히친 계

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 히친 쌍과 모듈라이 공간
3. 히친 계
- 3.1. 불변 다항식과 해밀토니언
- 3.2. 적분가능성
4. 히친 올묶음 (Hitchin Fibration)
- 4.1. 모듈 스택과 몫 스택
- 4.2. 구성 및 응용
5. 역사
참조

1. 개요

히친 계는 리만 곡면과 콤팩트 리 군을 기반으로 하는 적분가능계로, 힉스 장과 히친 방정식을 통해 정의된다. 히친 쌍의 공간은 안정 G-벡터 다발들의 모듈라이 공간의 공변접다발과 동형이며 심플렉틱 다양체를 이룬다. 히친 계는 불변 다항식을 통해 정의되는 해밀토니언들로 구성되며, 히친 올묶음은 히친 쌍의 모듈 공간에서 특성 다항식으로의 사상으로, 응오 바오 쩌우의 기본 보조정리 증명에 사용되었다. 히친 계는 1987년 나이절 히친에 의해 도입되었다.

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히친 계
개요
유형	적분가능계
분야	수학, 이론물리학
관련 개념	가군 모듈라이 공간 대수 곡선 위상적 재귀 보존적 시스템
상세 정보
관련 항목	윌리엄 히친 특별한 로렌츠 곡선 비선형 슈뢰딩거 방정식

2. 정의

히친 계는 리만 곡면 위에 정의되는 특별한 미분 방정식인 히친 방정식을 통해 정의되는 적분가능계이다.

우선, 다음과 같은 데이터들이 주어졌다고 가정한다.

리만 곡면 $M$
콤팩트 리 군 $G$
$M$ 위의 $G$ -정칙 벡터 다발 ( $G$ -주다발의 연관 벡터 다발) $E \twoheadrightarrow M$
$E$ 의 벡터 다발 접속 $\nabla_A$ . 그 곡률을 $F = \mathrm dA + A \wedge A$ 라고 한다.
$M$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 $\Phi \in \Omega^{1,0}(M) \otimes \mathfrak{lie}(G)$ . 이를 '''힉스 장'''이라고 한다.

이때,

G

의 임의의

k

차 불변 다항식

p \colon \mathfrak g \to \mathbb R

을 생각하면,

:

p(\Phi) \in \operatorname H^0(K^k)

를 얻을 수 있다. 여기서

K

는

M

의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다.

따라서, 복소수 벡터 공간

:

\bigoplus_{k\in\mathbb N}\operatorname H^0(K^k)

의 임의의 기저를 선택하면,

\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)

위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이 함수들의 수는

\mathcal N(\Sigma,G)

의 차원과 같으며, 푸아송 괄호에서 서로 가환한다. 즉, 이 함수들을 해밀토니언으로 사용하면 적분가능계를 얻게 되는데, 이를 히친 계라고 한다.

대수기하학적으로는, 히친 계는 어떤 콤팩트한 대수 곡선 위의 어떤 환원군 ''G''에 대한 안정 주다발의 모듈라이 공간에 대한 코탄젠트 다발의 부분적인 콤팩트화로 이해할 수 있다. 이 공간은 표준 심플렉틱 형식을 갖는다.

예를 들어, ''G''가 일반 선형군

G = \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})

인 경우, 해밀토니언은 다음과 같이 표현된다. 다발 ''F''에서의 ''G''-다발의 모듈라이 공간에 대한 접 공간은

:

H^1(\operatorname{End}(F)),

이며, 이는 세르 쌍대성에 의해 다음의 쌍대 공간

:

\Phi \in H^0(\operatorname{End}(F)\otimes K),

와 같다. 여기서

K

는 표준 다발이다. 따라서

:

(F,\Phi)

로 표현되는 쌍은 히친 쌍 또는 힉스 다발이라 불리며, 코탄젠트 다발의 한 점을 정의한다.

:

\operatorname{Tr}(\Phi^k),\qquad k=1,\ldots,\operatorname{rank}(G)

를 취하면,

:

H^0( K^{\otimes k} ),

의 원소를 얻게 되는데, 이 공간은

(F,\Phi)

에 의존하지 않는 벡터 공간이다. 따라서 이러한 벡터 공간에서 어떤 기저를 취하면 ''H_i''라는 함수를 얻게 되는데, 이것이 히친의 해밀토니안이다.

