유사 콤팩트 공간

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1. 개요

유사 콤팩트 공간은 위상 공간의 일종으로, 모든 실수 값 연속 함수가 유계 함수가 되는 공간을 의미한다. 유사 콤팩트 공간은 연속 함수의 상이 유계 집합이거나 콤팩트 집합인 것, 연속 함수의 열이 국소 균등 수렴하면 균등 수렴하는 것, 디니 정리가 성립하는 것과 동치이다. 유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간은 곱공간, 상, 원상 등에 대한 닫힘 성질을 가지며, 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간 등과 함의 관계를 갖는다. 특히, 유사 콤팩트 위상군은 완전 유계 위상군이며, 베유 완비화를 갖는다.

유사 콤팩트 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유사 콤팩트 공간
- 2.2. 희박 콤팩트 공간
3. 성질
4. 예
- 4.1. 가산 콤팩트 공간이 아닌 희박 콤팩트 공간
- 4.2. 희박 콤팩트 공간이 아닌 유사 콤팩트 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, [[#유사 콤팩트 공간|유사 콤팩트 공간]]과 [[#희박 콤팩트 공간|희박 콤팩트 공간]]은 다음과 같이 정의된다.

* 유사 콤팩트 공간: 모든 실수 값 연속 함수 $X \to \mathbb{R}$ 가 유계 함수가 되는 위상 공간이다.
* 희박 콤팩트 공간: 열린집합들의 국소 유한 집합족이 유한 집합족밖에 없는 위상 공간이다.

2.1. 유사 콤팩트 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$ 를 유사 콤팩트 공간이라고 한다.
* 임의의 연속 함수 $X\to\mathbb R$ 의 상은 유계 집합이다.
* 임의의 연속 함수 $X\to\mathbb R$ 의 상은 콤팩트 집합이다.
* 임의의 연속 함수의 열 $(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}$ 에 대하여, 만약 $f_n$ 이 국소 균등 수렴한다면, 균등 수렴한다.
* 디니 정리가 성립한다. 즉, 임의의 유계 연속 함수의 열 $(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}$ 및 유계 연속 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 에 대하여, 만약 임의의 $x$ 에서 $f_0(x)\le f_1(x)\le\cdots$ 이며, $f_n$ 이 $f$ 로 점별 수렴한다면, $f_n$ 은 $f$ 로 균등 수렴한다.
즉, 유사 콤팩트 공간은 모든 실수 값 연속 함수가 유계 함수가 되는 위상 공간이다.

2.2. 희박 콤팩트 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$ 를 희박 콤팩트 공간이라고 한다.
* 임의의 열린집합들의 집합족 $\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, 만약 $\mathcal U$ 가 국소 유한 집합족이라면, $\mathcal U$ 는 유한 집합이다.
* 임의의 열린집합들의 집합족 $\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, 만약 $\mathcal U$ 가 국소 유한 집합족이자 서로소 집합족이라면, $\mathcal U$ 는 유한 집합이다.
* 임의의 가산 열린 덮개 $\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, 합집합이 조밀 집합인 유한 부분 집합 $\mathcal U'\subseteq\mathcal U$ 가 존재한다.
즉, 희박 콤팩트 공간은 열린집합들의 국소 유한 집합족이 유한 집합족밖에 없는 위상 공간이다.

3. 성질

(내용 없음)

3.1. 연산에 대한 닫힘

희박 콤팩트 공간의 정칙 닫힌집합은 희박 콤팩트 공간이다. 반대로, 모든 정칙 닫힌 진부분 집합이 희박 콤팩트 공간인 위상 공간은 희박 콤팩트 공간이다.

