선형 변환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 핵과 상
4. 행렬 표현
- 4.1. 기저 변환
5. 예시
- 5.1. 유클리드 공간에서의 선형 변환
6. 선형 사상의 공간
- 6.1. 자기 동형 사상
7. 응용
8. 연속성
참조

1. 개요

선형 변환은 체 K 위의 두 벡터 공간 V, W 사이의 함수 T: V → W로, 가법성(T(u+v) = T(u) + T(v))과 1차 동차성(T(av) = aT(v))을 만족한다. 선형 변환은 선형 결합을 보존하며, 두 벡터 공간 V, W 사이의 선형 변환이 이루는 벡터 공간은 hom(V, W) 또는 L(V, W)로 표기한다. 선형 변환은 영벡터를 영벡터로, 덧셈 역원을 덧셈 역원으로 변환하며, 핵과 상은 부분 벡터 공간을 이룬다. 선형 변환은 행렬로 표현될 수 있으며, 기저 변환에 따라 행렬 표현이 달라진다. 선형 변환은 기하학적 변환, 컴퓨터 그래픽스, 컴파일러 최적화 등 다양한 분야에 응용된다. 위상 벡터 공간에서의 선형 변환은 연속성을 가질 수 있으며, 노름 선형 공간에서의 선형 연산자는 유계인 경우에만 연속이다.

2. 정의

체 $K$ 위의 두 벡터 공간 $V$ , $W$ 사이의 함수 $T\colon V\to W$ 가 다음 조건들을 만족하면 '''선형 변환'''이라고 한다. 이 조건들은 서로 동치이다.

다음 두 조건을 만족시킨다.
가법성: 임의의 두 벡터 $u,v\in V$ 에 대하여, $T(u+v)=T(u)+T(v)$
동차성 (1차 동차성): 임의의 스칼라 $a\in K$ 및 벡터 $v\in V$ 에 대하여, $T(av)=aT(v)$

이 두 성질은 선형 변환이 벡터 공간의 기본 연산인 덧셈과 스칼라 곱셈을 '보존'한다는 것을 의미한다. 즉, 벡터들을 더하거나 스칼라를 곱한 뒤 변환을 적용한 결과는, 각 벡터를 먼저 변환한 뒤 더하거나 스칼라를 곱한 결과와 같다.

위의 두 조건은 다음 조건들과 동치이다.

임의의 스칼라 $a\in K$ 및 두 벡터 $u,v\in V$ 에 대하여, $T(au+v)=aT(u)+T(v)$
임의의 자연수 $m\in\mathbb N$ 및 스칼라들 $a_1,a_2,\ldots,a_m\in K$ 및 벡터들 $v_1,v_2,\dotsc,v_m\in V$ 에 대하여,
: $T(a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m)=a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\cdots+a_mT(v_m)$

이 마지막 조건은 선형 변환이 벡터들의 선형 결합을 보존한다는 중요한 성질을 보여준다.^[4]^[5]

벡터 공간

V

와

W

의 영벡터를 각각

\mathbf{0}_V

와

\mathbf{0}_W

라고 표시하면, 모든 선형 변환

T

는

V

의 영벡터를

W

의 영벡터로 보낸다. 즉,

T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W

가 성립한다. 이는 동차성 조건

T(av)=aT(v)

에서 스칼라

a=0

을 대입하면

T(\mathbf{0}_V) = T(0\mathbf{v}) = 0T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W

이기 때문이다.

두 벡터 공간

V,W

사이의 모든 선형 변환들의 집합은 그 자체로 벡터 공간을 이루며, 이 공간을

\hom(V,W)

또는

L(V,W)

와 같이 표기한다. 만약 시작 공간과 도착 공간이 같은 경우, 즉

V=W

일 때,

V

에서

V

로 가는 선형 변환들의 집합은 단위 결합 대수 구조를 가지며,

\hom(V)

또는

L(V)

로 나타낸다.

벡터 공간

V

에서 그 벡터 공간이 정의된 체

K

자체로 가는 선형 변환

T\colon V\to K

는 특별히 '''선형 범함수'''(linear functional, linear form^영어)라고 부른다.^[6] 이러한 선형 범함수들이 이루는 벡터 공간을

V

의 '''쌍대 공간'''이라고 하며

V^*

로 표기한다.

용어 사용에 있어서 '선형 변환', '선형 사상', '선형 연산자', '선형 작용소', '선형 범함수' 등은 문맥에 따라 약간씩 다르게 사용되기도 한다.

