횡단성

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1. 개요

횡단성은 매끄러운 다양체, 매끄러운 함수, 부분 다양체 사이의 교차 관계를 설명하는 개념이다. 두 함수 또는 부분 다양체가 횡단적일 조건은 교차점에서 접선 공간이 주변 공간의 전체 접선 공간을 생성하는 것이다. 횡단성은 안정적인 성질을 가지며, 톰 횡단 정리와 같은 정리를 통해 일반적인 상황에서도 성립함을 알 수 있다. 횡단성은 최적 제어 문제, 해 공간의 매끄러움 연구 등 다양한 분야에 응용되며, 르네 톰에 의해 정립되었다.

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횡단성
개요
분야	수학
하위 분야	미분기하학 미분 위상수학
관련 개념	교차 이론 일반 위치 횡단적 호모토피 이론
정의
정의	두 부분 다양체의 교차가 "횡단적"이라는 것은 교차점에서의 접공간의 합이 주변 공간의 전체 접공간과 같다는 것을 의미한다.
응용
응용 분야	모스 이론 사르드의 정리 교차 이론
예시
예시	유클리드 공간에서 두 개의 곡선이 교차할 때, 각 교차점에서 두 곡선의 접선 벡터가 선형 독립이면 교차는 횡단적이다.
추가 예시	다양체와 그 자신 사이의 횡단적 교차는 모스 이론과 사르드의 정리에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

횡단성은 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수에 대해 정의된다.

매끄러운 다양체의 경우, 두 부분 다양체가 횡단적으로 교차한다는 것은 교집합의 모든 점에서 두 부분 다양체의 접공간이 전체 다양체의 접공간을 생성한다는 것을 의미한다.

매끄러운 함수의 경우, 두 함수가 횡단적이라는 것은 두 함수의 상(image)이 겹치는 모든 점에서, 각 함수의 미분(pushforward)에 의한 접공간의 상(image)들의 합이 전체 다양체의 접공간과 같아진다는 것을 의미한다.

2. 1. 매끄러운 다양체의 횡단성

주어진 유한 차원 매끄러운 다양체의 두 부분 다양체가 각 교집합 지점에서 해당 지점의 개별 접선 공간이 해당 지점에서 주변 다양체의 접선 공간을 함께 생성하면 횡단적으로 교차한다고 한다.^[1] 다양체가 교차하지 않는 경우 공허하게 횡단한다. 다양체의 차원이 상호 보완적(즉, 차원을 합하면 주변 공간의 차원이 됨)인 경우, 이 조건은 주변 다양체에 대한 접선 공간이 두 개의 더 작은 접선 공간의 직접 합이라는 의미이다. 교차점이 횡단적인 경우, 교차점은 두 다양체의 여차원의 합과 동일한 여차원을 갖는 부분 다양체가 된다. 횡단성 조건이 없으면, 교차점은 어떤 종류의 수학적 특이점을 갖는 부분 다양체가 되지 못할 수 있다.

특히, 이것은 보완적인 차원을 갖는 횡단 부분 다양체가 고립된 점(즉, 0-다양체)에서 교차한다는 것을 의미한다. 부분 다양체와 주변 다양체가 모두 방향을 갖는 경우, 교차점은 방향을 갖는다. 교차점이 0차원인 경우, 방향은 각 점에 대한 플러스 또는 마이너스이다.

주어진 다양체

M

의 두 부분 다양체

L_1

와

L_2

의 횡단 교차점에 대한 한 가지 표기법은

L_{1} \pitchfork L_{2}

이다. 이 표기법은 두 가지 방식으로 읽을 수 있다. 즉, "

L_1

과

L_2

가 횡단적으로 교차한다" 또는 해당 교차점이 횡단적일 때

L_1

과

L_2

의 집합론적 교차점

L_1\cap L_2

에 대한 대안적 표기법으로 읽을 수 있다. 이 표기법에서 횡단성의 정의는 다음과 같다.

:

L_{1} \pitchfork L_{2} \iff \forall p \in L_{1} \cap L_{2}, T_{p} M = T_{p} L_{1} + T_{p} L_{2}.

2. 2. 매끄러운 함수의 횡단성

매끄러운 함수

f\colon X\to M

와

g\colon Y\to M

가 횡단적이라는 것은,

f(x) = g(y) = m

인 모든 점

x \in X

,

y \in Y

에 대해,

f

와

g

의 미분(푸시포워드)에 의한 접공간의 상의 합이

m

에서

M

의 접공간과 같아지는 것을 의미한다. 수식으로는

D_xf(T_xX) + D_yg(T_yY) = T_mM

으로 표현된다.^[2]

3. 성질

횡단성은 여러 중요한 성질을 갖는다.

