회전대칭

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1. 개요

회전 대칭은 물체를 특정 점 또는 축을 중심으로 회전시켰을 때 원래 모습과 동일하게 보이는 대칭의 한 유형이다. 형식적으로는 유클리드 공간에서의 회전에 대한 대칭으로 정의되며, 대칭군은 유클리드 군의 부분군이다. 회전 대칭은 이산 회전 대칭과 연속 회전 대칭으로 나뉘며, 이산 회전 대칭은 n차 회전 대칭으로 표현된다. 회전 대칭은 물리학, 결정학, 예술 및 디자인 등 다양한 분야에서 활용되며, 점대칭, 원통 대칭, 구 대칭 등과 같은 다양한 형태를 갖는다.

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회전대칭

2. 형식적 정의 및 수학적 표현

형식적으로 회전 대칭은 m차원 유클리드 공간에서 일부 또는 모든 회전에 대한 대칭이다. 회전은 방향을 보존하는 등거리 변환인 직접 등거리 변환이다. 따라서 회전 대칭의 대칭군은 $E^+(m)$의 부분군이다 (유클리드 군 참조).

모든 점에 대한 모든 회전에 대한 대칭은 모든 평행 이동에 대한 평행 이동 대칭을 의미하므로 공간은 균질하며 대칭군은 전체 $E(m)$이다. 벡터장에 대한 대칭의 수정된 개념을 사용하면 대칭군이 $E^+(m)$일 수도 있다.^[1]

어떤 점에 대한 회전에 대한 대칭의 경우, 해당 점을 원점으로 사용할 수 있다. 이러한 회전은 특수 직교군 $SO(m)$을 형성하며, 이는 행렬식이 1인 $m \times m$ 직교 행렬의 군이다. $m=3$의 경우 이는 회전군 $SO(3)$이다.^[2]

'객체의' 회전군은 $E^+(n)$ 내의 대칭군, 즉 직접 등거리 변환의 군이다. 다시 말해, 전체 대칭군과 직접 등거리 변환의 군의 교집합이다. 키랄 객체의 경우 이는 전체 대칭군과 동일하다.^[3]

물리학의 법칙은 공간에서 서로 다른 방향을 구별하지 않으면 SO(3)-불변이다. 네이터의 정리에 따르면, 물리 시스템의 회전 대칭은 각운동량 보존 법칙과 동일하다.

2. 1. 회전 불변성

형식적으로 회전 대칭은 m차원 유클리드 공간에서 일부 또는 모든 회전에 대한 대칭이다. 회전은 직접 등거리 변환으로 방향을 보존한다. 따라서 회전 대칭의 대칭군은 ''E''⁺(''m'')의 부분군이다 (유클리드 군 참조).

어떤 점에 대한 회전에 대한 대칭의 경우, 해당 점을 원점으로 사용할 수 있다. 이러한 회전은 특수 직교군 SO(''m'')을 형성하며, 이는 행렬식이 1인 ''m'' × ''m'' 직교 행렬의 군이다. ''m'' = 3의 경우 이는 회전군 SO(3)이다.

물리학의 법칙은 공간에서 서로 다른 방향을 구별하지 않으면 SO(3)-불변이다. 네이터의 정리에 따르면, 물리 시스템의 회전 대칭은 각운동량 보존 법칙과 동일하다.

2. 2. 유클리드 공간에서의 회전

형식적으로 회전 대칭은 m차원 유클리드 공간에서 일부 또는 모든 회전에 대한 대칭이다. 회전은 방향을 보존하는 등거리 변환인 직접 등거리 변환이다. 따라서 회전 대칭의 대칭군은 E⁺(''m'')의 부분군이다 (유클리드 군 참조).

모든 점에 대한 모든 회전에 대한 대칭은 모든 평행 이동에 대한 평행 이동 대칭을 의미하므로 공간은 균질하며 대칭군은 전체 E(''m'')이다. 벡터장에 대한 대칭의 수정된 개념을 사용하면 대칭군이 E⁺(''m'')일 수도 있다.

