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해석적 수론

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목차

1. 개요

해석적 수론은 정수의 덧셈 및 곱셈 구조와 관련된 문제를 다루는 수론의 한 분야이다. 소수의 분포를 연구하는 곱셈적 정수론과 정수의 가법적 구조를 다루는 가법적 정수론으로 나뉜다. 곱셈적 정수론은 소수 정리와 같이 소수의 분포를 다루며, 가법적 정수론은 골드바흐 추측 및 와링 문제와 관련이 있다. 해석적 수론은 디리클레 급수 및 리만 제타 함수와 같은 분석적 도구를 사용하여 정수론적 문제를 해결하며, 소수 정리, 와링 문제 해결 등 다양한 분야에 기여했다.

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해석적 수론

2. 해석적 수론의 분야

해석적 수론은 해결하려는 문제의 유형에 따라 크게 두 가지 주요 분야로 나눌 수 있다.[1]


  • 곱셈적 정수론: 소수의 분포를 다루며, 소수 정리와 디리클레의 등차수열 소수 정리 등을 포함한다.
  • 가법적 정수론: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이라는 골드바흐 추측과 같이 정수의 가법적 구조와 관련이 있다. 와링 문제가 가법적 정수론의 주요 결과 중 하나이다.[3]

2. 1. 곱셈적 정수론

소수의 분포를 다루며, 소수 정리와 디리클레의 등차수열 소수 정리를 포함한다.[2] 주어진 구간 안에 소수가 얼마나 존재하는지, 특정한 조건을 만족하는 소수의 개수는 얼마나 되는지 등을 연구한다.

유클리드는 소수가 무한히 많다는 것을 보였다. 이후, 주어진 수보다 작은 소수가 대략 얼마나 되는지, 즉 소수의 점근적 분포를 구하는 문제가 중요해졌다. 가우스는 방대한 소수 목록을 계산한 후, 큰 수 ''N''보다 작거나 같은 소수의 개수가 다음 적분 값에 가깝다고 추측했다.

:\int^N_2 \frac{1}{\log t} \, dt.

1859년 베른하르트 리만은 복소해석학과 리만 제타 함수를 사용하여 실수 ''x''보다 작거나 같은 소수의 개수에 대한 해석적 식을 유도했다. 리만의 공식에서 주요 항은 위 적분과 일치했고, 이는 가우스의 추측에 힘을 실어주었다. 리만은 소수 분포 방식이 제타 함수의 복소수 영점과 밀접하게 관련되어 있음을 발견했다.

자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레 푸생은 리만의 아이디어와 제타 함수의 영점에 대한 정보를 이용하여 가우스의 추측을 증명하였다. 이들은

:\pi(x) = (\text{소수의 개수 }\leq x),

일 때,

:\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.

임을 보였다. 이 결과는 ''소수 정리''로 알려져 있으며, 해석적 수론의 핵심 결과이다. 소수 정리에 따르면, 큰 수 ''N''이 주어졌을 때, ''N''보다 작거나 같은 소수의 개수는 대략 ''N''/log(''N'')이다.

일반적으로, 임의의 정수 ''n''에 대한 등차수열 ''a+nq''에 있는 소수의 개수를 구하는 문제를 생각할 수 있다. 오일러 피 함수(\phi)를 이용하여, ''a''와 ''q''가 서로소일 때,

:\pi(x, a, q) = (\text {소수의 개수 } \leq x \text{ such that } p \text{ is in the arithmetic progression } a + nq, n \in \mathbf Z),

:\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x,a,q)\phi(q)}{x/\log x} = 1.

이 성립한다.

쌍둥이 소수 추측과 같이 증명이 어려운 추측도 있다. 엘리엇-할버스탐 추측을 가정하면, ''p'' + ''k''가 소수인 소수 ''p''가 무한히 많다는 것이 증명되었다(최대 12인 짝수 ''k'').

2. 2. 가법적 정수론

가법적 정수론은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이라는 골드바흐 추측과 같이 정수의 덧셈 구조와 관련된 문제들을 다룬다.[3] 가법적 정수론의 주요 결과 중 하나는 와링 문제의 해답이다.[3]

가법적 정수론에서 가장 중요한 문제 중 하나는 와링 문제인데, 이는 임의의 ''k'' ≥ 2에 대해 모든 양의 정수를 제한된 개수의 ''k''제곱의 합으로 나타낼 수 있는지 묻는 문제이다.