'선형 사상'은 종종 '선형 변환'과 완전히 같은 의미로 사용된다.
'선형 연산자' 또는 '선형 작용소'는 특히 함수해석학 분야에서 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 지칭할 때 자주 쓰인다.
어떤 문헌에서는 정의역과 공역이 동일한 선형 변환( $T: V \to V$ )만을 '선형 변환', '선형 연산자', '선형 작용소' 등으로 한정하고, 일반적인 경우( $T: V \to W$ )는 '선형 사상'이라고 구분하여 부르기도 한다.
스칼라 값(체 $K$ 의 원소)을 결과로 내는 선형 사상( $T: V \to K$ )을 '선형 범함수' 또는 '일차 형식'(linear form, one-form^영어)이라고 부르기도 한다.

추상대수학의 용어를 사용하면, 선형 변환은 벡터 공간의 대수적 구조(덧셈과 스칼라 곱셈 연산)를 보존하는 준동형 사상으로 볼 수 있다. 또한, 고정된 체

K

위의 모든 벡터 공간들과 그 사이의 모든 선형 변환들은 하나의 범주를 형성한다.

선형 변환을 정의할 때 어떤 체

K

위에서 다루는지가 중요하다. 예를 들어, 복소수 전체의 집합

\mathbb{C}

는

\mathbb{C}

위에서는 1차원 벡터 공간이지만, 실수 전체의 집합

\mathbb{R}

위에서는 2차원 벡터 공간이다. 각 복소수에 그 켤레복소수를 대응시키는 변환(

z \mapsto \bar{z}

)은

\mathbb{R}

위에서는 선형 변환(즉,

\mathbb{R}

-선형)이지만,

\mathbb{C}

위에서는 선형 변환(

\mathbb{C}

-선형)이 아니다.

3. 성질

체 $K$ 위의 두 벡터 공간 $V$ , $W$ 사이의 선형 변환 $T\colon V\to W$ 는 다음과 같은 기본적인 성질들을 만족시킨다.

영벡터는 항상 영벡터로 대응된다. 즉, $T(0_V)=0_W$ 이다. 여기서 $0_V$ 는 $V$ 의 영벡터, $0_W$ 는 $W$ 의 영벡터를 의미한다.
벡터의 덧셈 역원( $-v$ )의 상은 상의 덧셈 역원( $-T(v)$ )과 같다. 즉, $T(-v) = -T(v)$ 이다.
선형종속인 벡터들의 집합 $S \subseteq V$ 의 상 $T(S)$ 역시 선형 종속이다. 이는 상의 계수가 원래 집합의 계수보다 클 수 없음을 의미한다 ( $\operatorname{rank}T(S)\le\operatorname{rank}S$ ).
핵 $\ker T$ 는 정의역 $V$ 의 부분 벡터 공간을 이룬다.
상 $T(V)$ 는 공역 $W$ 의 부분 벡터 공간을 이룬다.
선형 변환 $T$ 가 단사 함수일 필요충분조건은 핵이 영벡터 하나만으로 이루어진 집합, 즉 $\ker T=\{0_V\}$ 인 것이다.
선형 변환 $T$ 가 전사 함수일 필요충분조건은 상이 공역 전체와 같은 것, 즉 $T(V)=W$ 인 것이다.
만약 $V$ 와 $W$ 가 유한 차원 벡터 공간이고 차원이 같다면( $\dim V=\dim W$ ), $T$ 가 단사 함수인 것, 전사 함수인 것, 전단사 함수인 것은 서로 동치이다.

두 벡터 공간

V,W

사이에 전단사 선형 변환이 존재하기 위한 필요충분조건은 두 공간의 차원이 같은 것(

\dim V=\dim W

)이다. 이러한 전단사 선형 변환

T

를 동형 사상이라고 부르며, 이 경우 역사상

T^{-1}\colon W \to V

이 존재하고 이 역사상 역시 선형 변환(즉, 동형 사상)이 된다.^[17]

선형 변환은 정의역 벡터 공간의 기저에서의 값만으로 완전히 결정된다. 구체적으로,

V

의 기저

B

가 주어졌을 때, 기저의 각 벡터를

W

의 벡터로 보내는 임의의 함수

B\to W

에 대해, 이 함수를 확장하는 유일한 선형 변환

V\to W

가 존재한다.

선형 변환들은 다음과 같은 대수적 연산에 대해 닫혀 있다.

