평탄 주접속

1. 개요

평탄 주접속은 매끄러운 다양체 위의 주접속 중 곡률이 0인 경우를 의미한다. 제르브와 ∞-주다발로 일반화될 수 있으며, 복소 구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조를 상속받을 수 있다. 평탄 주접속은 홀로노미에 의해 완전히 분류되며, 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다. 물리학, 특히 천-사이먼스 이론과 한국 이론 물리학 연구에서 핵심적인 역할을 한다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$과 리 군 $G$, 그리고 $G$-매끄러운 주다발 $P\backslash twoheadrightarrow\; M$이 주어졌을 때, $P$의 주접속 $A\backslash in\backslash Omega^1(P;\backslash mathfrak\; g)$에 대하여 곡률 $F\backslash in\backslash Omega^2(P;\backslash mathfrak\; g)$을 정의할 수 있다. 만약 $F=0$이라면, $A$를 $P$의 평탄 주접속이라고 한다.

2.1. 리 군과 주다발

2.2. 곡률과 평탄성

2.3. 제르브의 경우

평탄 주접속의 개념은 제르브와 ∞-주다발로 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용한다. 이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 $M$과 L∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 $\backslash mathfrak\; g$ 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형
:$\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\backslash to\backslash Omega(M)$
이다. (정의역은 $\backslash mathfrak\; g$의 베유 대수, 공역은 $M$의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의 $\backslash mathfrak\; g$-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
\operatorname{inv}(\mathfrak g) & \to & \Omega(M) \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname W(\mathfrak g) & \to & \operatorname\Omega(M\times\triangle^1) \\
\downarrow && \downarrow\\
\operatorname{CE}(\mathfrak g) & \to & \operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1)
\end{matrix}
여기서
* $\backslash triangle^1$은 1차원 단체에 해당한다. 즉, $\backslash operatorname\backslash Omega(M\backslash times\backslash triangle^1)$은 $\backslash Omega(M)\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; R[s,\backslash mathrm\; ds]$이며, $\backslash mathbb\; R[s,\backslash mathrm\; ds]\; =\; \backslash operatorname\backslash Omega(\backslash triangle^1)$은 하나의 0차 생성원 $s$로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
* $\backslash operatorname\{\backslash Omega\_\{vert\}\}(M\backslash times\backslash triangle^1)$는 $\backslash operatorname\backslash Omega(M\backslash times\backslash triangle^1)$ 속의, $\backslash mathrm\; dt$로 생성되는 아이디얼이다.
* 사상 $\backslash operatorname\{\backslash Omega\_\backslash perp\}(M\backslash times\backslash triangle^1)\backslash to\backslash operatorname\backslash Omega(M)$은 포함 사상이다.
* $\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)$와 $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$와 $\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$는 각각 L∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\backslash to\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 $\backslash mathfrak\; g$-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체
:$\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)\; \backslash to\; \backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\; \backslash to\; \backslash operatorname\backslash Omega(M\backslash times\backslash triangle^1)$
가 존재한다.

3. 성질

3.1. 평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조

밑공간 복소 구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

==== 복소구조 ====
만약 $M$에 복소구조
:$J\_M\; \backslash colon\; \backslash mathrm\{TM\}\backslash to\; \backslash mathrm\{TM\}$
가 존재한다고 하면, $\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$ 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 $\backslash delta\; A\backslash in\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$를 $\backslash Omega^1(\backslash Sigma,\backslash mathfrak\; g)$의 원소로 나타내면,
:$J\backslash colon\backslash mathrm\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)\backslash to\backslash mathrm\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$
:$[J(\backslash delta\; A)]^j=(J\_M)\_i\{\}^j(\backslash delta\; A)\_i$
여기서, 우변의 $J\_i\{\}^j$는 $M$의 복소구조다.

==== 심플렉틱 구조 ====
리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 $K(-,-)$을 갖춘 가약 리 대수인 $G$를 생각하자. (半單純Lie代數/반단순 리 대수^영어의 경우 이는 킬링 형식 $K(AB)=\backslash operatorname\{tr\}(AB)$의 스칼라배다.)