:n=x_1^k+\cdots+x_\ell^k.

제곱의 경우, 즉 ''k'' = 2인 경우, 1770년에 라그랑주가 해결하였으며, 모든 양의 정수가 최대 네 개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 증명했다. 일반적인 경우는 1909년에 힐베르트가 대수적 기법을 사용하여 증명했지만, 명시적인 경계를 제공하지 못했다. 중요한 돌파구는 하디와 리틀우드가 해석적 도구를 문제에 적용한 것이다. 이러한 기법은 하디-리틀우드 원 방법으로 알려져 있으며, 필요한 ''k''제곱의 최소 개수인 함수 ''G''(''k'')에 대한 명시적인 상한을 제공하며, 비노그라도프의 경계는 다음과 같다.

:G(k)\leq k(3\log k+11).

3. 역사

해석적 수론의 역사는 소수 정리와 깊은 관련이 있다. 요한 페터 구스타프 르죈 디리클레는 해석적 수론의 창시자로 여겨진다.[4] 그는 1837년 디리클레의 산술 수열 정리를 발표하면서 디리클레 지표와 디리클레 L-함수를 도입했다.[4][5]

1848년과 1850년 사이, 파프누티 체비쇼프는 소수 분포의 점근 법칙을 증명하려 시도했다. 그의 연구는 리만 제타 함수를 사용한 것으로, 베른하르트 리만의 연구보다 앞선다.[7]

베른하르트 리만은 리만 제타 함수를 연구하여 소수 분포를 이해하는 데 중요한 공헌을 했다. 그는 리만 가설을 포함한 여러 추측을 제시했다.[9]

자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레푸생은 리만의 아이디어를 확장하여 1896년에 소수 정리를 독립적으로 증명했다.[10]

3. 1. 소수 정리 연구

해석적 수론의 많은 부분은 소수 정리에서 영감을 받았다. 소수 계량 함수 π(''x'')는 임의의 실수 ''x''에 대해 ''x''보다 작거나 같은 소수의 개수를 나타낸다. 예를 들어, 10보다 작거나 같은 소수는 2, 3, 5, 7로 4개이므로, π(10) = 4이다. 소수 정리는 ''x'' / ln(''x'')가 π(''x'')의 좋은 근사값임을 나타내는데, 이는 두 함수 π(''x'')와 ''x'' / ln(''x'')의 몫의 극한이 ''x''가 무한대로 갈 때 1이라는 의미이다.

:\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,

이는 소수의 분포에 대한 점근 법칙으로 알려져 있다.

아드리앵마리 르장드르와 카를 프리드리히 가우스는 π(''x'')가 ''x'' / ln(''x'')에 근사한다는 추측을 제시했다.[18] 페터 구스타프 르죈 디리클레는 로그 적분 li(''x'')을 이용한 근사 함수를 제시했다.[4] 파프누티 체비쇼프는 소수 분포의 점근 법칙을 증명하려 시도했으며, 점근 법칙의 약한 형태를 증명하고, 베르트랑의 공준을 증명했다.[7] 베른하르트 리만은 리만 제타 함수를 연구하고 소수 분포를 이해하는 데 중요한 함수의 성질을 추측했다. 리만 가설이 그중 하나이다.[9] 자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레푸생은 리만 제타 함수가 특정 조건을 만족하는 복소수에 대해 0이 아님을 보이는 방식으로 소수 정리를 독립적으로 증명했다.[10]

3. 1. 1. 가우스와 르장드르의 추측

아드리앵마리 르장드르는 1797년 또는 1798년에 π(''a'')가 ''a''/(''A'' ln(''a'') + ''B'') 함수로 근사된다고 추측했다. 여기서 ''A''와 ''B''는 지정되지 않은 상수이다. 르장드르는 수론에 관한 자신의 책 제2판(1808)에서 ''A'' = 1이고 ''B'' ≈ -1.08366으로 더 정확한 추측을 제시했다.[18] 카를 프리드리히 가우스도 같은 문제를 고찰했다. 1849년 엥케에게 보낸 편지에서 가우스는 "1792년 또는 1793년"에 자신의 로그 표에 "Primzahlen unter a(=\infty) \frac a{\ln a}" ('a(=\infty) \frac a{\ln a} 아래의 소수')라는 짧은 메모를 적었다고 회고했다.[18] 그러나 가우스는 이 추측을 발표하지 않았다.