'''점별 덧셈 및 스칼라 곱셈''': 두 선형 변환 $T,U\colon V\to W$ 와 스칼라 $a\in K$ 에 대하여, 각 벡터 $v \in V$ 에 대해 $(T+U)(v) := T(v) + U(v)$ 와 $(aT)(v) := a(T(v))$ 로 정의된 함수 $T+U$ 와 $aT$ 역시 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 변환이다.
'''합성''': 두 선형 변환 $T\colon V\to W$ 와 $U\colon W\to Z$ 에 대하여, 이들의 합성 $UT := U \circ T \colon V\to Z$ 는 $V$ 에서 $Z$ 로 가는 선형 변환이다.
'''역함수''': 전단사 선형 변환(동형 사상) $T\colon V\to W$ 에 대하여, 그 역함수 $T^{-1}\colon W\to V$ 역시 선형 변환(동형 사상)이다.

이러한 연산들은 다음과 같은 성질들을 만족한다.

덧셈의 교환법칙: $T+U=U+T$
덧셈의 결합법칙: $(T+U)+R=T+(U+R)$
분배법칙: 스칼라 $a,b,c,d\in K$ 와 선형 변환 $T,U\colon V\to W$ , $R,S\colon W\to Z$ 에 대하여, $(cR+dS)(aT+bU)=acRT+adST+bcRU+bdSU$ 가 성립한다.

이 성질들로 인해,

V

에서

W

로 가는 모든 선형 변환의 집합

\hom(V,W)

(또는

L(V,W)

)는 점별 덧셈과 스칼라 곱셈 연산에 대해 벡터 공간을 형성한다. 특히,

V

에서 자기 자신으로 가는 선형 변환(이를 선형 연산자라고도 한다)들의 집합

\hom(V)

(또는

L(V)

)는 점별 덧셈, 스칼라 곱셈, 함수 합성에 대해 단위 결합 대수라는 더 풍부한 대수적 구조를 가진다.

3. 1. 핵과 상

선형 변환

f: V \to W

가 주어졌을 때,

f

의 '''핵'''(kernel^영어)과 '''상'''(image^영어 또는 치역)은 다음과 같이 정의된다.

\begin{align}\ker(f) &= \{\,\mathbf x \in V: f(\mathbf x) = \mathbf 0_W\,\} \\\operatorname{im}(f) &= \{\,\mathbf w \in W: \mathbf w = f(\mathbf x), \mathbf x \in V\,\}\end{align}

여기서

\mathbf 0_W

는 벡터 공간

W

의 영벡터이다. 즉, 핵은

f

에 의해

W

의 영벡터로 사상되는

V

의 모든 벡터들의 집합이고, 상은

V

의 모든 벡터들의

f

에 의한 상(결과값)들의 집합이다.

핵

\ker(f)

는 정의역

V

의 부분 공간이고, 상

\operatorname{im}(f)

는 공역

W

의 부분 공간이다. 핵의 차원

\dim(\ker(f))

은

f

의 '''퇴화 차수'''(nullity^영어)라고 하며,

\operatorname{nul}(f)

또는

\nu(f)

로 표기한다.^[13]^[14] 상의 차원

\dim(\operatorname{im}(f))

은

f

의 '''계수'''(rank^영어)라고 하며,

\operatorname{rank}(f)

또는

\rho(f)

로 표기한다.^[13]^[14]

만약

V

가 유한 차원 벡터 공간이라면, 핵의 차원과 상의 차원 사이에는 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 '''계수-퇴화 차수 정리'''라고 한다.^[12]

\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V )

즉, 퇴화 차수와 계수의 합은 정의역 벡터 공간의 차원과 같다.

핵과 상은 선형 변환

f

의 성질과 밀접하게 연관된다.

$f$ 가 단사 함수일 필요충분조건은 핵이 영벡터만으로 이루어진 집합, 즉 $\ker(f) = \{\mathbf 0_V\}$ (또는 $\operatorname{nul}(f) = 0$ )인 것이다.
$f$ 가 전사 함수일 필요충분조건은 상이 공역 전체, 즉 $\operatorname{im}(f) = W$ (또는 $\operatorname{rank}(f) = \dim(W)$ )인 것이다.

선형 변환

f: V \to W

의 '''여핵'''(cokernel^영어)은 공역

W

를 상

\operatorname{im}(f)

로 나눈 몫공간으로 정의된다.

\operatorname{coker}(f) := W/\operatorname{im}(f).

