행렬 분해

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1. 개요

행렬 분해는 수치 해석에서 효율적인 알고리즘 구현을 위해 행렬을 여러 행렬의 곱으로 분해하는 기법이다. 선형 방정식 시스템을 풀 때 LU 분해, QR 분해, 촐레스키 분해 등이 사용되며, 고유값 분해, 조르단 분해, 슈어 분해, QZ 분해, 다카기 분해 등은 고유값에 기반한 분해 방법이다. 또한 극분해, 모스토우 분해, 싱크혼 일반 형식과 같은 다른 분해 방법도 존재한다. 이러한 분해는 선형 연립 방정식 풀이, 수치 해석 등 다양한 분야에 응용된다.

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행렬 분해

2. 선형 방정식과 관련한 분해

수치 해석에서 효율적인 행렬 알고리즘을 구현하기 위해 다양한 분해가 사용된다.

예를 들어, 선형 방정식계(연립 일차 방정식) $Ax=b$ 를 풀 때, 행렬 $A$ 는 LU 분해를 통해 분해될 수 있다. LU 분해는 행렬을 하삼각 행렬 $L$ 과 상삼각 행렬 $U$ 의 곱으로 분해한다. $L(Ux)=b$ 와 $Ux=L^{-1}b$ 는 원래의 $Ax=b$ 에 비해 푸는 데 필요한 덧셈과 곱셈이 적지만, 부동 소수점과 같은 부정확한 계산에서는 상당한 자릿수를 필요로 할 수 있다.

마찬가지로, QR 분해는 $A$ 를 직교 행렬 $Q$ 와 상삼각 행렬 $R$ 의 곱 $QR$ 로 나타낸다. $Q(Rx)=b$ 는 $Rx=Q^Tb=c$ 에 의해 풀리고, $Rx=c$ 는 후방 대입에 의해 풀린다.^[23] 필요한 덧셈과 곱셈 횟수는 LU 분해 때의 약 2배이지만, QR 분해는 수치적으로 안정하기 때문에 부정확한 계산에서 더 많은 자릿수가 필요하지 않다.

2. 1. LU 분해

LU 분해는 주어진 행렬을 하삼각 행렬(L)과 상삼각 행렬(U)의 곱으로 분해하는 방법이다.^[22] 가우스 소거법을 행렬 형태로 표현한 것으로 이해할 수 있다.

적용: 정사각 행렬 ''A''에 적용되지만, 직사각형 행렬에도 적용할 수 있다.^[1]^[2]
분해: $A=LU$ , 여기서 ''L''은 하삼각 행렬이고 ''U''는 상삼각 행렬이다.
관련:
''LDU'' 분해는 $A=LDU$ 이며, 여기서 ''L''은 대각선에 1을 가진 하삼각 행렬이고, ''U''는 대각선에 1을 가진 상삼각 행렬이며, ''D''는 대각 행렬이다.
''LUP'' 분해는 $PA=LU$ 이며, 여기서 ''L''은 하삼각 행렬, ''U''는 상삼각 행렬이며, ''P''는 치환 행렬이다.
존재성: LUP 분해는 모든 정사각 행렬 ''A''에 대해 존재한다. ''P''가 항등 행렬일 때, LUP 분해는 LU 분해로 축소된다.
설명: LUP 및 LU 분해는 ''n''×''n'' 연립 선형 방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 를 푸는 데 유용하다. 이러한 분해는 가우스 소거법의 과정을 행렬 형태로 요약한다. 행렬 ''P''는 가우스 소거법 과정에서 수행된 모든 행 교환을 나타낸다. 가우스 소거법이 행 교환 없이 행 사다리꼴을 생성하면 ''P'' = ''I''이므로 LU 분해가 존재한다.

선형 연립 방정식

Ax=b

시스템을 풀 때, LU 분해는 행렬을 하삼각 행렬 L 및 상삼각 행렬 U로 분해한다.^[22] 시스템

L(Ux)=b

및

Ux=L^{-1}b

은 원래 시스템

Ax=b

와 비교할 때 더 적은 수의 덧셈과 곱셈을 필요로 하지만, 부동 소수점과 같은 부정확하고 복잡한 연산에서는 훨씬 더 많은 자릿수의 데이터가 계산 과정에서 요구될 수 있다.