만약 $M$에 심플렉틱 구조
:$\backslash omega\backslash in\backslash Omega^2(M)$
가 주어졌다면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\; M(M;G)$ 역시 심플렉틱 구조를 가진다.$\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다. 구체적으로, 임의의 $\backslash mathcal\; M$의 접공간의 원소 $\backslash delta\_1A,\backslash delta\_2\; A\backslash in\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$가 주어졌다고 하자. 이들을 $\backslash mathfrak\; g$ 값의 1차 미분 형식으로 간주하면, 심플렉틱 구조를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$\backslash omega(\backslash delta\; A\_1,\backslash delta\; A\_2)=\backslash int\_\backslash Sigma\; \backslash omega^\{ij\}\; K\_\{ab\}\backslash delta\_1\; A^a\_i\backslash wedge\backslash delta\_2\; A^a\_j$
평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 $M$이 켈러 다양체라면, $\backslash mathcal\; M(M,G)$는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, $M$이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

3.1.1. 복소구조

만약 $M$에 복소구조
:$J\_M\; \backslash colon\; \backslash mathrm\{TM\}\backslash to\; \backslash mathrm\{TM\}$
가 존재한다고 하면, $\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$ 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 $\backslash delta\; A\backslash in\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$를 $\backslash Omega^1(\backslash Sigma,\backslash mathfrak\; g)$의 원소로 나타내면,
:$J\backslash colon\backslash mathrm\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)\backslash to\backslash mathrm\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$
:$[J(\backslash delta\; A)]^j=(J\_M)\_i\{\}^j(\backslash delta\; A)\_i$
여기서, 우변의 $J\_i\{\}^j$는 $M$의 복소구조다.

3.1.2. 심플렉틱 구조

리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 $K(-,-)$을 갖춘 가약 리 대수인 $G$를 생각하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 $K(AB)=\backslash operatorname\{tr\}(AB)$의 스칼라배다.)

만약 $M$에 심플렉틱 구조
:$\backslash omega\backslash in\backslash Omega^2(M)$
가 주어졌다면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\; M(M;G)$ 역시 심플렉틱 구조를 가진다.$\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다. 구체적으로, 임의의 $\backslash mathcal\; M$의 접공간의 원소 $\backslash delta\_1A,\backslash delta\_2\; A\backslash in\; T\_A\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)$가 주어졌다고 하자. 이들을 $\backslash mathfrak\; g$ 값의 1차 미분 형식으로 간주하면, 심플렉틱 구조를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$\backslash omega(\backslash delta\; A\_1,\backslash delta\; A\_2)=\backslash int\_\backslash Sigma\; \backslash omega^\{ij\}\; K\_\{ab\}\backslash delta\_1\; A^a\_i\backslash wedge\backslash delta\_2\; A^a\_j$
평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 $M$이 켈러 다양체라면, $\backslash mathcal\; M(M,G)$는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, $M$이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

3.2. 반단순 리 군의 경우

$G$가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자. 콤팩트 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 평탄 $G$-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로
:$\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma)\backslash cong\backslash hom(\backslash pi\_1(\backslash Sigma),G)/G$
이다. 여기서 $\backslash pi\_1(\backslash Sigma)$는 $\backslash Sigma$의 기본군이고, $\backslash hom(\backslash cdot,\backslash cdot)$은 군 준동형들의 공간이며, $/G$는 동치관계 $\backslash phi\backslash sim\; g\backslash phi\; g^\{-1\}$에 대한 동치류를 취하는 것이다.

곡면 $\backslash Sigma$의 기본군은 다음과 같이 표시된다.
:$\backslash pi\_1(\backslash Sigma)=\backslash langle\; a\_1,b\_1,\backslash dots,a\_g,b\_g|a\_1b\_1a\_1^\{-1\}b\_1^\{-1\}\backslash cdots\; a\_gb\_ga\_g^\{-1\}b\_g^\{-1\}\backslash rangle$
따라서, $\backslash hom(\backslash pi\_1(\backslash Sigma),G)$의 한 원소는 $\backslash pi\_1(\backslash Sigma)$의 생성원 $\backslash \{a\_i,b\_i\backslash \}\_\{i=1,\backslash dots,g\}$의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 $2g(\backslash dim\; G)$개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 $\backslash phi(a\_1)\backslash phi(b\_1)\backslash phi(a\_1)^\{-1\}\backslash phi(b\_1)^\{-1\}\backslash cdots=1$은 $\backslash dim\; G$개의 제약을 가하고, 또한 $G$의 켤레 작용 $\backslash phi\backslash sim\; g\backslash phi\; g^\{-1\}$ 또한 차원을 $\backslash dim\; G$만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은
:$\backslash dim\backslash mathcal\; M=-\backslash chi(\backslash Sigma)\backslash cdot\backslash dim\; G=(2g-2)\backslash cdot\backslash dim\; G$
이다. 여기서 $\backslash chi(\backslash Sigma)=2-2g$는 $\backslash Sigma$의 오일러 지표다.

