케일리-딕슨 구성

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1. 개요

케일리-딕슨 구성은 가환환 위의 *-대수를 귀납적으로 정의하는 방법으로, 직합과 특수한 곱셈 규칙을 통해 기존 대수의 차원을 두 배로 늘린다. 이 구성은 실수에서 시작하여 복소수, 사원수, 팔원수, 십육원수 등으로 확장되며, 각 단계에서 대수의 성질이 변화한다. 케일리-딕슨 구성은 딕슨에 의해 팔원수를 사원수 위에 구성하는 데 사용되었으며, 일반화된 형태로도 다양한 대수를 생성하는 데 활용된다.

케일리-딕슨 구성

유형	대수 구성
분야	추상대수학
발명가	아서 케일리 레너드 유진 딕슨

상세 정보

목적	낮은 차원의 대수를 사용하여 높은 차원의 대수를 구성
입력	대수 A 스칼라 γ
출력	대수 A
성질	새로운 대수의 성질은 원래 대수 A와 스칼라 γ에 의해 결정됨

예시

시작 대수	실수
반복 횟수	1회: 복소수 2회: 사원수 3회: 팔원수
일반화	하이퍼복소수

관련 항목	대수 구성 대수 프로베니우스 대수 하이퍼복소수

2. 정의

가환환 K가 주어졌을 때, 케일리-딕슨 구성은 K 위의 *-대수를 귀납적으로 정의하는 방법이다. 이 구성은 K-가군, K-가군 준동형, 대합 등의 개념을 사용하여 새로운 대수를 만들어낸다. 케일리-딕슨 구성의 핵심은 직합과 특수한 곱셈 규칙을 통해 기존 대수의 차원을 두 배로 늘리는 것이다.

*-대수와 케일리-딕슨 구성의 자세한 정의는 하위 섹션을 참고하라.

2.1. *-대수

가환환 K가 주어졌을 때, 그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* K-가군 A
* K-가군 준동형 $\star \colon A\otimes_KA \to A$ (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
* K-가군 준동형 $(-)^* \colon A\to A$

이때, $(-)^* \colon A\to A$ 는 다음 두 조건을 만족시키는 준동형이다.

* $(xy)^*=y^*x^*\qquad\forall x,y\in A$
* $x^{$ } = x\qquad\forall x \in A

이러한 구조를 *-대수라고 부른다. *-대수에서 연산 $(-)^*$ 는 대합이라고 불리며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

* $(xy)^* = y^* x^*$
* $x^{$ } = x

2.2. 케일리-딕슨 구성

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자.

그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* $K$ -가군 $A$
* $K$ -가군 준동형 $\star \colon A\otimes_KA \to A$ . (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
* $K$ -가군 준동형 $(-)^* \colon A\to A$ . 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.
** $(xy)^*=y^*x^*\qquad\forall x,y\in A$
$x^{$ } = x\qquad\forall x \in A

또한, $K$ 의 가역원 $\mu \in\operatorname{Unit}(K)$ 이 주어졌다고 하자.

그렇다면, $K$ -가군의 직합 $A\oplus A$ 위에 다음과 같은 $K$ -대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.
: $(x,y)(x',y')=(xx'-\mu y'^*y,y'x+yx'^*)$
: $(x,y)^*=(x^*,-y)$
즉, 새 원소 $i=(0,1)$ 를 추가하며, $(a,b)=a+bi$ 로 쓰면, 모든 $a,b,c\in A$ 에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.
: $ai = ia^*$
: $a(bi) = (ba)i$
: $(ai)b = (ab^*)i$
: $(ai)(bi) = \mu b^* a$
: $i^*=-i$
그렇다면 이는 *-대수 $\operatorname{CD}(A)$ 를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형 $A\to\operatorname{CD}(A)$ 가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 $i \mapsto \alpha i$ 와 같이 재정의할 경우, $\mu \mapsto \mu/\alpha^2$ 가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소 $[\mu] \in \operatorname{Unit}(K) / \operatorname{Unit}(K)^2$ 에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

3. 성질

케일리-딕슨 구성은 각 단계마다 이전 단계의 대수보다 차원이 두 배인 멱결합 대수를 생성하면서 무한대로 계속될 수 있다. 여기에는 64차원의 육십사원수(64-니온), 128차원의 백이십팔원수(128-니온), 256차원의 이백오십육원수(256-니온) 등이 있다. 이 방식으로 체 위에서 생성된 모든 대수는 각 원소가 체의 계수를 갖는 이차 방정식을 만족하는 이차적이다.