일반적인 환원군에 대한 구성은 유사하며, ''G''의 리 대수의 불변 다항식을 사용한다. 이러한 함수들은 대수적으로 독립적이며, 그 수는 위상 공간 차원의 절반과 일치한다. 이 함수들의 푸아송 가환성을 증명하는 것이 핵심적인 부분이다.

2. 1. 기본 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

리만 곡면 $M$
콤팩트 리 군 $G$
$M$ 위의 $G$ -정칙 벡터 다발 ( $G$ -주다발의 연관 벡터 다발) $E \twoheadrightarrow M$
$E$ 의 벡터 다발 접속 $\nabla_A$ . 그 곡률을 $F = \mathrm dA + A \wedge A$ 라고 하자.
$M$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 $\Phi \in \Omega^{1,0}(M) \otimes \mathfrak{lie}(G)$ . 이를 '''힉스 장'''이라고 한다.

그렇다면 '''히친 방정식'''(Hitchin equation^영어)은 다음과 같다.

:

F_A+[\Phi\wedge\Phi]=0

:

d_A\Phi=0

여기서

d_A=d+A\wedge

는 공변 미분이고,

*

는 호지 쌍대이다.

여기서,

F+\Phi+\Phi^*

는

G^{\mathbb C}

-주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은

G^{\mathbb C}

-주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터

(A,\Phi)

를 '''히친 쌍'''(Hitchen pair^영어)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정

G

-벡터 다발들의 모듈라이 공간

\mathcal N(\Sigma,G)

의 공변접다발

\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)

과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

2. 2. 히친 쌍과 모듈라이 공간

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

리만 곡면 $M$
콤팩트 리 군 $G$
$M$ 위의 $G$ -정칙 벡터 다발 ( $G$ -주다발의 연관 벡터 다발) $E \twoheadrightarrow M$
$E$ 의 벡터 다발 접속 $\nabla_A$ . 그 곡률을 $F = \mathrm dA + A \wedge A$ 라고 하자.
$M$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 $\Phi \in \Omega^{1,0}(M) \otimes \mathfrak{lie}(G)$ . 이를 '''힉스 장'''이라고 한다.

그렇다면 '''히친 방정식'''(Hitchin equation^영어)은 다음과 같다.

:

F_A+[\Phi\wedge\Phi]=0

:

d_A\Phi=0

여기서

d_A=d+A\wedge

는 공변 미분이고,

*

는 호지 쌍대이다.

여기서,

F+\Phi+\Phi^*

는

G^{\mathbb C}

-주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은

G^{\mathbb C}

-주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터

(A,\Phi)

를 '''히친 쌍'''(Hitchen pair^영어)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정

G

-벡터 다발들의 모듈라이 공간

\mathcal N(\Sigma,G)

의 공변접다발

\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)

과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

3. 히친 계

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

리만 곡면 $M$
콤팩트 리 군 $G$
$M$ 위의 $G$ -정칙 벡터 다발 ( $G$ -주다발의 연관 벡터 다발) $E \twoheadrightarrow M$
$E$ 의 벡터 다발 접속 $\nabla_A$ . 그 곡률을 $F = \mathrm dA + A \wedge A$ 라고 하자.
$M$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 $\Phi \in \Omega^{1,0}(M) \otimes \mathfrak{lie}(G)$ . 이를 '''힉스 장'''이라고 한다.

그렇다면 '''히친 방정식'''(Hitchin equation^영어)은 다음과 같다.

:

F_A+[\Phi\wedge\Phi]=0

:

d_A\Phi=0

.

여기서

d_A=d+A\wedge

는 공변 미분이고,

*

는 호지 쌍대이다.

F+\Phi+\Phi^*

는

G^{\mathbb C}

-주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 히친 방정식은

G^{\mathbb C}

-주다발 주접속이 평탄 주다발임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터

(A,\Phi)

를 '''히친 쌍'''(Hitchen pair^영어)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정

G

-벡터 다발들의 모듈라이 공간

\mathcal N(\Sigma,G)

의 공변접다발

\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)

과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

이러한 함수들을 해밀토니언들로 삼았을 때, 이 계는 적분가능계를 이룬다. 이 적분가능계를 '''히친 계'''라고 한다.