유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 곱공간에 대하여, 다음이 성립한다.
* 희박 콤팩트 공간들의 곱집합 $(X_i)_{i\in I}$ 에 대하여, 만약 국소 콤팩트 공간이 아닌 것이 하나 이하라면, 곱공간 $\textstyle\prod_{i\in I}X_i$ 은 희박 콤팩트 공간이다. 특히, 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 곱공간은 희박 콤팩트 공간이다.
* 점렬 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 곱공간은 희박 콤팩트 공간이다.
* 두 희박 콤팩트 공간 $X$ , $Y$ 에 대하여, 만약 적어도 하나가 제1 가산 공간이라면, $X\times Y$ 는 희박 콤팩트 공간이다.
* 두 유사 콤팩트 티호노프 공간 $X$ , $Y$ 에 대하여, 만약 적어도 하나가 콤팩트 생성 공간이라면, $X\times Y$ 는 유사 콤팩트 티호노프 공간이다.

유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 상 및 원상에 대하여, 다음이 성립한다.
* 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 유사 콤팩트 공간이라면, 그 상 $f(X)$ 역시 유사 콤팩트 공간이다.
* 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 희박 콤팩트 공간이라면, 그 상 $f(X)$ 역시 희박 콤팩트 공간이다.
* 열린 완전 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 공역 $Y$ 가 유사 콤팩트 공간이라면, 정의역 $X$ 역시 유사 콤팩트 공간이다.

3.2. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

		콤팩트 공간
	↗		↘
뇌터 공간				가산 콤팩트 공간	→	희박 콤팩트 공간	→	유사 콤팩트 공간
	↘		↗		↘
		점렬 콤팩트 공간				극한점 콤팩트 공간

주요 함의 관계는 다음과 같다.
* 가산 콤팩트 공간은 희박 콤팩트 공간이다.
* 희박 콤팩트 공간은 유사 콤팩트 공간이다.

완비 정칙 공간에서는 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 희박 콤팩트 공간이다.
* 유사 콤팩트 공간이다.

유사 콤팩트 정규 공간은 극한점 콤팩트 공간이다. 따라서, 정규 하우스도르프 공간에서는 다음 네 조건이 서로 동치이다.
* 가산 콤팩트 공간이다.
* 극한점 콤팩트 공간이다.
* 희박 콤팩트 공간이다.
* 유사 콤팩트 공간이다.

거리화 가능 공간의 경우, 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간, 희박 콤팩트 공간, 유사 콤팩트 공간의 개념이 모두 동치이다. (참고로, 뇌터 공간 조건은 유클리드 공간의 경우에도 나머지 조건들보다 강하다.)

이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
* 유사 콤팩트 완비 정칙 공간은 베르 공간이다.
* 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
* 메타콤팩트 유사 콤팩트 완비 정칙 공간은 콤팩트 공간이다.
* 가산 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.
* 유사 콤팩트 균등 공간은 완전 유계 공간이다. 특히, 유사 콤팩트 완비 균등 공간은 콤팩트 공간이다.
* 기약 공간은 희박 콤팩트 공간이다.

3.3. 유사 콤팩트 위상군

군 $G$ 와 그 위에 주어진 유사 콤팩트 위상에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $G$ 가 위상군이다.
* 군의 곱셈 연산 $(g,h)\mapsto gh$ 가 연속 함수이다.
이는 유사 콤팩트 위상군을 정의할 때, 역원 연산( $g \mapsto g^{-1}$ )의 연속성을 별도로 요구하지 않아도 된다는 것을 의미한다.

모든 위상군은 완비 정칙 공간의 성질을 가지므로, 유사 콤팩트 위상군은 자동적으로 희박 콤팩트 공간이 된다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:유사 콤팩트 위상군 ⊂ 완전 유계 위상군 ⊂ 균형군
이 관계에 따라, 모든 유사 콤팩트 위상군은 베유 완비화를 가진다는 것을 알 수 있다.

임의의 유사 콤팩트 위상군들의 곱으로 만들어진 공간 역시 유사 콤팩트 위상군이다.