1954년 R. D. 셰이퍼는 케일리-딕슨 과정을 통해 생성된 대수가 가변 항등식을 만족한다는 것을 증명했다. 또한 케일리-딕슨 대수의 모든 미분 대수가 특정 체 위의 14차원 리 대수인 케일리 수의 미분 대수와 동형임을 보였다.

3.1. 교환 법칙, 결합 법칙, 교대 대수

유사환 $R$ 위의 대합 대수 $A$ 및 그 케일리-딕슨 대수 $\operatorname{CD}(A)$ 에 대하여, $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $\operatorname{CD}(A)$ 는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

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A의 성질>\| $\operatorname{CD}(A)$ 의 성질
단위원 $1_A\in A$ 을 갖는다	단위원 $1_A+0i$ 를 갖는다
*-조건이 성립	*-조건이 성립
교환 법칙이 성립하며, $^*$ 는 항등 함수	교환 법칙이 성립
교환 법칙·결합 법칙이 성립	결합 법칙이 성립
결합 법칙이 성립하며, *-조건이 성립	교대 대수

여기서 *-조건은 다음과 같다.

* 모든

a,b,c

에 대하여,

0=[a+a^*,b]=[aa^*,b]=(a+a^*,b,c)=(aa^*,b,c)=(b,a+a^*,c)=(b,aa^*,c)=(b,c,a+a^*)=(b,c,aa^*)

여기서

:

[a,b]=ab-ba

(a,b,c)=(ab)c-a(bc)

는 각각 교환자 및 결합자이다.

표수가 2가 아닌 체

K

위의 모든 합성 대수는

K

로부터 0번 ~ 3번 (

\mu

를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 합성 대수는

K

자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

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케일리-딕슨 대수 성질
대수	차원	순서	곱셈 성질				자명하지 않음. 영인자
대수	차원	순서	가환	결합	교대	멱 결합	자명하지 않음. 영인자
실수	1	예	예	예	예	예	아니요
복소수	2	아니요	예	예	예	예	아니요
사원수	4	아니요	아니요	예	예	예	아니요
팔원수	8	아니요	아니요	아니요	예	예	아니요
십육원수	16	아니요	아니요	아니요	아니요	예	예
삼십이원수 이상	≥ 32	아니요

3.2. 합성 대수

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A의 성질>\| $\operatorname{CD}(A)$ 의 성질
단위원 $1_A\in A$ 을 갖는다	단위원 $1_A+0i$ 를 갖는다
*-조건이 성립	*-조건이 성립
교환 법칙이 성립하며, $^*$ 는 항등 함수	교환 법칙이 성립
교환 법칙·결합 법칙이 성립	결합 법칙이 성립
결합 법칙이 성립하며, *-조건이 성립	교대 대수

여기서

*

-조건은 다음과 같다.

* 모든

a,b,c

에 대하여,

0=[a+a^*,b]=[aa^*,b]=(a+a^*,b,c)=(aa^*,b,c)=(b,a+a^*,c)=(b,aa^*,c)=(b,c,a+a^*)=(b,c,aa^*)

여기서

:

[a,b]=ab-ba

(a,b,c)=(ab)c-a(bc)

는 각각 교환자 및 결합자이다.

표수가 2가 아닌 체

K

위의 모든 합성 대수는

K

로부터 0번 ~ 3번 (

\mu

를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 합성 대수는

K

자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

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케일리-딕슨 대수 성질
대수	차원	순서	곱셈 성질				자명하지 않음. 영인자
대수	차원	순서	가환	결합	교대	멱 결합	자명하지 않음. 영인자
실수	1	예	예	예	예	예	아니요
복소수	2	아니요	예	예	예	예	아니요
사원수	4	아니요	아니요	예	예	예	아니요
팔원수	8	아니요	아니요	아니요	예	예	아니요
십육원수	16	아니요	아니요	아니요	아니요	예	예
삼십이원수 이상	≥ 32	아니요	아니요	아니요	아니요	예	예

4. 실수 대수의 구성 단계

실수 $\mathbb R$ 에서 시작하여 케일리-딕슨 구성을 적용하면 다음과 같은 대수들을 얻을 수 있다.

