초평면 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 종류
5. 응용
6. 이면각
참조

1. 개요

초평면은 기하학에서 n차원 공간의 (n-1)차원 부분 공간을 의미한다. 이는 유클리드 공간, 아핀 공간, 벡터 공간 또는 사영 공간 등 다양한 공간에서 정의될 수 있으며, 각 공간의 특성에 따라 개념이 달라진다. 초평면은 단일 대수 방정식의 해로 표현될 수 있으며, 벡터 초평면, 아핀 초평면, 사영 초평면 등 다양한 유형으로 분류된다. 초평면은 볼록 기하학의 초평면 분리 정리, 기계 학습의 서포트 벡터 머신, 천문학의 거리 계산 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한, 유클리드 공간에서 두 초평면이 이루는 각은 법선 벡터의 각으로 정의되며, 이와 관련된 반사의 곱은 회전 변환을 생성한다.

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초평면 (수학)
정의
설명	차원의 -차원 공간의 부분 공간이다.
영어 명칭	hyperplane (하이퍼플레인)
속성
공간	-차원 공간

2. 정의

초평면은 ''n''차원 공간 ''V''에서 차원이 ''n'' − 1인 부분 공간이거나, 여차원이 1인 부분 공간이다. 공간 ''V''는 유클리드 공간, 아핀 공간, 벡터 공간, 사영 공간 등이 될 수 있으며, 이에 따라 초평면의 정의도 달라진다. 모든 경우에 초평면은 "여차원 1" 제약 조건 때문에 단일 일차 방정식의 해로 표현된다.^[4]

벡터 공간에서는 "벡터 초평면"(선형 부분 공간)과 "아핀 초평면"(평행 이동된 벡터 초평면)을 구분한다. 유클리드 공간에서 초평면은 공간을 두 반공간으로 나누며, 반사를 정의할 수 있다.

2. 1. 벡터 초평면

체

K

위의 벡터 공간

V

의 부분 벡터 공간

H\subseteq V

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

H

를

V

의 '''벡터 초평면'''(vector hyperplane^영어)이라고 한다.

몫벡터 공간 $V/H$ 의 차원은 1이다.
극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.^[4]
$H\ne V$
임의의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 에 대하여, 만약 $H\subseteq W$ 라면, $W=H$ 이거나 $W=V$ 이다.
다음 조건을 만족시키는 쌍대 공간 원소 $f\in V^*$ 가 존재한다.^[4]
$f\ne 0$
$\ker f=H$ (여기서 $\ker$ 는 핵이다.)

벡터 공간에서, 벡터 초평면은 여차원이 1인 선형 부분 공간이다.

2. 2. 아핀 초평면

체

K

위의 아핀 공간

A

의 부분 아핀 공간

H\subseteq A

가 주어졌을 때,

H

위의 평행 이동들의 벡터 공간

\operatorname V(H)

이

V

위의 평행 이동들의 벡터 공간

\operatorname V(A)

의 벡터 초평면이라면,

H

를

A

의 '''아핀 초평면'''(affine hyperplane^영어)이라고 한다. 이는 아핀 공간에서 여차원이 1인 아핀 부분 공간이다.

데카르트 좌표계에서 아핀 초평면은 다음 형식의 단일 선형 방정식으로 설명할 수 있다(여기서

a_i

중 적어도 하나는 0이 아니고

b

는 임의의 상수이다).

:

a_1x_1 + a_2x_2  + \cdots + a_nx_n = b.

실수 아핀 공간의 경우, 이 아핀 공간은 공간을 두 개의 반공간으로 분리하며, 이는 초평면의 연결 요소이며, 다음 부등식으로 주어진다.

:

a_1x_1 + a_2x_2  + \cdots + a_nx_n < b\

그리고

:

a_1x_1 + a_2x_2  + \cdots + a_nx_n > b.\

예를 들어, 직선은 2차원 공간에서의 초평면이며, 평면은 3차원 공간에서의 초평면이다. 3차원 공간의 선은 초평면이 아니며 공간을 두 부분으로 나누지 않는다.

유클리드 공간의 모든 초평면은 정확히 두 개의 단위 법선 벡터

\pm\hat{n}

을 갖는다.

아핀 초평면은 의사 결정 트리 및 퍼셉트론과 같은 많은 기계 학습 알고리즘에서 결정 경계를 정의하는 데 사용된다.