3. 1. 2. 디리클레의 연구

요한 페터 구스타프 르죈 디리클레는 해석적 수론의 창시자로 여겨진다.[4] 그는 이 분야에서 여러 심오한 결과를 발견했으며, 이를 증명하는 과정에서 여러 기본적인 도구를 도입했는데, 이 중 많은 것들이 나중에 그의 이름을 따서 명명되었다. 1837년, 디리클레의 산술 수열 정리를 발표하여 대수적인 문제를 해결하기 위해 수학적 분석 개념을 사용함으로써 해석적 수론 분야를 창시했다. 이 정리를 증명하면서 디리클레 지표와 디리클레 L-함수를 도입했다.[4][5] 1841년, 산술 수열 정리를 정수에서 환인 가우스 정수 \mathbb{Z}[i]로 일반화했다.[6]

3. 1. 3. 체비쇼프의 연구

1848년과 1850년의 두 논문에서 러시아 수학자 파프누티 르보비치 체비쇼프는 소수 분포의 점근 법칙을 증명하려 시도했다. 그의 연구는 레온하르트 오일러의 1737년 연구처럼, 제타 함수 ζ(''s'')를 (인수 "s"의 실수 값에 대해) 사용한 것으로 유명하며, 이는 리만의 1859년 유명한 논문보다 앞선다.[7] 그는 점근 법칙의 약간 약한 형태, 즉, ''x''가 무한대로 갈 때 π(''x'')/(''x''/ln(''x''))의 극한이 존재한다면, 그 값은 반드시 1과 같다는 것을 증명하는 데 성공했다.[22] 그는 이 비율이 모든 ''x''에 대해 1에 가까운 두 개의 명시적으로 주어진 상한과 하한으로 제한된다는 것을 무조건적으로 증명할 수 있었다.[8][23] 체비쇼프의 논문은 소수 정리(Prime Number Theorem)를 증명하지는 못했지만, π(''x'')에 대한 그의 추정은 모든 정수 ''n'' ≥ 2에 대해 ''n''과 2''n'' 사이에 소수가 존재한다는 베르트랑의 공준을 증명할 만큼 강력했다.

3. 1. 4. 리만의 연구

베른하르트 리만은 현대 해석적 수론에 몇 가지 유명한 공헌을 했다. 그는 수론 분야에서 발표한 유일한 논문인 짧은 논문 한 편에서 리만 제타 함수를 연구하고, 소수 분포를 이해하는 데 있어 이 함수의 중요성을 확립했다. 그는 리만 제타 함수의 성질에 대한 일련의 추측을 제시했는데, 그 중 하나가 잘 알려진 리만 가설이다.[9]

3. 1. 5. 아다마르와 드 라 발레 푸생의 증명

자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레푸생은 리만의 아이디어를 바탕으로 1896년에 소수 정리를 독립적으로 증명하였다.[10] 두 증명 모두 복소해석학의 방법을 사용하였으며, 증명의 주요 단계로 리만 제타 함수 ζ(''s'')가 ''s'' = 1 + ''it'' (''t'' > 0) 형태의 모든 복소수 ''s''에 대해 0이 아님을 보였다.

3. 2. 현대의 발전

20세기 이후, 특히 곱셈 문제에서 체 방법의 개발은 큰 기술적 변화를 가져왔다.[11] 체 방법은 본질적으로 조합론적이며 매우 다양하다. 조합론의 극단적 분파는 정량적 상한 및 하한에 대한 해석적 수론의 가치에 의해 크게 영향을 받았다. 또 다른 최근 개발은 확률적 수론[12]인데, 이는 확률론적 방법을 사용하여 소수가 몇 개나 되는지 등 수론적 함수의 분포를 추정한다.