위상군 $G$ 에 대하여, 다음 네 가지 조건은 서로 동치이다.
* 모든 연속 함수 $G\to\mathbb R$ 는 $G$ 의 왼쪽 균등 공간 구조에 대해 균등 연속 함수이다.
* 모든 연속 함수 $G\to\mathbb R$ 는 $G$ 의 오른쪽 균등 공간 구조에 대해 균등 연속 함수이다.
* 모든 유계이면서 연속 함수인 함수 $G\to\mathbb R$ 는 $G$ 의 왼쪽 균등 공간 구조에 대해 균등 연속 함수이다.
* 모든 유계이면서 연속 함수인 함수 $G\to\mathbb R$ 는 $G$ 의 오른쪽 균등 공간 구조에 대해 균등 연속 함수이다.

이 동치 조건을 편의상 조건 (U)라고 부르자. 그렇다면, 위상군 $G$ 에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치 관계에 있다.
* $G$ 는 유사 콤팩트 공간이다.
* $G$ 는 완전 유계 위상군이며, 동시에 조건 (U)를 만족시킨다.
* $G$ 는 완전 유계 위상군이며, 그 베유 완비화는 위상 공간으로서 스톤-체흐 콤팩트화와 동일하다.

4. 예

유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 개념은 다양한 위상 공간의 예시를 통해 더 명확하게 이해할 수 있다. 특히, 이 두 개념이 서로 어떻게 다르며, 가산 콤팩트 공간과 같은 다른 종류의 콤팩트성과 어떤 관계를 가지는지 보여주는 구체적인 예들이 존재한다. 아래에서는 이러한 관계를 보여주는 대표적인 예시들을 살펴본다.

4.1. 가산 콤팩트 공간이 아닌 희박 콤팩트 공간

닫힌구간 $[0,1]$ 위에, 통상적인 위상에서의 열린집합들과 집합
: $[0,1]\setminus\{1/n\colon n=1,2,\dots\}$
을 부분 기저로 하는 위상을 주자. 이 공간은 희박 콤팩트 공간이지만, 가산 콤팩트 공간은 아니다. 또한, 이 공간은 하우스도르프 공간이지만 정칙 공간은 아니다.

임의의 정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 그 안의 닫힌집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 스톤-체흐 콤팩트화 사이에는 표준적인 포함 관계 $\beta Y\hookrightarrow\beta X$ 가 존재한다. 이를 이용하여 다음과 같은 위상 공간을 생각할 수 있다.
: $\beta\mathbb R\setminus(\beta\mathbb N\setminus\mathbb N)$
이 공간은 유사 콤팩트 공간이며 티호노프 공간이지만, 가산 콤팩트 공간은 아니다.

4.2. 희박 콤팩트 공간이 아닌 유사 콤팩트 공간

집합 $\mathbb Q\times(\mathbb Q^+\cup\{0\})$ 위에 위상을 정의하여, 유사 콤팩트 공간이지만 희박 콤팩트 공간은 아닌 예시를 만들 수 있다. 이 공간의 모든 점 $(x,y)$ 에 대해 다음과 같은 국소 기저를 갖도록 위상을 정의한다.

: $\mathcal B_{(x,y)}=\begin{cases}\{(x-\epsilon,x+\epsilon)\times\{0\}\colon\epsilon\in\mathbb R^+\} & y=0 \text{ 일 때} \\\{\{(x,y)\}\cup((x-y/\sqrt3-\epsilon,x-1+\epsilon)\cup(x+y/\sqrt3-\epsilon,x+1+\epsilon))\times\{0\})\colon\epsilon\in\mathbb R^+\} & y\in\mathbb Q^+ \text{ 일 때}\end{cases}$

이렇게 정의된 위상 공간은 다음과 같은 성질을 가진다.
* 유사 콤팩트 공간이다.
* 희박 콤팩트 공간은 아니다. 구체적으로, 집합족 $\{(n,\infty)\times\{0\}\colon n=0,1,\dots\}$ 은 무한 국소 유한 집합족이므로 희박 콤팩트 공간이 될 수 없다.
* 콜모고로프 공간이다.
* T₁ 공간은 아니다.
* 정칙 공간이나 정규 공간도 아니다.