전하 켤레 대칭

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1. 개요
2. 정의
3. 전자기장과의 관계
- 3.1. 게이지 이론
4. 디랙 장의 전하 켤레 대칭
- 4.1. 키랄성과 헬리시티
5. 양자화된 장의 전하 켤레 대칭
6. 약한 상호작용과 전하 켤레 대칭
7. 스칼라 장의 이론
8. CP 대칭과 CPT 대칭
9. 고차원 및 일반적인 설정
참조

1. 개요

전하 켤레 대칭은 입자를 반입자로 바꾸는 유니터리 연산자이다. 이 연산자는 스핀을 보존하며, 스칼라장, 디랙 스피너, 전자기장 등 다양한 물리량에 적용될 수 있다. 전하 켤레 대칭은 양자장론에서 입자와 반입자의 교환으로 이해되며, 클라인-고든 방정식과 디랙 방정식, 그리고 양자화된 장의 전개에도 영향을 미친다. 약한 상호작용은 전하 켤레 대칭을 위반하지만, 전자기 상호작용과 강한 상호작용은 이를 보존한다. 전하 켤레 대칭은 CP 대칭, CPT 대칭과 밀접한 관련을 가지며, 고차원 및 일반적인 설정에서도 정의될 수 있다.

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전하 켤레 대칭
개요
유형	대칭
관련 입자	입자 반입자
기호	C
상세 정보
설명	전하 켤레 변환 하에서 물리 법칙의 대칭
변환	C프사이, 프사이^C
성질	CC프사이=프사이
수식	CC C 1
이산 대칭
관련 대칭	반전성 (P) 시간 역전 대칭 (T)

2. 정의

전하 켤레 대칭 연산자 $C$ 는 주어진 입자를 그 반입자로 바꾸는 유니터리 연산자이다. 입자가 스핀을 가질 경우(예: 스피너 또는 벡터 입자), 일반적으로 스핀을 보존하도록 정의되며, 이는 $C^2=1$ 을 만족한다.

스칼라장 $\phi(x)$ 는 다음과 같이 변환된다.

: $C\phi C^{-1}=\phi^*$

4차원 디랙 스피너 $\Psi=\binom{\xi_a}{\chi^{\dagger\dot a}}$ 는 다음과 같이 변환된다.

: $C\psi C^{-1}=\binom{\xi_a}{\chi^{\dagger\dot a}}$

이는 $C\gamma^\mu C^{-1}=-(\gamma^\mu)^T$ 를 만족한다.

마요라나 스피너장과 같이 스스로의 반입자인 경우, $CXC^{-1}=X$ 이다.

전자기 퍼텐셜 $A^\mu(x)$ 는 다음과 같이 변환된다.

: $CA^\mu C^{-1}=-A^\mu$

이에 따라 전기장과 자기장도 전하 켤레 대칭에 따라 $\mathbf E\mapsto -\mathbf E$ , $\mathbf B\mapsto-\mathbf B$ 로 변환한다. 이는 입자를 반입자로 바꾸면 그 전하가 반대가 되므로, 전하에 비례하여 작용하는 전자기장도 마찬가지로 방향을 바꾸어야 하기 때문이다.

양자전기역학의 작용 $S=\int\psi\gamma\cdot(\partial-qA)\bar\psi\,d^4x$ 은 부분적분을 통해 전하 켤레 대칭에 따라 불변임을 알 수 있다. 게이지 이론의 퍼텐셜도 마찬가지로 전하 켤레 대칭 아래 부호가 바뀐다.

2. 1. 클라인-고든 방정식 및 디랙 방정식

전하 켤레 대칭은 클라인-고든 방정식 및 디랙 방정식을 포함한 여러 주목할 만한 미분 방정식의 (고전적, 비양자화된) 해, 해당 양자장, 그리고 일반적인 (의사)-리만 기하학 설정에서 대칭으로 나타난다. 세 경우 모두에서 이 대칭은 궁극적으로 복소수 켤레에 대한 대칭으로 밝혀지지만, 표기법, 좌표 선택 등의 요인으로 인해 정확히 무엇이 켤레가 되는지는 때때로 불분명할 수 있다.