3. 1. 불변 다항식과 해밀토니언

G

의 임의의

k

차 불변 다항식

p \colon \mathfrak g \to \mathbb R

을 생각하자.

\Phi

는 힉스 장이다. 그렇다면,

:

p(\Phi) \in \operatorname H^0(K^k)

를 취할 수 있다. 여기서

K

는

M

의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다. 따라서, 복소수 벡터 공간

:

\bigoplus_{k\in\mathbb N}\operatorname H^0(K^k)

의 임의의 기저를 취하면,

\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)

위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는

\mathcal N(\Sigma,G)

의 차원과 같으며, 이들은 또한 푸아송 괄호 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 해밀토니언들로 삼았을 때, 이는 적분가능계를 이룬다.

일반 환원군에 대한 구성은 유사하며, ''G''의 리 대수에 대한 불변 다항식을 사용한다.^[1]

3. 2. 적분가능성

환원군 ''G''에 대한 안정 주다발의 모듈라이 공간에 대한 코탄젠트 다발의 부분적인 콤팩트화는 표준 심플렉틱 형식을 갖는다.

G = \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})

( 일반 선형군 )인 경우, 해밀턴은 다음과 같이 설명할 수 있다.

다발 ''F''에서의 ''G''-다발의 모듈라이 공간에 대한 접 공간은

:

H^1(\operatorname{End}(F)),

이며, 이는 세르 쌍대성에 의해 다음의 쌍대 공간이다.

:

\Phi \in H^0(\operatorname{End}(F)\otimes K),

여기서

K

는 표준 다발이다.

:

(F,\Phi)

로 표기되는 쌍은 히친 쌍 또는 힉스 다발이라고 불리며, 코탄젠트 다발의 한 점을 정의한다.

:

\operatorname{Tr}(\Phi^k),\qquad k=1,\ldots,\operatorname{rank}(G)

를 취하면,

:

H^0( K^{\otimes k} ),

의 원소를 얻게 되는데, 이 공간은

(F,\Phi)

에 의존하지 않는 벡터 공간이다. 따라서 이러한 벡터 공간에서 어떤 기저를 취하면 ''H_i''라는 함수를 얻게 되는데, 이는 히친의 해밀턴이다. 일반 환원군에 대한 구성은 유사하며, ''G''의 리 대수에 대한 불변 다항식을 사용한다.

이러한 함수들은 대수적으로 독립적이며, 그 수가 위상 공간의 차원의 절반과 정확히 일치한다. 이 함수들의 푸아송 가환성을 증명하면, 이 함수들은 심플렉틱 또는 아르놀드-리우빌 의미에서 적분 가능한 시스템을 정의한다.

4. 히친 올묶음 (Hitchin Fibration)

'''히친 올묶음'''은 히친 쌍의 모듈 공간에서 특성 다항식으로의 사상으로, 스펙트럼 곡선을 정의하기 위해 Garnier가 사용한 사상의 더 높은 종수 아날로그이다. 유한체에 대한 히친 올묶음은 응오 바오 쩌우(Ngô Bảo Châu)가 기본 보조정리를 증명하는 데 사용했다.

$L$ 꼬임된 힉스 번들의 모듈 스택은 단면 스택 $Higgs=Sect(C,(\mathfrak{g}/G)_L)$ 로, 해당 히친 기저는 $A(C,L):=Sect(C,(\mathfrak{g}/\!/G)_L)$ 로 복구되며, 이는 벡터 공간으로 표현된다. 스택 수준의 히친 사상 $h:Higgs\to A(C,L)$ 은 사상 $\chi_L$ 에 의해 유도된 사상이다. 이 정의는 반안정성과 관련이 없다. 히친 올묶음을 얻기 위해서는 $L$ 을 표준 번들로 취하고, $Higgs$ 의 반안정 부분으로 제한한 다음, 모듈 공간에서 유도된 사상을 취해야 한다.

