압축률

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 등온 압축률
- 2.2. 등엔트로피 압축률
3. 체적 탄성률
- 3.1. 균질 등방성 탄성체
4. 열역학적 관계
- 4.1. 등온 압축률과 등엔트로피 압축률의 관계
- 4.2. 압축률 인자
5. 지구과학에서의 응용
- 5.1. 비축계수
- 5.2. 지반 침하
6. 유체역학 및 공기역학에서의 응용
- 6.1. 유체역학
- 6.2. 공기역학
7. 음의 압축률
참조

1. 개요

압축률은 물질이나 시스템의 압력 변화에 따른 부피 변화 정도를 나타내는 물리량이다. 압축률은 등온 과정과 등엔트로피 과정에 따라 등온 압축률과 등엔트로피 압축률로 구분되며, 이상 기체의 경우 등온 압축률은 압력에 반비례한다. 압축률의 역수는 체적 탄성률로 정의되며, 균질 등방성 탄성체의 경우 영률과 푸아송 비를 통해 표현할 수 있다. 또한, 열역학적 관계를 통해 등온 압축률과 등엔트로피 압축률 사이의 관계, 그리고 압축률 인자를 정의할 수 있다. 압축률은 지구과학에서 토양이나 암석의 부피 감소 능력을 정량화하는 데 사용되며, 유체역학 및 공기역학에서도 유체의 압축성 정도를 나타내는 중요한 요소로 작용한다. 일반적으로 압축률은 양의 값을 가지지만, 특정 조건에서는 음의 압축률을 나타낼 수도 있다.

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압축률
개요
정의	압축률(壓縮率, compressibility 또는 coefficient of compressibility)은 압력 변화에 대한 물질의 상대적 부피 변화를 나타내는 물리학량이다.
기호	β 또는 κ
차원	길이² / 힘 (SI 단위: Pa⁻¹)
정의 및 유형
공식 정의	β = -(1/V) (dV/dP) 여기서 V는 부피, P는 압력이다.
등온 압축률	일정 온도에서 압력 변화에 대한 부피 변화를 나타낸다.
단열 압축률	열 교환이 없는 상태(단열 과정)에서 압력 변화에 대한 부피 변화를 나타낸다.
이산 압축률	ΔV/V₀ΔP 여기서 ΔV는 부피 변화, ΔP는 압력 변화, V₀는 원래 부피이다.
응용
유체 역학	유체의 압축 정도를 나타내는 중요한 파라미터이다.
고체 역학	고체의 변형 정도를 나타내는 데 사용된다.
지질학	암석의 다공성 및 투과성을 연구하는 데 사용된다.
참고
관련 항목	탄성률

2. 정의

압축률은 압력 하에서 물체의 부피가 일 때, 다음과 같이 정의된다.^[4]

: $\kappa = -\frac{1}{V} \frac{dV}{dp}$

일반적으로 압축률은 압력의 함수이지만, 압력 변화 가 작고 압축률을 상수로 간주할 수 있는 범위 내에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\theta =-\kappa\, \Delta p$

또는

: $V =V_0 (1-\kappa\, \Delta p)$

여기서 는 기준 압력에서의 부피, 는 체적 변형률이다.

압축률의 크기는 등엔트로피 과정인지 아니면 등온 과정인지에 따라 크게 달라지는데, 등온 압축률과 등엔트로피 압축률로 구분하여 정의한다.

2. 1. 등온 압축률

모든 물체나 시스템의 압축률 크기는 등엔트로피 과정인지 아니면 등온 과정인지에 따라 크게 달라진다. 따라서, '''등온 압축률'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\beta_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T,

여기서 아래첨자 T는 편미분이 일정한 온도에서 취해짐을 나타낸다.

밀도 ρ는 부피에 반비례하므로,

:

\beta=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right).

가 성립함을 알 수 있다.

예를 들어, 이상 기체의 경우,

:

pV=nRT,\, \rho=n/V

이다. 따라서

\rho=p/RT

이다.

결과적으로, 이상 기체의 등온 압축률은

:

\beta=1/(\rho RT)= 1/P

이다.

이상 기체는 추상적인 개념이고, 실제 물질의 입자는 서로 상호 작용한다. 그러면 압력, 밀도 및 온도 사이의 관계는 상태 방정식으로 알려져 있다. 반 데르 발스 방정식은 현실적인 기체의 상태 방정식의 예이다.

:

\rho=F(p,T)

.

상태 방정식을 알면, 모든 물질에 대해 압축률을 결정할 수 있다.

