프레셰 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

프레셰 공간은 국소 볼록 공간의 한 종류로, 두 가지 정의가 존재한다. 첫 번째 정의는 평행 이동 불변 거리 함수를 사용하여 위상을 정의하고, 이 거리 함수에 대해 완비 거리 공간인 공간으로 정의한다. 두 번째 정의는 반노름의 가산 집합을 사용하여 위상을 정의하며, 하우스도르프 공간이면서 모든 코시 열이 수렴하는 공간을 프레셰 공간으로 정의한다. 프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이며, 함수해석학의 여러 중요한 정리가 성립하지만, 역함수 정리는 일반적으로 성립하지 않는다. 매끄러운 함수 공간, 정칙 함수 공간, 수열 공간 등이 프레셰 공간의 예시이며, 모리스 르네 프레셰의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

프레셰 공간은 평행 이동 불변 거리를 사용하는 방법과 반노름의 가산족을 사용하는 방법, 두 가지 방법으로 정의할 수 있다.

위상 선형 공간 ''X''가 프레셰 공간이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

구분	조건
1	X는 국소 볼록이다.
2	X의 위상은 평행 이동 불변 거리에서 유도된다.
3	X는 이 거리 함수에 대해 완비 거리 공간이다.

프레셰 공간에는 자연스러운 거리 개념이 없으며, 여러 다른 평행 이동 불변 거리가 동일한 위상을 유도할 수 있다는 점에 주의해야 한다.^[2]

더 실용적인 정의는 다음과 같다. 위상 선형 공간 ''X''가 프레셰 공간이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

구분	조건
1	X는 하우스도르프 공간이다.
2	X의 위상은 반노름의 가산족 ‖∙‖_k (k = 0,1,2,…)에서 유도된다.
3	X는 이 반노름족에 관해 완비이다.

반노름으로 정의된 프레셰 공간 ''X''에서, ''X'' 내의 점렬 (''x_n'')이 ''x''에 수렴하는 것과, 해당 점렬이 주어진 각 반노름에 대해 ''x''에 수렴하는 것은 동치이다.

반노름 ǁ ⋅ ǁ은 벡터 공간 ''X''에서 실수 집합으로의 함수로, 임의의 벡터 ''x'', ''y''와 스칼라 ''c''에 대해 다음 세 조건을 만족한다.

: $\|x\| \geq 0,$

: $\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|,$

: $\|c\cdot x\| = |c| \|x\|$

만약 ǁ''x''ǁ = 0 이 ''x'' = 0을 유도한다면 ǁ ⋅ ǁ는 노름이 되지만, 프레셰 공간 구성에는 반노름이 더 유용하다.

프레셰 공간을 구성할 때는, 벡터 공간 ''X''와 ''X'' 위의 반노름족 ǁ ⋅ ǁ_''k''가 다음 두 성질을 만족하는 것으로부터 시작한다.

''x'' ∈ ''X''가 모든 ''k'' ≥ 0에 대해 ǁ''x''ǁ_''k'' = 0을 만족한다면 ''x'' = 0이다.
''X'' 내의 점렬 (''x''_''n'')이 각 반노름 ǁ ⋅ ǁ_''k''에 관해 코시 열을 이룬다면, (''x_n'')이 각 반노름 ǁ ⋅ ǁ_''k''에 관해 ''x''에 수렴하는 ''x'' ∈ ''X''가 존재한다.

이때, 이러한 반노름에서 유도되는 위상에 의해 ''X''는 프레셰 공간이 된다. 전자는 하우스도르프성을, 후자는 완비성을 각각 보장한다.

2. 1. 거리 함수를 통한 정의

국소 볼록 공간

X

가 다음 조건을 만족하면 '''프레셰 공간'''이라고 한다.

$X$ 의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다.
이 거리 함수에 대하여 $X$ 는 완비 거리 공간이다.

여기서 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다. 이는 프레셰 공간의 두 점 사이에 자연스러운 거리 개념이 없으며, 여러 다른 평행 이동 불변 거리가 동일한 위상을 유도할 수 있기 때문이다.^[2]

위상 벡터 공간

X

가 프레셰 공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지를 만족하는 것이다.