장이탕, 제임스 메이너드, 테렌스 타오, 벤 그린의 획기적인 업적은 모두 골드스톤–핀츠–이을드름 방법을 사용했다.[13][14][15][17]

해석적 수론 내의 개발은 종종 이전 기술의 개선으로, 오차항을 줄이고 적용 범위를 넓힌다. 예를 들어, 하디와 리틀우드의 원법은 복소 평면에서 단위 원 근처의 멱급수에 적용되는 것으로 생각되었다. 현재는 유한 지수 합의 관점에서 생각된다. 디ophantine 근사의 필요성은 보조 함수가 생성 함수가 아니고—그 계수는 비둘기집 원리를 사용하여 구성되며—여러 복소 변수를 포함한다. 디ophantine 근사 및 초월수론 분야는 확장되어 모델 추측에 기술이 적용될 정도에 이르렀다.

4. 주요 문제와 결과

해석적 수론의 정리와 결과는 정수에 대한 정확한 구조적 결과를 제시하기보다는, 다양한 수론적 함수에 대한 근사 경계와 추정치를 제공하는 경향이 있다. 이는 대수적 및 기하학적 도구가 더 적절한 정수의 구조적 결과를 얻는 것과는 다른 접근 방식이다.[1]

4. 1. 곱셈적 정수론의 문제

디리클레는 등차수열 ''a+nq'' (여기서 ''a''와 ''q''는 서로소)에 무한히 많은 소수가 포함되어 있음을 증명했다. 소수 정리는 이 문제로 일반화될 수 있다.

:\pi(x, a, q) = (\text {소수의 개수 } \leq x \text{ such that } p \text{ is in the arithmetic progression } a + nq, n \in \mathbf Z),

위 식에서 \phi를 오일러 피 함수라고 하고, ''a''와 ''q''가 서로소일 때, 다음이 성립한다.

:\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x,a,q)\phi(q)}{x/\log x} = 1.

현재 기술로는 증명이 어려운 수론 관련 추측들이 많이 있다. 쌍둥이 소수 추측은 ''p'' + 2가 소수인 소수 ''p''가 무한히 많은지 묻는 문제이다. 엘리엇-할버스탐 추측을 가정하면, 어떤 양의 짝수 ''k''가 최대 12인 경우 ''p'' + ''k''가 소수인 소수 ''p''가 무한히 많다는 것이 최근에 증명되었다. 또한, 어떤 양의 짝수 ''k''가 최대 246인 경우 ''p'' + ''k''가 소수인 소수 ''p''가 무한히 많다는 것이 (증명되지 않은 추측에 의존하지 않고) 증명되었다.[1]

4. 2. 가법적 정수론의 문제

와링 문제는 덧셈적 정수론에서 가장 중요한 문제 중 하나로, 임의의 ''k'' ≥ 2에 대해 모든 양의 정수를 제한된 개수의 ''k''제곱수의 합으로 나타낼 수 있는지 묻는 문제이다.

:n=x_1^k+\cdots+x_\ell^k.

''k'' = 2인 경우, 즉 제곱의 경우는 1770년에 라그랑주가 해결했으며, 모든 양의 정수가 최대 네 개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 증명했다. 일반적인 경우는 1909년에 힐베르트가 대수적 기법을 사용하여 증명했지만, 명시적인 경계를 제공하지는 못했다. 중요한 돌파구는 하디와 리틀우드가 해석적 도구를 문제에 적용하면서 이루어졌다. 하디-리틀우드 원법(circle method)으로 알려진 이 기법은 필요한 ''k''제곱의 최소 개수인 함수 ''G''(''k'')에 대한 명시적인 상한을 제공하며, 비노그라도프의 경계는 다음과 같다.

:G(k)\leq k(3\log k+11).

4. 3. 디오판토스 문제

디오판토스 문제는 다항식의 정수 해를 구하는 문제와 관련이 있다. 이 문제에서는 높이와 같은 척도를 사용하여 해의 분포, 즉 해의 개수를 연구한다.

중요한 예시로 가우스 원 문제가 있다. 이 문제는 다음 부등식을 만족하는 정수 쌍 (x, y)를 찾는 것이다.

:x^2+y^2\leq r^2.

