반전 연산을 찾을 수 있다는 것이 증명되었다.^[3]^[4]^[5] 결론적으로, 자기장의 존재가 항상 T-대칭성을 깬다고 말할 수는 없다.

4. 미시적 현상: 시간 반전 불변성

대부분의 시스템은 시간 반전에 대해 비대칭적이지만, 대칭성이 있는 현상도 존재한다. 고전 역학에서 속도 ''v''는 ''T'' 연산에서 반전되지만 가속도는 그렇지 않다.^[6] 따라서 소산 현상은 ''v''에 대해 홀수인 항을 통해 모델링된다. 그러나 소산의 알려진 원천을 제거하는 정밀한 실험은 역학 법칙이 시간 반전 불변임을 보여준다. 소산은 열역학 제2법칙에서 기원한다.

자기장 ''B'' 내에서 전하를 띤 물체의 운동은 로렌츠 힘 항 ''v''×''B''를 통해 속도를 포함하며, 처음에는 ''T'' 하에서 비대칭적인 것처럼 보일 수 있다. 하지만 ''B''도 시간 반전에서 부호가 바뀌는데, 이는 자기장이 ''T''에서 부호가 바뀌는 전류 ''J''에 의해 생성되기 때문이다. 따라서 전자기장 내 고전적 전하 입자의 운동도 시간 반전 불변이다. (외부장이 고정된 상태, 즉 자기 광학 효과를 분석할 때처럼 ''국소적'' 의미에서 시간 반전 불변성을 고려하는 것은 여전히 유용하다. 이를 통해 패러데이 아이솔레이터 및 [http://magnetooptics.phy.bme.hu/research/topics/optical-properties-of-multiferroic-materials/ 방향성 이색성]처럼 시간 반전을 국소적으로 깨는 광학 현상이 발생할 수 있는 조건을 분석할 수 있다.)

물리학에서는 운동학이라 불리는 운동 법칙을 역학이라 불리는 힘의 법칙과 분리한다. 뉴턴 운동 법칙의 고전적 운동학에 따라, 양자 역학의 운동학은 역학의 시간 반전 대칭성에 대해 아무것도 가정하지 않는 방식으로 구축된다. 즉, 역학이 불변이면 운동학은 불변으로 유지되고, 그렇지 않으면 그에 맞는 결과를 보여준다.

4. 1. 양자역학에서의 시간 반전

양자역학에서 시간 역전은 시간 역전 연산자

T

로 표현되며, 다음과 같은 중요한 세 가지 속성을 갖는다.

# 반유니타리 연산자로 표현된다. 즉,

\langle T\psi|T\phi\rangle=\langle\phi|\psi\rangle

이다.

# 페르미온의 경우 대개

T^2=-1

이고, 보손의 경우 대개

T^2=1

이다.

# 비퇴화 양자 상태가 전기 쌍극자 모멘트를 갖지 않도록 보호한다.

이러한 특성은 패리티와 비교하면 더욱 두드러진다. 패리티는 한 쌍의 양자 상태를 서로 변환할 때, 이 두 기저 상태의 합과 차를 통해 좋은 패리티를 갖는 상태를 얻을 수 있다. 그러나 시간 반전은 모든 아벨 군이 일차원 기약 표현으로 표현되어야 한다는 정리에 위배되는 것처럼 보인다. 이는 시간 반전이 반유니타리 연산자로 표현되기 때문이며, 이로 인해 양자 역학에서 스피너의 개념이 등장하게 된다.

양자 역학적 시간 반전은 물리적으로 동기 부여된 양자 컴퓨팅 및 시뮬레이션 설정을 개발하는 데 유용한 도구로 활용된다.^[7] 예를 들어, 양자 역학적 시간 반전은 새로운 보존 샘플링 방식을 개발하고,^[7] 빔 분할기와 압착 변환 사이의 이중성을 증명하는 데 사용되었다.^[8]

초기 상태와 종결 상태를 반전시키는 변환 하에서의 물리적 현상의 불변성은 물리학에서 자주 고찰의 대상이 된다. 시간 반전 연산자를

T

라고 하면

:

THT^{\dagger}=H

:

Te^{-iH(t_{f}-t_{i})}T^{\dagger}=e^{iH(t_{f}-t_{i})*}

가 된다.

초기 상태

\ket{\phi_i}

에서 종결 상태

\ket{\phi_f}

로 시간 발전하는 어떤 물리 현상을 생각했을 경우, 행렬 요소가

:

\langle\phi_{f} | e^{-i H(t_{f }-t_{i} ) } | \phi_{i} \rangle

가 된다.^[12] 이것은

:

\langle \phi_{i} | T^{\dagger} e^{-i H(t_{f }-t_{i} ) } T | \phi_{f} \rangle

즉

T\ket{\phi_f}

에서

T\ket{\phi_i}

로의 시간 발전이라는 물리 현상에 대한 행렬 요소와 같다.