여핵은 핵과 쌍대적인 개념으로 볼 수 있다. 핵이 정의역의 부분 공간인 것과 달리, 여핵은 공역의 몫 공간이다. 여핵은 선형 변환

f

가 전사 함수로부터 얼마나 "벗어나는지"를 측정하는 척도로 생각할 수 있다. 즉,

f

가 전사 함수일 필요충분조건은 여핵이 영공간, 즉

\operatorname{coker}(f) = \{0\}

(또는

\dim(\operatorname{coker}(f)) = 0

)인 것이다.

유한 차원 벡터 공간의 경우, 여핵의 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\dim(\operatorname{coker}(f)) = \dim(W) - \dim(\operatorname{im}(f)) = \dim(W) - \operatorname{rank}(f)

선형 방정식

f(\mathbf{v}) = \mathbf{w}

의 해를 구하는 관점에서 보면,

핵 $\ker(f)$ 는 동차 방정식 $f(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W$ 의 해 공간이며, 핵의 차원(퇴화 차수)은 해가 존재할 경우 해의 자유도를 나타낸다.
여핵 $\operatorname{coker}(f)$ 는 방정식의 해가 존재하기 위해 $\mathbf{w}$ 가 만족해야 하는 제약 조건을 나타내는 공간으로 해석할 수 있으며, 여핵의 차원은 독립적인 제약 조건의 개수를 의미한다.

4. 행렬 표현

벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 유한 차원이고 각 공간에 기저가 주어져 있다면, $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 선형 변환은 행렬로 나타낼 수 있다.^[9] 이는 선형 변환을 구체적으로 계산하고 다루는 데 매우 유용하다. 예를 들어, 실수 성분을 가지는 $m \times n$ 행렬 $A$ 가 주어졌을 때, $f(\mathbf x) = A \mathbf x$ 는 '''R'''ⁿ에서 '''R'''^m으로 가는 선형 변환을 정의한다(유클리드 공간 참조).

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 의 순서 기저를 각각 $B_V=\{v_1,\dotsc,v_n\}$ , $B_W=\{w_1,\dotsc,w_m\}$ 라고 하자. 선형 변환 $T\colon V\to W$ 에 대해, $T$ 의 $B_V,B_W$ 에 대한 행렬 표현 $[T]_{B_V,B_W}$ 은 다음 조건을 만족하는 유일한 $m\times n$ 행렬 $M$ 이다.

$V$ 의 기저 벡터 $v_j$ 각각에 대해, 그 변환 결과 $T(v_j)$ 를 $W$ 의 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타냈을 때의 계수들을 $j$ 번째 열벡터로 가진다. 즉,

:

T(v_j)=\sum_{i=1}^m M_{ij}w_i \qquad(j=1,\ldots,n)

이를 행렬 형태로 쓰면 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}T(v_1)&T(v_2)&\cdots&T(v_n)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w_1&w_2&\cdots&w_m\end{pmatrix} M

이 행렬 $M = [T]_{B_V,B_W}$ 을 이용하면, 임의의 벡터 $v \in V$ 의 좌표 벡터 $[v]_{B_V}$ 를 통해 그 변환 결과 $T(v)$ 의 좌표 벡터 $[T(v)]_{B_W}$ 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

[T(v)]_{B_W} = [T]_{B_V,B_W} [v]_{B_V}

선형 변환에 대한 여러 연산(덧셈, 스칼라 곱셈, 합성, 역함수)은 행렬 표현에서도 그대로 보존된다. 세 유한 차원 벡터 공간

V,W,Z

와 각각의 순서 기저

B_V,B_W,B_Z

에 대해 다음이 성립한다.

덧셈과 스칼라 곱셈: 스칼라 $a,b\in K$ 와 선형 변환 $T,U\colon V\to W$ 에 대해,

:

[aT+bU]_{B_V,B_W} = a[T]_{B_V,B_W} + b[U]_{B_V,B_W}

합성: 선형 변환 $T\colon V\to W$ 와 $U\colon W\to Z$ 에 대해,

:

[UT]_{B_V,B_Z} = [U]_{B_W,B_Z} [T]_{B_V,B_W}

(여기서 우변은 행렬 곱셈이다.)

역함수: 전단사 선형 변환 $T\colon V\to W$ 에 대해, 그 역함수 $T^{-1}\colon W\to V$ 도 선형 변환이며,

:

[T^{-1}]_{B_W,B_V} = [T]_{B_V,B_W}^{-1}

(여기서 우변은 행렬의 역행렬이다.)

