자유곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자유곱
- 2.2. 융합된 자유곱
3. 구성
4. 표현
- 4.1. 군의 표현
5. 예
6. 일반화: 융합된 자유곱
7. 다른 분야에서의 자유곱
참조

1. 개요

자유곱은 대수적 구조 다양체에서의 쌍대곱으로 정의되며, 자유곱, 융합된 자유곱, 합동 자유곱 등이 있다. 군 G와 H의 자유곱은 G와 H의 단어를 원소로 갖는 군이며, 군의 표현을 사용하여 나타낼 수 있다. 자유군의 자유곱은 자유군이며, 모듈러 군은 두 순환군의 자유곱과 동형이다. 융합된 자유곱은 푸시 아웃의 일종으로, HNN 확장의 개념과 관련이 있다. 자유곱은 군 외에도 체 위의 대수, 확률 변수의 대수 등 다양한 분야에서 정의될 수 있으며, 자유 확률론에서 중요한 역할을 한다.

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자유곱

2. 정의

자유곱의 더 일반적인 구성인 '''합동 자유곱'''은 범주론에서 일종의 푸시 아웃이다. $G$ 와 $H$ 가 주어지고, 단사 $\varphi : F \rightarrow G$ 및 $\psi : F \rightarrow H$ (즉, 주입 군 준동형사상)가 주어졌다고 가정한다. 여기서 $F$ 는 임의의 군이다. 자유곱 $G * H$ 에서 시작하여, 모든 $F$ 의 원소 $f$ 에 대해 다음과 같은 관계를 추가한다.

: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$

즉, 위 식의 좌변에 있는 모든 원소를 포함하는 $G * H$ 의 가장 작은 정규 부분군 $N$ 을 구한다. 이 원소들은 $G$ 와 $H$ 가 자유곱에 포함되어 $G * H$ 에서 암묵적으로 고려된다. $\varphi$ 와 $\psi$ 에 대한 $G$ 와 $H$ 의 합동 자유곱은 다음과 같은 몫군이다.

: $(G * H)/N$

합동은 $G$ 의 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 $\psi(F)$ 사이의 원소별 식별을 강제한다. 이는 경로 연결된 부분 공간을 따라 연결된 두 개의 연결된 공간의 기본군을 계산하는 데 필요한 구성으로, $F$ 가 부분 공간의 기본군 역할을 한다. 자이페르트-판 캄펜 정리를 참조하라.

Karrass와 솔리타는 합동 자유곱의 부분군에 대한 설명을 제공했다.^[2] 합동 자유곱과 밀접하게 관련된 HNN 확장 개념은 나무에 작용하는 군에 대한 바스-세르 이론의 기본 구성 요소이다.

더 일반적인 구성으로, 동일한 범주에서의 푸시 아웃에 해당하는 '''융합곱'''이 있다. $G$ 와 $H$ 와 임의의 군 $F$ 로부터의 두 개의 군 준동형

: $\varphi\colon F \to G, \quad \psi\colon F \to H$

가 주어졌을 때, 자유곱 $G * H$ 를 만들고, 각 $f \in F$ 에 대해

: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$

형태의 관계식을 추가한다(암묵적으로 $G$ 및 $H$ 를 자유곱 $G * H$ 에 부분군으로 임베딩한다고 생각한다). 즉, 좌변 형태의 원소를 모두 포함하는 $G * H$ 의 최소의 정규 부분군을 $N$ 이라고 하면, $G$ 와 $H$ 의 ( $\varphi, \psi$ 에 관한) 융합곱은 몫군

: $(G * H)/N$

을 말한다. 여기서 "융합"(amalgamation)이란, $G$ 의 부분 집합인 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 부분 집합인 $\psi(F)$ 를, 원소별로 (즉, $F$ 의 원소 $f$ 마다) 강제로 동일시하는 연산을 의미한다. 이 구성 방법은 두 개의 연결 공간을 호 연결된 부분 공간( $F$ 는 이 부분 공간의 기본군 역할을 한다고 볼 수 있다)을 따라 붙인 공간의 기본군 계산에 이용할 수 있다. 융합곱 및 이와 유사한 개념인 HNN 확장은 나무에 작용하는 군에 관한 버스-세일 이론의 기본적인 구성 요소이다.

2. 1. 자유곱

대수 구조 다양체

\mathcal V

속의 두 대수 구조

A,B\in\mathcal V

의 '''자유곱'''

A*B

은 다음과 같이 정의된다. 우선, 집합

A\sqcup B

로 생성되는 자유 대수

F(A\sqcup B)\in\mathcal V

를 생각한다.