어떤 점에 대한 회전에 대한 대칭의 경우, 해당 점을 원점으로 사용할 수 있다. 이러한 회전은 행렬식이 1인 ''m'' × ''m'' 직교 행렬의 군인 특수 직교군 SO(''m'')을 형성한다. ''m'' = 3인 경우 이는 회전군 SO(3)이다.

또 다른 정의에 따르면, '객체의' 회전군은 E⁺(''n'') 내의 대칭군, 즉 직접 등거리 변환의 군이다. 다시 말해, 전체 대칭군과 직접 등거리 변환의 군의 교집합이다. 키랄 객체의 경우 이는 전체 대칭군과 동일하다.

물리학의 법칙은 공간에서 서로 다른 방향을 구별하지 않으면 SO(3)-불변이다. 네이터의 정리에 따르면, 물리 시스템의 회전 대칭은 각운동량 보존 법칙과 동일하다.

2. 3. 특수 직교군

어떤 점에 대한 회전은 특수 직교군 SO(''m'')을 형성하며, 이는 행렬식이 1인 ''m'' × ''m'' 직교 행렬의 군이다. ''m'' = 3인 경우 이는 회전군 SO(3)이다.

2. 4. 이산 회전 대칭

'''n차 회전 대칭''', '''n중 회전 대칭''', 또는 '''n차 이산 회전 대칭'''은 특정 점(2차원) 또는 축(3차원)을 기준으로 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51° 등)의 각도로 회전해도 객체가 변하지 않음을 의미한다. "1중" 대칭은 대칭이 없는 것이다(모든 객체는 360° 회전 후에도 동일하게 보인다).

n중 대칭에 대한 표기법은 C_n 또는 단순히 n이다. 실제 대칭군은 n과 함께 대칭점 또는 대칭축에 의해 지정된다. 각 대칭점 또는 대칭축에 대해, 추상 군의 유형은 n차 순환군 Z_n이다. 후자의 경우에도 C_n 표기가 사용되지만, 기하학적 및 추상적 C_n는 구별되어야 한다. 기하학적으로 다른 동일한 추상 군 유형의 다른 대칭군이 있다. 3D 순환 대칭군을 참조.

기본 영역은 360°/n의 원형 부채꼴이다.

추가적인 반사 대칭이 없는 예시는 다음과 같다.

n = 2, 180°: '2중', 문자 Z, N, S; 음양 기호의 윤곽(색상은 제외); 유니언 기 (깃발의 대각선을 따라 나누어 깃발의 중심점을 기준으로 회전)
n = 3, 120°: '3중', 삼족오, 보로미안 고리; 때때로 '삼면 대칭'이라는 용어가 사용됨.
n = 4, 90°: '4중', 만자
n = 6, 60°: '6중', 다윗의 별 (이것은 추가적인 반사 대칭을 가지고 있음)
n = 8, 45°: '8중', 팔각형 무카르나스, 컴퓨터 생성(CG), 천장

C_n은 2차원에서 정n각형 다각형의 회전군이며, 3차원에서 정n각 피라미드의 회전군이다.

예를 들어 100°의 각도를 기준으로 회전 대칭이 있는 경우, 100°와 360°의 최대공약수인 20°를 기준으로도 회전 대칭이 있다.

회전 대칭이 있는 (수직 축도 있을 수 있음) 전형적인 3차원 물체이지만 거울 대칭이 없는 것은 프로펠러이다.