2. 2. 양자장론

양자장론에서 전하 켤레 대칭은 입자와 반입자를 서로 바꾸는 것을 의미한다. 이는 섭동 이론을 통해 서로 연결된 미분 방정식 시스템의 해를 구하는 과정에서 나타난다. 이 과정의 핵심은 각 (자유, 비결합) 미분 방정식에 대한 양자장이다. 양자장은 보통 다음과 같이 표현된다.

:

\psi(x) = \int d^3p \sum_{\sigma,n}e^{-ip\cdot x} a\left(\vec p, \sigma, n\right) u\left(\vec p, \sigma, n\right) +e^{ip\cdot x} a^\dagger\left(\vec p, \sigma, n\right) v\left(\vec p, \sigma, n\right)

여기서

\vec p

는 운동량,

\sigma

는 스핀,

n

은 시스템의 다른 상태를 나타내는 추가적인 변수이다.

a

와

a^\dagger

는 생성 소멸 연산자(사다리 연산자)이고,

u, v

는 해당 미분 방정식(자유, 비상호작용, 비결합)의 해이다.

양자장은 섭동 이론을 통해 근사적인 해를 구할 때 중요한 역할을 한다. 섭동 이론에서는 자유장 해들의 조합으로 근사해를 구성하는데, 이때 양자장은 생성 및 소멸 연산자를 통해 원하는 자유장 해를 선택할 수 있게 해준다.

생성 및 소멸 연산자는 정준 교환 관계를 따르며, 이는 한 연산자가 "생성"한 것을 다른 연산자가 "제거"한다는 의미이다. 즉, 주어진 해

u\left(\vec p, \sigma, n\right)

는 다른 해를 상쇄하는 "반대 해"

v\left(\vec p, \sigma, n\right)

와 짝을 이룬다. 이 짝은 로렌츠 불변성 등 모든 대칭이 유지되도록 만들어진다.

양자장은 가능한 모든 로렌츠 좌표계(또는 모든 운동량)와 스핀 상태에 대한 적분을 포함한다. 이중 짝을 이룰 때는 주어진

u\left(\vec p\right)

가 반대 운동량과 에너지를 가진

v\left(\vec p\right)

와 연결되고, 반대 스핀을 서로 맞추는 등 모든 양자수가 반대 쌍으로 묶인다.

이러한 이중 짝을 만드는 과정은 기술적으로 복잡하다. 주어진 해

u

와

v

가 "이중"이라는 것을 프레임 다발 및 스핀 등을 설명하는 파이버에 대해 적분(합산)할 때 일관되게 유지해야 하기 때문이다.

적분할 파이버가 전자기학의 U(1) 파이버나 색전하의 SU(3) 파이버인 경우, 이중 짝은 파이버의 방향을 바꾸는 것과 같다. SU(3)의 경우 두 개의 이중 기본 표현

\mathbf{3}

과

\overline\mathbf{3}

을 자연스럽게 짝지을 수 있다.

이러한 방식은 시스템의 연속 대칭을 나열하고 이중을 정의할 수 있는 모든 상황으로 일반화된다. 짝을 짓는 것은 추상적으로 반대 전하를 묶는 것이며, 물리학에서 전하는 연속 대칭의 생성자와 관련된다. 이는 시공간 다양체의 로렌츠 대칭과 섬유 다발의 대칭 모두에 적용된다. 이중성은 대칭의 생성자를 음의 생성자로 바꾸므로, 전하 켤레 대칭은 대칭 공간의 선다발 또는 행렬식 다발을 따라 반사되는 것과 관련이 있다.

이는 양자장론에서 양자장에 대한 일반적인 개념을 설명한 것이다. 물리적으로는 해

u\left(\vec p, \sigma, n\right)

이 입자, 해

v\left(\vec p, \sigma, n\right)

이 반입자에 해당하며, 전하 켤레 대칭은 이 둘을 짝짓는다.

자유 복소 스칼라장

\phi

를 나타내는 라그랑지언은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}(\phi) =\partial\bar\phi\, \partial\phi -m^2\bar\phi\phi

반입자는 입자와 같은 질량을 가지므로, 복소 스칼라장

\phi

로 표현되는 입자의 반입자는 질량 항을 함께 만드는 복소 켤레장

\bar\phi

이다.