이제,

A

에서 성립하는 모든 대수적 관계

p(a_1,a_2,\dots,a_n)=p'(a'_1,p'_2,\dots,p'_{n'})

와

B

에서 성립하는 모든 대수적 관계

q(b_1,b_2,\dots,b_k)=q'(b'_1,b'_2,\dots,b'_{k'})

들의 집합을

\mathcal I\subseteq F(A\sqcup B)^2

라고 하고,

\mathcal I

를 포함하는 최소의 합동 관계를

{\sim}\subseteq F(A\sqcup B)^2

이라고 한다.

그렇다면

A*B=F(A\sqcup B)/{\sim}\in\mathcal V

이다.

2. 2. 융합된 자유곱

대수 구조 다양체에서의 밂로서 융합된 자유곱을 정의한다. 연산

\{f_i\}_{i\in I}

를 갖는 대수 구조 다양체

\mathcal V

속의 두 준동형

:

f\colon C\to A

:

g\colon C\to B

의 '''융합된 자유곱'''

A*_CB

는 다음과 같다. 자유곱

A*B

위에서,

:

[f(c)]_\sim\sim'[g(c)]_\sim\qquad\forall c\in C

를 만족하는 최소의 동치 관계를

:

\sim'\subseteq(A*B)^2

라고 하자. 그렇다면,

\sim'

은 합동 관계이며,

:

A*_CB=(A*B)/{\sim'}\in\mathcal V

이다.

자유곱의 더 일반적인 구성인 '''합동 자유곱'''은 동일한 범주론에서 일종의 푸시 아웃이다.

G

와

H

가 이전과 같이 주어지고 단사

\varphi : F \rightarrow G \ \,

및

\ \, \psi : F \rightarrow H

(즉, 주입 군 준동형사상)가 주어졌다고 가정하자. 여기서

F

는 임의의 군이다. 자유곱

G * H

에서 시작하여 다음과 같은 관계를 부가한다.

:

\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1

모든

F

의

f

에 대해. 즉, 위의 식의 좌변에 있는 모든 원소를 포함하는

G * H

의 가장 작은 정규 부분군

N

을 구한다. 이 원소들은

G

와

H

가 자유곱에 포함되어

G * H

에서 암묵적으로 고려된다.

\varphi

와

\psi

에 대한

G

와

H

의 합동 자유곱은 다음과 같은 몫군이다.

:

(G * H)/N.\,

합동은

G

의

\varphi(F)

와

H

의

\psi(F)

사이의 원소별 식별을 강제했다. 이것은 경로 연결된 부분 공간을 따라 연결된 두 개의 연결된 공간의 기본군을 계산하는 데 필요한 구성으로,

F

가 부분 공간의 기본군 역할을 한다. 다음을 참조: 자이페르트-판 캄펜 정리.

Karrass와 솔리타는 합동 자유곱의 부분군에 대한 설명을 제공했다.^[2] 예를 들어,

\varphi

와

\psi

에 의해 유도된

G

와

H

에서 몫군

(G * H)/N

으로의 준동형사상은 모두 단사이며,

F

에서 유도된 준동형사상도 마찬가지이다.

합동 자유곱과 밀접하게 관련된 HNN 확장 개념은 나무에 작용하는 군에 대한 바스-세르 이론의 기본 구성 요소이다.

3. 구성

군 ''G''와 ''H''의 자유곱 ''G'' ∗ ''H''는 ''G''와 ''H''의 축약된 단어를 원소로 갖는 군이다. ''G'' ∗ ''H''에서의 연산은 단어들을 연결한 후 축약하는 것이다. 축약은 항등원을 제거하거나, ''G''의 원소끼리의 곱은 ''G''에서 곱셈을 하고, ''H''의 원소끼리의 곱은 ''H''에서 곱셈을 하는 방식으로 이루어진다.

예를 들어, ''G''가 무한 순환군 x|x^영어이고, ''H''가 무한 순환군 y|y^영어이면, ''G'' ∗ ''H''의 모든 원소는 ''x''의 거듭제곱과 ''y''의 거듭제곱이 번갈아 나타나는 곱이다. 이 경우, ''G'' ∗ ''H''는 ''x''와 ''y''에 의해 생성된 자유군과 동형이다.

3. 1. 단어

''G''와 ''H''가 군이라면, ''G''와 ''H''에 대한 단어는 다음과 같은 형태의 수열이다.

:

s_1 s_2 \cdots s_n

여기서 각

s_i

는 ''G''의 원소이거나 ''H''의 원소이다. 이러한 단어는 다음 연산을 사용하여 축약될 수 있다.

(''G'' 또는 ''H''의) 항등원을 제거한다.
$g_1 g_2$ 형태의 쌍을 ''G''에서의 곱으로, $h_1 h_2$ 형태의 쌍을 ''H''에서의 곱으로 바꾼다.