이러한 성질 때문에, 벡터 공간

V,W

의 차원이 각각

n,m

일 때, 선형 변환들의 벡터 공간

\hom(V,W)

는 행렬들의 벡터 공간

\operatorname{Mat}(m,n;K)

와 동형이다. 특히, 자기 선형 변환의 공간

\hom(V)

는 정사각 행렬 공간

\operatorname{Mat}(n;K)

와 결합 대수로서 동형이다.

하나의 선형 변환이라도 어떤 기저를 선택하는지에 따라 다른 행렬로 표현될 수 있다. 서로 다른 기저에 대한 행렬 표현들은 서로 동치 행렬 관계에 있으며, 특히 정의역과 공역이 같은 선형 변환(

T: V \to V

)의 경우 서로 다른 기저에 대한 행렬 표현은 서로 닮음 행렬 관계에 있다. 기저 변환과 행렬 표현 사이의 구체적인 관계는 #기저 변환 섹션에서 더 자세히 다룬다.

다음은 2차원 실수 벡터 공간 '''R'''²에서 표준 기저

\{(1,0), (0,1)\}

에 대한 몇 가지 기본적인 선형 변환과 그 행렬 표현의 예시이다.

'''²에서의 선형 변환 행렬의 예'''

변환 설명	행렬 표현
시계 반대 방향으로 90도 회전	$\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
시계 반대 방향으로 각도 θ만큼 회전	$\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
x 축에 대한 반사	$\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
y 축에 대한 반사	$\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
원점을 중심으로 모든 방향으로 2배 확대	$\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}$
압착 변환 (x축 방향 k배, y축 방향 1/k배)	$\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}$
수평 방향 전단 변환 (기울기 m)	$\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
y 축으로의 투영	$\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

4. 1. 기저 변환

벡터 공간

V

와

W

사이의 선형 변환

T: V \to W

를 행렬로 표현하는 방식은

V

와

W

의 기저를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환에서, 서로 다른 기저에 대한 행렬 표현은 서로 동치 행렬이다.

구체적으로,

V

의 두 순서 기저

B_V, B_V'

와

W

의 두 순서 기저

B_W, B_W'

가 주어졌다고 하자. 선형 변환

T

는 기저 쌍

(B_V, B_W)

에 대해 행렬

M = [T]_{B_V, B_W}

으로 표현되고, 기저 쌍

(B_V', B_W')

에 대해 행렬

N = [T]_{B_V', B_W'}

으로 표현될 수 있다.

이때 두 행렬

M

과

N

사이의 관계는 기저 변환을 통해 설명할 수 있다.

V

의 기저

B_V

에서

B_V'

으로의 기저 변환 행렬(추이 행렬)을

P

라 하고,

W

의 기저

B_W

에서

B_W'

으로의 기저 변환 행렬을

Q

라고 하자. 이 행렬들은 가역 행렬이며, 각각

B_V'

의 벡터들을

B_V

의 벡터들의 선형 결합으로,

B_W'

의 벡터들을

B_W

의 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 때의 계수들을 열벡터로 갖는 행렬이다. 즉, 임의의 벡터

v \in V

에 대해 좌표 벡터 관계

[v]_{B_V} = P [v]_{B_V'}

가 성립하고, 임의의 벡터

w \in W

에 대해

[w]_{B_W} = Q [w]_{B_W'}

가 성립한다. (원본 소스에서는 이 변환을 나타내는 전단사 선형 변환

U_{B_V, B_V'}: V \to V

,

U_{B_W, B_W'}: W \to W

와 그 행렬

[U_{B_V, B_V'}]_{B_V}=P

,

[U_{B_W, B_W'}]_{B_W}=Q

를 사용하였다.)

새로운 기저

(B_V', B_W')

에 대한

T

의 행렬

N = [T]_{B_V', B_W'}

은 기존 기저

(B_V, B_W)

에 대한 행렬

M = [T]_{B_V, B_W}

과 다음과 같은 관계를 가진다.

:

N = Q^{-1} M P

이 관계식에서 두 행렬

M

과

N

은 서로 동치 행렬이다.

특히, 정의역과 공역이 같은 선형 변환

T: V \to V

이고, 기저를

B

에서

B'

으로 동일하게 변경하는 경우를 생각해보자. 즉,

V=W

,

B_V=B_W=B

,

B_V'=B_W'=B'

이다. 이때 기저

B

에서

B'

으로의 기저 변환 행렬을

P

라고 하면 (

[v]_B = P [v]_{B'}

),

T

의 두 기저에 대한 행렬

M = [T]_B

와

N = [T]_{B'}

사이의 관계는 다음과 같다.^[18]

:

N = P^{-1} M P

이 경우 두 행렬

M

과

N

은 서로 닮음 행렬 관계에 있다고 한다.