복소 스칼라장의 미소 위상 변환은 다음과 같다.

:

\delta\phi = iq \epsilon\phi

여기서

\epsilon

는 변환 매개변수,

q

는 스칼라장의 전하이다. 복소 켤레장에 대해서는

:

\delta\bar\phi = -iq \epsilon\bar\phi

가 되고, 복소 켤레장의 전하는

-q

이므로 전하가 반전됨을 알 수 있다. 따라서 스칼라장의 전하 켤레 변환은 다음과 같다.

:

C: (\phi,\bar\phi) \mapsto (\bar\phi,\phi)

라그랑지언이 전하 켤레 변환에 의해 그 형태를 유지하므로, 자유 복소 스칼라장의 이론은 전하 켤레 대칭성을 가진다.

단일 스칼라장에 대한 상호 작용으로, U(1) 대칭성을 가지는 예시는 다음과 같다.

:

\mathcal{L}_\text{int}(\phi) =-\frac{g_4}{4!} (\bar\phi\phi)^2

이 상호 작용 항도 전하 켤레 대칭성을 가진다.

두 종류의 스칼라장을 포함하고, 각 전하 사이에

q_1 +2q_2 =0

관계가 있는 경우, U(1) 대칭성을 가지는 상호 작용 항의 예시는 다음과 같다.

:

\mathcal{L}_\text{int}(\phi) =-\frac{g_3}{3!} \phi_1 \phi_2 \phi_2 -\frac{\bar{g}_3}{3!} \bar\phi_1 \bar\phi_2 \bar\phi_2

이 상호 작용 항에서는 전하 켤레 변환에 의해 두 상호 작용 항의 결합 상수가 서로 바뀐다. 전하 켤레 대칭성을 가지려면 두 결합 상수가 같아야 하며, 즉 결합 상수가 실수여야 한다.

2. 3. (의사) 리만 기하학

일반적인 리만 다양체와 유사 리만 다양체에서도 전하 켤레 대칭을 설명할 수 있다. 이러한 다양체는 접다발, 여접다발, 그리고 이 둘을 연결하는 계량을 갖는다.

이러한 구조는 미분 방정식을 다양체에 설정할 수 있게 한다. 접 및 여접공간은 다양체에 대한 미적분을 수행하기에 충분한 구조를 제공하며, 라플라시안은 상수 항과 함께 클라인-고든 연산자에 해당한다. 여접다발은 기본 구성에 의해 항상 심플렉틱 다양체이며, 정준 좌표

x,p

를 위치와 운동량으로 해석하며, 정준 교환 관계를 따른다. 이는 이중성을 제공하여 전하 켤레를 확장하는 핵심 기반을 제공한다.^[1]

스핀 구조를 구성하는 것도 가능하다. 스피너는 (1,3)차원 민코프스키 시공간에 존재하는 전통적인 물리학 개념인데, 이를

(p,q)

차원 유사 리만 다양체로 일반화할 수 있다. 이 구성은 복소화된 클리포드 대수를 거쳐 클리포드 다발과 스핀 다양체를 구축한다. 스피너는 바일 스피너이며 복소 켤레 쌍으로 제공된다. 이들은 자연스럽게 반가환적이며, 이는 파울리 배타 원리와 연결된다. 카이랄 요소는 감마 행렬

\gamma_5

와 유사하며, 스피너를 좌반 공간과 우반 공간으로 분류한다. 복소화는 "전자기학"을 제공하는 핵심 구성 요소이다. 스피너 다발은 유사 직교군

SO(p,q)

(로렌츠 군

SO(1,3)

의 일반화)뿐만 아니라 복소화된 스핀 군

\mathrm{Spin}^\mathbb{C}(p,q)

인 더 큰 군에서도 변환된다. 이는

SO(p,q)\times U(1)

에 의한 이중 덮개를 갖는다.^[1]

U(1)

부분은 전자기학으로 식별할 수 있다. 스핀 다양체의 디랙 연산자를 제곱하면 연결의 해당 부분에서 발생하는

A

를 포함하는 조각

F=dA

를 포함하는데, 이는 일반적인 민코프스키 시공간에서 일반 디랙 방정식을 제곱할 때 일어나는 일과 유사하다. 또한, 이

U(1)