온도가 일정한 조건 하에서의 압축률은 '''등온 압축률'''(isothermal compressibility^영어)이라고 불린다. 온도 T, 압력 p 하에서의 물체의 부피를 V라고 할 때, 등온 압축률은

:

\kappa_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T

로 정의된다^[4]^[5]. 부피가 온도와 압력의 함수이기 때문에 정의가 편미분으로 대체되었다. 아래첨자 T는 온도를 고정시킨 편미분임을 나타낸다.

2. 2. 등엔트로피 압축률

등엔트로피 압축률은 엔트로피가 일정한 조건에서 물질의 부피 변화를 나타내는 물리량이다.

:

\beta_S=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S,

여기서

V

는 부피,

p

는 압력, 아래첨자

S

는 엔트로피를 나타낸다. 고체의 경우, 등엔트로피 압축률과 등온 압축률의 차이는 무시할 수 있을 정도로 작다.

물질의 밀도

\rho

는 부피에 반비례하므로, 등엔트로피 압축률은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\beta=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right).

소리의 속도는 고전역학에서 다음과 같이 정의된다.

:

c^2=\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_S

이를 이용하면, 단열 압축률은 다음과 같이 표현된다.

:

\beta_S=\frac{1}{\rho c^2}

일반적으로 압축률은 압력의 함수이지만, 압력 변화가 작은 범위에서는 압축률을 상수로 간주할 수 있다. 이 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\theta=-\kappa\, \Delta p

또는

:

V =V_0 (1-\kappa\, \Delta p)

여기서

V_0

는 기준 압력에서의 부피,

\theta = \Delta V / V_0

는 체적 변형률이다.

단열 조건에서의 압축률은 단열 압축률이라고 하며, 준정적 단열 과정에서 엔트로피가 일정하게 유지되므로, 엔트로피

S

를 고정시킨 편미분에 의해 단열 압축률은

:

\kappa_S = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_S

로 정의된다. 엔트로피를 고정시킨 편미분이기 때문에 등엔트로피 압축률이라고도 불린다.

단열 압축률과 등온 압축률의 비는

:

\frac{\kappa_T}{\kappa_S} =\frac{C_p}{C_V} =\gamma

로 주어지며, 여기서

C_p

,

C_V

는 각각 등압열용량과 정적 열용량,

\gamma

는 비열비이다.

또한, 단열 압축률과 등온 압축률의 차이는

:

\kappa_T -\kappa_S =\frac{TV\alpha^2}{C_p}

로 주어지며, 여기서

\alpha

는 열팽창 계수이다.

3. 체적 탄성률

압축률의 역수를 '''체적 탄성률'''(bulk modulus^영어) 또는 '''체적 탄성 계수'''라고 하며, 다음과 같이 정의된다.

: $K =\frac{1}{\kappa} = -V \frac{\partial p}{\partial V}$

체적 탄성률의 기호는 주로 ''K''나 ''B''로 나타낸다.

등온 체적 탄성률은 헬름홀츠 자유 에너지 ''F''(''T'', ''V'')를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $K_T = V \left( \frac{\partial^2F(T,V)}{\partial V^2} \right)_T$

단열 체적 탄성률은 내부 에너지 ''U''(''S'', ''V'')를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $K_S = V \left( \frac{\partial^2U(S,V)}{\partial V^2} \right)_S$

체적 탄성률과 경도는 상관관계가 있으며, 체적 탄성률이 클수록 해당 물질은 단단한 경우가 많다. 질화 탄소(입방정 질화 탄소 및 β-C₃N₄ 등)는 다이아몬드보다 큰 체적 탄성률을 가질 것으로 이론적으로 예측되며, 다이아몬드보다 단단할 가능성이 제기되고 있다. (2004년 현재, 아직 실험으로 검증되지 않았다.) 단층 탄소 나노 튜브를 상온에서 가압한 물질(초경도 나노 튜브 상, SP-SWCNT)은 다이아몬드보다 큰 체적 탄성률을 갖는 것으로 확인되었다^[13]。

3. 1. 균질 등방성 탄성체

탄성체가 균질하고 등방적인 경우에는 두 개의 자유도로 탄성률을 나타낸다. 영률을 , 푸아송 비를 라고 할 때, 체적 탄성률은

K =\dfrac{E}{3(1-2\nu)}

로 나타낸다. 또한 라메의 제1상수 와 제2상수(전단 탄성률) 를 사용하면

K =\lambda +\frac{2}{3}\mu

로 나타낸다.

4. 열역학적 관계

소리의 속도는 고전역학에서 다음과 같이 정의된다.