C₂ (더 보기)	C₃ (더 보기)	C₄ (더 보기)	C₅ (더 보기)	C₆ (더 보기)
이중 진자 프랙탈	로터리 교차로 교통 표지판		미국 독립 200주년 별
쇼기 시작 위치	스놀레브 석비의 얽힌 술잔 디자인

2차 (더 보기)	3차 (더 보기)	4차 (더 보기)	5차 (더 보기)	6차 (더 보기)
		힌두교의 만자문	스소노시의 문장	눈의 결정
평행사변형

2차원 도형에 대해, 2회 대칭과 점대칭은 동치이다. 3차원 도형에 대해서는, 2회 대칭은 선대칭과 동치이다.
임의의 정수 n에 대해 n회 대칭이라면, (360°의 정수 분의 1에 한정되지 않고) 임의의 각도로 회전시켜도 자기 자신과 겹쳐진다. 즉, 원대칭과 동치이다.
n회 대칭이라면, n의 임의의 약수 m에 대해, 같은 중심 또는 축에 대해 m회 대칭이기도 하다. 예를 들어, 6회 대칭이라면 동시에 2회 대칭이면서 3회 대칭이기도 하다(물론 1회 대칭이기도 하다).
같은 중심 또는 축에 대해, m회 대칭이고 또한 n회 대칭이라면, 같은 중심 또는 축에 대해 lcm(m, n) 회 대칭이기도 하다. 예를 들어, 3회 대칭이고 또한 4회 대칭이라면, lcm(3,4) = 12회 대칭이다.

3. 회전 대칭의 종류

어떤 각도에 대한 회전 대칭은 2차원에서 원형 대칭이다. 3차원에서는 원통 좌표계를 사용하여 각도에 의존하지 않는 '''원통 대칭'''과 구면 좌표계를 사용하여 어떤 각도에도 의존하지 않는 '''구 대칭'''으로 구분할 수 있다.

2차원 도형에서 2회 대칭은 점대칭과 같고, 3차원 도형에서 2회 대칭은 선대칭과 같다. 임의의 정수 ''n''에 대해 ''n''회 대칭은 원대칭과 같으며, ''n''의 약수 ''m''에 대해서도 ''m''회 대칭이다. 또한, ''m''회 대칭이면서 ''n''회 대칭이면 lcm(''m'', ''n'')회 대칭이다.

4차원에서 평면에 대한 회전 대칭은 교차점을 중심으로 모든 수직 평면에서 해당 2차원 회전 대칭에 해당하며, 두 개의 수직 평면에 대한 회전 대칭을 가질 수도 있다. 예를 들어 듀오실린더가 이에 해당한다.

3. 1. 2차원 회전 대칭

2차원에서의 회전 대칭은 특정 점을 중심으로 360°/n (n은 정수)만큼 회전했을 때 원래 모습과 동일하게 보이는 성질을 의미한다. n=2인 경우는 점대칭과 같다.

'''n차 회전 대칭'''(또는 '''n중 회전 대칭''')은 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60° 등) 각도로 회전해도 변하지 않는 것을 의미한다. 예를 들어, 평행사변형은 180° 회전하면 원래 모습과 같아지므로 2차 회전 대칭이다. 1회 회전 대칭은 360° 회전해야 같아지므로, 실질적으로 대칭이 없는 것을 의미한다. n차 회전 대칭의 표기법은 C_n 또는 n으로 표기한다. 기본 영역은 360°/n의 원형 부채꼴이다.

추가적인 반사 대칭이 없는 예시는 다음과 같다.

2차 회전 대칭(180°): 문자 Z, N, S, 음양 기호의 윤곽 (색상 제외), 유니언 기 (대각선으로 나누어 중심점 기준 회전)
3차 회전 대칭(120°): 삼족보행, 보로미안 고리
4차 회전 대칭(90°): 만자
6차 회전 대칭(60°): 다윗의 별 (단, 다윗의 별은 반사 대칭도 가짐)

어떤 도형이 100° 회전 대칭을 갖는다면, 100°와 360°의 최대공약수인 20° 회전 대칭도 갖는다.

2차 (더 보기)	3차 (더 보기)	4차 (더 보기)	5차 (더 보기)	6차 (더 보기)

3. 1. 1. 점대칭

차수 n=2인 경우는 점대칭과 동일하다.