2. 2. QR 분해

QR 분해는 주어진 행렬을 직교 행렬(Q)과 상삼각 행렬(R)의 곱으로 분해하는 방법이다.^[23] 이는 그람-슈미트 과정을 행렬 형태로 표현한 것으로 이해할 수 있으며, LU 분해보다 수치적으로 안정적이다.^[23]

적용 대상: 선형 독립인 열을 가진 ''m'' × ''n'' 행렬 ''A''
분해: $A=QR$ 여기서 $Q$ 는 크기가 ''m'' × ''m''인 유니타리 행렬이고, $R$ 은 크기가 ''m'' × ''n''인 상삼각 행렬이다.
유일성: 일반적으로 유일하지 않지만, $A$ 가 전체 랭크를 가지면 모든 대각선 요소가 양수인 단일 $R$ 이 존재한다. $A$ 가 정사각 행렬이면 $Q$ 도 유일하다.
설명: QR 분해는 방정식 시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 를 효과적으로 해결하는 방법을 제공한다. $Q$ 가 직교라는 사실은 $Q^{\mathrm{T}}Q=I$ 를 의미하며, 따라서 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 는 $R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}$ 와 동일하며, $R$ 이 삼각이므로 풀기가 매우 쉽다.

QR 분해는 ''A''를 ''QR''로 표현하며, 여기서 ''Q''는 직교 행렬이고 ''R''은 상삼각 행렬이다. 시스템 ''Q''(''R'''''x''') = '''b'''는 ''R'''''x''' = ''Q''^T'''b''' = '''c'''로 풀리고, 시스템 ''R'''''x''' = '''c'''는 후방 대입으로 풀린다.^[23]

(최종 출력물에서 변경된 사항은 없으며, 모든 지시사항을 이미 준수하고 있었습니다.)

2. 3. 촐레스키 분해

촐레스키 분해는 주어진 행렬이 에르미트 양의 정부호 행렬일 때, 이를 하삼각 행렬과 그 켤레 전치의 곱으로 분해하는 방법이다.

적용 대상	정방 행렬, 에르미트 행렬, 양의 정부호 행렬
분해	$A = U^*U$ , 여기서 $U$ 는 실수 양의 대각선 요소를 갖는 상삼각 행렬이다.
고유성	양의 정부호 행렬의 경우 촐레스키 분해는 고유하다. 그러나 양의 준정부호 행렬의 경우에는 고유하지 않다.
설명	$A$ 가 실수이고 대칭 행렬이면, $U$ 는 모든 실수 요소를 갖는다.
설명	행렬 $A$ 가 에르미트이고 양의 준정부호 행렬이면, $U$ 의 대각선 요소가 0이 되도록 허용될 경우 $A = U^*U$ 형태의 분해를 갖는다.
대안	LDL 분해는 제곱근 추출을 피할 수 있는 대안이다.

2. 4. 계수 인수분해

계수 ''r''의 ''m''×''n'' 행렬 ''A''는

A=CF

와 같이 분해할 수 있다. 여기서 ''C''는 ''m''×''r'' 전체 열 계수 행렬이고, ''F''는 ''r''×''n'' 전체 행 계수 행렬이다.^[3] 이러한 계수 분해는 ''A''의 무어-펜로즈 유사역행렬을 계산하는 데 사용될 수 있으며,^[15] 이를 통해

A \mathbf{x} = \mathbf{b}

선형 시스템의 모든 해를 구할 수 있다.

3. 고윳값에 근거한 분해

고유값 분해, 조르단 분해, 슈어 분해, 일반 슈어 분해, 특잇값 분해, 다카기 분해는 행렬의 고유값과 고유벡터를 기반으로 행렬을 분해하는 방법들이다.

'''고유값 분해''' (스펙트럼 분해): 서로 다른 고유 벡터를 가진 정방 행렬 에 대해 $A=VDV^{-1}$ 로 분해한다. 는 의 고유값으로 구성된 대각 행렬이고, 의 열은 대응하는 의 고유 벡터이다. 개의 고유 벡터가 서로 다를 때, 는 가역적이며 분해가 가능하다.^[1] 가 실수 대칭 행렬이면, $A=VDV^t$ 로 분해 가능하다. 고유값 분해는 선형 상미분 방정식계 또는 선형 차분 방정식계의 해를 이해하는 데 유용하다.

'''조르단 분해''': 정사각 행렬에 적용되며, 고유값에 중복이 있어 대각화할 수 없는 경우에 고유 분해를 일반화한다.

