지구의 중력
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1. 개요
지구의 중력은 위치에 따라 크기가 달라지며, 자전, 타원체 모양, 위도, 고도, 지형, 지질 등의 요인에 의해 영향을 받는다. 표준 중력 가속도는 9.80665 m/s²로 정의되며, 위도에 따라 적도에서 극지방으로 갈수록 중력이 증가하고, 고도가 높아질수록 감소한다. 지구 내부의 밀도 분포에 따라서도 중력이 달라지며, 지형 및 지질의 국지적 차이로 인해 중력 이상 현상이 발생하기도 한다. 중력은 공기나 물의 부력, 달과 태양의 인력 등 다른 요인에도 영향을 받으며, 중력의 방향은 지구의 모양으로 인해 약간의 편차를 보인다. 세계 여러 도시의 중력 강도는 위도와 고도에 따라 차이를 보이며, 수학적 모델과 만유인력의 법칙을 통해 중력을 추정할 수 있다. 또한, 태양, 달, 행성 및 위성의 중력 가속도를 비교한 표가 제시되어 있으며, 지구 중력 측정은 중력 측정을 통해 이루어진다.
지구는 완벽한 구형이 아니고 자전하고 있기 때문에, 중력의 크기는 위치에 따라 달라진다. 지구는 극지방이 약간 납작하고 적도가 부풀어 오른 타원체 모양을 하고 있다. 따라서 지구 표면에서 중력의 크기는 약간씩 차이가 난다.
중력 가속도는 벡터이므로, 방향과 크기를 모두 가진다. 지구는 구형에 가깝지만 완벽한 구형은 아니기 때문에, 중력 방향은 지구 중심에서 약간 벗어날 수 있다. 이는 측지 위도와 지심 위도의 차이로 나타난다. 수직 편향이라고 하는 더 작은 편차는 산과 같은 국소 질량 이상으로 인해 발생한다.
1901년 제3차 국제 도량형 총회에서는 지구 표면의 표준 중력 가속도를 ''g''n = 9.80665 m/s2로 정의했다.[7] 이 값은 파리 근교 브르퇴유 파빌리온에서 측정한 값을 기준으로, 해수면 위도 45°로 보정한 값이다.[7] 이는 특정 장소의 값이나 평균값이 아니라, 더 나은 실제 값을 모를 때 사용하기 위한 합의된 값이다.[8]
2. 중력의 크기 변화
지구 표면의 중력은 페루의 와스카란 산에서 9.7639m2에서 북극해 표면의 9.8337m2까지 약 0.7% 변동한다.[5] 대도시의 경우, 쿠알라룸푸르, 멕시코 시티, 싱가포르에서 9.7806m2[6]에서 오슬로와 헬싱키에서 9.825m2까지 변화한다.
지구의 유효 중력에 영향을 주는 요소에는 위도, 고도, 해당 지점의 지형, 지질 등이 있다.
2. 1. 표준 중력
1901년 제3차 국제 도량형 총회는 지구 표면에 대한 표준 중력 가속도를 ''g''n = 9.80665 m/s2로 정의했다. 이 값은 1888년 파리 근교 브르퇴유 파빌리온에서 측정한 값을 기준으로 하며, 해수면에서 위도 45°로 변환하기 위해 이론적인 보정을 적용했다.[7] 따라서 이 정의는 특정 장소의 값이나 신중하게 계산된 평균값이 아니라, 더 나은 실제 지역 값을 알 수 없거나 중요하지 않은 경우 사용할 값에 대한 합의이다.[8] 이 값은 킬로그램힘 및 파운드힘 단위를 정의하는 데에도 사용된다.
2. 2. 위도
지구는 자전하고 있기 때문에 관성 좌표계가 아닌 비관성 좌표계이다. 적도에 가까운 위도에서는 지구 자전에 의해 생성되는 바깥쪽 원심력이 극지방보다 더 크다. 이 원심력은 지구의 중력에 반작용하여 적도에서 최대 0.3%까지 낙하하는 물체의 겉보기 하향 가속도를 감소시킨다.[24]
위도가 다른 중력의 차이에 대한 두 번째 주요 이유는 지구의 적도 융기(이 역시 자전에 의한 원심력 때문에 발생) 때문이다. 적도 융기로 인해 적도에 있는 물체는 극지방에 있는 물체보다 지구 중심에서 더 멀리 떨어져 있게 된다. 두 질량 사이의 중력은 그들 사이의 거리의 제곱에 반비례하여 변하며, 질량 분포도 적도와 극지방에서 다르다. 따라서 적도에 있는 물체는 극지방에 있는 물체보다 더 약한 중력의 당김을 경험한다.