2차 (더 보기)

3. 1. 2. 다각형의 회전 대칭

차수 n=2인 경우는 점대칭과 동일하다.

'''n차 회전 대칭''', '''n중 회전 대칭''', 또는 '''n차 이산 회전 대칭'''은 특정 점(2D) 또는 축(3D)을 기준으로 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 ° 등)의 각도로 회전해도 객체가 변하지 않음을 의미한다. "1중" 대칭은 대칭이 없는 것이다(모든 객체는 360° 회전 후에도 동일하게 보인다).

n중 대칭에 대한 표기법은 C_n 또는 단순히 n이다. 실제 대칭군은 n과 함께 대칭점 또는 대칭축에 의해 지정된다. 각 대칭점 또는 대칭축에 대해, 추상 군의 유형은 n차 순환군 Z_n이다. 후자의 경우에도 C_n 표기가 사용되지만, 기하학적 및 추상적 C_n는 구별되어야 한다. 기하학적으로 다른 동일한 추상 군 유형의 다른 대칭군이 있기 때문이다. 3D 순환 대칭군을 참조하라.

기본 영역은 360°/n의 원형 부채꼴이다.

추가적인 반사 대칭이 없는 예시는 다음과 같다.

n = 2, 180°: '2중', 문자 Z, N, S; 음양 기호의 윤곽(색상은 제외); 유니언 기 (깃발의 대각선을 따라 나누어 깃발의 중심점을 기준으로 회전)
n = 3, 120°: '3중', 삼족보행, 보로미안 고리; 때때로 '삼면 대칭'이라는 용어가 사용됨
n = 4, 90°: '4중', 만자
n = 6, 60°: '6중', 다윗의 별 (이것은 추가적인 반사 대칭을 가지고 있음)
n = 8, 45°: '8중', 팔각형 무카르나스, 컴퓨터 생성(CG), 천장

C_n은 2D에서 정n각형 다각형의 회전군이며, 3D에서 정n각 피라미드의 회전군이다.

예를 들어 100°의 각도를 기준으로 회전 대칭이 있는 경우, 100°와 360°의 최대 공약수인 20°를 기준으로도 회전 대칭이 있다.

회전 대칭이 있지만 거울 대칭이 없는 (수직 축도 있을 수 있음) 전형적인 3D 물체는 프로펠러이다.

모든 회전 중심은 도형의 중심이다.

회전 대칭	예시
n회 대칭(n은 2 이상의 임의의 정수)	원
n회 대칭	정다각형
2회 대칭	평행 사변형

3. 1. 3. 원형 대칭

어떤 각도에 대한 회전 대칭은 2차원에서 원형 대칭이다. 기본 영역은 반직선이다.

3차원에서는 '''원통 대칭'''과 '''구 대칭'''(한 축을 중심으로 회전하거나 어떤 회전을 해도 변화가 없음)을 구별할 수 있다. 즉, 원통 좌표계를 사용하여 각도에 의존하지 않으며, 구면 좌표계를 사용하여 어떤 각도에도 의존하지 않는다. 기본 영역은 축을 통과하는 반평면과 방사형 반직선이다. '''축대칭'''은 형용사로 원통 대칭을 갖는 객체, 즉 도넛(토러스)과 같은 '''축대칭성''' (중심 축에 대한 회전 대칭)을 의미한다. 근사적인 구 대칭의 예로는 지구(밀도 및 기타 물리적, 화학적 특성과 관련하여)가 있다.

4차원에서 평면에 대한 연속 또는 이산 회전 대칭은 교차점을 중심으로 모든 수직 평면에서 해당 2차원 회전 대칭에 해당한다. 객체는 또한 두 개의 수직 평면에 대한 회전 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 회전 대칭 2차원 도형의 데카르트 곱인 경우, 예를 들어 듀오실린더 및 다양한 정규 듀오프리즘의 경우가 그렇다.

모든 회전 중심은 도형의 중심이다.