반유니타리 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

A ( c_{1} | \phi_{1} \rangle + c_{2} | \phi_{2} \rangle ) = c^{*}_{1} A | \phi_{1} \rangle + c^{* }_{2} A | \phi_{2} \rangle

:

A^{\dagger} A = I

예를 들어, 어떤 계의 기본 방정식은

:

i \hbar \frac{\partial | \psi \rangle }{\partial t} = H | \psi \rangle

이다. 이것의 시간 미러 계를 생각했을 때, 만약 시간 반전 연산자가 유니타리라면,

:

i \hbar \frac{\partial | \psi' \rangle }{\partial t'} = H' | \psi' \rangle

:

\Leftrightarrow i \hbar \frac{\partial T | \psi \rangle }{\partial (-t)} = THT^{\dagger} T | \psi \rangle

:

\Leftrightarrow - i \hbar \frac{\partial | \psi \rangle }{\partial t} = H | \psi \rangle

가 되어 원래 계의 방정식과는 부호가 달라진다. 따라서 시간 반전 연산자

T

는 반유니타리 연산자여야 한다.

4. 2. 형식적 표기법

양자역학에서 시간 역전 대칭은 시간 역전 연산자

T

로 표현되며, 이는 시간 좌표의 반전을 나타내는 대합이다. 시간 반전 연산자는 스피너와 벡터에 작용하는 행렬 및 힐베르트 공간에 대한 연산자로도 표현될 수 있다.

시간 반전 연산자

T

는 다음과 같은 세 가지 종류의 표기법으로 구분된다.

시간 좌표의 실제 반전을 포착하는 대합인 $\mathsf{T}$
스피너와 벡터에 작용하는 일반적인 유한 차원 행렬인 $T$
무한 차원 힐베르트 공간에 대한 연산자인 $\mathcal{T}$

실수 고전적 (양자화되지 않은) 스칼라장

\phi

의 경우, 시간 반전 대합은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathsf{T} \phi(t,\vec{x}) = \phi^\prime(-t,\vec{x}) = s\phi(t,\vec{x})

이는 시간 반전이 고정된 시공간 점에서 스칼라 값을 전체 부호

s=\pm 1

까지 변경하지 않음을 의미한다.

스피너와 벡터장

\psi

의 경우, 시간 반전은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathsf{T}: \psi(t,\vec{x}) \mapsto \psi^\prime(-t,\vec{x}) = T\psi(t,\vec{x})

여기서

T

는 일반적인 행렬이다. 복소수 필드의 경우, 복소 켤레가 필요할 수 있다.

디랙 스피너의 경우,

T

는 4x4 행렬로 쓸 수 없으며, 복소 켤레가 필요하다. 그러나 디랙 스피너의 8개의 실수 성분에 작용하는 8x8 행렬로 쓸 수 있다. 일반적으로 다음과 같이 주어진다.

:

T=e^{i\pi J_y}K

여기서

J_y

는 각운동량 연산자의 y 성분이고

K

는 복소 켤레이다.

임의의 텐서장

\psi_{abc\cdots}

에 대한 시간 반전은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathsf{T}: \psi_{abc\cdots}(t,\vec{x}) \mapsto \psi_{abc\cdots}^\prime(-t,\vec{x})  = {T_a}^d \,{T_b}^e \,{T_c}^f \cdots \psi_{def\cdots}(t,\vec{x})

양자화된 필드

\Psi

에 대한 시간 반전은 다음과 같이 작용한다.

:

\mathsf{T}: \Psi(t,\vec{x}) \mapsto \Psi^\prime(-t,\vec{x})  = \mathcal{T} \Psi(t,\vec{x}) \mathcal{T}^{-1}

4. 3. 시간 반전의 반유니타리 표현

양자역학에서 시간 역전 대칭은 반유니타리 연산자인 시간 역전 연산자

T

로 표현된다.^[6] 페르미온의 경우

T^2=-1

이고, 보손의 경우

T^2=1

이다.