모든 축약된 단어는 비어있는 수열이거나, 정확히 하나의 ''G'' 또는 ''H''의 원소를 포함하거나, 아니면 ''G''와 ''H''의 원소가 번갈아 나타나는 수열이다. 예를 들면 다음과 같다.

:

g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k

3. 2. 축약된 단어

모든 축약된 단어는 비어있는 수열이거나, 정확히 하나의 ''G'' 또는 ''H''의 원소를 포함하거나, 아니면 ''G''와 ''H''의 원소가 교대로 나타나는 수열의 형태이다. 예를 들면 다음과 같다.

:

g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.

3. 3. 자유곱 구성

''G''와 ''H''가 군이라면, ''G''와 ''H''에 대한 '''단어'''는 다음과 같은 형태의 수열이다.

:

s_1 s_2 \cdots s_n

여기서 각

s_i

는 ''G''의 원소이거나 ''H''의 원소이다. 이러한 단어는 다음 연산을 사용하여 '''축약'''될 수 있다.

(''G'' 또는 ''H''의) 항등원을 제거한다.
$g_1 g_2$ 형태의 쌍을 ''G''에서의 곱으로, $h_1 h_2$ 형태의 쌍을 ''H''에서의 곱으로 바꾼다.

모든 축약된 단어는 비어있는 수열이거나, 정확히 하나의 ''G'' 또는 ''H''의 원소를 포함하거나, 아니면 ''G''와 ''H''의 원소가 번갈아 나타나는 수열이다. 예를 들면 다음과 같다.

:

g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.

'''자유곱''' ''G'' ∗ ''H''는 ''G''와 ''H''의 축약된 단어를 원소로 가지며, 연결 연산과 그 다음 축약 연산을 통해 군이 된다.

예를 들어, ''G''가 무한 순환군 x|x^영어이고, ''H''가 무한 순환군 y|y^영어이면, ''G'' ∗ ''H''의 모든 원소는 ''x''의 거듭제곱과 ''y''의 거듭제곱이 번갈아 나타나는 곱이다. 이 경우, ''G'' ∗ ''H''는 ''x''와 ''y''에 의해 생성된 자유군과 동형이다.

4. 표현

G^영어와 H^영어가 각각 표현 $G = \langle S_G \mid R_G \rangle$ 와 $H = \langle S_H \mid R_H \rangle$ 를 가질 때, 자유곱 $G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle$ 로 표현할 수 있다. 여기서 $S_G$ 와 $S_H$ 는 각각 G^영어와 H^영어의 생성 집합이고, $R_G$ 와 $R_H$ 는 각각 G^영어와 H^영어의 관계 집합이다. 이는 G^영어 ∗ H^영어가 G^영어의 생성원과 H^영어의 생성원으로 생성되며, 관계식은 G^영어의 관계식과 H^영어의 관계식으로 구성됨을 의미한다. 이때, 표기 충돌이 없다고 가정한다.

4. 1. 군의 표현

G = \langle S_G \mid R_G \rangle

를 ''G''의 표현으로 하고 (여기서

S_G

는 생성 집합이고

R_G

는 관계 집합이다),

H = \langle S_H \mid R_H \rangle

를 ''H''에 대한 표현이라고 하자. 그러면

:

G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle.

즉, ''G'' ∗ ''H''는 ''G''에 대한 생성자들과 ''H''에 대한 생성자들의 결합으로 생성되며, 관계는 ''G''의 관계와 ''H''의 관계로 구성된다(여기서는 표기 충돌이 없어서 실제로 상호 배타적 합집합이라고 가정한다).

예를 들어, ''G''가 위수 4의 순환군

:

G = \langle x \mid x^4 = 1 \rangle

이고, ''H''가 위수 5의 순환군

:

H = \langle y \mid y^5 = 1 \rangle

이라면, ''G'' ∗ ''H''는 무한군

:

G * H = \langle x, y \mid x^4 = y^5 = 1 \rangle

이다.

자유군에는 원 사이의 관계가 없으므로, 자유군의 자유곱은 항상 자유군이다. 특히,

:

F_m * F_n \cong F_{m+n}

이다. 단,

F_n

은 ''n''개의 생성원의 자유군을 나타낸다.

5. 예

예를 들어, ''G''가 4차 순환군이고, ''H''가 5차 순환군이라고 하면, ''G'' ∗ ''H''는 무한군이다.

자유군의 자유곱은 항상 자유군이다.