원 - ''n''회 대칭(''n''은 2 이상의 임의의 정수)
정다각형 - ''n''회 대칭
평행 사변형 - 2회 대칭

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3. 2. 3차원 회전 대칭

3차원 회전 대칭은 특정 축을 중심으로 물체를 회전시켰을 때 회전 전과 동일하게 보이는 성질을 의미한다.

2차원 도형에서 2회 대칭은 점대칭과 같다. 3차원 도형에서는 2회 대칭은 선대칭과 같다.
임의의 정수 ''n''에 대해 ''n''회 대칭이라면, 360°를 정수로 나눈 각도뿐만 아니라 임의의 각도로 회전시켜도 자기 자신과 겹쳐진다. 이는 원대칭과 같다.
''n''회 대칭이라면, ''n''의 임의의 약수 ''m''에 대해 같은 중심 또는 축에 대해 ''m''회 대칭이기도 하다. 예를 들어, 6회 대칭은 동시에 2회 대칭이자 3회 대칭이기도 하다(물론 1회 대칭도 포함).
같은 중심 또는 축에 대해 ''m''회 대칭이면서 동시에 ''n''회 대칭이라면, 같은 중심 또는 축에 대해 lcm(''m'', ''n'')회 대칭이기도 하다. 예를 들어, 3회 대칭이면서 4회 대칭이라면, lcm(3,4) = 12회 대칭이다.

4차원에서 평면에 대한 연속 또는 이산 회전 대칭은 교차점을 중심으로 모든 수직 평면에서 해당 2차원 회전 대칭에 해당한다. 객체는 또한 두 개의 수직 평면에 대한 회전 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 회전 대칭 2차원 도형의 데카르트 곱인 듀오실린더 및 다양한 정규 듀오프리즘이 이에 해당한다.

3. 2. 1. 축대칭

어떤 각도에 대한 회전 대칭은 2차원에서 원형 대칭이다. 기본 영역은 반직선이다.

3차원에서는 '''원통 대칭'''과 '''구 대칭'''(한 축을 중심으로 회전하거나 어떤 회전을 해도 변화가 없음)을 구별할 수 있다. 즉, 원통 좌표계를 사용하여 각도에 의존하지 않으며, 구면 좌표계를 사용하여 어떤 각도에도 의존하지 않는다. 기본 영역은 축을 통과하는 반평면과 방사형 반직선이다. '''축대칭'''은 형용사로 원통 대칭을 갖는 객체, 즉 도넛(토러스)과 같은 '''축대칭성''' (중심 축에 대한 회전 대칭)을 의미한다. 근사적인 구 대칭의 예로는 지구(밀도 및 기타 물리적, 화학적 특성과 관련하여)가 있다.

3. 2. 2. 구대칭

3차원에서는 '''원통 대칭'''과 '''구 대칭'''(한 축을 중심으로 회전하거나 어떤 회전을 해도 변화가 없음)을 구별할 수 있다. 즉, 원통 좌표계를 사용하여 각도에 의존하지 않으며, 구면 좌표계를 사용하여 어떤 각도에도 의존하지 않는다. 기본 영역은 축을 통과하는 반평면과 방사형 반직선이다. '''축대칭'''은 형용사로 원통 대칭을 갖는 객체, 즉 도넛(토러스)과 같은 '''축대칭성''' (중심 축에 대한 회전 대칭)을 의미한다. 근사적인 구 대칭의 예로는 지구(밀도 및 기타 물리적, 화학적 특성과 관련하여)가 있다.

3. 2. 3. 다면체의 회전 대칭

다면체에서 회전 대칭은 특정 축을 중심으로 물체를 회전시켰을 때 회전 전과 동일하게 보이는 성질을 의미한다.