4. 분류

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 연결 공간 $M$의 임의의 점 $x\backslash in\; M$에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 기본군에서 리 군으로 가는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

:$\backslash operatorname\backslash pi\_1(M,x)\; \backslash to\; G$

게이지 변환에 따라서, $M$ 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

:$\backslash mathcal\; M=\backslash frac\{\backslash hom(\backslash pi\_1(M,x),G)\}G$

이다. 여기서 $G$의 작용은 공액류 작용이다.

:$g\backslash cdot\backslash phi\; =\; ([\backslash gamma]\backslash mapsto[t\backslash mapsto\; g\backslash gamma(t)^\{-1\}])$

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 $G$가 아벨 군일 경우 이는 단순히 $\backslash mathcal\; M=\backslash hom(\backslash pi\_1(M,x))$이며, 만약 $M=\backslash mathbb\; T^n$이 원환면일 경우 이는 $\backslash mathcal\; M=G^n$이다.

4.1. 홀로노미와 기본군

연결 공간에서 평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 연결 공간 $M$의 임의의 점 $x\backslash in\; M$에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 기본군에서 리 군으로 가는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

:$\backslash operatorname\backslash pi\_1(M,x)\; \backslash to\; G$

게이지 변환에 따라서, $M$ 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

:$\backslash mathcal\; M=\backslash frac\{\backslash hom(\backslash pi\_1(M,x),G)\}G$

이다. 여기서 $G$의 작용은 공액류 작용이다.

:$g\backslash cdot\backslash phi\; =\; ([\backslash gamma]\backslash mapsto[t\backslash mapsto\; g\backslash gamma(t)^\{-1\}])$

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 $G$가 아벨 군일 경우 이는 단순히 $\backslash mathcal\; M=\backslash hom(\backslash pi\_1(M,x))$이며, 만약 $M=\backslash mathbb\; T^n$이 원환면일 경우 이는 $\backslash mathcal\; M=G^n$이다.

4.2. 모듈라이 공간

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 연결 공간 $M$에서 임의의 점 $x\backslash in\; M$에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

게이지 변환에 따라서, $M$ 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간 $\backslash mathcal\; M=\backslash frac\{\backslash hom(\backslash pi\_1(M,x),G)\}G$이다. 여기서 $G$의 작용은 공액류 작용이다.

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

만약 $G$가 아벨 군일 경우 이는 단순히 $\backslash mathcal\; M=\backslash hom(\backslash pi\_1(M,x))$이며, 만약 $M=\backslash mathbb\; T^n$이 원환면일 경우 이는 $\backslash mathcal\; M=G^n$이다.

5. 예

5.1. 단일 연결 공간

단일 연결 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $G$-주다발은 동형 아래 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구 $\backslash Sigma=S^2$의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간이다.
:$\backslash mathcal\; M(S^2;G)=\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$

5.2. 원환면

원환면 $\backslash Sigma=\backslash mathbb\; T^2=\backslash mathbb\; S^1\backslash times\backslash mathbb\; S^1$의 경우, 반단순 리 군 $G$에 대하여
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^2;G)=(C(G)\backslash times\; C(G))/\backslash operatorname\{Weyl\}(G)$
이다. 여기서 $C(G)\backslash cong\; U(1)^\{\backslash operatorname\{rank\}(G)\}$는 $G$의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, $\backslash operatorname\{Weyl\}(G)$는 $C(G)$에 작용하는 바일 군이다.