두 개의 매끄러운 부분다양체가 주어졌을 때, 그 중 하나를 임의로 작은 양만큼 섭동(perturbation)하여 결과적인 부분다양체가 고정된 부분다양체와 횡단적으로 교차하도록 할 수 있다. 이러한 섭동은 다양체 또는 그 교차점의 호몰로지 클래스에 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, 보완 차원의 다양체가 횡단적으로 교차하면, 그 교차점의 부호가 있는 합은 다양체를 다른 횡단 교차점으로 등위시켜도 변경되지 않는다. 교차점은 부호를 무시하고 2를 모듈로 하여 계산하여 더 거친 불변량을 얻을 수도 있다. 이는 모든 차원의 호몰로지 클래스에 대한 양선형 교차 곱으로 내려가며, 이는 코호몰로지의 컵 곱에 대한 푸앵카레 쌍대성이다. 컵 곱과 마찬가지로, 교차 곱은 등급 가환이다.

3. 1. 여차원 보존

매끄러운 다양체

M

의 부분 다양체

X \hookrightarrow M

및 매끄러운 함수

g \colon Y \to M

가 주어졌다고 하자. 만약

X \pitchfork g

라면,

:

g^{-1}(X) = \{y \in Y \colon g(y) \in X\}

는

Y

의 부분 다양체이며, 그 여차원은

X

의 여차원과 같다.

:

\operatorname{codim}_Y g^{-1}X \dim Y - \dim g^{-1}(X) = \operatorname{codim}_M X = \dim M - \dim X

3. 2. 교집합의 여차원

두 부분 다양체

X, Y \subseteq M

가 횡단적으로 교차할 때, 교집합

X \cap Y

는

M

의 부분 다양체가 되며, 그 여차원은

X

와

Y

의 여차원의 합과 같다.

:

\operatorname{codim}_M (X\cap Y) = \operatorname{codim}_MX + \operatorname{codim}_MY

즉,

:

\dim (X\cap Y) = \dim X + \dim Y - \dim M

이다.

임의의 두 매끄러운 부분 다양체가 주어지면, 그 중 하나를 임의로 작은 양만큼 섭동하여 얻어지는 부분 다양체가 고정된 부분 다양체와 횡단적으로 교차하도록 할 수 있다. 그러한 섭동은 다양체 또는 그 교차의 호몰로지류에 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, 차원이 상보적인 다양체가 횡단적으로 교차할 때, 교점의 부호 달린 합은 다른 횡단 교차하는 다양체에 전체 동위 변형을 가해도 변하지 않는다.

3. 3. 안정성

매끄러운 함수

f\colon X\to M

와 매끄러운 호모토피

g\colon[0,1]\times Y\to M

,

(t,y) \mapsto g_t(y)

가 주어졌다고 하자. 만약

f\pitchfork g_0

이라면, 다음이 성립한다.

:

\inf \{t\in[0,1] \colon f\pitchfork g_t\} > 0

즉, 어떤

\epsilon>0

에 대하여, 모든

t\in[0,\epsilon)

에 대하여

f\pitchfork g_t

이다.

두 개의 매끄러운 부분다양체가 주어지면, 임의로 작은 양만큼 둘 중 하나를 섭동하여 결과적인 부분다양체가 고정된 부분다양체와 횡단적으로 교차하도록 할 수 있다. 이러한 섭동은 다양체 또는 그 교차점의 호몰로지 클래스에 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, 보완 차원의 다양체가 횡단적으로 교차하면, 그 교차점의 부호가 있는 합은 다양체를 다른 횡단 교차점으로 등위시켜도 변경되지 않는다. 교차점은 부호를 무시하고 2를 모듈로 하여 계산하여 더 거친 불변량을 얻을 수도 있다. 이는 모든 차원의 호몰로지 클래스에 대한 양선형 교차 곱으로 내려가며, 이는 코호몰로지의 컵 곱에 대한 푸앵카레 쌍대성이다. 컵 곱과 마찬가지로, 교차 곱은 등급 가환이다.