: $c^2=\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_S$

편미분을 대체하여, 단열 압축률은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\beta_S=\frac{1}{\rho c^2}$

광범위한 열역학적 시스템에서 통계 역학을 적용하면 등온 압축률은 입자 밀도의 변동 크기와도 관련이 있다.^[3]

: $\beta_T = \frac{(\partial \rho / \partial \mu)_{V,T}}{\rho^2} = \frac{\langle(\Delta N)^2\rangle/V}{k_{\rm B} T \rho^2},$

여기서 μ^영어는 화학 퍼텐셜이다.

4. 1. 등온 압축률과 등엔트로피 압축률의 관계

등온 압축률은 일반적으로 몇 가지 관계식에 의해 등엔트로피 (또는 단열) 압축률과 관련됩니다.^[3]

:

\frac{\beta_T}{\beta_S} = \frac{c_p}{c_v} = \gamma,

:

\beta_S = \beta_T - \frac{\alpha^2 T}{\rho c_p},

:

\frac{1}{\beta_S} = \frac{1}{\beta_T} + \frac{\Lambda^2 T}{\rho c_v} ,

여기서 γ^영어는 비열비, α^영어는 체적 열팽창 계수, ρ는 입자 밀도이고,

\Lambda = (\partial P/\partial T)_{V}

는 열 압력 계수입니다.

단열 압축률과 등온 압축률의 비는 다음과 같습니다.

:

\frac{\kappa_T}{\kappa_S} =\frac{C_p}{C_V} =\gamma

여기서 C와 C는 각각 등압열용량과 정적 열용량이고, γ^영어는 비열비입니다.

또한, 단열 압축률과 등온 압축률의 차이는 다음과 같습니다.

:

\kappa_T -\kappa_S =\frac{TV\alpha^2}{C_p}

여기서 α^영어는 열팽창 계수입니다.

4. 2. 압축률 인자

등엔트로피 과정이나 등온 과정 여부에 따라 모든 물체나 시스템의 압축률 크기가 달라지기 때문에, 등온 압축률과 등엔트로피 압축률은 다음과 같이 정의된다.

'''등온 압축률'''

:

\beta_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T,

:여기서 아래첨자 T는 편미분이 일정한 온도에서 취해짐을 나타낸다.

'''등엔트로피 압축률'''

:

\beta_S=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S,

:여기서 S는 엔트로피이다. 고체의 경우, 둘 사이의 차이는 대개 무시할 수 있다.

물질의 밀도 ρ는 부피에 반비례하므로, 두 경우 모두에서

:

\beta=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right).

가 성립한다.

이상 기체의 경우,

:

pV=nRT,\, \rho=n/V

이다. 따라서

\rho=p/RT

이다.

결과적으로, 이상 기체의 등온 압축률은

:

\beta=1/(\rho RT)= 1/P

이다.

이상 기체는 입자가 서로 상호 작용하지 않는 추상적인 개념이다. 실제 물질의 입자는 서로 상호 작용하며, 반 데르 발스 방정식은 현실적인 기체의 상태 방정식의 예이다.

:

\rho=F(p,T)

.

상태 방정식을 알면, 모든 물질에 대해 압축률을 결정할 수 있다.

등온 압축률은 일반적으로 몇 가지 관계식에 의해 등엔트로피 (또는 단열) 압축률과 관련된다.^[3]

:

\frac{\beta_T}{\beta_S} = \frac{c_p}{c_v} = \gamma,

:

\beta_S = \beta_T - \frac{\alpha^2 T}{\rho c_p},

:

\frac{1}{\beta_S} = \frac{1}{\beta_T} + \frac{\Lambda^2 T}{\rho c_v} ,

여기서 γ는 비열비, α는 체적 열팽창 계수, ρ는 입자 밀도이고,

\Lambda = (\partial P/\partial T)_{V}

는 열 압력 계수이다.

광범위한 열역학적 시스템에서 통계 역학을 적용하면 등온 압축률은 입자 밀도의 변동 크기와도 관련이 있다.^[3]

:

\beta_T = \frac{(\partial \rho / \partial \mu)_{V,T}}{\rho^2} = \frac{\langle(\Delta N)^2\rangle/V}{k_{\rm B} T \rho^2},

여기서 μ는 화학 퍼텐셜이다.

열역학에서 실제 기체의 열역학적 성질이 이상 기체에서 예상되는 것과 얼마나 다른지를 설명하는 데 사용되는 '''압축률 인자'''는 다음과 같이 정의된다.