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\| 이름 \|\| 성질
$\mathbb R$	실수	교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재
$\mathbb C=\operatorname{CD}(\mathbb R)$	복소수	교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재
$\mathbb H=\operatorname{CD}(\mathbb C)$	사원수	결합 법칙 · *-조건 · 단위원 존재
$\mathbb O=\operatorname{CD}(\mathbb H)$	팔원수	교대 대수 · *-조건 · 단위원 존재
$\mathbb S=\operatorname{CD}(\mathbb O)$	십육원수	*-조건 · 단위원 존재

이 대수들은 곱셈과 호환되는 노름

\|\cdot\|\colon\operatorname{CD}^n(\mathbb R)\to[0,\infty)

을 가진다.

케일리-딕슨 대수의 성질은 다음 표와 같다.

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케일리-딕슨 대수 성질
대수	차원	순서	곱셈 성질				자명하지 않음. 영인자
대수	차원	순서	가환	결합	교대	멱 결합	자명하지 않음. 영인자
실수	1	예	예	예	예	예	아니요
복소수	2	아니요	예	예	예	예	아니요
사원수	4	아니요	아니요	예	예	예	아니요
팔원수	8	아니요	아니요	아니요	예	예	아니요
십육원수	16	아니요	아니요	아니요	아니요	예	예
삼십이원수 이상	≥ 32	아니요	아니요	아니요	아니요	예	예

케일리-딕슨 구성은 레너드 딕슨이 팔원수가 사원수 위에 2차원 대수로 구성될 수 있음을 보이기 위해 고안했다. 체 F에서 시작하여 이 구성을 통해 2ⁿ 차원의 F-대수열을 생성한다.

케일리-딕슨 구성에서 두 요소 (a, b)와 (c, d)의 곱은 다음과 같이 정의된다.

:

(a,b) \times (c,d) = (ac - d^*b, da + bc^*).

이 곱셈은 다음과 같은 성질을 갖는다.

*명제 1:

z = (a,b)

및

w = (c,d)

에 대해 곱의 켤레는

w^*z^* = (zw)^*

이다.
*명제 2: F-대수가 결합적이고

N(z) = zz^*

인 경우,

N(zw) = N(z)N(w)

이다.

팔원수 이후의 대수로는 십육원수, 삼십이원수 등이 있으며, 케일리-딕슨 구성은 각 단계마다 이전 단계 대수의 두 배 차원을 갖는 멱결합 대수를 생성하며 계속될 수 있다.

4.1. 복소수

복소수는 실수 a^영어, b^영어의 순서쌍 (a, b)로 나타낼 수 있으며, 덧셈은 각 성분별로 계산하고, 곱셈은 다음과 같이 정의한다.

: $(a, b) (c, d) = (a c - b d, a d + b c).$

두 번째 성분이 0인 복소수는 실수와 대응되는데, 복소수 (a, 0)는 실수 a^영어와 같다.

켤레 복소수 (a, b)*는 다음과 같이 정의한다.

: $(a, b)^* = (a, -b)$

a^영어는 실수이고 자기 자신의 켤레 복소수이기 때문이다.

켤레 복소수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

: $(a, b)^* (a, b) = (a^2 + b^2, 0)$

이는 음이 아닌 실수이다. 이러한 방식으로, 켤레 복소수는 노름을 정의하여 복소수를 실수 위에서의 노름 벡터 공간으로 만든다. 복소수 z^영어의 노름은 다음과 같다.

: $|z| = \left(z^* z\right)^\frac12.$

또한, 0이 아닌 모든 복소수 z^영어에 대해 켤레 복소수는 곱셈 역원을 제공한다.

: $z^{-1} = \frac{z^*}{|z|^2}.$

복소수는 두 개의 독립적인 실수로 구성되므로, 실수를 기준으로 2차원 벡터 공간을 형성한다.

복소수는 더 높은 차원을 가질 뿐만 아니라, 실수가 자기 자신의 켤레 복소수라는 실수의 대수적 성질을 잃었다고 할 수 있다.

4.2. 사원수

사원수 곱셈의 케일리 Q8 그래프. i (빨간색), j (녹색), k (파란색)의 곱셈 주기를 보여준다.

사원수는 두 개의 복소수 , 의 순서쌍 (a, b)로 표현할 수 있다. 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

(a, b) (c, d) = (a c - d^* b, d a + b c^*).