4. 1. 모듈 스택과 몫 스택

기본 보조정리의 증명에 유한체에 대한 히친 올묶음을 사용한 응오 바오 쩌우(Ngô Bảo Châu)는 모듈 공간 대신 히친 쌍의 모듈 스택을 출발점으로 하는 버전의 히친 올묶음을 사용했다. 환원 대수군

G

의 리 대수를

\mathfrak{g}

라고 하면,

G

의

\mathfrak{g}

에 대한 수반 작용이 있고, 스택 몫

\mathfrak{g}/G

와 GIT 몫

\mathfrak{g}/\!/G

를 취할 수 있으며, 자연스러운 사상

\chi:\mathfrak{g}/G\to \mathfrak{g}/\!/G

가 존재한다. 또한 곱셈군

\mathbb{G}_m

이

\mathfrak{g}

에 자연스럽게 작용하며, 이는 스택 몫과 GIT 몫으로 내려간다. 사상

\chi

는

\mathbb{G}_m

작용에 대해 등변이므로, 곡선

C

위의 임의의 선형 번들

L

이 주어지면,

\mathbb{G}_m

-torsor에 의해 사상

\chi

를 꼬아서 스택에 대한 사상

\chi_L: (\mathfrak{g}/G)_L\to (\mathfrak{g}/\!/G)_L

을 얻을 수 있다.

4. 2. 구성 및 응용

히친 올묶음은 히친 쌍의 모듈 공간에서 특성 다항식으로의 사상으로, 스펙트럼 곡선을 정의하기 위해 Garnier가 사용한 사상의 더 높은 종수 아날로그이다. 유한체에 대한 히친 올묶음은 응오 바오 쩌우(Ngô Bảo Châu)가 기본 보조정리를 증명할 때 사용되었다.

응오 바오 쩌우가 사용한 히친 올묶음은 모듈 공간 대신 히친 쌍의 모듈 스택을 출발점으로 한다. 환원 대수군

G

의 리 대수를

\mathfrak{g}

라고 하면,

G

는

\mathfrak{g}

에 수반 작용을 한다. 스택 몫

\mathfrak{g}/G

와 GIT 몫

\mathfrak{g}/\!/G

를 취하면, 자연스러운 사상

\chi:\mathfrak{g}/G\to \mathfrak{g}/\!/G

가 존재한다. 곱셈군

\mathbb{G}_m

은

\mathfrak{g}

에 자연스럽게 작용하며, 이는 스택 몫과 GIT 몫으로 내려간다. 또한 사상

\chi

는

\mathbb{G}_m

작용에 대해 등변이다. 따라서 곡선

C

위의 임의의 선형 번들

L

이 주어지면,

\mathbb{G}_m

-torsor에 의해 사상

\chi

를 꼬아서 스택에 대한 사상

\chi_L: (\mathfrak{g}/G)_L\to (\mathfrak{g}/\!/G)_L

을 얻을 수 있다.

L

꼬임된 힉스 번들의 모듈 스택은 단면 스택

Higgs=Sect(C,(\mathfrak{g}/G)_L)

로, 해당 히친 기저는

A(C,L):=Sect(C,(\mathfrak{g}/\!/G)_L)

로 복구되며, 이는 벡터 공간으로 표현된다. 스택 수준의 히친 사상

h:Higgs\to A(C,L)

은 위에서 사상

\chi_L

에 의해 유도된 사상이다. 이 정의는 반안정성과 관련이 없다. 히친 올묶음을 얻기 위해서는

L

을 표준 번들로 취하고,

Higgs

의 반안정 부분으로 제한한 다음, 모듈 공간에서 유도된 사상을 취해야 한다. 응오 바오 쩌우가 사용하는

Higgs

의 버전은 종종

\deg(L)\geq 2g

라는 제약 조건을 가지므로, 이는 표준 번들이 될 수 없다. 이 조건은 히친 사상의 위상이, 정확한 의미에서, 매끄러운 부분으로의 제한에 의해 결정되도록 보장하기 위해 추가된다.

5. 역사

나이절 히친이 1987년에 도입하였다.^[3]^[4]

참조

_[1] 문서 幾何学的ラングランズは1990年代に、数体のラングランズ対応の研究から、函数体のラングランズの研究する過程で発生したラングランズ対応の一部とみなすことができる。
_[2] 문서 ヒッチンバンドルの $(F,\Phi)$ のペアのことを言う。ヒッグスバンドルとも言う。
_[3] 저널 The self-duality equations on a Riemann surface http://text.new.ox.a[...]
_[4] 저널 Stable bundles and integrable systems Duke University Press

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