:

Z=\frac{p V_m}{R T}

여기서 p는 기체의 압력, T는 기체의 온도,

V_m

은 기체의 몰 부피이며, 모두 서로 독립적으로 측정된다. 이상 기체의 경우 압축률 인자 Z는 1과 같으며, 익숙한 이상 기체 법칙이 얻어진다.

:

p = \frac{RT}{V_m}

Z는 일반적으로 실제 기체의 경우 1보다 크거나 작을 수 있다.

이상 기체 거동으로부터의 편차는 임계점 근처 또는 고압 또는 저온의 경우 특히 현저해지는 경향이 있다. 이러한 경우, 정확한 결과를 얻기 위해 일반화된 압축률 도표 또는 문제에 더 적합한 대체 상태 방정식을 사용해야 한다.

5. 지구과학에서의 응용

지구과학에서 압축률은 흙이나 암석이 압력을 받을 때 부피가 줄어드는 정도를 나타내는 데 사용된다. 이 개념은 대수층에서 지하수 매장량을 추정할 때 중요하게 활용된다.^[4]

지질 재료는 고체 부분과 빈 공간(공극)으로 구성되는데, 이 공극은 액체나 기체로 채워질 수 있다. 지질 재료의 부피가 감소하는 것은 공극이 줄어들면서 액체나 기체가 빠져나갈 때 발생한다. 이러한 현상은 시간이 지나면서 침강을 일으킬 수 있다.

수직 배수 압축률^[4]
재료	$\beta_T$ (m²/N 또는 Pa⁻¹)
연성 점토	–
경성 점토	–
중간 경도 점토	–
느슨한 모래	–
조밀한 모래	–
조밀한 모래 자갈	–
에틸 알코올^[5]
이황화 탄소^[5]
암석, 균열	–
25 °C의 물(비배수)^[5]^[6]	4.6
암석, 견고	<
글리세린^[5]
수은^[5]

5. 1. 비축계수

지구과학에서는 가해진 압력 하에서 토양이나 암석의 부피 감소 능력을 정량화하기 위해 ''압축률''을 사용한다. 이 개념은 제한된 대수층에서 지하수 매장량을 추정할 때 비축계수에 중요하다.^[4] 지질 재료는 고체와 공극(또는 공극률)의 두 부분으로 구성된다. 공극 공간은 액체 또는 가스로 채워질 수 있다. 지질 재료는 공극 공간이 감소될 때만 부피가 감소하며, 이는 공극에서 액체 또는 가스를 배출시킨다. 이는 시간이 지남에 따라 발생하여 침강을 초래할 수 있다.

특정 구조 기초의 설계에서 지반 공학의 중요한 개념이다. 예를 들어, 압축성이 높은 만(bay) 갯벌의 하부 층 위에 고층 건물 구조물을 건설하는 것은 상당한 설계 제약을 가하며, 종종 항타 깊은 기초 또는 기타 혁신적인 기술을 사용하게 된다.

5. 2. 지반 침하

지구과학에서는 가해진 압력 하에서 토양이나 암석의 부피 감소 능력을 정량화하기 위해 '압축률'을 사용한다. 이 개념은 제한된 대수층에서 지하수 매장량을 추정할 때 비축계수에 중요하다. 지질 재료는 고체와 공극(또는 공극률)의 두 부분으로 구성된다. 공극 공간은 액체 또는 가스로 채워질 수 있다. 지질 재료는 공극 공간이 감소될 때만 부피가 감소하며, 이는 공극에서 액체 또는 가스를 배출시킨다. 이는 시간이 지남에 따라 발생하여 침강을 초래할 수 있다.^[4]

지반 공학에서 특정 구조 기초를 설계할 때 중요한 개념이다. 예를 들어, 압축성이 높은 만(bay) 갯벌의 하부 층 위에 고층 건물 구조물을 건설하는 것은 상당한 설계 제약을 가하며, 종종 항타 깊은 기초 또는 기타 혁신적인 기술을 사용하게 된다.^[4]

6. 유체역학 및 공기역학에서의 응용

유체의 압축성 정도는 유체 역학에 큰 영향을 미치며, 특히 소리의 전파는 매질의 압축성에 달려있다. 압축성은 공기역학에서도 중요한 요소인데, 기류가 음속에 접근하거나 초과하면 항공기 설계에 큰 영향을 미친다. 제2차 세계 대전 시대 항공기가 800km/h를 넘는 속도에 도달하기 어려웠던 것도 이러한 효과 때문이다.^[7]

6. 1. 유체역학

유체의 압축성 정도는 유체 역학에 큰 영향을 미친다. 특히, 소리의 전파는 매질의 압축성에 달려있다.^[1]