# 국소 볼록이다.

# 그 위상은 병진 불변 거리, 즉 모든

x, y, z \in X

에 대해

d(x, y) = d(x + z, y + z)

를 만족하는 거리

d : X \times X \to \R

에 의해 '''유도될 수 있다'''. 이는

X

의 부분 집합

U

가 열린 집합이 되기 위한 필요충분 조건은 모든

u \in U

에 대해

\{v : d(v, u) < r\}

가

U

의 부분 집합이 되도록 하는

r > 0

이 존재한다는 것을 의미한다.

#

X

의 위상을 유도하는

X

상의 모든 (또는 동등하게, 어떤) 병진 불변 거리는 완비이다.

2. 2. 반노름을 통한 정의

실수 벡터 공간

X

위에 반노름들의 가산 집합

:

\|\cdot\|_i\colon X \to [0,\infty)\qquad(i\in I)

이 주어졌다고 하자.

이 반노름 집합에 대하여 다음 조건들을 고려할 수 있다.

㈎ $I$ 로 유도되는 위상 공간은 하우스도르프 공간이다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $\forall i\in I\colon \|x\|_i = 0$ 이라면, $x = 0$ 이다.
㈏ $I$ 는 가산 집합이다.
㈐ $I$ 로 유도되는 위상에서, 모든 코시 열이 수렴한다.

만약 위상 벡터 공간

X

의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면,

X

는 하우스도르프 국소 볼록 공간이다. 만약

X

의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면,

X

를 '''프레셰 공간'''이라고 한다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다.

다음은 프레셰 공간에 대한 더 실용적인 정의이다. 위상 벡터 공간

X

는 다음 세 가지 속성을 만족하는 경우에만 '''프레셰 공간'''이다.

# 하우스도르프 공간이다.

# 그 위상은 가산 개의 세미 노름

(\|\cdot\|_k)_{k \in \N_0}

에 의해 유도될 수 있다.

# 세미 노름 집합에 대해 완비이다.

프레셰 공간에서 세미 노름 집합에 의해 정의된 수열

\left(x_n\right)_{n \in \N}

이

x

로 수렴하는 것은 주어진 각 세미 노름에 대해

x

로 수렴하는 것과 동치이다.

세미노름

\|\cdot\|

은 벡터 공간

X

에서 실수의 집합으로 가는 함수로, 모든

x, y \in X

및 모든 스칼라

c

에 대해 다음 세 가지 속성을 만족한다.

:

\|x\| \geq 0

:

\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|

:

\|c\cdot x\| = |c|\|x\|

만약

\| x\| = 0 \iff x = 0

이면,

\|\cdot\|

는 실제로 노름이다.

프레셰 공간을 구성하려면 일반적으로 벡터 공간

X

에서 시작하여 다음과 같은 두 가지 속성을 가진 가산 개의 세미노름

\|\cdot\|_k

를

X

에 정의한다.

만약 $x \in X$ 이고 모든 $k \geq 0$ 에 대해 $\|x\|_k = 0$ 이면, $x = 0$ 이다.
만약 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 가 각 세미노름 $\|\cdot\|_k$ 에 대해 코시 수열인 $X$ 의 수열이면, 각 세미노름 $\|\cdot\|_k$ 에 대해 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 가 $x$ 로 수렴하는 $x \in X$ 가 존재한다.

그러면 이러한 세미노름에 의해 유도된 위상은

X

를 프레셰 공간으로 만든다. 첫 번째 속성은 하우스도르프 공간임을 보장하고, 두 번째 속성은 완비성을 보장한다.

X

에 동일한 위상을 유도하는 병진 불변 완비 거리는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

d(x,y)=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad x, y \in X.

2. 3. 정의 사이의 관계

프레셰 공간의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름 열

\|-\|_{k\in\mathbb N}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

X

위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다.

:

d(x,y) = \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad (\forall x, y \in X)

이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.