이 공식은 약간 다르게 표현될 수도 있지만, 결과적으로는 부호의 차이를 제외하고 동일한 구조를 가진다.

순서쌍 (a, b)의 켤레 는 다음과 같이 정의된다.

:

(a, b)^* = (a^*, -b).

이 연산은 복소수의 켤레 연산을 확장한 것이다. 만약 와 가 복소수의 실수 부분에서 가져온다면, 켤레 연산은 아무런 영향을 주지 않으므로 복소수의 연산과 동일하다.

0이 아닌 사원수와 그 켤레의 곱은 항상 0보다 크거나 같은 실수이다.

:

\begin{align} (a, b)^* (a, b) &= (a^*, -b) (a, b) \\ &= (a^* a + b^* b, b a^* - b a^*) \\ &= \left(|a|^2 + |b|^2, 0 \right). \end{align}

이러한 성질 덕분에 사원수는 노름과 역원을 가지는, 실수와 유사한 대수를 이룬다. 사원수는 1843년 해밀턴에 의해 발견되었다.

사원수는 두 개의 독립적인 복소수로 구성되므로, 실수에 대한 4차원 벡터 공간을 형성한다.

사원수의 곱셈은 실수의 곱셈과 달리 교환 법칙이 성립하지 않는다. 즉, 두 사원수 , 에 대해 는 항상 참이 아니다.

4.3. 팔원수

사원수 p와 q의 순서쌍 (p, q)를 만들고, 곱셈과 켤레를 다음과 같이 정의한다.

: $(p, q) (r, s) = (p r - s^* q, s p + q r^*).\,$

사원수는 교환 가능하지 않기 때문에 곱셈 공식에서 인수의 순서가 중요하다. 만약 곱셈 공식의 마지막 인수가 $qr^*$ 대신 $r^*q$ 였다면, 원소와 그 켤레의 곱이 실수가 되지 않았을 것이다.

켤레 연산은 모든 0이 아닌 원소의 노름과 곱셈 역원을 생성한다.

이 대수는 1843년 존 T. 그레이브스에 의해 발견되었으며, 팔원수 또는 "케일리 수"라고 불린다.

팔원수는 두 개의 독립적인 사원수로 구성되므로, 실수체 위의 8차원 벡터 공간을 형성한다.

팔원수의 곱셈은 사원수의 곱셈보다 훨씬 더 특이하다. 교환 가능하지 않을 뿐만 아니라, 결합 법칙도 성립하지 않는다. 즉, p, q, r이 팔원수일 때, $(pq)r=p(qr)$ 가 항상 참인 것은 아니다. 이러한 비결합성 때문에 팔원수는 행렬 표현을 갖지 않는다.

4.4. 십육원수와 그 이후의 대수

팔원수 다음 대수는 십육원수이다. 십육원수는 멱결합성은 유지하지만, 교대 대수의 성질을 잃어 합성 대수가 될 수 없다.

십육원수 다음 대수는 삼십이원수이며, 32차원의 체 위의 대수를 실수에 걸쳐 형성하며, $\mathbb T$ 로 나타낼 수 있다.

케일리-딕슨 구성은 각 단계마다 이전 단계 대수의 두 배 차원을 갖는 멱결합 대수를 생성하면서 무한대로 계속될 수 있다. 여기에는 64차원의 육십사원수, 128차원의 백이십팔원수, 256차원의 이백오십육원수 등이 있으며 무한대로 계속된다.

5. 일반화된 케일리-딕슨 구성

레너드 딕슨은 팔원수가 사원수 위에 2차원 대수로 어떻게 구성될 수 있는지를 보여주기 위해 케일리-딕슨 구성을 고안했다. 체 F에서 시작하여, 이 구성은 2ⁿ 차원의 F-대수열을 생성한다. n = 2인 경우, 사원수 대수라고 하는 결합 대수이며, n = 3인 경우, 팔원수 대수라고 하는 교대 대수이다.

n = 1인 경우는 F × F의 요소 (a, b)로 시작하고 켤레 (a, b)*를 (a*, –b)로 정의하며, 여기서 a* = a (n = 1인 경우)이고, 이후 공식에 의해 결정된다. F-대수의 본질은 두 요소 (a, b)와 (c, d)의 곱의 정의에 있다.
:(a,b) × (c,d) = (ac - d*b, da + bc*).
명제 1: z = (a,b) 및 w = (c,d)에 대해 곱의 켤레는 w*z* = (zw)*이다.
:증명: (c*,-d)(a*,-b) = (c*a* + b*(-d), -bc*-da) = (zw)*.
명제 2: F-대수가 결합적이고 N(z) = zz*인 경우, N(zw) = N(z)N(w).
:증명: N(zw) = (ac-d*b, da+bc*)(c*a*-b*d, -da -bc*) = (aa* + bb*)(cc* + dd*) + 결합 속성에 의해 상쇄되는 항.