임의의 두 매끄러운 부분 다양체가 주어지면, 그 중 하나를 임의로 작은 양만큼 섭동하여 얻어지는 부분 다양체가 고정된 부분 다양체와 횡단적으로 교차하도록 할 수 있다. 그러한 섭동은 다양체 또는 그 교차의 호몰로지류에 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, 차원이 상보적인 다양체가 횡단적으로 교차할 때, 교점의 부호 달린 합은 다른 횡단 교차하는 다양체에 전체 동위 변형을 가해도 변하지 않는다. 교점을 mod 2로 세어 부호를 무시하여, 대략적인 불변량을 얻을 수도 있다. 이로부터 임의 차원의 호몰로지 류에 대한 쌍선형 교차곱이 정해지며, 이는 코호몰로지 상의 컵 곱에 푸앵카레 쌍대이다. 컵 곱과 마찬가지로, 교차곱은 초가환(차수 가환)이다.

3. 4. 일반성 (톰 횡단 정리)

매끄러운 다양체

X,Y,M

와

S

, 매끄러운 함수

f\colon X\to M

,

g\colon S\times Y\to M

(

(s,y) \mapsto g_s(y)

)가 주어졌고,

f\pitchfork g

와

f\pitchfork (g\restriction \partial S\times Y)

가 성립한다고 하자. '''톰 횡단 정리'''(Thom transversality theorem^영어)에 따르면 다음이 성립한다.

거의 모든 $s\in S$ 에 대하여, $f\pitchfork g_s$ 이다.
거의 모든 $s\in \partial S$ 에 대하여, $f\pitchfork g_s$ 이다.

여기서 "거의 모든"은

S

또는

\partial S

의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는

s

의 집합은 영집합이다.

4. 횡단성의 의미 (차원에 따른 분류)

횡단성의 의미는 관련된 다양체의 상대적인 차원에 따라 달라진다.

$\ell_1 + \ell_2 = m$ 인 경우, $L_1$ 과 $L_2$ 의 접공간의 상은 교차하는 모든 지점에서 $M$ 의 접공간과 직합을 이루어야 한다. 따라서 교차점은 고립된 부호가 있는 점, 즉 0차원 다양체로 구성된다.

4. 1. $\ell_1 + \ell_2 < m$ 인 경우

\ell_1 + \ell_2 < m

인 경우,

L_1

과

L_2

의 접공간의 상으로는 어느 지점에서도

M

의 접공간을 생성하는 것이 불가능하다. 따라서

f_1

과

f_2

사이의 교차는 횡단적일 수 없다. 그러나 교차하지 않는 다양체는 공허하게 이 조건을 만족하므로 횡단적으로 교차한다고 할 수 있다.^[1]

4. 2. $\ell_1 + \ell_2 > m$ 인 경우

침몰인 사상의 경우, 접공간들의 합은 직합일 필요가 없다. 이 경우 교차는

\ell_1 + \ell_2 - m

차원의 다양체가 된다.

5. 횡단 교차의 예시

횡단성의 간단한 예시는 곡면의 호에서 찾을 수 있다. 3차원 공간에서 횡단적으로 교차하는 곡선은 서로 만나지 않는다. 단순 리 군과 그 리 대수와 관련된 슬로도위 횡단 조각도 횡단성의 예시이다.

5. 1. 곡면 위의 호

곡면 위의 두 호는 접점이 아닌 경우, 즉 곡면의 접평면 내부의 접선이 서로 다른 경우에만 횡단적이다. 3차원 공간에서 두 곡선은 접선 공간이 최대 2차원 공간을 생성할 수 있으므로, 교차점이 없는 경우에만 횡단적일 수 있다.^[1] 곡면에 횡단적인 곡선은 점에서 교차하고, 서로 횡단적인 곡면은 곡선에서 교차한다.^[2] 어떤 점에서 곡면에 접하는 곡선 (예: 곡면 위에 놓인 곡선)은 곡면과 횡단적으로 교차하지 않는다.^[3]

5. 2. 3차원 공간에서의 곡선과 곡면

3차원 공간에서 두 곡선은 서로 교차하지 않을 때만 횡단적이다. 곡선과 곡면은 점에서 횡단적으로 교차하고, 두 곡면은 곡선을 따라 횡단적으로 교차한다. 어떤 점에서 곡면에 접하는 곡선 (예: 곡면 위에 놓인 곡선)은 곡면과 횡단적으로 교차하지 않는다.