5. 예시

체 $K$ 및 그 위의 벡터 공간 $V$ , $W$ 가 주어졌을 때, 선형 변환의 예는 다음과 같다.

항등 변환 $\operatorname{id}\colon V\to V$ , $v\mapsto v$ 는 선형 변환이다. 임의의 기저에 대한 행렬 표현은 단위 행렬이다.
스칼라 $c\in K$ 의 곱셈 $c\cdot\colon V\to V$ , $v\mapsto cv$ 는 선형 변환이다. 임의의 기저에 대한 행렬 표현은 스칼라 행렬이다. 더 일반적으로, 닮음 변환(homothety) $\mathbf{v} \mapsto c\mathbf{v}$ (단, $c$ 는 스칼라)는 벡터 공간의 원점을 중심으로 하는 선형 변환이다.
모든 벡터를 영벡터로 대응시키는 영 변환 $0\colon V\to W$ , $v\mapsto0_W$ 는 선형 변환이다. 임의의 기저에 대한 행렬 표현은 영행렬이다.
행렬 $M\in\operatorname{Mat}(m,n;K)$ 의 왼쪽 곱셈 $M\cdot\colon K^n\to K^m$ , $x\mapsto Mx$ 는 선형 변환이다. 표준 기저에 대한 행렬 표현은 $M$ 자신이다. 사실, 이는 $K^n$ , $K^m$ 사이의 선형 변환의 유일한 유형이다. 즉, 유한 차원 벡터 공간 사이의 모든 선형 변환은 행렬 곱셈으로 표현될 수 있다. (관련 내용은 행렬 표현 참조)
실수 집합 위의 선형 변환은 정비례 함수 $f(x) = ax$ (단, $a$ 는 상수) 형태이다. 이 함수의 그래프는 원점을 지나는 직선이다.^[7]
반면, 실수 함수 $f(x) = x^2$ 는 선형 변환이 아니다.
실수 함수 $f(x) = x + 1$ 은 선형 변환이 아니다. 선형 변환은 영벡터를 영벡터로 보내야 하지만, $f(0)=1$ 이기 때문이다. (하지만 아핀 변환이다.)
2차원 유클리드 공간 $\mathbb R^2$ 위의 선형 변환은 실수 2 × 2 행렬의 왼쪽 곱셈으로 표현할 수 있다. 주요 예시로는 회전, 반사, 확대/축소, 전단, 투영 등이 있다. (자세한 내용은 아래 참조)
$f: V \to W$ 가 $f(0) = 0$ 을 만족하는 실수 노름 공간 사이의 등거리 변환이라면 $f$ 는 선형 변환이다. (단, 복소수 노름 공간에서는 성립하지 않을 수 있다.)
미분 연산 $\frac{d}{dx}$ 는 미분 가능한 함수들의 벡터 공간에서 모든 함수들의 벡터 공간으로 가는 선형 변환이다. 즉, $\frac{d}{dx} \left( a f(x) + b g(x) \right) = a \frac{d f(x)}{dx} + b \frac{d g( x)}{dx}$ 가 성립한다.
특정 구간 $I$ 에서의 정적분 $\int_u^v f(x) dx$ 는 구간 $I$ 에서 적분 가능한 함수들의 벡터 공간에서 실수 $\mathbb{R}$ 로 가는 선형 변환이다. 즉, $\int_u^v \left(af(x) + bg(x)\right) dx = a\int_u^v f(x) dx + b\int_u^v g(x) dx$ 가 성립한다.
부정적분(원시함수)은 적분 상수로 인해 일반적으로 선형 변환이 아니지만, 적분 시작점을 고정하면 선형 변환으로 볼 수 있다.
확률 변수의 기댓값 $E$ 는 선형 변환이다. 즉, 확률 변수 $X, Y$ 와 스칼라 $a$ 에 대해 $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ 및 $E[aX] = aE[X]$ 가 성립한다. (단, 분산은 선형이 아니다.)

5. 1. 유클리드 공간에서의 선형 변환

2차원 유클리드 공간

\mathbb R^2

위의 선형 변환은 실수 2 × 2 행렬의 왼쪽 곱셈으로 표현할 수 있다. 주요 예시는 다음과 같다.