부분은 스핀 구조의 행렬식 다발과 관련되어, 좌반 스피너와 우반 스피너를 복소 켤레를 통해 효과적으로 연결한다.^[1]

P-대칭과 T-대칭을 일반화하는 것도 가능하다.

p

차원을 시간으로,

q

차원을 공간으로 식별하면,

p

차원 부분 공간에서 접 벡터를 반전시켜 시간 반전을 얻을 수 있고,

q

차원의 방향을 뒤집으면 패리티에 해당한다. C-대칭은 선 다발에 대한 반사로 식별할 수 있다. 전치는 클리포드 대수의 원소를 반전된 순서로 쓰는 것을 의미한다. 기존 물리학의 장에 대한 개념과 이산 대칭에 대한 개념이 일반적인 리만 설정으로 전달된다.^[1]

고차원 감마 행렬에 대해 전하 켤레 대칭의 유사 개념을 정의할 수 있으며, 바이어-브라우어 행렬에 관한 문서에서 바일 스피너에 대한 명시적인 구성을 제공한다. 그러나 클리퍼드 대수의 표현론에서 추상적으로 정의된 스피너는 필드가 아니며, 0차원 시공간에 존재하는 것으로 간주해야 한다.^[1]

T 대칭의 유사 개념은 디랙 스피너의 T 켤레 연산자로서

\gamma^1\gamma^3

에서 파생된다. 스피너는 또한 스피너가 구성되는 클리퍼드 대수의 모든 기저 벡터의 방향을 반전시켜 얻는 고유한 P 대칭을 갖는다. 시공간 다양체에서 페르미온 필드에 대한 P 및 T 대칭과의 관계는 다음과 같이 대략적으로 특징지을 수 있다. 스피너가 클리퍼드 대수를 통해 구성될 때, 이 구성은 구축할 벡터 공간이 필요하다. 관례적으로, 이 벡터 공간은 주어진, 고정된 시공간 점(접선 다발의 단일 올)에서 시공간 다양체의 접선 공간이다. 시공간 다양체에 적용된 P 및 T 연산은 접선 공간의 좌표를 뒤집는 것으로 이해할 수도 있다. 따라서 이 둘은 함께 접착된다. 하나에서 패리티나 시간의 방향을 뒤집으면 다른 하나에서도 뒤집힌다.^[1]

접선 공간을 벡터 공간으로 취하고, 이를 텐서 대수로 확장한 다음, 벡터 공간의 내적을 사용하여 클리퍼드 대수를 정의한다. 각 대수를 올로 취급하면 클리퍼드 다발이라고 하는 다발을 얻는다. 접선 공간의 기저 변화에 따라 클리퍼드 대수의 원소는 스핀 군에 따라 변환된다. 스핀 군을 올로 사용하여 주 다발을 구성하면 스핀 구조가 생성된다.^[1]

스피너 자체는 접선 다양체의 "복소화"를 필요로 한다. 즉, 복소 평면과 텐서 곱을 취한다. 바일 스피너는 다음과 같은 형태를 갖는다.^[1]

:

w_j = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e_{2j} - ie_{2j+1}\right)

여기서

e_j

는 시공간 다양체

M

의 점

p\in M

에서의 접선 공간

V=T_pM

의 기저 벡터이다. 바일 스피너는 복소 켤레와 함께 접선 공간을 포괄하며, 이는

:

V \otimes \mathbb{C} = W\oplus \overline W

의미이다. 교대 대수

\wedge W

는 스피너 공간이라고 불리며, 이는 스피너가 존재하는 곳이며, 스피너의 곱도 존재한다.^[1]

3. 전자기장과의 관계

전하 켤레 대칭 연산자 $C$ 는 전자기 퍼텐셜 $A^\mu(x)$ 에 대해 $CA^\mu C^{-1}=-A^\mu$ 와 같이 작용한다. 이에 따라 전기장과 자기장도 전하 켤레 대칭에 따라 $\mathbf E\mapsto -\mathbf E$ , $\mathbf B\mapsto-\mathbf B$ 로 변환한다. 이는 입자를 반입자로 바꾸면 그 전하가 반대가 되므로, 전하에 비례하여 작용하는 전자기장도 마찬가지로 그 방향을 바꾸어야 하기 때문이다.