'''슈어 분해''': 정사각 행렬 에 대해 복소수 슈어 분해는 $A=UTU^*$ 로, 실수 슈어 분해는 $A=VSV^t$ 로 분해한다. 는 유니타리 행렬, 는 의 고유값을 대각선에 갖는 상삼각 행렬이다. 는 직교 행렬, 는 블록 상삼각 행렬이다.

'''일반 슈어 분해''' (QZ 분해): 정방 행렬 와 에 대해 복소수 버전은 $A=QSZ^*$ 및 $B=QTZ^*$ 로, 실수 버전은 $A=QSZ^t$ 및 $B=QTZ^t$ 로 분해한다. 와 는 유니타리 행렬, 와 는 상삼각 행렬이다.

'''다카기 분해''': 정방, 복소, 대칭 행렬 에 대해 $A=VDV^t$ 로 분해한다. 는 실수 비음수 대각 행렬이고, 는 유니타리 행렬이다.

3. 1. 고유값 분해

고유값 분해는 주어진 행렬을 고유벡터 행렬과 고유값으로 구성된 대각 행렬의 곱으로 분해하는 방법이다. 행렬의 대각화와 밀접하게 관련되어 있으며, 스펙트럼 분해라고도 불린다.^[16]
적용 대상:

선형 독립인 고유 벡터를 가진 정방 행렬 ''A'' (고유값이 반드시 서로 다를 필요는 없음).

분해:

$A=VDV^{-1}$
''D'': ''A''의 고유값으로 구성된 대각 행렬
''V'': ''A''의 해당 고유 벡터를 열로 갖는 행렬

존재 조건:

''n'' x ''n'' 행렬 ''A''는 항상 ''n''개의 (복소수) 고유값을 가진다.
고유값 방정식 $AV=VD$ 를 만족하는 0이 아닌 열의 해당 행렬 ''V''를 형성할 수 있다.
''n''개의 고유 벡터가 선형 독립인 경우에만 ''V''는 가역적이다. (즉, 각 고유값의 기하학적 중복도는 대수적 중복도와 같다).
모든 고유값이 서로 다른 경우(기하학적 및 대수적 중복도는 1)에는 위의 조건이 만족되지만 필수는 아니다.^[16]

설명:

고유 벡터는 항상 길이가 1이 되도록 정규화할 수 있다.
모든 정규 행렬 ''A'' (즉, $AA^*=A^*A$ 인 행렬, 여기서 $A^*$ 는 켤레 전치)는 고유값 분해될 수 있다.
정규 행렬 ''A''의 경우 고유 벡터는 정규 직교( $VV^*=I$ )로 만들 수 있으며, 고유값 분해는 $A=VDV^*$ 로 표시된다.
특히 모든 유니타리 행렬, 에르미트 행렬, 또는 반 에르미트 행렬 (실수값의 경우 모든 직교 행렬, 대칭 행렬, 또는 반대칭 행렬)은 정규 행렬이므로 이 속성을 갖는다.
모든 실수 대칭 행렬 ''A''의 경우 고유값 분해는 항상 존재하며 $A=VDV^\mathsf{T}$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 ''D''와 ''V''는 모두 실수값이다.

활용:

고유값 분해는 선형 상미분 방정식 또는 선형 차분 방정식 시스템의 해를 이해하는 데 유용하다.
예를 들어, 초기 조건 $x_0=c$ 에서 시작하는 차분 방정식 $x_{t+1}=Ax_t$ 는 $x_t = A^tc$ 로 해결되며, 이는 $x_t = VD^tV^{-1}c$ 와 동일하다.
''V''와 ''D''는 ''A''의 고유 벡터와 고유값으로 구성된 행렬이다.
''D''는 대각 행렬이므로 $D^t$ 의 거듭제곱을 하는 것은 대각선상의 각 요소를 ''t''의 거듭제곱으로 만드는 것과 같다.
이는 ''A''가 일반적으로 대각 행렬이 아니기 때문에 ''A''를 ''t''의 거듭제곱으로 만드는 것보다 훨씬 쉽고 이해하기 쉽다.

3. 2. 조르단 분해

조르단 분해는 주어진 정사각 행렬이 중복된 고윳값을 가져 대각화 가능하지 않은 경우에도 적용할 수 있는 일반적인 분해 방법이다. 조르단 표준형을 사용하며, 조르당-슈발레 분해는 기저를 선택하지 않고 이를 수행한다.