6. 2. 공기역학

압축성은 공기역학에서 중요한 요소이다. 저속에서는 공기의 압축성이 항공기 설계와 관련하여 중요하지 않지만, 기류가 음속에 접근하고 초과함에 따라, 항공기 설계에서 많은 새로운 공기역학적 효과가 중요해진다. 이러한 효과들은 종종 여러 가지가 동시에 작용하여 제2차 세계 대전 시대의 항공기가 800km/h를 훨씬 넘는 속도에 도달하기 어렵게 만들었다.^[7]

"압축성"이라는 용어와 함께 언급되는 많은 효과들이 있지만, 실제로 공기의 압축성과는 거의 관련이 없다. 엄밀한 공기역학적 관점에서 볼 때, 이 용어는 비압축성 유체(물과 유사한 효과)에서 압축성 유체(기체처럼 작용)로 기류가 변화하면서 음속에 접근함에 따라 발생하는 부수적인 효과만을 의미해야 한다. 특히 두 가지 효과, 파동 항력과 임계 마하수가 있다.^[7]

초고속 공기역학에서 한 가지 복잡한 점은 해리(dissociation, 분해)로 인해 "개념적" 몰 부피가 증가한다는 것이다. 왜냐하면 O₂로 존재하는 산소 1몰이 2몰의 단원자 산소로, N₂ 역시 2N로 해리되기 때문이다. 이는 항공 우주 물체 위로 공기가 흐르면서 동적으로 발생하므로, 시시각각 변하는 평균 분자량을 추적하는 것보다, 처음 30g 몰의 공기에 대해 정의된 압축 인자 Z를 변경하는 것이 편리하다. 이러한 압력 의존적 전이는 대기 중의 산소의 경우 2,500,000–4,000,000 범위에서, 질소의 경우 5,000,000–10,000,000 범위에서 발생한다.^[7]

이 압력 의존적 해리가 불완전하게 일어나는 전이 영역에서는 베타(부피/압력 미분 비율)와 미분 정압 비열이 모두 크게 증가한다. 중간 정도의 압력에서는 10,000,000 이상에서 기체가 자유 전자와 이온으로 더 해리된다. 결과적인 플라스마에 대한 Z는 초기 공기 1몰에 대해 유사하게 계산될 수 있으며, 부분적으로 또는 단일 이온화된 기체의 경우 2에서 4 사이의 값을 생성한다. 각 해리는 가역적인 과정에서 많은 양의 에너지를 흡수하며, 이는 항공 우주 물체 근처에서 감속된 초고속 기체의 열역학적 온도를 크게 감소시킨다. 확산에 의해 물체 표면으로 이동된 이온 또는 자유 라디칼은 표면이 더 느린 재결합 과정을 촉매하는 경우 이 추가적인 (비열) 에너지를 방출할 수 있다.^[7]

7. 음의 압축률

일반적인 물질의 부피 압축률(세 축에 대한 선형 압축률의 합)은 양수이며, 이는 압력 증가에 따라 물질이 더 작은 부피로 압축됨을 의미한다. 이 조건은 기계적 안정성에 필요하다.^[8] 그러나 매우 특정한 조건에서 물질은 음의 압축률을 나타낼 수 있다.^[9]^[10]^[11]^[12]

참조

_[1] 웹사이트 Coefficient of compressibility - AMS Glossary http://glossary.amet[...] 2017-05-03
_[2] 웹사이트 Isothermal compressibility of gases - http://petrowiki.org[...] 2017-05-03
_[3] 서적 Course of Theoretical Physics Pergamon 1980
_[4] 논문 Water from low permeability sediments and land subsidence
_[5] 서적 University Physics with Modern Physics https://books.google[...] Addison-Wesley 2012
_[6] 논문 Compressibility of water as a function of temperature and pressure
_[7] 서적 Dynamics of Atmospheric Re-entry American Institute of Aeronautics and Astronautics
_[8] 논문 Role of the elastic constants in negative thermal expansion of axial solids
_[9] 논문 Negative compressibility, negative Poisson's ratio, and stability
_[10] 논문 Negative compressibility https://www.um.edu.m[...]
_[11] 논문 Materials with Negative Compressibilities
_[12] 논문 Negative incremental bulk modulus in foams
_[13] 간행물 産業技術総合研究所　ナノチューブを利用して新超硬度相カーボンプレートの合成に成功 https://www.aist.go.[...]
_[14] 웹인용 Coefficient of compressibility - AMS Glossary http://glossary.amet[...] 2017-05-03
_[15] 웹인용 Isothermal compressibility of gases - http://petrowiki.org[...] 2017-05-03

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