양자전기역학의 작용은 아래와 같다.

: $S=\int\psi\gamma\cdot(\partial-qA)\bar\psi\,d^4x$

위 식은 부분적분을 통해 전하 켤레 대칭에 따라 불변함을 알 수 있다.

3. 1. 게이지 이론

전하 켤레 대칭은 세 가지 경우(고전, 양자 및 기하학) 모두에서 고전 전자기학의 것과 유사한 노에터 전류를 구성할 수 있기 때문에 전기 전하의 대칭으로 해석된다. 이는 맥스웰 방정식을 통해 전자기학 자체가 U(1) 섬유 다발, 즉 소위 원 다발의 구조로 해석될 수 있기 때문에 발생한다. 이는 전자기학에 대한 기하학적 해석을 제공한다. 즉, 전자기 퍼텐셜

A_\mu

는 원 다발에 대한 게이지 접속(에레스만 접속)으로 해석된다.

이러한 기하학적 해석은 복소수 값 구조를 가진 거의 모든 것을 전자기장에 결합할 수 있게 해주며, 이 결합이 게이지 불변 방식으로 이루어지는 경우이다. 이 기하학적 설정에서 게이지 대칭은 원 위를 이동할 때 결합된 객체도 "원형 방식"으로 변환되어야 하며, 이에 따라 추적해야 한다는 진술이다. 보다 형식적으로, 방정식은 원 위의 국부 좌표계의 변화에 대해 게이지 불변해야 한다고 말한다. U(1)의 경우, 이는 시스템이 (시공간) 좌표

x

에 의존하는 위상 인자

e^{i\phi(x)}

의 곱셈에 대해 불변하다는 진술일 뿐이다. 이러한 기하학적 설정에서 전하 켤레는 복소 공액을 수행하고 원 주위의 방향 감각을 반전시키는 불연속 대칭

z = (x + iy) \mapsto \overline z = (x - iy)

로 이해될 수 있다.

4. 디랙 장의 전하 켤레 대칭

디랙 방정식의 해는 전하 켤레 변환을 통해 반입자 해로 변환될 수 있다. 전하 켤레 행렬을 이용하여 디랙 장의 전하 켤레 변환을 나타낼 수 있다.

4차원 디랙 스피너 $\Psi$ 의 경우, 전하 켤레 대칭 연산자 $C$ 는 다음과 같이 작용한다.^[4]^[5]^[6]

: $C\psi C^{-1}=\binom{\xi_a}{\chi^{\dagger\dot a}}$

이는

: $C\gamma^\mu C^{-1}=-(\gamma^\mu)^T$

을 만족한다.

전하 켤레 해는 다음과 같이 주어진다.

: $\psi \mapsto \psi^c=\eta_c\, C\overline\psi^\textsf{T}$

여기서 $C$ 는 전하 켤레 행렬이며, 감마 행렬에 대한 문서에 명시적인 형태가 주어져 있다. 이 형태는 표현에 독립적이지 않으며, 감마 군에 대해 선택된 특정 행렬 표현에 따라 달라진다. 복소수 $\eta_c$ 는 임의의 위상 인자이며, 일반적으로 $\eta_c=1$ 로 간주된다.

마요라나 조건은 장과 전하 켤레 사이에 제약 조건을 부과한다. 즉, $\psi = \psi^c$ 를 만족해야 한다. 이는 마요라나 스피너가 전하 켤레 대칭의 고유 상태여야 한다는 요구 사항으로 표현될 수 있다. 마요라나 조건의 고유 상태는 두 가지가 존재하며, 일반적으로 양의 고유 상태 $\psi^{(+)}$ 를 마요라나 스피너로 간주한다.

4. 1. 키랄성과 헬리시티

전하 켤레 대칭은 입자의 키랄성을 변화시키지 않는다고 알려져 있다. 하지만, 반입자를 입자의 부재로 해석하는 경우, 장(field)의 키랄성은 변환될 수 있다.

일반적으로

\gamma_5

는 키랄성 연산자로 사용된다. 전하 켤레 대칭 하에서 이 연산자는 다음과 같이 변환된다.