2. 3. 사영 초평면

체

K

위의 벡터 공간

V

로부터 유도되는 사영 공간

\operatorname P(V)

의 '''사영 초평면'''(射影超平面, projective hyperplane^영어)은 벡터 초평면

H\subseteq V

으로부터 유도되는 부분 사영 공간

\operatorname P(H)\subseteq\operatorname P(V)

이다.^[2] 사영 기하학은 아핀 기하학에 소점(무한원점)을 추가한 것으로 볼 수 있다. 아핀 초평면은 관련 무한원점과 함께 사영 초평면을 형성한다. 사영 초평면의 특별한 경우 중 하나는 모든 무한원점의 집합으로 정의되는 '''무한 초평면''' 또는 '''이상 초평면'''이다.

실수 사영 공간에서는 하나의 초평면이 전체 공간을 둘로 나누지 않는다. 점을 분리하여 전체 공간을 분할하려면 두 개의 초평면을 사용해야 한다. 이는 실수 사영 공간이 본질적으로 "빙 둘러 감겨" 있어서, 단독 초평면의 가장자리가 반대쪽 가장자리와 서로 연결되어 있기 때문이다.

3. 성질

체 ''K'' 위의 유한 차원 벡터 공간 ''V''의 부분 벡터 공간 ''H''⊆''V''에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

''H''는 벡터 초평면이다.
$\dim H=\dim V-1$

기하학에서 초평면은 ''n''차원 공간 ''V''의 차원이 ''n'' − 1인 부분 공간이다. 또는 ''V''에서 여차원이 1인 부분 공간과 같다. 공간 ''V''는 유클리드 공간이거나 더 일반적으로 아핀 공간이거나, 벡터 공간 또는 사영 공간일 수 있으며, 부분 공간의 정의가 이러한 설정에 따라 다르므로 초평면의 개념도 그에 따라 달라진다. 그러나 모든 경우에, 모든 초평면은 "여차원 1" 제약으로 인해 단일 대수 방정식의 해로 좌표에서 주어질 수 있다.

''V''가 벡터 공간인 경우, "벡터 초평면"(이는 선형 부분 공간이며 원점을 지나야 함)과 "아핀 초평면"(원점을 지날 필요가 없으며 벡터 초평면의 평행 이동을 통해 얻을 수 있음)을 구분한다. 유클리드 공간의 초평면은 해당 공간을 두 개의 반공간으로 나누며, 해당 초평면을 고정하고 해당 두 반공간을 교환하는 반사를 정의한다.

4. 종류

초평면은 특정 용도에 적합한 몇 가지 특수한 유형으로 정의된다.

아핀 초평면: 체 위의 아핀 공간에서 여차원이 1인 아핀 부분 공간이다. 데카르트 좌표계에서 아핀 초평면은 단일 선형 방정식으로 표현할 수 있다. 실수 아핀 공간의 경우, 아핀 초평면은 공간을 두 개의 반공간으로 분리한다.
벡터 초평면: 벡터 공간에서 여차원이 1인 부분 공간이다.
사영 초평면: 사영 공간에서 벡터 초평면으로부터 유도되는 부분 사영 공간이다. 사영 기하학은 아핀 기하학에 소점(무한원점)을 추가한 것으로 볼 수 있으며, 아핀 초평면은 관련 무한원점과 함께 사영 초평면을 형성한다. 사영 공간에서 초평면은 공간을 두 부분으로 나누지 않는다.

4. 1. 아핀 초평면

체 위의 아핀 공간에서 여차원이 1인 아핀 부분 공간을 '''아핀 초평면'''이라고 한다.

데카르트 좌표계에서 아핀 초평면은 다음 형식의 단일 선형 방정식으로 표현할 수 있다. (여기서

a_i

중 적어도 하나는 0이 아니고

b

는 임의의 상수이다.)

:

a_1x_1 + a_2x_2  + \cdots + a_nx_n = b.\

실수 아핀 공간의 경우, 이 아핀 공간은 공간을 두 개의 반공간으로 분리하며, 이는 초평면의 연결 요소이며, 다음 부등식으로 주어진다.

:

a_1x_1 + a_2x_2  + \cdots + a_nx_n < b\

그리고

:

a_1x_1 + a_2x_2  + \cdots + a_nx_n > b.\

예를 들어, 점은 1차원 공간에서 초평면이고, 직선은 2차원 공간에서 초평면이며, 평면은 3차원 공간에서 초평면이다. 3차원 공간의 선은 초평면이 아니며 공간을 두 부분으로 나누지 않는다.

유클리드 공간의 모든 초평면은 정확히 두 개의 단위 법선 벡터를 갖는다.