==== 원환면 위의 U(N) 및 GL(N;ℂ) 주접속 ====
$\backslash mathbb\; T^n$ 위의 $\backslash operatorname\; U(N)$ 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, $n$개의 가환 홀로노미들은 $n$개의 서로 가환하는 $N\backslash times\; N$ 유니터리 행렬
:$M\_1,\backslash dotsc,M\_n$
을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여
:$M\_i\; =\; \backslash operatorname\{diag\}(\backslash lambda\_\{i,1\},\backslash dotsc,\backslash lambda\_\{i,N\})$
:$\backslash lambda\_\{i,j\}\backslash in\backslash \{z\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash colon|z|=1\backslash \}$
로 놓을 수 있다. 이제
:$\backslash vec\backslash lambda\_j=(\backslash lambda\_\{1,j\},\backslash dotsc,\backslash lambda\_\{n,j\})$
로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 $\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash operatorname\; U(N))=\backslash operatorname\{Sym\}(N)$의 작용)은 $\backslash vec\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\backslash lambda\_N$ 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\; U(N))\; =\; \backslash operatorname\{Conf\}^N(\backslash mathbb\; T^n)$

$G=\backslash operatorname\; U(N)$ 대신 $G=\backslash operatorname\{GL\}(N;\backslash mathbb\; C)$의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 $\backslash lambda\_\{i,j\}\backslash in\backslash \{z\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash colon\; |z|=1\backslash \}$ 대신
:$\backslash lambda\_\{i,j\}\backslash in\backslash mathbb\; C^\backslash times=\backslash mathbb\; C\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$
이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\; U(N))\; =\; \backslash operatorname\{Conf\}^N\backslash left((\backslash mathbb\; C^\backslash times)^\{\backslash times\; n\}\backslash right)$

==== 원환면 위의 SU(N) 및 SL(N;ℂ) 주접속 ====
$\backslash operatorname\{SU\}(N)$의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 ($\backslash mathbb\; T^n$의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, $\backslash mathbb\; T^n$ 위의 $N$개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\{SU\}(N))\; =\; \backslash frac\{\backslash \{(\backslash vec\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\backslash lambda\_N)\backslash in\; (\backslash mathbb\; T^n)^\{\backslash times\; N\}\backslash colon\backslash sum\_\{i=1\}^N\backslash vec\backslash lambda\_i=0\backslash \}\}\{\backslash operatorname\{Sym\}(N)\}$

특히, $M=\backslash mathbb\; T^2$일 때, $\backslash mathbb\; T^2$ 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 $N$개의 점들은 $\backslash mathbb\; T^2$ 위의, 차수 $N$의 인자를 정의하며, 이들은 $M$ 위의, 차수 $N$의 복소수 선다발 $L\backslash twoheadrightarrow\; M$의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^2;\backslash operatorname\{SU\}(N))\; =\; \backslash operatorname\{\backslash mathbb\; P\}(\backslash operatorname\; H^0(L))$
이다. 리만-로흐 정리에 의하여, $L$의 차수가 $N$이므로, 그 차원은
:$\backslash dim\_\{\backslash mathbb\; C\}\backslash operatorname\; H^0(L)\; =\; N\; -\; g(\backslash mathbb\; T^2)\; +\; 1\; =\; N$
이다. 즉,
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^2;\backslash operatorname\{SU\}(N))\; =\; \backslash operatorname\{Proj\}(\backslash operatorname\; H^0(L))\; =\; \backslash operatorname\{\backslash mathbb\; CP\}^\{N-1\}$

$\backslash operatorname\{SL\}(N;\backslash mathbb\; C)$의 경우는 $\backslash operatorname\{SU\}(N)$와 마찬가지이지만, 덧셈 아벨 군 $\backslash operatorname\; U(1)$ 대신 곱셈 아벨 군 $\backslash mathbb\; C^\backslash times$가 들어가게 된다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\{SL\}(N;\backslash mathbb\; C))\; =\; \backslash frac\{\backslash \{(\backslash vec\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\backslash lambda\_N)\backslash in((\backslash mathbb\; C^\backslash times)^n)^\{\backslash times\; N\}\backslash colon\backslash prod\_\{j=1\}^N\backslash lambda\_\{i,j\}=0\backslash qquad\backslash forall\; i\backslash in\backslash \{1,\backslash dotsc,n\backslash \}\backslash \}\}\{\backslash operatorname\{Sym\}(N)\}$

5.2.1. 원환면 위의 U(N) 및 GL(N;ℂ) 주접속

$\backslash mathbb\; T^n$ 위의 $\backslash operatorname\; U(N)$ 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, $n$개의 가환 홀로노미들은 $n$개의 서로 가환하는 $N\backslash times\; N$ 유니터리 행렬
:$M\_1,\backslash dotsc,M\_n$
을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여
:$M\_i\; =\; \backslash operatorname\{diag\}(\backslash lambda\_\{i,1\},\backslash dotsc,\backslash lambda\_\{i,N\})$
:$\backslash lambda\_\{i,j\}\backslash in\backslash \{z\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash colon|z|=1\backslash \}$
로 놓을 수 있다. 이제
:$\backslash vec\backslash lambda\_j=(\backslash lambda\_\{1,j\},\backslash dotsc,\backslash lambda\_\{n,j\})$
로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 $\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash operatorname\; U(N))=\backslash operatorname\{Sym\}(N)$의 작용)은 $\backslash vec\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\backslash lambda\_N$ 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\; U(N))\; =\; \backslash operatorname\{Conf\}^N(\backslash mathbb\; T^n)$