:

C\gamma_5 C^{-1} = \gamma_5^\textsf{T}

\gamma_5^\textsf{T}

가

\gamma_5

와 같은지 여부는 감마 행렬에 대해 선택된 표현에 따라 달라진다. 디랙 기저와 키랄 기저에서는

\gamma_5^\textsf{T} = \gamma_5

가 성립하는 반면, 마요라나 기저에서는

\gamma_5^\textsf{T} = -\gamma_5

가 얻어진다.

질량이 없는 디랙 스피너 장(spinor field)의 경우, 헬리시티(helicity)는 양의 에너지 해에 대해 손지기성과 같고, 음의 에너지 해에 대해서는 헬리시티의 음수와 같다. 이를 통해 질량이 없는 디랙 장을 바일 스피너

\psi_\text{L}

와

\psi_\text{R}

두 쌍으로 분리할 수 있으며, 이들은 각각 개별적으로 바일 방정식을 만족하지만 반대 부호의 에너지를 갖는다.

:

\left(-p_0 + \sigma\cdot\vec p\right)\psi_\text{R} = 0

:

\left(p_0 + \sigma\cdot\vec p\right)\psi_\text{L} = 0

여기서 음의 헬리시티를 음의 에너지와 같게 하고, 반입자를 반대 헬리시티를 가진 입자와 같게 하는 자유도가 있다.

\sigma

는 파울리 행렬이고,

p_\mu = i\partial_\mu

는 운동량 연산자이다.

바일 표현의 감마 행렬을 사용하면, 디랙 스피너를 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\psi = \begin{pmatrix} \psi_\text{L}\\ \psi_\text{R} \end{pmatrix}

이에 해당하는 이중(반입자) 필드는 다음과 같다.

:

\overline{\psi}^\textsf{T}= \left( \psi^\dagger \gamma^0 \right)^\textsf{T}= \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_\text{L}^* \\ \psi_\text{R}^* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \psi_\text{R}^* \\ \psi_\text{L}^* \end{pmatrix}

전하 켤레 스피너는 다음과 같이 표현된다.

:

\psi^c= \begin{pmatrix} \psi_\text{L}^c\\ \psi_\text{R}^c \end{pmatrix}= \eta_c C \overline\psi^\textsf{T}= \eta_c \begin{pmatrix} -i\sigma^2 & 0 \\ 0 & i\sigma^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_\text{R}^* \\ \psi_\text{L}^* \end{pmatrix}= \eta_c \begin{pmatrix} -i\sigma^2\psi_\text{R}^* \\ i\sigma^2\psi_\text{L}^* \end{pmatrix}

여기서

\eta_c

는 위상 인자이며, 보통

\eta_c=1

로 간주된다. 전하 켤레 변환에서 왼쪽과 오른쪽 상태가 서로 교환되는 것을 볼 수 있다.

마요라나 조건은 장과 전하 켤레 사이의 제약 조건(

\psi = \psi^c

)을 부과하며, 이는 마요라나 스피너가 전하 켤레 대칭의 고유 상태여야 한다는 요구 사항으로 표현될 수 있다. 마요라나 조건의 고유 상태는 두 가지가 존재한다.

:

\mathsf{C}\psi^{(\pm)} = \pm \psi^{(\pm)}

:

\psi^{(+)} = \begin{pmatrix} \psi_\text{L}\\ i\sigma^2\psi_\text{L}^* \end{pmatrix}

:

\psi^{(-)} = \begin{pmatrix} i\sigma^2\psi_\text{R}^*\\ \psi_\text{R} \end{pmatrix}

마요라나 스피너는 일반적으로 양의 고유 상태(

\psi^{(+)}

)로 간주된다. 카이랄 연산자

\gamma_5

는 이 두 가지를 교환한다.

:

\gamma_5\mathsf{C} = - \mathsf{C}\gamma_5

카이랄 고유 상태에 대한 투영 연산자는

P_\text{L} = \left(1 - \gamma_5\right)/2

및

P_\text{R} = \left(1 + \gamma_5\right)/2

로 쓸 수 있으며, 이들은 전하 켤레 대칭 하에서 다음과 같이 변환된다.

:

P_\text{L}\mathsf{C} = \mathsf{C}P_\text{R}

이는 전하 켤레 대칭이 해의 카이랄성을 뒤집는다는 것을 보여준다.