5. 3. 리 군과 슬로도위 횡단 조각

단순 리 군

G

와 그 리 대수

\mathfrak{g}

가 주어졌을 때, 야콥슨-모로조프 정리에 따르면 모든 멱영원

e \in \mathfrak{g}

는

\mathfrak{sl_2}

-삼중항

(e, h, f)

에 포함될 수 있다.

\mathfrak{sl_2}

의 표현론에 의해

\mathfrak{g} = [\mathfrak{g}, e] \oplus \mathfrak{g}_f

가 성립한다. 여기서

[\mathfrak{g}, e]

는

e

에서의 수반 궤도

\rm{Ad}(G)e

의 접선 공간이므로, 아핀 공간

e + \mathfrak{g}_f

는

e

의 궤도와 횡단적으로 교차한다. 이 공간

e + \mathfrak{g}_f

는 페터 스로도위의 이름을 따서 "슬로도위 횡단 조각"이라고 불린다.

6. 응용

횡단성은 여러 분야에서 활용된다.

변분법이나 폰트랴긴 최대 원리를 사용하는 분야에서는 최적화 문제에서 해의 조건을 제어하기 위해 횡단성 조건이 사용된다. 예를 들어 곡선의 한쪽 또는 양쪽 끝점이 고정되어 있지 않은 상황에서 $\int {F(x, y, y^\prime)} dx$를 최소화하는 문제에 횡단성이 사용될 수 있다.

사르트 정리를 통해 횡단 교차가 매끄러운 부분다양체를 이룬다는 것을 보일 수 있는데, 이는 벡터장의 영점 집합, 오일러 지표, 벡터 다발의 오일러류 등을 연구하는 데 사용된다. 또한, 의사 정칙 곡선과 그로모프-위튼 이론에서 모듈 공간의 매끄러움을 증명하는 데에도 횡단성이 사용된다.

6. 1. 최적 제어

변분법 또는 폰트랴긴 최대 원리를 활용하는 분야에서 횡단성 조건은 최적화 문제에서 찾아낸 해의 유형을 제어하기 위해 자주 사용된다. 예를 들어 곡선의 한쪽 또는 양쪽 끝점이 고정되어 있지 않은 상황에서 $\int {F(x, y, y^\prime)} dx$를 최소화하는 문제와 같은 형식의 문제에 대한 해의 필요 조건으로 횡단성이 사용된다.

이러한 문제 중 많은 경우에서, 해는 해 곡선이 영교선 또는 종단 조건을 설명하는 다른 곡선을 횡단적으로 교차해야 한다는 조건을 만족한다.

6. 2. 해 공간의 매끄러움

사드 정리를 이용하면, 횡단 교차가 매끄러운 부분 다양체를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 이는 벡터장의 영점 집합, 오일러 지표, 벡터 다발의 오일러류 등을 연구하는 데 사용된다. 무한 차원 예시로, 의사 정칙 곡선과 그로모프-위튼 이론에서 모듈 공간의 매끄러움을 증명하는 데 사용된다.

예를 들어, 유향 접선 다발의 매끄러운 단면인 벡터장을 기저에서 전 공간으로의 사상으로 간주하고, 영단면과 횡단적으로 교차하는 경우를 생각해보자. 이때 단면의 영점 집합, 즉 벡터장의 특이점은 기저의 매끄러운 0차원 부분다양체, 즉 부호가 있는 점의 집합을 형성한다. 부호는 벡터장의 지수와 일치하며, 부호의 합, 즉 영점 집합의 기본 클래스는 다양체의 오일러 지표와 같다.

더 일반적으로, 유향이고 매끄러우며 닫힌 유한 차원 다양체에 대한 벡터 다발의 경우, 영단면과 횡단하는 단면의 영점 집합은 벡터 다발의 랭크와 같은 차원을 갖는 기저의 부분다양체이며, 그 호몰로지류는 다발의 오일러 클래스에 대한 푸앵카레 쌍대가 된다.

무한 차원 예시로는 리만 곡면에서 거의 복소수 다양체로의 사상 공간에 대한 특정 바나흐 공간 다발의 단면인 d-바 연산자가 있다. 이 단면의 영점 집합은 정칙 사상으로 구성된다. 만약 d-바 연산자가 영단면에 횡단하는 것으로 보일 수 있다면, 이 모듈 공간은 매끄러운 다양체가 된다.

7. 역사

르네 톰이 톰 횡단 정리를 증명하여 횡단성 개념을 정립했다.^[1]

참조

_[1] 서적 Guillemin and Pollack
_[2] 서적 Guillemin and Pollack
_[3] 서적 Hirsch

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