3. 3. 슈어 분해

슈어 분해는 주어진 정사각 행렬을 유니타리 행렬과 상삼각 행렬의 곱으로 분해하는 방법이다. 슈어 분해에는 복소수 슈어 분해와 실수 슈어 분해 두 가지가 있다.

복소수 슈어 분해: 정사각 행렬 ''A''에 대해, $A=UTU^*$ 로 표현된다. 여기서 ''U''는 유니타리 행렬이고, $U^*$ 는 ''U''의 켤레 전치 행렬이며, ''T''는 복소수 슈어 형식이라고 불리는 상삼각 행렬로, 대각선에 ''A''의 고유값을 갖는다. 만약 ''A''가 정규 행렬이라면, ''T''는 대각 행렬이 되며 슈어 분해는 스펙트럼 분해와 일치한다.

실수 슈어 분해: 정사각 행렬 ''A''에 대해, $A=VSV^\mathsf{T}$ 로 표현된다. 여기서 ''V''는 실수 직교 행렬이고, $V^\mathsf{T}$ 는 ''V''의 전치 행렬이며, ''S''는 실수 슈어 형식이라고 불리는 블록 상삼각 행렬이다. ''S''의 대각선 상의 블록은 크기가 1×1(실수 고유값을 나타내는 경우) 또는 2×2(켤레 복소수 고유값 쌍에서 파생된 경우)이다. 모든 복소 행렬은 복소수 슈어 분해를 가진다.

3. 4. QZ 분해

QZ 분해는 일반화 슈어 분해라고도 불리며, 두 개의 정사각 행렬 ''A''와 ''B''에 대해 적용된다. 이 분해에는 복소수 버전과 실수 버전 두 가지가 있다.

복소수 버전:

:

A=QSZ^*

및

B=QTZ^*

:여기서 ''Q''와 ''Z''는 유니타리 행렬이고, 위첨자 *는 켤레 전치 행렬을 나타내며, ''S''와 ''T''는 상삼각 행렬이다. 복소수 QZ 분해에서 ''S''의 대각선 요소와 해당 ''T''의 대각선 요소의 비율인

\lambda_i = S_{ii}/T_{ii}

는 일반화 고유값 문제

A \mathbf{v} = \lambda B \mathbf{v}

(여기서

\lambda

는 미지 스칼라이고 '''v'''는 미지 비영 벡터이다)를 푸는 일반화된 고유값이다.

실수 버전:

:

A=QSZ^\mathsf{T}

및

B=QTZ^\mathsf{T}

:여기서 ''A'', ''B'', ''Q'', ''Z'', ''S'' 및 ''T''는 실수만 포함하는 행렬이다. 이 경우 ''Q''와 ''Z''는 직교 행렬이고, 위첨자 ''T''는 전치를 나타내며, ''S''와 ''T''는 블록 상삼각 행렬이다. ''S''와 ''T''의 대각선에 있는 블록은 크기가 1×1 또는 2×2이다.

3. 5. 다카기 분해

다카기 분해는 복소 대칭 행렬에 적용되는 특수한 분해 방법이다.

적용 대상: 정방 복소 대칭 행렬 ''A''.
분해: $A=VDV^\mathsf{T}$ . 여기서 ''D''는 음이 아닌 실수 대각 행렬이고, ''V''는 유니타리 행렬이다. $V^\mathsf{T}$ 는 ''V''의 전치 행렬을 나타낸다.
설명: ''D''의 대각 요소는 $AA^*=VD^2V^{-1}$ 의 고윳값의 음이 아닌 제곱근이다.
설명: ''A''가 실수일지라도 ''V''는 복소수일 수 있다.
설명: 이것은 고윳값 분해의 특수한 경우가 아니다. 고윳값 분해는 $V^\mathsf{T}$ 대신 $V^{-1}$ 를 사용한다. 또한, ''A''가 실수 행렬이 아니면 에르미트 행렬이 아니므로 $V^*$ 를 사용하는 형태도 적용되지 않는다.