구 - 임의의 축에 대해 ''n''회 대칭(''n''은 2 이상의 임의의 정수, 구대칭도 참조)
정 ''n''각뿔 - 꼭짓점, 밑면의 중심을 지나는 축에 대해 ''n''회 대칭
정다면체 {''m'', ''n''}(슐레플리 기호) - 꼭짓점을 지나는 축에 대해 ''n''회 대칭, 모서리의 중심을 지나는 축에 대해 2회 대칭, 면의 중심을 지나는 축에 대해 ''m''회 대칭
예를 들어, 정육면체 ({4, 3}) - 꼭짓점을 지나는 축에 대해 3회 대칭, 모서리의 중심을 지나는 축에 대해 2회 대칭, 면의 중심을 지나는 축에 대해 4회 대칭

정다면체의 경우, 2겹 회전 대칭축은 반대 모서리의 중간점을 통과하며, 그 수는 모서리 수의 절반이다. 다른 회전 대칭축은 반대 꼭짓점을 통과하거나 반대 면의 중심을 통과한다. 단, 정사면체의 경우 3겹 회전 대칭축은 각 꼭짓점과 한 면의 중심을 통과한다.^[1]

모든 회전축은 도형의 중심을 통과하는 것으로 한정하여 설명한다.^[1]

이산 대칭에서 동일한 점을 통과하는 여러 대칭축이 있는 경우 다음과 같은 가능성이 있다.^[1]

n겹 회전 대칭축 외에, n개의 수직 2겹 회전 대칭축이 존재한다: 차수가 2n인 이면군 D_n (n ≥ 2)이다. 이것은 정각기둥 또는 정쌍뿔의 회전군이다. 동일한 표기법이 사용되지만 기하학적 및 추상적 D_n을 구별해야 한다. 동일한 추상군 유형의 다른 대칭군이 있으며 기하학적으로 다릅니다. 3차원 이면 대칭군 참조.^[1]
4×3겹 회전 대칭축과 3×2겹 회전 대칭축: 정사면체의 차수가 12인 회전군 T. 이 군은 동형이며 교대군 A₄와 같다.^[1]
3×4겹, 4×3겹 및 6×2겹 회전 대칭축: 정육면체 및 정팔면체의 차수가 24인 회전군 O. 이 군은 대칭군 S₄와 같다.^[1]
6×5겹, 10×3겹 및 15×2겹 회전 대칭축: 십이면체 및 이십면체의 차수가 60인 회전군 I. 이 군은 교대군 A₅와 같다. 이 군은 D₃의 10개 버전과 D₅의 6개 버전(각기둥 및 반각기둥과 같은 회전 대칭)을 포함한다.^[1]

4. 회전 대칭과 관련된 개념

회전 중심은 회전의 고정점 또는 불변점이다.^[3]

자기장과 같이 양과 음이 있는 장에서 (360/''n'')° 회전시켰을 때 자기 자신과 양과 음이 반대가 되는 성질을 회전 반대칭이라고 한다. ''n''회 반대칭이라면, (720/''n'')° 회전시키면 원래의 장과 일치한다. 즉, ''n''/2 회 대칭이기도 하다. (역은 반드시 옳지 않다.) 여기서 ''n''/2는 정수여야 하므로, ''n''은 항상 짝수가 된다. 따라서 회전 반대칭은 항상 짝수 회 반대칭이다.

4. 1. 병진 대칭

단일 병진 대칭과 함께 2-회전 대칭은 프리제 군 중 하나이다. 회전 중심은 회전의 고정점 또는 불변점이다.^[3] 원시 세포당 두 개의 회전 중심이 있다.

이중 병진 대칭과 함께 회전군은 다음과 같은 벽지 군이며, 원시 세포당 축이 있다.

p2 (2222): 4×2-회전; 평행사변형, 직사각형, 마름모 격자의 회전군.
p3 (333): 3×3-회전; 어떤 격자의 회전군도 ''아니다''. (모든 격자는 거꾸로 동일하지만 이 대칭에는 적용되지 않음); 예를 들어, 정삼각형이 교대로 색칠된 정규 삼각 타일링의 회전군이다.
p4 (442): 2×4-회전, 2×2-회전; 정사각형 격자의 회전군.
p6 (632): 1×6-회전, 2×3-회전, 3×2-회전; 육각형 격자의 회전군.