# 함수

a \mapsto a/(1+a)

는 구간

[0,\infty)

를

[0,1)

에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.

# 따라서, 각 반노름에 위 연산을 취하여,

d_k(x,y) = \|x-y\|_k / (1+\|x-y\|_k) \in [0,1)

을 정의한다.

# 이 반노름을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수

2^{-k}

를 삽입한다.

X

에 동일한 위상을 유도하는 병진 불변 완비 거리는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

d(x,y)=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad x, y \in X.

함수

u \mapsto \frac{u}{1 + u}

는

[0, \infty)

를

[0, 1)

로 단조롭게 매핑하므로, 위 정의에서

d(x, y)

가 "작다"는 것은 "큰"

K

가 존재하여

k = 0, \ldots, K

에 대해

\|x - y\|_k

가 "작다"는 것과 동치이다.

프레셰 공간은 평행 이동 불변 거리를 사용하는 방법과 반노름의 가산족을 사용하는 방법, 두 가지 방법으로 정의될 수 있다.

위상 선형 공간 ''X''가 '''프레셰 공간'''이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

구분	조건
1	X는 국소 볼록이다.
2	X의 위상은 평행 이동 불변 거리에서 유도된다.
3	X는 앞서 언급한 d에 관해 완비 거리 공간이다.

프레셰 공간의 두 점 사이의 거리로 자연스러운 것은 존재하지 않으며, 많은 다른 평행 이동 불변 거리가 동일한 위상을 유도할 수 있다는 점에 주의해야 한다.

더 실용적인 정의는 다음과 같다. 위상 선형 공간 ''X''가 '''프레셰 공간'''이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

구분	조건
1	X는 하우스도르프 공간이다.
2	X의 위상은 반노름의 가산족 ‖∙‖_k (k = 0,1,2,…)에서 유도된다.
3	X는 이 반노름족에 관해 완비이다.

반노름족으로 정의된 프레셰 공간 ''X''에서, ''X'' 내의 점렬 (''x_n'')이 ''x''에 수렴하는 것과, 해당 점렬이 주어진 반노름의 각 항에 관해 ''x''에 수렴하는 것은 동치이다.

반노름 ǁ ⋅ ǁ은 벡터 공간 ''X''에서 실수 전체의 집합으로의 사상으로, 임의의 벡터 ''x'', ''y''와 스칼라 ''c''에 대해 다음 세 조건을 만족한다.

: $\|x\| \geq 0,$

: $\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|,$

: $\|c\cdot x\| = |c| \|x\|$

ǁ''x''ǁ = 0이 ''x'' = 0을 유도한다면 ǁ ⋅ ǁ는 노름이 되지만, 프레셰 공간의 구성을 가능하게 한다는 점에서 반노름이 더 유효하다.

프레셰 공간을 구성할 때는, 벡터 공간 ''X''와 ''X'' 위의 반노름족 ǁ ⋅ ǁ_''k''가 다음 두 성질을 만족하는 것으로부터 시작한다.

점 ''x'' ∈ ''X''가 모든 ''k'' ≥ 0에 대해 ǁ''x''ǁ_''k'' = 0을 만족한다면 ''x'' = 0이다.
''X'' 내의 점렬 (''x''_''n'')이 각 반노름 ǁ ⋅ ǁ_''k''에 관해 코시 열을 이룬다면, (''x_n'')이 각 반노름 ǁ ⋅ ǁ_''k''에 관해 ''x''에 수렴하는 ''x'' ∈ ''X''가 존재한다.

이때, 이러한 반노름으로부터 유도되는 위상에 의해 ''X''는 프레셰 공간이 된다. 반노름에 관한 조건의 전자는 하우스도르프성을, 후자는 완비성을 각각 보장한다.