모듈러 군 $PSL_2(\mathbf Z)$ 는 두 순환군의 자유곱과 동형이다.^[1]

5. 1. 군의 자유곱

순환군의 자유곱을 살펴보자. 2차 순환군(

\operatorname{Cyc}(2)=\langle S|S^2=1\rangle

)과 3차 순환군(

\operatorname{Cyc}(3)=\langle U|U^3=1\rangle

)의 자유곱은 모듈러 군

\operatorname{Cyc}(2)*\operatorname{Cyc}(3)=\langle S,U|S^2=U^3=1\rangle

이다. 이 경우, 보통

S^{-1}U=T

로 정의한다.^[1]

무한 정이면체군

\operatorname{Dih}(\infty)=\langle r,s\mid s^2=(rs)^2=1\rangle

은 두 2차 순환군의 자유곱으로 나타낼 수 있다. 즉,

\operatorname{Dih}(\infty)=\operatorname{Cyc}(2)*\operatorname{Cyc}(2)

이다.

자유군은 관계가 없으므로, 자유군의 자유곱은 항상 자유군이다. 특히,

F_m * F_n \cong F_{m+n}

공식이 성립한다. 여기서

F_n

은 n개의 생성자에 대한 자유군을 나타낸다.

5. 2. 환의 자유곱

비가환 다항식환

\mathbb Z\langle x,y\rangle

는 환 대수 구조 다양체에서 환

\mathbb Z[x]

와

\mathbb Z[y]

의 자유곱이며, 텐서 대수

T(\mathbb Z^2)

와 동형이다.

5. 3. 가환환의 자유곱

다항식환에서, 가환환

\mathbb{Z}[x]

와

\mathbb{Z}[y]

의 자유곱은 다음과 같다.

:

\mathbb{Z}[x] * \mathbb{Z}[y] = \mathbb{Z}[x, y]

5. 4. 자유곱이 자명한 대수

아벨 군 또는 환

R

위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합

\sqcup

이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가

s=s

꼴로 자명하기 때문이다.

6. 일반화: 융합된 자유곱

'''융합된 자유곱'''(또는 융합곱)은 자유곱의 더 일반적인 구성으로, 동일한 범주론에서 일종의 푸시 아웃이다. $G$ 와 $H$ 가 주어지고, $F$ 가 임의의 군일 때, 단사 군 준동형사상 $\varphi : F \rightarrow G$ 및 $\psi : F \rightarrow H$ 가 주어졌다고 가정하자. 자유곱 $G * H$ 에서 시작하여, 모든 $F$ 의 원소 $f$ 에 대해 다음과 같은 관계를 추가한다.

: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$

즉, 위의 식의 좌변에 있는 모든 원소를 포함하는 $G * H$ 의 가장 작은 정규 부분군 $N$ 을 구한다. 이때 $G$ 와 $H$ 는 $G * H$ 에 포함된 것으로 간주한다. $\varphi$ 와 $\psi$ 에 대한 $G$ 와 $H$ 의 융합된 자유곱은 다음과 같은 몫군이다.

: $(G * H)/N$

이는 $G$ 의 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 $\psi(F)$ 사이의 원소별 식별을 강제한 것이다. 이 구성은 경로 연결된 부분 공간을 따라 연결된 두 개의 연결된 공간의 기본군을 계산하는 데 필요하며, $F$ 는 부분 공간의 기본군 역할을 한다. 자세한 내용은 자이페르트-판 캄펜 정리를 참조한다.

Karrass와 솔리타는 융합된 자유곱의 부분군에 대한 설명을 제공했다.^[2] 예를 들어, $\varphi$ 와 $\psi$ 에 의해 유도된 $G$ 와 $H$ 에서 몫군 $(G * H)/N$ 으로의 준동형사상은 모두 단사이며, $F$ 에서 유도된 준동형사상도 마찬가지이다.

융합된 자유곱과 밀접하게 관련된 HNN 확장 개념은 나무에 작용하는 군에 대한 바스-세르 이론의 기본 구성 요소이다.

7. 다른 분야에서의 자유곱

자유곱은 체 위의 대수를 포함하여, 군 이외의 다른 대수적 구조에서도 유사하게 정의할 수 있다. 확률 변수의 대수의 자유곱은 자유 확률 이론에서 "자유성"을 정의하는 데에 데카르트 곱이 고전적인 확률론에서 통계적 독립성을 정의하는 데에 수행하는 역할과 동일한 역할을 한다.^[1]

체 위의 다원환과 같이 군 이외의 대수적 구조에서도 자유곱을 마찬가지로 정의할 수 있다. 확률 변수의 (다원)환의 자유곱은 고전적인 확률론에서의 독립성 개념이 데카르트 곱에 의해 정의되는 것과 마찬가지로 자유 확률론에서의 자유성 개념을 정의하는 역할을 한다.^[2]

참조

_[1] 논문 PSL₂(Z) = Z₂ * Z₃ 1993-04
_[2] 간행물 The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup https://www.ams.org/[...] 1970
_[3] 웹사이트 https://www.ms.u-tok[...]
_[4] 웹사이트 https://www.cck.dend[...]

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