회전
시계 반대 방향 90도 회전: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$
시계 반대 방향 90도 회전
시계 반대 방향 ''θ'' 각도 회전: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ (예: ''θ''=135°
시계 반대 방향 135도 회전
)
반사
''x'' 축에 대한 반사: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$
x축에 대한 반사
''y'' 축에 대한 반사: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
원점을 지나고 ''x''축과 ''θ'' 각도를 이루는 선에 대한 반사: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix}$
확대/축소
모든 방향으로 2배 확대: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}$
모든 방향에서 2배 확대
전단
수평 전단 (''x''축 방향): $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ (예: ''m''=1
x축 방향 수평 전단
)
''y'' 축을 ''θ'' 각도만큼 기울이기: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -\sin\theta\\ 0 & \cos\theta\end{pmatrix}$
압착 사상 (squeeze mapping|압착 사상^영어 또는 hyperbolic rotation|쌍곡 회전^영어): $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}$ (예: ''k''=3
압착 사상 또는 쌍곡 회전
)
투영
''y'' 축으로의 투영: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
y축으로의 투영

이러한 선형 변환 중 회전, 반사, 그리고 모든 방향으로 동일한 비율로 크기를 조절하는 균일 확대/축소만으로 구성된 변환을 등각 선형 변환이라고 한다.

6. 선형 사상의 공간

체 $K$ 위의 두 벡터 공간 $V$ , $W$ 가 주어졌을 때, $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 선형 변환의 집합을 $\hom_K(V,W)$ 또는 $\mathcal{L}(V, W)$ 등으로 표기한다.^[10]^[11] 이 집합은 다음과 같은 연산에 대해 $K$ 위의 벡터 공간을 이룬다.

'''점별 덧셈''': 두 선형 변환 $T, U \colon V \to W$ 에 대해, 합 $T+U \colon V \to W$ 는 모든 $\mathbf{x} \in V$ 에 대해 $(T+U)(\mathbf{x}) = T(\mathbf{x}) + U(\mathbf{x})$ 로 정의된다.
'''점별 스칼라 곱셈''': 선형 변환 $T \colon V \to W$ 와 스칼라 $a \in K$ 에 대해, 스칼라 곱 $aT \colon V \to W$ 는 모든 $\mathbf{x} \in V$ 에 대해 $(aT)(\mathbf{x}) = a(T(\mathbf{x}))$ 로 정의된다.

이렇게 정의된 합

T+U

와 스칼라 곱

aT

역시 선형 변환이 되며, 이 연산들에 대해

\hom_K(V,W)

는 벡터 공간의 공리를 만족한다.

특별히

V = W

인 경우, 즉

V

에서

V

자신으로 가는 선형 변환(이를 자기 준동형 사상이라고도 한다)들의 집합은

\operatorname{End}_K(V)

또는

\mathcal{L}(V)

등으로 표기한다. 이 공간은 위의 벡터 공간 구조에 더하여 함수 합성 연산을 갖는다. 두 선형 변환

T, U \in \operatorname{End}_K(V)

의 합성

UT \colon V \to V

역시 선형 변환이며, 이 합성 연산은 결합 법칙을 만족한다. 따라서

\operatorname{End}_K(V)

는 점별 덧셈, 점별 스칼라 곱셈, 그리고 함수 합성을 곱셈 연산으로 갖는

K

위의 단위 결합 대수를 이룬다. 이때 항등 사상

\operatorname{id}_V \colon V \to V

가 이 대수의 곱셈 항등원 역할을 한다.

벡터 공간

V

에서 체

K

자체로 가는 선형 변환

T\colon V\to K

을 '''선형 범함수'''(linear functional^영어)라고 하며, 이들의 벡터 공간

\hom_K(V,K)

를

V

의 '''쌍대 공간'''이라 하고

V^*

로 표기한다.

추상대수학의 관점에서 보면, 주어진 체

K

위의 모든 벡터 공간들은 대상을 이루고, 그 사이의

K

-선형 변환들은 사상을 이루어 범주를 형성한다. 이를

K\text{-}\mathbf{Vect}

등으로 표기한다. 선형 변환의 합성은 사상의 합성에 해당하며, 전단사 선형 변환(즉, 동형 사상)의 역함수 역시 선형 변환이다.

6. 1. 자기 동형 사상

동형사상이면서 자기사상인 선형 변환

f: V \to V

를 벡터 공간

V

의 '''자기동형사상'''(automorphism)이라고 한다. 두 자기동형사상의 합성은 다시 자기동형사상이 되며,

V

의 모든 자기동형사상의 집합은 군을 이룬다. 이 군을

V

의 '''자기동형군'''이라 하며,

\operatorname{Aut}(V)

또는

\operatorname{GL}(V)

로 표기한다.