알베르트(Albert, 1942)는 약간의 일반화를 통해, 별-대수 A ( (xy)* = y*x*을 만족하는)에 대해 B = A ⊕ A 상에서 곱셈과 대합을 다음과 같이 정의했다.

:(p, q) (r, s) = (p r - γ s* q, s p + q r*),
:(p, q)* = (p*, -q)

여기서 γ는 모든 원소와의 왼쪽 및 오른쪽 곱셈과 *과 교환하는 가법 사상이다. (실수 위에서는 모든 γ의 선택이 −1, 0 또는 1과 동등하다.) 이 구성에서 A는 다음과 같은 의미를 갖는 대합을 가진 대수이다.

* A는 +에 대해 아벨 군이다.
* A는 +에 대해 왼쪽 및 오른쪽 분배되는 곱셈을 가진다.
* A는 대합 *를 가지며, (x*)* = x, (x + y)* = x* + y*, (xy)* = y*x*을 만족한다.

케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수 B = A ⊕ A 역시 대합을 가진 대수이다.

B는 다음과 같이 A로부터 성질을 변경 없이 상속받는다.

* 만약 A가 항등원 1_A를 가진다면, B는 항등원 (1_A, 0)를 가진다.
* 만약 A가 x + x*, xx*가 모든 원소와 결합하고 교환한다는 성질을 가진다면, B도 그러하다. 이 성질은 모든 원소가 가환 결합적 별-대수를 생성함을 의미하므로, 특히 대수는 멱결합적이다.

A의 다른 성질은 B의 더 약한 성질을 유도한다.

* 만약 A가 가환적이고 자명한 대합을 가진다면, B는 가환적이다.
* 만약 A가 가환적이고 결합적이라면, B는 결합적이다.
* 만약 A가 결합적이고 x + x*, xx*가 모든 것과 결합하고 교환한다면, B는 얼터너티브 대수이다.

6. 수정된 케일리-딕슨 구성

케일리-딕슨 구성에서 곱셈 정의의 마이너스 부호를 플러스 부호로 바꾸면 다음과 같은 곱셈 규칙을 얻는다.

:(a, b) (c, d) = (a c + d* b, d a + b c*).

이 수정된 구성을 실수 실수에 적용하면 분할 복소수를 얻는다. 분할 복소수는 환 동형이며 직접 곱 R × R과 같다.

다음 단계로, 수정된 케일리-딕슨 구성을 적용하면 2 × 2 실수 행렬의 결합 대수와 동형인 분할 사원수를 얻는다.

마지막으로 한 번 더 구성을 적용하면 분할 팔원수가 생성된다.

원래 케일리-딕슨 구성을 분할 복소수에 적용해도 역시 분할 사원수와 분할 팔원수를 얻게 된다.

7. 역사

아서 케일리와 레너드 유진 딕슨이 도입하였다. 케일리-딕슨 구성은 각 단계마다 이전 단계의 대수보다 차원이 두 배인 멱결합 대수를 생성하면서 무한대로 계속될 수 있다. 여기에는 64차원의 육십사원수(또는 64-니온), 128차원의 백이십팔원수(또는 128-니온), 256차원의 이백오십육원수(또는 256-니온) 등이 있으며 무한대로 계속된다. 이 방식으로 체 위에서 생성된 모든 대수는 이차적이다. 즉, 각 원소는 체의 계수를 갖는 이차 방정식을 만족한다.

1954년, R. D. 셰이퍼는 체 F에 대해 케일리-딕슨 과정을 통해 생성된 대수가 가변 항등식을 만족한다는 것을 증명했다. 그는 또한 케일리-딕슨 대수의 모든 미분 대수가 체 F 위의 14차원 리 대수인 케일리 수의 미분 대수와 동형임을 증명했다.