균등 유계성 원리

3. 증명

바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

:$X$가 바나흐 공간이고 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해,

:

:라고 가정하자.

:모든 정수 $n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해,

:$$X\_n\; =\; \backslash left\backslash \{x\; \backslash in\; X\; \backslash \; :\; \backslash \; \backslash sup\_\{T\; \backslash in\; F\}\; \backslash |T\; (x)\backslash |\_Y\; \backslash leq\; n\; \backslash right\backslash \}.$$

:로 두자.

:각 집합 $X\_n$은 닫힌 집합이고, 가정에 의해,

:$$\backslash bigcup\_\{n\; \backslash in\; \backslash N\}\; X\_n\; =\; X\; \backslash neq\; \backslash varnothing.$$

:비어 있지 않은완비 거리 공간 $X$에 대한 베르 범주 정리에 의해,

:$X\_m$이 비어 있지 않은 내부를 갖는 $m\; \backslash in\; \backslash N$이 존재한다; 즉,

:$$\backslash overline\{B\_\backslash varepsilon\; (x\_0)\}\; ~:=~\; \backslash left\backslash \{x\; \backslash in\; X\; \backslash ,:\backslash ,\; \backslash |x\; -\; x\_0\backslash |\; \backslash leq\; \backslash varepsilon\; \backslash right\backslash \}\; ~\backslash subseteq~\; X\_m.$$

:를 만족하는 $x\_0\; \backslash in\; X\_m$와 $\backslash varepsilon\; >\; 0$이 존재한다.

:$\backslash |u\backslash |\; \backslash leq\; 1$인 $u\; \backslash in\; X$와 $T\; \backslash in\; F.$를 생각해보자.

:그러면:

:$$\backslash begin\{align\}$$

:\|T(u)\|_Y &= \varepsilon^{-1}\left\|T\left(x_0 + \varepsilon u\right) - T\left(x_0\right)\right\|_Y & [\text{T의 선형성에 의해}] \\

:&\leq \varepsilon^{-1}\left(\left\| T (x_0 + \varepsilon u) \right\|_Y + \left\|T(x_0)\right\|_Y \right ) \\

:&\leq \varepsilon^{-1}(m + m). & [ \text{since } \ x_0 + \varepsilon u, \ x_0 \in X_m ] \\

:\end{align}

:$X$의 단위 구에서 $u$에 대해 그리고 $T\; \backslash in\; F$에 대해 상한을 취하면 다음을 얻는다.

:

베르 범주 정리를 사용하지 않는 간단한 증명도 있다.^[1]

3. 1. 베르 범주 정리를 사용한 증명

3. 2. 베르 범주 정리를 사용하지 않는 증명

4. 일반화

균등 유계성 원리는 배럴 공간 및 위상 벡터 공간으로 일반화될 수 있다.

두 위상 벡터 공간 $X$와 $Y$ 사이의 연속 선형 연산자 집합 $H\; \backslash subseteq\; L(X,\; Y)$가 주어졌을 때 (반드시 하우스도르프이거나 국소 볼록일 필요는 없음), 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해 $x$의 궤도를 $H(x)\; :=\; \backslash \{h(x)\; :\; h\; \backslash in\; H\backslash \}$와 같이 나타낸다. 궤도 $H(x)$가 $Y$의 유계 부분 집합인 모든 $x\; \backslash in\; X$의 집합을 $B$라 한다. 만약 $B$가 $X$에서 제2 범주 (즉, 비미어)라면, $B\; =\; X$이고 $H$는 등연속이다.

TVS $X$의 모든 고유 벡터 부분 공간은 $X$에서 빈 내부를 갖는다. 따라서 닫힌 모든 고유 벡터 부분 공간은 $X$에서 어디에도 조밀하지 않으며, $X$에서 제1 범주(미어)에 속한다. 결과적으로, $X$에서 제2 범주(비미어)에 속하는 TVS $X$의 모든 벡터 부분 공간은 $X$의 조밀 집합이어야 한다.

4. 1. 배럴 공간

5. 역사

스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다.^[2] 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.^[3]

6. 응용

균등 유계성 원리는 푸리에 급수의 점별 수렴성에 대한 연구에 응용될 수 있다.