$G=\backslash operatorname\; U(N)$ 대신 $G=\backslash operatorname\{GL\}(N;\backslash mathbb\; C)$의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 $\backslash lambda\_\{i,j\}\backslash in\backslash \{z\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash colon\; |z|=1\backslash \}$ 대신
:$\backslash lambda\_\{i,j\}\backslash in\backslash mathbb\; C^\backslash times=\backslash mathbb\; C\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$
이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\; U(N))\; =\; \backslash operatorname\{Conf\}^N\backslash left((\backslash mathbb\; C^\backslash times)^\{\backslash times\; n\}\backslash right)$

5.2.2. 원환면 위의 SU(N) 및 SL(N;ℂ) 주접속

$\backslash operatorname\{SU\}(N)$의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 ($\backslash mathbb\; T^n$의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, $\backslash mathbb\; T^n$ 위의 $N$개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\{SU\}(N))\; =\; \backslash frac\{\backslash \{(\backslash vec\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\backslash lambda\_N)\backslash in\; (\backslash mathbb\; T^n)^\{\backslash times\; N\}\backslash colon\backslash sum\_\{i=1\}^N\backslash vec\backslash lambda\_i=0\backslash \}\}\{\backslash operatorname\{Sym\}(N)\}$

특히, $M=\backslash mathbb\; T^2$일 때, $\backslash mathbb\; T^2$ 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 $N$개의 점들은 $\backslash mathbb\; T^2$ 위의, 차수 $N$의 인자를 정의하며, 이들은 $M$ 위의, 차수 $N$의 복소수 선다발 $L\backslash twoheadrightarrow\; M$의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^2;\backslash operatorname\{SU\}(N))\; =\; \backslash operatorname\{\backslash mathbb\; P\}(\backslash operatorname\; H^0(L))$
이다. 리만-로흐 정리에 의하여, $L$의 차수가 $N$이므로, 그 차원은
:$\backslash dim\_\{\backslash mathbb\; C\}\backslash operatorname\; H^0(L)\; =\; N\; -\; g(\backslash mathbb\; T^2)\; +\; 1\; =\; N$
이다. 즉,
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^2;\backslash operatorname\{SU\}(N))\; =\; \backslash operatorname\{Proj\}(\backslash operatorname\; H^0(L))\; =\; \backslash operatorname\{\backslash mathbb\; CP\}^\{N-1\}$
이다.

$\backslash operatorname\{SL\}(N;\backslash mathbb\; C)$의 경우는 $\backslash operatorname\{SU\}(N)$와 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 $\backslash operatorname\; U(1)$ 대신 곱셈 아벨 군 $\backslash mathbb\; C^\backslash times$가 들어가게 된다.
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^n;\backslash operatorname\{SL\}(N;\backslash mathbb\; C))\; =\; \backslash frac\{\backslash \{(\backslash vec\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\backslash lambda\_N)\backslash in((\backslash mathbb\; C^\backslash times)^n)^\{\backslash times\; N\}\backslash colon\backslash prod\_\{j=1\}^N\backslash lambda\_\{i,j\}=0\backslash qquad\backslash forall\; i\backslash in\backslash \{1,\backslash dotsc,n\backslash \}\backslash \}\}\{\backslash operatorname\{Sym\}(N)\}$

6. 응용

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다. 한국의 이론 물리학계에서는 천-사이먼스 이론 및 관련 위상 양자장 연구가 활발히 진행되고 있으며, 평탄 주접속은 이러한 연구에서 핵심적인 역할을 한다.

6.1. 천-사이먼스 이론

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

6.2. 한국 물리학계의 연구

한국의 이론 물리학계에서는 천-사이먼스 이론 및 관련 위상 양자장 연구가 활발히 진행되고 있으며, 평탄 주접속은 이러한 연구에서 핵심적인 역할을 한다. 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.