4. 특잇값 분해

수치 해석에서 효율적인 행렬 알고리즘을 구현하기 위해 다양한 분해가 사용되는데, 그 중 하나가 특잇값 분해이다. 특잇값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)는 주어진 행렬을 특정한 구조를 가지는 세 행렬의 곱으로 분해하는 방법이다. 특잇값 분해는 정사각 행렬뿐만 아니라 임의의 크기의 행렬에 대해서도 적용할 수 있다.

4. 1. 특잇값 분해 (SVD)

적용 대상: ''m''×''n'' 행렬 ''A''.
분해: $A=UDV^*$ 여기서 ''D''는 음이 아닌 대각 행렬이고, ''U''와 ''V''는 $U^*U = I, V^*V = I$ 를 만족한다. $V^*$ 는 ''V''의 켤레 전치 행렬(또는 ''V''가 실수만 포함하는 경우 단순히 전치)이며, ''I''는 (어떤 차원의) 단위 행렬을 나타낸다.
설명: ''D''의 대각 요소는 ''A''의 특잇값이라고 불린다.
설명: 위의 고유값 분해와 마찬가지로 특잇값 분해는 행렬 곱셈이 스칼라 곱셈과 동일한 기저 방향을 찾는 것을 포함하지만, 고려 대상 행렬이 정사각 행렬일 필요가 없기 때문에 더 일반적이다.
유일성: $A$ 의 특잇값은 항상 고유하게 결정된다. $U$ 와 $V$ 는 일반적으로 고유할 필요가 없다.

5. 그 외의 분해

극분해: 임의의 정사각 복소수 행렬은 극분해를 통해 유니타리 행렬과 양의 반정부호 에르미트 행렬의 곱으로 분해할 수 있다.
모스토우 분해: 주어진 정방 복소 비특이 행렬을 유니타리 행렬, 실수 반대칭 행렬, 실수 대칭 행렬의 지수 함수의 곱으로 분해하는 방법이다.
싱크혼 일반 형식: 모든 원소가 양수인 정사각 행렬은 이중 확률 행렬과 두 개의 양의 대각 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.
윌리엄슨 일반 형식
비음수 행렬 분해

5. 1. 극분해

'''적용 대상:''' 임의의 정사각 복소수 행렬 ''A''.^[1]

'''분해:'''

A=UP

(오른쪽 극 분해) 또는

A=P'U

(왼쪽 극 분해). 여기서 ''U''는 유니타리 행렬이고 ''P''와 ''P'''는 양의 반정부호 에르미트 행렬이다.^[1]

'''유일성:'''

P

는 항상 유일하며

\sqrt{A^*A}

와 같다 (이는 항상 에르미트이며 양의 반정부호이다).

A

가 가역 행렬이면

U

는 유일하다.^[1]

'''설명:''' 모든 에르미트 행렬은 유니타리 행렬을 갖는 스펙트럼 분해를 가지므로

P

는

P=VDV^*

로 쓸 수 있다.

P

가 양의 반정부호이므로

D

의 모든 요소는 음수가 아니다. 두 유니타리 행렬의 곱은 유니타리이므로

W=UV

를 취하면

A=U(VDV^*)=WDV^*

로 쓸 수 있는데, 이는 특이값 분해이다. 따라서 극 분해의 존재는 특이값 분해의 존재와 동일하다.^[1]

5. 2. 모스토우 분해

'''모스토우 분해'''는 주어진 정방 복소 비특이 행렬 ''A''를 유니타리 행렬, 실수 반대칭 행렬, 실수 대칭 행렬의 지수 함수의 곱으로 분해하는 방법이다.^[9]^[10]

A=Ue^{iM}e^{S}

(''U''는 유니타리 행렬, ''M''은 실수 반대칭 행렬, ''S''는 실수 대칭 행렬)

A=U_2e^{S_2}e^{iM_2}

(''U''₂는 유니타리 행렬, ''M''₂는 실수 반대칭 행렬, ''S''₂는 실수 대칭 행렬)^[7]

5. 3. 싱크혼 일반 형식

적용 대상: 모든 원소가 양수인 정사각 행렬 ''A''.
분해: $A=D_{1}SD_{2}$ , 여기서 ''S''는 이중 확률 행렬이고, ''D''₁과 ''D''₂는 모든 원소가 양수인 실수 대각 행렬이다.

6. 행렬 분해의 응용

행렬 분해는 수치 해석 및 선형 연립 방정식 풀이 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, LU 분해나 QR 분해를 통해 연립 방정식을 효율적으로 풀 수 있다.^[22]^[23]

6. 1. 수치 해석

수치 해석에서 효율적인 행렬 알고리즘 구현을 위해, 같은 대상 행렬이라도 상황에 따라 각기 다른 분해가 사용된다.

