5차원

1. 개요

5차원은 5개의 좌표로 표현되는 공간이며, 기하학적으로는 변환과 불변성을 연구하는 대상이다. 5차원 공간의 점은 5개의 좌표 (v, w, x, y, z)로 나타낼 수 있으며, 5차원 벡터의 크기는 피타고라스 정리를 확장하여 계산된다. 5차원 기하학에서는 3가지 종류의 정다포체(5-단순체, 5-초입방체, 5-정축체)와 초구가 존재한다. 물리학에서는 칼루자-클라인 이론을 통해 중력과 전자기력을 통합하려는 시도가 있었으며, 초끈 이론과 M-이론에서 추가 차원의 존재를 제시한다. 거대 강입자 충돌기는 5차원의 존재에 대한 간접적인 증거를 제공할 수 있으며, 홀로그래피 원리는 추가 차원에 대한 정보를 설명한다.

2. 성질

5차원 공간에서 점의 좌표는 5개의 값을 가지는 위치 벡터로 표현할 수 있다. 5차원 벡터의 절대값은 피타고라스 정리를 확장한 형태 $\backslash sqrt\{v^2+w^2+x^2+y^2+z^2\}$로 정의된다. 5차 이상의 방정식은 계수를 이용한 다항식의 근을 정할 수 없는 것으로 알려져 있다. (→ 아벨-루피니 정리)

3. 5차원 기하학

클라인의 정의에 따르면, 기하학은 시공간 내의 변환 하에서 시공간의 불변적인 속성을 연구하는 학문이다. 따라서 5차원 기하학은 5개의 좌표 값 (x, y, z, w, v)을 사용하여 표현되는 공간에서의 변환과 불변성을 연구한다. v 축을 따라 이동하는 것은 서로 다른 초부피 사이를 이동하는 것을 포함한다.

5차원 이상에서는 5-단순체, 5-초입방체, 5-정축체의 세 가지 종류의 정다포체만 존재한다. 5-반정육면체는 5-초입방체 꼭짓점의 절반을 가지는 중요한 균일 5-다포체이다. 확장되거나 스테리케이트된 5-단순체는 A₅ 격자의 꼭짓점 형상이며, rectified 5-정축체는 D₅ 격자의 꼭짓점 형상이다.

중심점으로부터 고정된 거리 r에 있는 모든 점의 집합은 5차원 공간에서 초구(4-구)를 이룬다. 5차원 초구의 초부피(V)는 다음과 같이 계산된다.

:$V=\backslash frac\{8\backslash pi\; ^2r^5\}\{15\}$

3.1. 다포체 (폴리토프)

5차원 이상에서는 세 가지 종류의 정다포체만 존재한다. 5차원의 정다포체는 다음과 같다.

* 5-단순체는 단순체 계열 {3,3,3,3}으로, 6개의 꼭짓점, 15개의 모서리, 20개의 면(정삼각형), 15개의 포면 (정사면체), 그리고 6개의 초세포(5-세포)를 갖는다.
* 5-초입방체는 초입방체 계열 {4,3,3,3}으로, 32개의 꼭짓점, 80개의 모서리, 80개의 면(정사각형), 40개의 포면(정육면체), 그리고 10개의 초세포(테서랙트)를 갖는다.
* 5-정축체는 교차 다면체 계열 {3,3,3,4}로, 10개의 꼭짓점, 40개의 모서리, 80개의 면(삼각형), 80개의 포면(사면체), 그리고 32개의 초세포(5-세포)를 갖는다.

5-반정육면체 h{4,3,3,3}은 중요한 균일 5-다포체로, 5-초입방체 꼭짓점의 절반(16개)을 가지며, 교대로 5-세포와 16-세포 초세포로 경계가 이루어진다. 확장된 또는 스테리케이트된 5-단순체는 A₅ 격자의 꼭짓점 형상이다. 이것은 대칭적인 콕서터 다이어그램으로부터 대칭성을 두 배로 갖는다. 격자의 접촉수는 30이며 꼭짓점으로 나타난다. rectified 5-정축체는 D₅ 격자의 꼭짓점 형상이다. 40개의 꼭짓점은 격자의 접촉수를 나타내며, 5차원에서 가장 높다.

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📌 열 고정 해제

5차원의 정다포체와 준정다포체
(각 콕서터 평면 대칭의 직교 투영으로 표시)

A5	Aut(A5)	B5			D5
5-단순체 {3,3,3,3}	스테리케이트된 5-단순체	-- 5-초입방체 {4,3,3,3}	5-정축체 {3,3,3,4}	rectified 5-정축체 r{3,3,3,4}	5-반정육면체 h{4,3,3,3}

3.2. 초구 (Hypersphere)

5차원 공간에서 중심점으로부터 고정된 거리 r에 있는 모든 점의 집합을 초구(4-구)라고 한다. 5차원 초구의 초부피(V)는 다음과 같이 계산된다.

:$V=\backslash frac\{8\backslash pi\; ^2r^5\}\{15\}$

4. 물리학에서의 5차원

5차원에 대한 초기 연구는 주로 강한 핵력, 약한 핵력, 중력, 전자기력 등 자연의 네 가지 기본적인 상호작용을 통일장 이론으로 개발하려는 시도였다. 독일의 테오도어 칼루자와 스웨덴의 오스카 클라인은 1921년 칼루자-클라인 이론을 독자적으로 개발했는데, 이 이론은 다섯 번째 차원을 사용하여 중력과 전자기력을 통합하려 했다. 클라인은 이 차원이 직접 관찰되지 않는 이유를 설명하기 위해, 다섯 번째 차원이 10^-33센티미터 정도의 작고 콤팩트한 루프로 말려 있을 것이라고 제안했다.

칼루자-클라인 이론은 초끈 이론과 초중력의 등장으로 1970년대에 다시 주목받았다. M-이론은 10개의 필수 차원 외에 추가적인 차원의 존재를 제시하며, 이 추가 차원들은 소립자 수준 이하의 크기로 압축되어 있다고 설명한다. 거대 강입자 충돌기는 5차원의 존재에 대한 간접적인 증거를 제공할 수 있다. 물리학자들은 소립자 충돌 과정에서 4차원을 벗어나 5차원으로 새어 나가는 중력자가 생성될 수 있다고 예측한다.

1993년, 제라르트 't 호프트는 홀로그래피 원리를 제시하여, 추가 차원에 대한 정보가 한 차원 낮은 시공간에서 곡률로 나타날 수 있다고 설명했다. 최근 연구에서는 5차원 시공간 확장에 대한 다양한 해석이 제시되고 있다.