원군($\backslash mathbb\{T\}$) 상의 연속 함수들의 바나흐 공간 $C(\backslash mathbb\{T\})$ (이때, $C(\backslash mathbb\{T\})$는 균등 노름을 갖는다)를 생각해보자. $f\; \backslash in\; C(\backslash mathbb\{T\})$의 푸리에 급수는 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash sum\_\{k\; \backslash in\; \backslash Z\}\; \backslash hat\{f\}(k)\; e^\{ikx\}\; =\; \backslash sum\_\{k\; \backslash in\; \backslash Z\}\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash left\; (\backslash int\_0\; ^\{2\; \backslash pi\}\; f(t)\; e^\{-ikt\}\; dt\; \backslash right)\; e^\{ikx\},$$

''N''번째 대칭 부분 합은 다음과 같다.

:$$S\_N(f)(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=-N\}^N\; \backslash hat\{f\}(k)\; e^\{ikx\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash int\_0^\{2\; \backslash pi\}\; f(t)\; D\_N(x\; -\; t)\; \backslash ,\; dt,$$

여기서 $D\_N$는 $N$번째 디리클레 커널이다. $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{T\}$를 고정하고 $\backslash left\backslash \{S\_N(f)(x)\backslash right\backslash \}$의 수렴성을 고려할 때, 다음과 같이 정의된 범함수 $\backslash varphi\_\{N,x\}\; :\; C(\backslash mathbb\{T\})\; \backslash to\; \backslash Complex$는 유계이다.

:$$\backslash varphi\_\{N,\; x\}(f)\; =\; S\_N(f)(x),\; \backslash qquad\; f\; \backslash in\; C(\backslash mathbb\{T\}),$$

$\backslash varphi\_\{N,x\}$의 노름은 $C(\backslash mathbb\{T\})$의 쌍대 공간에서 부호 있는 측도 $(2(2\; \backslash pi)^\{-1\}\; D\_N(x\; -\; t)\; d\; t$의 노름과 같으며, 다음이 성립한다.

:$$\backslash left\backslash |\backslash varphi\_\{N,x\}\backslash right\backslash |\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash int\_0^\{2\; \backslash pi\}\; \backslash left|D\_N(x-t)\backslash right|\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash int\_0^\{2\; \backslash pi\}\; \backslash left|D\_N(s)\backslash right|\; \backslash ,\; ds\; =\; \backslash left\backslash |D\_N\backslash right\backslash |\_\{L^1(\backslash mathbb\{T\})\}.$$

그리고 다음이 성립함을 확인할 수 있다.

:$$\backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash int\_0\; ^\{2\; \backslash pi\}\; |D\_N(t)|\; \backslash ,\; dt\; \backslash geq\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; \backslash frac\{\backslash left|\backslash sin\backslash left(\; (N\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\})t\; \backslash right)\backslash right|\}\{t/2\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash to\; \backslash infty.$$

따라서 $\backslash left(\backslash varphi\_\{N,\; x\}\backslash right)$는 $C(\backslash mathbb\{T\})$의 쌍대 공간($C(\backslash mathbb\{T\})^\{\backslash ast\}$)에서 유계가 아니다. 균등 유계성 원리에 의해, 임의의 $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{T\}$에 대해 푸리에 급수가 $x$에서 발산하는 연속 함수들의 집합은 $C(\backslash mathbb\{T\})$에서 조밀하다.

칼레손 정리에 의해 연속 함수 $f$의 푸리에 급수는 거의 모든 $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{T\}$에 대해 $f(x)$로 수렴하지만, 특이점 축적 원리를 적용하면 각 $x\_m$에서 푸리에 급수가 발산하는 연속 함수들의 집합이 $C(\backslash mathbb\{T\})$에서 조밀하다는 결론을 얻을 수 있다. ($\backslash left(x\_m\backslash right)$는 $\backslash mathbb\{T\}$에서 조밀한 수열).

참조

_[1] 저널 A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem 2011
_[2] 저널 Sur le principe de la condensation de singularités http://matwbn.icm.ed[...] 1927
_[3] 저널 Über Folgen linearer Operationen 1922