예를 들어, 선형 연립 방정식

Ax=b

시스템을 풀 때 행렬 A는 LU 분해를 통해 분해될 수 있다. LU 분해는 행렬을 하부 삼각 행렬 L과 상부 삼각 행렬 U로 분해한다. 시스템

L(Ux)=b

와

Ux=L^{-1}b

는 원래 시스템

Ax=b

와 비교할 때,^[22] 더 적은 수의 덧셈과 곱셈을 필요로 하지만, 부동 소수점과 같은 부정확하고 복잡한 연산에서는 훨씬 더 많은 자릿수의 데이터가 계산 과정에서 요구될 수 있다.

한편, QR 분해는 Q를 직교 행렬로, QR을 A로 표현하고, R은 상 삼각 행렬을 표현한다. 시스템 Q (Rx) = b는 Rx = Q^Tb = c에 의해 해결되고, 시스템 Rx = c는 후진대입으로 해결된다.^[23] 필요한 덧셈과 곱셈의 수는 LU 분해를 사용하는 것의 약 두 배이지만, QR 분해가 수치적으로 안정하므로 부동 소수점과 같은 연산에서 더 이상 부수적인 데이터가 필요하지는 않다.

6. 2. 선형 연립 방정식 풀이

수치 해석에서 효율적인 행렬 알고리즘을 구현하기 위해 다양한 분해가 사용된다. 선형 연립 방정식

Ax=b

시스템을 풀 때, 행렬 A는 여러 방법으로 분해될 수 있다.

LU 분해: 행렬을 하부 삼각 행렬 L과 상부 삼각 행렬 U로 분해한다. $L(Ux)=b$ 및 $Ux=L^{-1}b$ 시스템은 원래 시스템 $Ax=b$ 와 비교할 때 더 적은 수의 덧셈과 곱셈을 필요로 하지만, 부동 소수점과 같은 부정확하고 복잡한 연산에서는 더 많은 자릿수의 데이터가 계산 과정에서 요구될 수 있다.^[22]

QR 분해: Q를 직교 행렬, R을 상 삼각 행렬로 하여 A를 QR로 표현한다. 시스템 Q (Rx) = b는 $Rx = Q^Tb = c$ 에 의해 해결되고, 시스템 Rx = c는 후진대입으로 해결된다.^[23] LU 분해보다 약 두 배의 덧셈 및 곱셈이 필요하지만, QR 분해는 수치적으로 안정되어 부동 소수점 연산과 같은 경우에 추가적인 데이터가 필요하지 않다.

이러한 분해 방법들은 가우스 소거법 과정을 행렬 형태로 요약한 것으로, 선형 연립 방정식을 효율적으로 푸는 데 유용하다.

참조

_[1] 서적 Linear algebra and its applications https://www.worldcat[...] 2016
_[2] 문서
_[3] 논문 Full Rank Factorization of Matrices 1999-06-01
_[4] 논문 A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations
_[5] 논문 A Rank-Preserving Generalized Matrix Inverse for Consistency with Respect to Similarity
_[6] 문서 1987
_[7] 논문 The bipolar decomposition 2013-11-15
_[8] 문서 1995
_[9] 간행물 Some new decomposition theorems for semi-simple groups https://archive.org/[...] American Mathematical Society
_[10] 서적 Matrix Information Geometry Springer
_[11] 논문 A matrix decomposition and its applications https://zenodo.org/r[...] 2014-06-30
_[12] 논문 Fischer determinantal inequalities and Highamʼs Conjecture 2013-11
_[13] 논문 Perturbation bounds for Williamson's symplectic normal form 2017-07-15
_[14] 문서 2015
_[15] 논문 Full Rank Factorization of Matrices 1999-06-01
_[16] 문서 2000
_[17] 문서 1987
_[18] 문서 1995
_[19] 논문 A matrix decomposition and its applications 2014-06-30
_[20] 논문 Fischer determinantal inequalities and Highamʼs Conjecture 2013-11
_[21] 문서 2015
_[22] 웹사이트 매스월드 http://mathworld.wol[...]
_[23] 웹사이트 정보통신기술용어해설 http://www.ktword.co[...]

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