이러한 요인들이 결합하여 해수면 중력은 적도에서 약 9.780 m/s2에서 극지방에서 약 9.832 m/s2로 증가한다. 따라서 물체는 극지방에서 적도보다 약 0.5% 더 무겁게 된다.[9][10][24][25]
2. 3. 고도
고도가 높아짐에 따라 지구 중심으로부터의 거리가 멀어져 중력은 감소한다. 다른 모든 조건이 동일하다면, 해수면에서 9000m 고도로 올라가면 무게가 약 0.29% 감소한다. 궤도에 있는 우주 비행사가 무중력을 경험하는 것은 지구의 중력에서 벗어날 만큼 충분히 높이 날았기 때문이 아니라, 자유 낙하 상태에 있기 때문이다.[12]
지표면 고도의 영향은 지표면의 밀도에 따라 달라진다. 해수면 위 약 9144.00m에서 산 위를 비행하는 사람은 같은 고도에 있지만 바다 위를 비행하는 사람보다 더 강한 중력을 느낄 것이다. 그러나 지구 표면에 서 있는 사람은 고도가 높을수록 더 적은 중력을 느낀다.
다음 공식은 고도에 따른 지구 중력의 변화를 근사한다.
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여기서
이 공식은 지구를 질량 분포가 방사 대칭인 완벽한 구체로 취급한다.
2. 4. 깊이
지구 중심으로부터의 거리 $r$에서의 중력을 근사적으로 계산하기 위해, 지구의 밀도가 구형 대칭이라고 가정할 수 있다. 이 경우 중력은 반지름 $r$인 구 내부에 있는 질량에만 의존하며, 외부의 모든 영향은 중력의 역제곱 법칙에 의해 상쇄된다. 결과적으로, 이 반지름에서의 중력 가속도는 다음과 같이 표현된다.
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여기서 $G$는 중력 상수이고, $M(r)$은 반지름 $r$ 내부에 포함된 총 질량이다. 만약 지구의 밀도가 일정하다면 $\rho$, 질량은 $M(r) = (4/3)\pi\rho r^3$이 되고, 깊이에 따른 중력의 변화는 다음과 같다.
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깊이 $d$에서의 중력 $g'$는 $g' = g(1 - d/R)$로 주어지며, 여기서 $g$는 지구 표면의 중력 가속도, $d$는 깊이, $R$은 지구의 반지름이다.
만약 밀도가 중심에서 $\rho_0$에서 표면에서 $\rho_1$로 반지름이 증가함에 따라 선형적으로 감소한다면, $\rho(r) = \rho_0 - (\rho_0 - \rho_1) r / R$이 되고, 중력의 변화는 다음과 같다.
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지진파의 이동 시간을 통해 추론된 실제 밀도 및 중력의 깊이 의존성(Adams–Williamson 방정식 참조)은 아래 그래프와 같다.
2. 5. 국지적 지형과 지질
산맥, 주변 암석의 밀도, 깊은 지각 구조 등은 지구 중력장에 국지적 및 지역적 차이를 유발하며, 이를 중력 이상이라고 한다.[15] 이러한 중력 이상은 해수면을 융기시키거나 추시계의 동기화를 벗어나게 할 정도로 광범위할 수 있다.
중력 이상 연구는 중력 지구물리학의 기초가 된다. 중력 변동은 고도로 민감한 중력계로 측정되며, 지형 등 알려진 요인의 영향을 제거한 후 결과 데이터로부터 결론을 도출한다. 이 기술은 탐광자들이 석유나 광상을 찾는 데 사용된다. 밀도가 높은 암석(주로 광물 광석 포함)은 지구 표면에 정상보다 높은 국지적 중력장을 유발하고, 밀도가 낮은 퇴적암은 그 반대 현상을 유발한다.
NASA GRACE의 중력 측정 결과는 화산 활동, 해령 확장 지역과 강한 상관관계를 보인다. 이 지역들은 이론적 예측보다 강한 중력을 나타낸다.
2. 6. 기타 요인
공기나 물 속에서 물체는 부력을 받아 중력의 겉보기 힘을 감소시키는 효과를 경험한다(물체의 무게로 측정). 이 효과의 크기는 각각 공기 밀도(따라서 공기 압력) 또는 물 밀도에 따라 달라진다. 자세한 내용은 겉보기 무게를 참조하라.
달과 태양의 중력 효과(또한 조석의 원인)는 상대적인 위치에 따라 지구 중력의 겉보기 힘에 매우 작은 영향을 미친다. 전형적인 변화는 하루 동안 2μm/s2 (0.2 mGal)이다.