위그너 정리에 따르면, 해밀토니안의 대칭 연산은 유니타리 연산자 또는 반유니타리 연산자로 표현될 수 있다.^[6] 패리티 연산자와 달리, 시간 반전 연산자가 유니타리 연산자이면 에너지 고유켓에 적용했을 때 음의 에너지를 갖는 새로운 고유켓이 나타나는 문제가 발생한다. 자유 입자의 경우 에너지는 0부터 ∞까지만 분포하므로, 시간 역전 연산자는 반유니타리 연산자여야 한다.^[6]

시간 반전 연산자

T

는 x-연산자에는 영향을 주지 않지만, 운동량 연산자 p의 방향을 반전시킨다. 즉,

TxT^{-1} = x

이고,

TpT^{-1} = -p

이다. 정준 교환 관계를 불변으로 유지하려면

T

는 반유니타리여야 하며,

TiT^{-1} = -i

를 만족해야 한다.^[6]

에너지의 부호를 보존하면서 시간을 반전시키려면 "i"의 방향을 반전시켜 위상의 방향을 반전시켜야 한다. 따라서 양의 에너지를 가진 이론에서 모든 반유니타리 대칭은 시간의 방향을 반전시켜야 한다.^[6]

스핀 ''J''를 가진 기본 입자의 경우, 시간 반전 연산자는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[6]

:

T = e^{-i\pi J_y/\hbar} K,

여기서 ''J''_''y''는 스핀의 ''y'' 성분이고, ''K''는 복소수 켤레 연산자이며,

TJT^{-1} = -J

가 사용되었다.

초기 상태와 종결 상태를 반전시키는 변환에 대한 물리적 현상의 불변성을 고려할 때, 시간 반전 연산자

T

는 다음과 같은 성질을 가진다.^[12]

:

THT^{\dagger}=H

:

Te^{-iH(t_{f}-t_{i})}T^{\dagger}=e^{iH(t_{f}-t_{i})*}

시간 반전 연산자가 유니타리라면 원래 계의 방정식과 부호가 달라지는 문제가 발생하므로, 시간 반전 연산자

T

는 반유니타리 연산자여야 한다.^[12]

4. 4. 전기 쌍극자 모멘트

전기 쌍극자 모멘트(EDM)는 외부 전기장에 놓였을 때 상태의 에너지 변화를 통해 정의되는데, 이를 수식으로 나타내면 Δ''e'' = d·''E'' + ''E''·δ·''E'' 와 같다. 여기서 ''d''는 EDM, δ는 유도된 쌍극자 모멘트이다. EDM의 중요한 특징은 패리티 변환 하에서 에너지 변화의 부호가 바뀐다는 것이다. 하지만 '''d'''는 벡터이므로, 특정 상태 |ψ⟩에서의 기대값은 ⟨ψ| ''J'' |ψ⟩, 즉 기대 스핀에 비례해야 한다. 따라서 시간 반전 하에서 불변인 상태는 EDM이 0이어야 한다. 이는 0이 아닌 EDM이 ''P''(패리티) 및 ''T''(시간) 대칭성이 모두 파괴됨을 의미한다.^[9]

물과 같은 일부 분자는 '''T''' 대칭 여부와 관계없이 EDM을 가질 수 있다. 이는 양자 시스템이 패리티 하에서 서로 변환되는 축퇴된 바닥 상태를 가지고 있다면, EDM을 갖기 위해 시간 반전이 파괴될 필요가 없기 때문이다.

핵자의 전기 쌍극자 모멘트에 대해 실험적으로 관측된 경계는 강력 상호작용과 그 현대 이론인 양자 색역학에서 시간 반전 대칭성 위반에 대한 엄격한 제한을 설정한다. 상대론적 양자장론의 CPT 불변성을 사용하면, 이는 강력한 CP 위반에 강력한 경계를 설정한다.

전자 전기 쌍극자 모멘트에 대한 실험적 경계는 입자 물리학 이론과 그 매개변수에도 제한을 가한다.^[10]^[11]

4. 5. 크라머르스 정리

대개 페르미온의 경우

T^2=-1

이다. 해밀토니언

H

가

T

와 가환한다고 하자. 에너지 고유 상태

|\psi\rangle

가 주어지면

T^\dagger=T^{-1}=-T

이므로

:

\langle\psi|T\psi\rangle=-\langle T\psi|\psi\rangle=0

이다. 따라서

|\psi\rangle

와

T|\psi\rangle

는 서로 다른 상태다. 즉, 이 에너지 준위가 겹치게 된다. 이를 '''크라머르스 정리'''(Kramers' theorem^영어)라고 한다. 이 정리는 헨드릭 안토니 크라머르스가 1930년 최초로 유도하였으며,^[14] 유진 위그너가 1932년에 이를 시간 역전 대칭을 통하여 설명하였다.^[15]

''T''가 반-유니타리 ''Z''₂ 대칭 생성자일 경우

: ''T''² = ''UKUK'' = ''UU''^* = ''U''(''U''^T)⁻¹ = Φ,

여기서 Φ는 위상의 대각 행렬이다. 결과적으로

U = \Phi U^T

와

U^T = U\Phi

이므로,

:''U'' = Φ ''U'' Φ.