기하학적으로 보면, 평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 ''r''인 원이 주어졌을 때, 원 위 또는 내부에 있는 정수 격자점의 개수를 묻는 문제이다. 이 문제의 답은 \pi r^2 + E(r) 형태이며, r \to \infty일 때 E(r)/r^2 \to 0임을 증명하는 것은 어렵지 않다. 여기서 어려운 부분이자 해석적 정수론의 큰 업적은 오차 항 ''E''(''r'')에 대한 구체적인 상한을 구하는 것이다.

가우스는 E(r) = O(r)임을 보였다. 단위 원을 조각별로 매끄러운 경계를 가진 유계 평면 영역의 확대물로 대체하면 ''O''(''r'') 오차 항이 가능하다. 그러나 단위 원을 단위 정사각형으로 대체하면 오차 항은 ''r''의 선형 함수만큼 커질 수 있다. 따라서 원의 경우 \delta < 1인 O(r^{\delta}) 형태의 오차 경계를 얻는 것이 중요하다.

1906년 바츠와프 시에르핀스키는 E(r) = O(r^{2/3})임을 보였다. 1915년에 하디와 에드문트 란다우는 E(r) = O(r^{1/2})가 불가능함을 보였다. 그 이후의 목표는 각 고정된 \epsilon > 0에 대해 E(r) \leq C(\epsilon) r^{1/2 + \epsilon}을 만족하는 실수 C(\epsilon)가 존재함을 보이는 것이었다.

2000년에 마틴 헉슬리는[16] E(r) = O(r^{131/208})임을 보였는데, 이것이 현재까지 발표된 최고의 결과이다.

5. 해석적 수론의 방법

디리클레 급수와 리만 제타 함수는 해석적 수론에서 중요한 방법으로 사용된다.

오일러는 산술의 기본 정리를 이용하여 오일러 곱을 유도하였고,[17] 이를 통해 소수의 무한성을 증명하였다. 또한, 정수의 속성을 연구하기 위해 해석적 논증을 처음 사용하면서 해석적 수론의 시작을 알렸다.[17]

리만은 오일러가 연구한 함수를 복소수 값으로 확장하여 리만 제타 함수를 정의하였다. 리만 제타 함수는 *s* = 1에서 극점을 갖는 유리형 함수로 확장될 수 있으며, 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

G. H. 하디와 리틀우드는 리만 가설을 증명하기 위해 제타 함수에 대한 연구를 진행하였고, 그 결과 임계선 위에 제타 함수의 영점이 무한히 많다는 것을 증명하였다.

5. 1. 디리클레 급수

디리클레 급수는 곱셈적 정수론에서 가장 유용한 도구 중 하나이다. 디리클레 급수는 다음과 같은 형태의 무한 급수로 정의되는 복소 변수의 함수이다.

:f(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}.

계수 a_n의 선택에 따라 이 급수는 모든 곳에서 발산하거나, 어디에서나 수렴하거나, 평면의 어떤 반쪽에서 발산할 수 있다. 많은 경우, 급수가 모든 곳에서 수렴하지 않더라도 급수가 정의하는 정칙 함수를 전 복소평면상의 유리형 함수로 해석적 접속할 수 있다. 곱셈적 문제에서 이러한 함수의 유용성은 다음과 같은 형식적 등식에서 확인할 수 있다.

:\left(\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}\right)=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{k\ell=n}a_kb_\ell\right)n^{-s};

따라서 두 디리클레 급수의 곱의 계수는 원래 계수의 곱셈 컨볼루션이다. 또한, 부분합 및 타우버형 정리와 같은 기법을 사용하여 디리클레 급수에 대한 해석적 정보로부터 계수에 대한 정보를 얻을 수 있다. 따라서 곱셈 함수를 추정하는 일반적인 방법은 곱셈 함수를 디리클레 급수(또는 컨볼루션 항등식을 사용하여 더 간단한 디리클레 급수의 곱)로 표현하고, 이 급수를 복소 함수로 조사한 다음 이 해석적 정보를 원래 함수에 대한 정보로 다시 변환하는 것이다.