3. 중력의 방향
유효 중력의 방향은 적도나 극에서 멀리 떨어진 곳에서는 정확히 지구 중심을 가리키지 않고, 어느 정도 반대쪽 극을 향하는 지오이드 표면에 수직인 방향을 가리킨다. 이러한 편향의 약 절반은 지구가 관성 좌표계가 아니기 때문에 발생하는 관성력 때문이며, 나머지 절반은 적도 부근의 질량이 더 크기 때문에 발생하는 진정한 중력 방향의 변화 때문이다.[24][25]
4. 세계 여러 도시의 중력 비교
위치 m/s2 앵커리지 9.826 헬싱키 9.825 오슬로 9.825 코펜하겐 9.821 스톡홀름 9.818 맨체스터 9.818 암스테르담 9.817 코타기리 9.817 버밍엄 9.817 런던 9.816 브뤼셀 9.815 프랑크푸르트 9.814 시애틀 9.811 파리 9.809 몬트리올 9.809 밴쿠버 9.809 이스탄불 9.808 토론토 9.807 취리히 9.807 오타와 9.806 스코페 9.804 시카고 9.804 로마 9.803 웰링턴 9.803 뉴욕 9.802 리스본 9.801 워싱턴 D.C. 9.801 아테네 9.800 마드리드 9.800 멜버른 9.800 오클랜드 9.799 덴버 9.798 도쿄 9.798 부에노스아이레스 9.797 시드니 9.797 니코시아 9.797 로스앤젤레스 9.796 케이프타운 9.796 퍼스 9.794 쿠웨이트 시티 9.792 타이페이 9.790 리우데자네이루 9.788 아바나 9.786 콜카타 9.785 홍콩 9.785 방콕 9.780 마닐라 9.780 자카르타 9.777 쿠알라룸푸르 9.776 싱가포르 9.776 멕시코시티 9.776 캔디 9.775
고위도 도시인 앵커리지(9.826 m/s2)와 헬싱키(9.825 m/s2)는 적도 부근 도시인 쿠알라룸푸르(9.776 m/s2)보다 중력이 약 0.5% 더 크다.[16] 고도가 높은 멕시코시티(9.776 m/s2; 고도 2240m)는 같은 위도의 다른 도시보다 중력이 작은 것을 확인할 수 있다.
5. 수학적 모델
지구 표면이 해수면일 때, 위도 에서의 가속도 는 1967년 국제 중력 공식, 헬메르트 방정식 또는 클레로 공식에 의해 다음과 같이 추정할 수 있다.[18]
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위도의 함수로써 ''g''를 나타내는 또 다른 공식은 WGS (세계 측지계) 84 중력 공식이다.[19]
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여기서
일 때,[19] 지구의 반축 , 를 대입하면,
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WGS-84 공식과 헬메르트 방정식의 차이는 0.68 μm·s−2 미만이다.
지구는 자전하기 때문에 관성 좌표계가 아니다. 적도 부근에서는 지구 자전에 의한 원심력이 극보다 커서 지구 중력을 최대 0.3% 상쇄시킨다. 또한, 지구 적도 부근이 팽창하여 적도상의 물체가 지구 중심에서 멀어져 중력이 약해진다. 이러한 효과로 해수면 중력 가속도는 적도에서 9.780 m/s2, 극에서 9.832 m/s2로, 극에서 약 0.5% 더 크다.[24][25]
해수면 위도 에서 중력 가속도 는 다음 식으로도 추정 가능하다.[31]
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5. 1. 만유인력의 법칙으로부터의 g 추정
만유인력의 법칙에 따르면, 지구의 중력에 의해 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다.
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여기서 ''r''은 지구 중심과 물체 사이의 거리, 는 지구의 질량, ''m''은 물체의 질량이다.
또한, 뉴턴의 운동 제2법칙 ''F'' = ''ma''에서 ''m''은 질량이고 ''a''는 가속도인데, 여기서는 다음과 같다.
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두 공식을 비교하면 다음을 얻을 수 있다.
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따라서 해수면에서의 중력 가속도를 구하려면, 중력 상수 ''G'', 지구 질량 ''m''1 (킬로그램), 지구 반지름 ''r'' (미터)의 값을 대입하여 ''g''의 값을 얻는다.[20]
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이 공식은 균일한 구형 물체의 중력이 표면 또는 그 위에서 측정될 때, 모든 질량이 중심점에 집중된 것과 같다는 수학적 사실 때문에 작동한다. 이것이 ''r''에 지구의 반지름을 사용할 수 있게 해준다.
얻은 값은 측정된 ''g''의 값과 거의 일치한다. 차이는 다음 요인에 기인한다.
이 계산에 사용된 ''r''과 ''m''1의 값에는 상당한 불확실성이 있으며, G의 값도 정확하게 측정하기가 다소 어렵다.
만약 ''G'', ''g'' 및 ''r''을 알고 있다면, 역계산을 통해 지구의 질량을 추정할 수 있다. 이 방법은 헨리 캐번디시에 의해 사용되었다.
6. 지구, 태양, 달, 행성의 중력 비교
도달 속도