3. 성질

프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다. 프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들(한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등)이 성립한다. 프레셰 공간에서는 (바나흐 공간과 달리) 역함수 정리가 일반적으로 성립하지 않는다.^[4]

프레셰 공간의 닫힌 부분 공간, 닫힌 부분 공간에 대한 몫공간, 유한 개의 프레셰 공간의 직접 합은 모두 프레셰 공간이다. 가산 개수의 프레셰 공간의 곱은 항상 다시 프레셰 공간이다. 그러나 프레셰 공간의 임의의 곱은 공간이 자명할 때(즉, 차원이 0일 때) 그리고 그 경우에만 프레셰 공간이 된다.^[5]

베어 범주 정리를 기반으로 하는 함수 해석학의 몇 가지 중요한 도구는 프레셰 공간에서도 유효하다. 예로는 닫힌 그래프 정리와 열린 사상 정리가 있다.

프레셰 공간에서 다른 위상 벡터 공간(TVS)으로의 모든 유계 선형 연산자는 연속이다.

모든 프레셰 공간은 고정 관념 공간이다. 고정 관념 공간 이론에서 프레셰 공간은 브라우너 공간의 쌍대 객체이다.

반사 프레셰 공간의 강한 쌍대 공간은 본노름 공간이며 Ptak 공간이다. 모든 프레셰 공간은 Ptak 공간이다.

4. 예

모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이다. 노름은 평행 이동 불변 거리를 유도하고, 노름이 유도하는 거리에 관하여 완비이기 때문이다.

모든 실수열의 $\R^{\omega}$ (또는 $\R^{\N}$ 으로 표기)는 수열의 $k$ 번째 준노름을 수열의 $k$ 번째 원소의 절댓값으로 정의하면 프레셰 공간이 된다. 이 프레셰 공간에서의 수렴은 원소별 수렴과 동치이다.

$m$ -회 연속적 미분 가능 함수 ƒ: '''R''' → '''R''' 전체로 구성된 벡터 공간 ''C''^''m''('''R''')은, 음이 아닌 정수 ''n'' ≥ 0 및 ''k'' = 0, …,''m''으로 첨자화된 반노름족

: $\|f\|_{k, n} = \sup \{ |f^{(k)}(x)| : x \in [-n, n] \}$

에 의해 프레셰 공간이 된다.

''M''을 콤팩트 ''C''^∞-다양체, ''B''를 바나흐 공간이라고 하면, 무한 계 미분 가능 사상 ƒ: ''M'' → ''B'' 전부로 구성된 집합 ''C''^∞(''M'', ''B'')는, 각 함수의 임의의 편도함수의 노름의 상한을 반노름으로 하여 프레셰 공간이 된다. 또한, ''M''이 (반드시 콤팩트가 아닌) ''C''^∞-다양체이고, 콤팩트 부분 집합으로 이루어진 가산 열 ''K''_''n''으로 덮어지는(따라서 ''M''의 임의의 콤팩트 부분 집합이 적어도 하나의 ''K''_''n''에 포함된다) 경우, 각 공간 ''C''^''m''(''M'', ''B'') 및 ''C''^∞(''M'', ''B'')는 자연스러운 방식으로 프레셰 공간이 된다.

''M''을 콤팩트 ''C''^∞-다양체, ''V''를 ''M'' 위의 벡터 다발로 하고, ''M'' 위에 정의된 ''V''의 매끄러운 절단 전체로 구성된 공간을 ''C''^∞(''M'', ''V'')로 나타낸다. 접다발 ''TM'' 및 다발 ''V'' 위의 (존재가 보장된) 리만 계량 및 접속을 선택하고 고정한다. 절단 ''s''와 그 ''j''-계 공변 도함수 ''D''^''j''''s''에 대하여

: $\|s\|_n = \sum_{j=0}^n \sup_{x\in M}|D^js|$

(우변의 |⋅|는 리만 계량이 유도하는 노름)로 정하면, 이 반노름족에 관하여 ''C''^∞(''M'', ''V'')는 프레셰 공간이 된다.

정함수(가우스 평면상 어디에서나 정칙인 함수) 전체로 구성된 벡터 공간 ''H''는, 다음 반노름족에 의해 프레셰 공간이 된다.

: $\|f\|_{n} = \sup \{ |f(z)| : |z| \le n \}$

지수형 τ의 정함수 전체 공간을 ''H''라고 하면, 다음 반노름족에 의해 ''H''는 프레셰 공간이 된다.