자기동형사상은 합성 연산에 대해 역원을 갖는 자기사상이다. 따라서 자기동형군

\operatorname{Aut}(V)

는 자기준동형환

\operatorname{End}(V)

의 가역원군(group of units)이다.

만약

V

가 유한한

n

차원 벡터 공간이라면, 자기동형군

\operatorname{Aut}(V)

는 체

K

상의

n \times n

가역 행렬들로 이루어진 일반 선형군

\operatorname{GL}(n, K)

와 군 동형이다.

7. 응용

선형 변환은 다양한 분야에서 활용된다. 대표적인 응용 분야는 기하학적 변환으로, 특히 컴퓨터 그래픽스에서 2차원 또는 3차원 객체의 이동, 회전, 크기 조절 등을 변환 행렬을 이용하여 수행하는 데 사용된다.

또한 선형 변환은 변화를 설명하는 메커니즘으로도 사용된다. 예를 들어, 미적분학에서는 도함수에 해당하며, 상대성 이론에서는 기준 좌표계의 국소적인 변환을 추적하는 데 활용된다.

이 외에도 컴파일러 최적화나 병렬 컴파일러 기술 분야에서도 중첩된 반복문 코드의 최적화 등에 선형 변환이 응용된다.

8. 연속성

위상 벡터 공간, 예를 들어 노름 공간 사이의 ''선형 변환''은 연속일 수 있다. 만약 정의역과 공역이 동일하다면, 이는 연속 선형 연산자가 된다. 노름 선형 공간에서의 선형 연산자는 유계인 경우에만 연속적이다. 예를 들어, 정의역이 유한 차원인 선형 변환은 항상 유계이고 따라서 연속이다.^[16] 하지만 무한 차원 정의역을 가지는 경우에는 불연속 선형 연산자가 존재할 수 있다.

일반적으로 무한 차원 벡터 공간을 다룰 때는 공간에 추가적인 구조로서 위상이 정의되는 경우가 많으며, 이러한 공간에서는 선형 사상의 연속성을 고려할 수 있다. 유한 차원 공간 상의 선형 사상은 반드시 연속이므로, 불연속 선형 작용소의 개념은 특히 무한 차원의 경우에 의미를 가진다.

바나흐 공간과 같은 노름 선형 공간에서는, 선형 사상이 노름이 정하는 거리에 관해 연속이 되는 것과, 그 노름에 관해 유계가 되는 것이 서로 동치인 조건이다.

유계가 아니어서 불연속인 선형 변환의 예로는 상한 노름을 갖춘 매끄러운 함수의 공간에서 미분 연산을 들 수 있다. 함수 값 자체는 작더라도 그 도함수의 값은 매우 커질 수 있기 때문이다(물론, 값이 0인 상수 함수의 도함수는 0이다). 구체적인 예를 들면, 함수열 sin(''nx'')/''n'' 은 ''n''이 커짐에 따라 0으로 수렴하지만, 각 함수의 도함수인 cos(''nx'')는 그렇지 않다. 이는 미분 연산이 0에서 연속이 아님을 보여주며, 비슷한 논리를 통해 다른 점에서도 연속이 아님을 알 수 있다.

또한, 노름 공간 ''X'' 상의 미분 가능 함수 전체가 이루는 공간 ''C''¹(''X'') 에 상한 노름을 부여하고 생각할 때, 함수의 미분은 작용소로서 유계가 아니다. 즉, 함수의 값이 충분히 작더라도 도함수의 값은 매우 커질 수 있다. 더불어, 미분 가능한 함수의 도함수가 반드시 미분 가능하지는 않으므로, 미분 연산자의 공역(미분 결과가 속하는 공간)이 정의역(원래 함수 공간)보다 더 클 수 있고, 이 또한 미분 연산자가 연속이 되지 않는 이유가 된다.

참조

_[1] 서적 1976
_[2] 서적 2004
_[3] 서적 1991
_[4] 서적 1991
_[5] 서적 1976
_[6] 서적 1991
_[7] 웹사이트 terminology - What does 'linear' mean in Linear Algebra? https://math.stackex[...] 2021-02-17
_[8] 문서 Extension of a function
_[9] 서적 1976
_[10] 서적 2015
_[11] 서적 2011
_[12] 서적 2013
_[13] 서적 2008
_[14] 서적 1974
_[15] 간행물 Index theory
_[16] 서적 1991
_[17] 서적 Linear Algebra Cambridge University Press 2018
_[18] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971

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