5. 2. 리만 제타 함수

오일러는 산술의 기본 정리가 (적어도 형식적으로) 오일러 곱을 함축한다는 것을 보였다.[17]

: \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} = \prod_p^\infty \frac {1}{1-p^{-s}}\text{ for }s > 1

여기서 곱은 모든 소수 ''p''에 대해 취해진다.

소수의 무한성에 대한 오일러의 증명은 ''s'' = 1일 때 좌변의 항의 발산(소위 조화 급수)을 사용하는데, 이는 순전히 분석적인 결과이다. 오일러는 또한 정수의 속성을 연구하기 위해 분석적 논증을 처음 사용했는데, 특히 생성 멱급수를 구성함으로써 이루어졌고, 이것이 해석적 수론의 시작이었다.[17]

나중에, 리만은 이 함수를 ''s''의 복소수 값에 대해 고려했고, 이 함수가 ''s'' = 1에서 간단한 극점을 갖는 전체 평면에서 메로모픽 함수로 확장될 수 있음을 보였다. 이 함수는 현재 리만 제타 함수로 알려져 있으며 ''ζ''(''s'')로 표기된다. 이 함수는 더 일반적인 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

해석적 수론 학자들은 종종 소수 정리와 같은 근사의 오차에 관심이 있다. π(''x'')에 대한 리만의 공식은 이 근사의 오차 항이 제타 함수의 영점을 사용하여 표현될 수 있음을 보여준다. 1859년 논문에서, 리만은 ζ의 모든 "비자명" 영점이 선 \Re(s) = 1/2 위에 있다고 추측했지만, 이 명제를 증명하지 못했다. 이 유명하고 오랫동안 지속된 추측은 리만 가설로 알려져 있으며, 수론에 많은 심오한 의미를 가지고 있다. 실제로, 많은 중요한 정리들이 이 가설이 참이라는 가정 하에 증명되었다.

20세기 초에 G. H. 하디와 리틀우드는 리만 가설을 증명하기 위한 시도로 제타 함수에 대한 많은 결과를 증명했다. 실제로 1914년에, 하디는 임계선

: \Re(z) = 1/2.

위에 제타 함수의 영점이 무한히 많다는 것을 증명했다.

이것은 임계선상의 영점의 밀도를 설명하는 여러 정리로 이어졌다.

참조

[1] 웹사이트 Introduction to Analytic Number Theory Math 531 Lecture Notes, Fall 2005 https://faculty.math[...]
[2] 서적 Multiplicative number theory https://books.google[...] Springer-Verlag
[3] 서적 Additive Number Theory, The Classical Bases https://books.google[...] Springer-Verlag
[4] 서적 The Princeton companion to mathematics https://archive.org/[...] Princeton University Press
[5] 서적 Number theoretic methods: future trends Springer
[6] 학술지 The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) http://www.uni-math.[...] 2007-12-25
[7] 학술지 A Short Proof of Chebyshev's Theorem 1985-08
[8] 학술지 On Chebyshev-Type Inequalities for Primes 1982-02
[9] 간행물 Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse http://www.maths.tcd[...]
[10] 서적 The Distribution of Prime Numbers Cambridge University Press
[11] arXiv Bounded gaps between primes 2014-02-22
[12] 학술지 Primes with restricted digits
[13] 학술지 The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions
[14] 웹사이트 Bounded gaps between primes - Polymath Wiki https://asone.ai/pol[...] 2022-07-14
[15] Youtube Terence Tao - Large and Small Gaps in the Primes [2015] https://www.youtube.[...] 2017-12-15
[16] 문서 Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function A K Peters, Natick, MA
[17] 서적 Analytic Number Theory AMS Colloquium Pub. Vol. 53
[18] 웹사이트 Cod. Ms. Gauß Briefe B: Encke 75 https://gauss.adw-go[...] 1849-12-24
[19] 서적 The Princeton companion to mathematics Princeton University Press
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[23] 학술지 On Chebyshev-Type Inequalities for Primes 1982-02
[24] 서적 明解　ゼータ関数とリーマン予想 講談社
[25] 간행물 Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse http://www.maths.tcd[...]
[26] 서적 The Distribution of Prime Numbers Cambridge University Press
[27] 문서 Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function A K Peters, Natick, MA
[28] 서적 Analytic Number Theory AMS Colloquium Pub. Vol. 53


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