아핀 초평면은 의사 결정 트리 및 퍼셉트론과 같은 많은 기계 학습 알고리즘에서 결정 경계를 정의하는 데 사용된다.

4. 2. 벡터 초평면

체

K

위의 벡터 공간

V

의 부분 벡터 공간

H\subseteq V

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

H

를

V

의 '''벡터 초평면'''(vector hyperplane^영어)이라고 한다.

몫벡터 공간 $V/H$ 의 차원은 1이다.
극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.^[4]
* $H\ne V$
* 임의의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 에 대하여, 만약 $H\subseteq W$ 라면, $W=H$ 이거나 $W=V$ 이다.
다음 조건을 만족시키는 쌍대 공간 원소 $f\in V^*$ 가 존재한다.^[4]
* $f\ne 0$
* $\ker f=H$ (여기서 $\ker$ 는 핵이다.)

벡터 공간에서, 벡터 초평면은 여차원이 1인 부분 공간이다.

4. 3. 사영 초평면

체

K

위의 벡터 공간

V

로부터 유도되는 사영 공간

\operatorname P(V)

의 '''사영 초평면'''(射影超平面, projective hyperplane^영어)은 벡터 초평면

H\subseteq V

으로부터 유도되는 부분 사영 공간

\operatorname P(H)\subseteq\operatorname P(V)

이다.

사영 기하학에서 사영 부분공간은 집합의 임의의 두 점에 대해, 두 점에 의해 결정되는 선상의 모든 점이 집합에 포함되는 속성을 갖는 점의 집합이다.^[2] 사영 기하학은 아핀 기하학에 소점(무한원점)을 추가한 것으로 볼 수 있다. 아핀 초평면은 관련 무한원점과 함께 사영 초평면을 형성한다. 사영 초평면의 특별한 경우 중 하나는 모든 무한원점의 집합으로 정의되는 '''무한 초평면''' 또는 '''이상 초평면'''이다.

사영 공간에서 초평면은 공간을 두 부분으로 나누지 않는다. 대신, 두 개의 초평면이 점을 분리하고 공간을 분할한다. 그 이유는 공간이 본질적으로 "감싸져" 단일 초평면의 양쪽이 서로 연결되기 때문이다.

5. 응용

볼록 기하학에서 n차원 유클리드 공간의 서로 소인 두 볼록 집합은 초평면으로 분리되며, 이를 초평면 분리 정리라고 한다.^[1]

기계 학습에서 초평면은 서포트 벡터 머신을 만드는 데 핵심적인 도구이며, 컴퓨터 비전 및 자연어 처리 작업에 사용된다. 데이터 포인트와 선형 모델을 통한 예측 값은 초평면이다.

천문학에서 초평면은 일반 상대성 이론과 시공간의 곡률을 고려하여 측지선 또는 중력장에 의해 영향을 받는 경로로 최적화하여 별 시스템, 은하 및 천체 사이의 최단 거리를 계산하는 데 사용될 수 있다.^[4]

5. 1. 기계 학습

초평면은 서포트 벡터 머신을 만드는 데 핵심적인 도구이며, 선형 결합(사각) 결정 트리나 퍼셉트론 등 많은 기계 학습 알고리즘에서 결정 경계를 정의하는 데 사용된다.^[1]

5. 2. 볼록 기하학

볼록 기하학에서, n차원 유클리드 공간에서 서로 소인 두 볼록 집합은 초평면에 의해 분리되며, 이를 초평면 분리 정리라고 한다.^[1]

5. 3. 천문학

천문학에서 초평면은 일반 상대성 이론과 시공간의 곡률을 고려하여 별, 은하 및 천체 사이의 최단 거리( 측지선 )를 계산하는 데 사용될 수 있다.^[4]

6. 이면각

유클리드 공간에서 서로 평행하지 않은 두 초평면이 이루는 각은 그 초평면에 대응하는 법선 벡터가 이루는 각을 말한다. 이 두 초평면에 부수하는 반사의 곱은, 축이 이 두 초평면의 교차점에 포함되는 여차원 2의 부분 공간이 되는 회전 변환이며, 그 회전각은 이들 초평면이 이루는 각의 두 배가 된다.

참조

_[1] 웹사이트 Excerpt from Convex Analysis, by R.T. Rockafellar http://www.u.arizona[...]
_[2] 서적 Projective Geometry: From Foundations to Applications Cambridge University Press
_[3] 문서 Polytopes, Rings and K-Theory by Bruns-Gubeladze
_[4] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] 1971

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