이는 Φ의 항목이 ±1임을 의미하며, 그 결과

T^2 = \pm 1

이 될 수 있다. 이는 ''T''의 반-유니타리성에 특정한 경우이다. 패리티와 같은 유니타리 연산자의 경우, 어떤 위상이든 허용된다.

다음으로, ''T''에 불변인 해밀토니안을 고려해 보자. |''a''⟩와 ''T''|''a''⟩를 동일한 에너지의 두 양자 상태라고 하자. 이제

T^2 = -1

이면, 이 상태들이 직교한다는 것을 알 수 있으며, 이를 '''크라머스 정리'''라고 한다. 이는

T^2 = -1

이면, 상태에 이중 축퇴가 있음을 의미한다. 이 결과는 비상대론적 양자역학에서 스핀-통계 정리를 예고한다. 양자장론.

시간 반전에 대한 유니타리 표현을 제공하는 양자 상태, 즉, '''

T^2 = 1

'''을 갖는 상태는, 때때로 '''T-패리티'''라고 불리는 곱셈 양자수로 특징지어진다.

4. 6. 알려진 동역학 법칙의 시간 반전

입자 물리학의 표준 모형은 역학의 기본 법칙을 CPT 대칭을 갖는 양자장론으로 공식화했다. CPT 대칭은 시간 반전, 패리티, 전하 켤레의 동시 연산 하에서 법칙이 불변하는 것을 의미한다.^[1] 그러나 시간 반전 자체는 대칭이 아닌 것으로 간주되는데, 이를 CP 위반이라고 한다.^[1]

CP 위반의 가능한 기원은 두 가지이다. 첫째는 혼합을 통해 다양한 맛의 쿼크가 약력에서 붕괴하는 것이고, 둘째는 강한 상호 작용에서 직접적인 CP 위반이다.^[1] 첫 번째는 실험에서 관찰되었지만, 두 번째는 중성자의 EDM이 관찰되지 않아 강력하게 제한된다.^[1]

시간 반전 위반은 열역학 제2법칙과 관련이 없다.^[1] CPT 대칭이 보존되기 때문에 시간 반전의 효과는 기본 입자를 반입자로, 그 반대로 이름을 바꾸는 것과 같다.^[1] 따라서 열역학 제2법칙은 우주의 초기 조건에서 비롯된 것으로 생각된다.^[1]

5. 비침습적 측정의 시간 반전

강력한 측정(고전적 및 양자적)은 분명히 교란을 일으키며, 이는 열역학 제2법칙으로 인해 비대칭성을 유발한다. 그러나 비침습적 측정은 진화를 방해하지 않아야 하므로 시간 대칭적일 것으로 예상된다. 놀랍게도, 이는 열역학적으로 불변인 평형 상태에서도 고전 물리학에서만 참이며 양자 물리학에서는 그렇지 않다.^[1] 이러한 유형의 비대칭성은 CPT 대칭성과는 무관하지만, 확인 제안의 극단적인 조건으로 인해 아직 실험적으로 확인되지 않았다.

참조

_[1] 논문 Noninvasiveness and time symmetry of weak measurements 2013-02
_[2] 논문 Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems 1957-06-15
_[3] 논문 Time reversal symmetry in time-dependent correlation functions for systems in a constant magnetic field 2015
_[4] 논문 Onsager reciprocal relations with broken time-reversal symmetry 2020
_[5] 논문 Necessary and sufficient conditions for time reversal symmetry in presence of magnetic fields 2020
_[6] 논문 Bidirectional molecular dynamics: Interpretation in terms of a modern formulation of classical mechanics 1996
_[7] 논문 Boson sampling with Gaussian measurements 2017
_[8] 논문 Simulating arbitrary Gaussian circuits with linear optics 2018
_[9] 서적 CP violation without strangeness : electric dipole moments of particles, atoms, and molecules. Springer 2012
_[10] 논문 Electron EDM as a Sensitive Probe of PeV Scale Physics 2014-08-12
_[11] 논문 Axions and the strong CP problem 2010-03-04
_[12] 서적 Quantum Field Theory McGraw-Hill 1980
_[13] 서적 Field Quantization Springer 1996
_[14] 저널 http://www.dwc.knaw.[...]
_[15] 저널 http://resolver.sub.[...]

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