: $\|f\|_{n} = \sup_{z \in \mathbb{C}}\,\exp\!\left(-\left(\tau + \frac{1}{n}\right)|z|\right)|f(z)|$

완비인 평행 이동 불변 거리를 가진 벡터 공간의 모두가 프레셰 공간이 되는 것은 아니다. 예를 들어, ''p'' < 1에 대한 ''L''^''p''([0, 1])는 국소 볼록이 아니므로 프레셰 공간이 아니다(F공간이 된다).

4. 1. 매끄러운 함수 공간

매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

의

l

번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합은 실수 프레셰 공간을 이룬다. 특히, 매끄러운 함수의 공간

\mathcal C^\infty(M, \mathbb R^n)

은 프레셰 공간이다.

E

의 벡터 다발 접속

\nabla

,

M

의 리만 계량

g

,

E

의 양의 정부호 계량

\eta

를 임의로 고르면,

\Gamma^\infty(E)

위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.

:

\left(\|s\|_{n,k}\right)^2 = \sup_{y\in K_n} \eta_{ab} g^{i_1j_1}g^{i_2j_2} \dotsm g^{i_kj_k}(\nabla_{i_1}\nabla_{i_2} \dotsm \nabla_{i_n}s^a)(\nabla_{j_1}\nabla_{j_2} \dotsm \nabla_{j_n}s^b)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;k\in\mathbb N

이를 통해

\Gamma^l(E)

는 프레셰 공간을 이룬다. 이 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.

4. 2. 정칙 함수 공간

복소평면 위의 정칙 함수

f \colon \mathbb C \to \mathbb C

의 집합에 다음과 같은 반노름을 부여하면, 이 집합은 프레셰 공간을 이룬다.

:

\|f\|_n = \sup_

4. 3. 수열 공간

바나흐 공간|바나흐 공간^한국어

B

가 주어졌을 때, 모든

B

값의 수열의 공간

B^{\mathbb N}

을 생각하자.

이 공간 위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

:

\|a\|_n = \|a_n\|_B

이 위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다.

4. 4. 역함수 정리의 실패

매끄러운 함수들의 프레셰 공간

X = \mathbb C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)

을 생각하자. 함수

T \colon X \to X

를

T \colon f \mapsto \exp \circ f

로 정의하면, 임의의

f\in X

에서

T

는 미분 가능하며, 그 미분은 가역 선형 변환이다.

하지만

T

의 치역은 양의 실수로만 구성된 매끄러운 함수들의 집합이다.

:

\operatorname{im}T = \{f\in X\colon \forall x\in \mathbb R\colon f(x)>0\}

X

의 기저는 다음과 같은 꼴의 집합들로 구성된다.

:

B_{f,n,N,\epsilon} = \left\{g\in X\colon \max_{k\le N}\max_{-n\le x\le n} |f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)| < \epsilon \right\}\qquad(\epsilon\in\mathbb R^+,\;f\in X,\;n,N\in\mathbb N)

따라서

X

의 열린집합 가운데

T

의 치역의 부분 집합인 것은 공집합 밖에 없다. 즉,

T

의 역함수는 열린집합에서 정의될 수 없으므로, 역함수 정리가 성립하지 않는다.

5. 역사

모리스 르네 프레셰의 이름을 따서 지어졌다.

참조

_[1] 문서 Cauchy sequence in Topological vector space
_[2] 문서 Fréchet space definition
_[3] 서적 1990
_[4] 논문 On topological spaces and topological groups with certain local countable networks https://arxiv.org/pd[...] 2014
_[5] 논문 On topological spaces and topological groups with certain local countable networks https://arxiv.org/pd[...] 2014
_[6] 웹사이트 The dual of a Fréchet space. https://math.stackex[...] 2012-02-24
_[7] 서적 2010
_[8] 서적 1986
_[9] 서적 Functional Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991
_[10] 서적 Topological vector spaces, distributions and kernels Academic Press 1967

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