5. 양자화된 장의 전하 켤레 대칭

양자장론에서 전하 켤레 대칭은 입자와 반입자를 서로 바꾸는 유니터리 연산자 $\mathcal{C}$ 로 나타낼 수 있다. 이 연산자는 입자 장에 작용하여 그 입자를 반입자로 변환시킨다.^[2]^[3]

예를 들어, 디랙장이 2차 양자화될 때, 스피너 및 전자기장은 연산자로 설명된다. 이때 전하 켤레 대칭 연산자 $\mathcal{C}$ 는 다음과 같이 작용한다.

# $\psi \mapsto \psi^c = \mathcal{C}\ \psi\ \mathcal{C}^\dagger = \eta_c\ C\ \overline\psi^\textsf{T}$

# $\overline\psi \mapsto \overline\psi^c = \mathcal{C}\ \overline\psi\ \mathcal{C}^\dagger = \eta^*_c\ \psi^\textsf{T}\ C^{-1}$

# $A_\mu \mapsto A^c_\mu = \mathcal{C}\ A_\mu\ \mathcal{C}^\dagger = -A_\mu\$

여기서 $C$ 는 4×4 행렬이며, $\eta_c$ 는 위상 인자이다.

간단히 말하면, 전하 켤레 대칭 연산자는 입자를 나타내는 장을 반입자를 나타내는 장으로 바꾸는 역할을 한다.

6. 약한 상호작용과 전하 켤레 대칭

약한 상호작용은 전하 켤레 대칭을 크게 위반한다. 왼쪽 손지기 중성미자는 전하 켤레에 의해 표준 모형에서 상호작용하지 않는 왼쪽 손지기 반중성미자로 변환된다. 이러한 특성은 약한 상호작용에서 C-대칭의 "최대 위반"을 의미한다.

왼쪽-오른쪽 모형과 같은 일부 가설적 표준 모형의 확장은 이러한 C-대칭을 복원한다.

7. 스칼라 장의 이론

자유 복소 스칼라 장의 이론은 전하 켤레 대칭을 갖는다. 이를 설명하면 다음과 같다.

복소 스칼라장 $\phi$ 를 기술하는 라그랑지언은 다음과 같다.

: $\mathcal{L}(\phi) =\partial\bar\phi\, \partial\phi -m^2\bar\phi\phi$

반입자는 입자와 같은 질량을 가지므로, 복소 스칼라장 $\phi$ 로 표시되는 입자의 반입자는 질량 항을 만드는 복소 켤레장 $\bar\phi$ 이다.

복소 스칼라장의 미소 위상 변환은 다음과 같다.

: $\delta\phi = iq \epsilon\phi$

여기서 $\epsilon$ 는 변환의 매개변수이고, $q$ 는 스칼라장의 전하이다. 복소 켤레장에 대해서는

: $\delta\bar\phi = -iq \epsilon\bar\phi$

가 되고, 복소 켤레장의 전하는 $-q$ 이며, 전하가 반전됨을 알 수 있다. 따라서 스칼라장의 전하 켤레 변환은 다음과 같다.

: $C: (\phi,\bar\phi) \mapsto (\bar\phi,\phi)$

라그랑지언이 전하 켤레 변환에 의해 형태를 유지하므로, 자유 복소 스칼라 장의 이론은 전하 켤레 대칭성을 가진다.

U(1) 대칭성을 갖는 상호작용 항도 전하 켤레 대칭성을 가질 수 있다. 예를 들어, 단일 스칼라 장에 대한 상호작용은 다음과 같다.

: $\mathcal{L}_\text{int}(\phi) =-\frac{g_4}{4!} (\bar\phi\phi)^2$

이 상호작용 항도 전하 켤레 대칭성을 가진다.

두 종류의 스칼라 장을 포함하는 모형에서, 각 전하 사이에 $q_1 +2q_2 =0$ 의 관계가 있는 경우를 생각해보자. U(1) 대칭성을 갖는 상호작용 항은 다음과 같다.