2-회전 중심(가능한 4- 및 6-회전 포함)은, 존재하는 경우, 병진 격자와 동일하고, 0.5배율로 조정된 격자의 병진을 형성한다. 1차원 병진 대칭의 경우, "격자"라는 용어가 적용되지 않지만, 유사한 속성이 적용된다.

3-회전 중심(가능한 6-회전 포함)은, 존재하는 경우, 병진 격자와 동일하고, 30°(또는 90°) 회전하고,

\tfrac{1}{3} \sqrt {3}

의 배율로 조정된 정육각형 격자를 형성한다.

4-회전 중심은, 존재하는 경우, 병진 격자와 동일하고, 45° 회전하고,

\tfrac{1}{2} \sqrt {2}

의 배율로 조정된 정사각 격자를 형성한다.

6-회전 중심은, 존재하는 경우, 병진 격자의 병진인 정육각형 격자를 형성한다.

격자의 크기 조정은 단위 면적당 점의 수를 스케일 팩터의 제곱으로 나눈다. 따라서 원시 세포당 2-, 3-, 4-, 6-회전 중심의 수는 각각 4, 3, 2, 1이며, 여기서 4-회전을 2-회전의 특수한 경우 등으로 포함한다.

어느 한 점에서 3-회전 대칭과 다른 점에서 2-회전 대칭(또는 3D에서 평행 축에 관하여)은 회전군 p6, 즉 이중 병진 대칭과 어떤 점에서 6-회전 대칭을 의미한다(또는 3D에서는 평행 축). 이러한 회전 중심 쌍에 의해 생성된 대칭의 병진 거리는 이들 거리의

2\sqrt {3}

배이다.

4. 2. 회전 반대칭

자기장과 같이 양과 음이 있는 장에서 (360 / ''n'')° 회전시키면 자기 자신과 양과 음이 반대가 되는 성질을 회전반대칭이라고 한다.

''n''회 반대칭이라면, (720 / ''n'')° 회전시키면 원래의 장과 일치한다. 즉, ''n'' / 2 회 대칭이기도 하다. (역은 반드시 옳지 않다.) 여기서 ''n'' / 2는 정수여야 하므로, ''n''은 항상 짝수가 된다. 즉, 회전 반대칭은 항상 짝수 회 반대칭이다.

5. 회전 대칭의 응용

회전대칭은 예술 및 디자인 분야에서 다양하게 활용된다. 차수 n=2인 경우는 점대칭과 동일하다.

5. 1. 예술 및 디자인

차수 n=2인 경우는 점대칭과 동일하다. 회전대칭은 예술 및 디자인 분야에서 다양하게 활용된다.

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5. 1. 1. 한국의 전통 문양

회전대칭은 한국의 전통 문양에서 찾아볼 수 있는 중요한 특징 중 하나이다.

2차 회전대칭	3차 회전대칭	4차 회전대칭

5. 1. 2. 현대 디자인

차수 n=2인 경우는 점대칭과 동일하다.

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6. 회전 대칭의 예시

차수 n=2인 경우는 점대칭과 동일하다.

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이중 진자 프랙탈	회전교차로 표지판	힌두교의 만자문	스소노시의 문장	눈의 결정
평행사변형	스놀레브 석비의 얽힌 술잔 디자인

C₂	C₃	C₄	C₅	C₆
이중 진자 프랙탈	로터리 교차로 교통 표지판		미국 독립 200주년 별
쇼기의 시작 위치

참조

_[1] 논문 Rotational symmetry of Weingarten spheres in homogeneous three-manifolds https://arxiv.org/pd[...]
_[2] 논문 Topological Bound States in the Continuum in Arrays of Dielectric Spheres https://www.research[...]
_[3] 서적 Color and Symmetry Wiley-Interscience

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