: $\mathcal{L}_\text{int}(\phi) =-\frac{g_3}{3!} \phi_1 \phi_2 \phi_2 -\frac{\bar{g}_3}{3!} \bar\phi_1 \bar\phi_2 \bar\phi_2$

이 상호작용 항에서는 전하 켤레 변환에 의해 두 상호작용 항의 결합 상수가 서로 바뀐다. 전하 켤레 대칭성을 가지려면 두 결합 상수가 같아야 하며, 즉 결합 상수가 실수여야 한다.

8. CP 대칭과 CPT 대칭

한동안 C-대칭은 패리티 반전 변환(P-대칭)과 결합하여 결합된 CP-대칭을 보존할 수 있다고 믿었다. 그러나 약한 상호작용(특히 카온과 B 중간자)에서 이러한 대칭의 위반이 확인되었다. 표준 모형에서 이러한 CP 위반은 CKM 행렬의 단일 위상으로 인해 발생한다. CP가 시간 반전(T-대칭)과 결합되면, 결과적인 CPT-대칭은 오직 와이트만 공리만을 사용하여 보편적으로 지켜진다는 것을 보일 수 있다.

하전 켤레 변환 하에서의 대칭성은 하전 켤레 대칭성, 또는 C-대칭성이라고 불린다. 전자기 상호작용과 강한 상호작용에서는 C-대칭성을 가지고 있지만, 약한 상호작용은 C-대칭성을 크게 깨뜨린다. 약한 상호작용은 반사 변환 하에서의 대칭성인 P-대칭성도 크게 깨뜨리지만, 하전 켤레 변환과 반사 변환을 동시에 수행하는 CP 변환 하에서는 대칭성이 근사적으로 회복된다.

9. 고차원 및 일반적인 설정

전하 켤레 대칭은 고차원 감마 행렬에 대해서도 정의될 수 있다. 바이어-브라우어 행렬 문서에서 바일 스피너에 대한 명시적인 구성을 제공한다.

클리포드 대수의 표현론에서 추상적으로 정의된 스피너는 필드가 아니며, 0차원 시공간에 존재하는 것으로 간주해야 한다.

T 대칭의 유사 개념은 디랙 스피너의 T 켤레 연산자인 $\gamma^1\gamma^3$ 에서 파생된다. 스피너는 클리포드 대수의 모든 기저 벡터의 방향을 반전시켜 얻는 고유한 P 대칭을 갖는다. 시공간 다양체에서 페르미온 필드에 대한 P 및 T 대칭과의 관계는 대략적으로 다음과 같이 특징지을 수 있다. 스피너가 클리퍼드 대수를 통해 구성될 때, 이 구성에는 구축할 벡터 공간이 필요하다. 관례적으로 이 벡터 공간은 주어진 고정된 시공간 점(접선 다발의 단일 올)에서 시공간 다양체의 접선 공간이다. 시공간 다양체에 적용된 P 및 T 연산은 접선 공간의 좌표를 뒤집는 것으로 이해할 수 있다. 따라서 이 둘은 함께 작용하며, 하나에서 패리티나 시간의 방향을 뒤집으면 다른 하나에서도 뒤집힌다.

벡터 공간을 텐서 대수로 확장한 다음, 벡터 공간의 내적을 사용하여 클리퍼드 대수를 정의한다. 각 대수를 올로 취급하면 클리퍼드 다발이라는 다발을 얻는다. 접선 공간의 기저 변화에 따라 클리퍼드 대수의 원소는 스핀 군에 따라 변환된다. 스핀 군을 올로 사용하여 주 다발을 구성하면 스핀 구조가 생성된다.

스피너 자체는 접선 다양체의 "복소화", 즉 복소 평면과의 텐서 곱을 필요로 한다. 바일 스피너는 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $w_j = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e_{2j} - ie_{2j+1}\right)$

여기서 $e_j$ 는 시공간 다양체 $M$ 의 점 $p\in M$ 에서의 접선 공간 $V=T_pM$ 의 기저 벡터이다. 바일 스피너는 복소 켤레와 함께 접선 공간을 포괄하며, 이는 다음을 의미한다.

: $V \otimes \mathbb{C} = W\oplus \overline W$

교대 대수 $\wedge W$ 는 스피너 공간이라고 불린다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적 Relativistic Quantum Mechanics McGraw-Hill
_[5] 서적 Quantum Field Theory McGraw-Hill
_[6] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory https://archive.org/[...] Addison Wesley

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