Z변환

3. 정의

다른 적분 변환처럼 라플라스 변환이 일방 및 양방 변환으로 나뉘는 것과 같이, Z변환 역시 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.^[11]

수열 $x\_n$의 Z변환은 일반적으로 다음과 같이 정의된다. 이는 '''양측 Z변환'''(two-sided Z-transform, bilateral Z-transform^eng)이라고도 불린다.

:$\backslash mathcal\{Z\}[x\_n]\; =\; X(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; x\_n\; z^\{-n\}$

여기서 $n$은 정수이고, $z$는 복소수 변수이다.

만약 에서 $x\_n\; =\; 0$인 경우, 즉 인과적 신호의 경우 합의 범위를 $0$부터 시작하여 다음과 같이 정의할 수 있다. 이를 '''단측 Z변환'''(single-sided Z-transform, unilateral Z-transform^eng)이라고 한다.

:$\backslash mathcal\{Z\}[x\_n]\; =\; X(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; x\_n\; z^\{-n\}$

단측 Z변환은 신호 처리와 같은 공학 분야에서 시스템의 인과율을 가정할 때 자주 사용된다.

2차원 신호(예: 이미지)에 대한 2차원 Z변환의 정의는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{Z\}[x(n\_1,n\_2)]\; =\; X(z\_1,z\_2)=\backslash sum\_\{n\_1=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\backslash sum\_\{n\_2=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; x(n\_1,n\_2)\; z\_1^\{-n\_1\}z\_2^\{-n\_2\}$

3. 1. 양방향 Z 변환

3. 2. 단방향 Z 변환

4. Z 역변환

Z 역변환은 Z 변환된 함수 $X(z)$로부터 원래의 이산 시간 신호 $x[n]$을 구하는 과정이다. Z 역변환은 다음과 같은 선적분으로 정의된다.

:$x[n]\; =\; \backslash mathcal\{Z\}^\{-1\}\; \backslash \{X(z)\; \backslash \}=\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; j\}\; \backslash oint\_\{C\}\; X(z)\; z^\{n-1\}\; dz$

여기서 $j$는 허수 단위이고, $C$는 원점을 반시계 방향으로 둘러싸면서 수렴 영역 (ROC, Radius of Convergence) 안에 완전히 포함되는 닫힌 경로이다. 만약 ROC가 인과적(causal)이라면, 이 경로는 $X(z)$의 모든 극점을 포함해야 한다.

이 선적분은 잔류 정리를 이용하여 계산할 수 있다. 즉, 경로 $C$ 내부에 있는 $X(z)\; z^\{n-1\}$의 모든 극점에서의 잔류를 합하여 $2\; \backslash pi\; j$로 나누면 $x[n]$을 얻을 수 있다.

특별히 경로 $C$가 단위원일 경우, Z 역변환은 역 이산 시간 푸리에 변환 (Inverse DTFT)으로 단순화된다. 이 경우는 ROC가 단위원(unit circle)을 포함할 때, 즉 시스템이 안정적일 때(모든 극점이 단위원 내부에 있을 때) 가능하다.

:$x[n]\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{+\backslash pi\}\; X(e^\{j\; \backslash omega\})\; e^\{j\; \backslash omega\; n\}\; d\; \backslash omega$

하지만 실제로 Z 역변환을 구할 때는 정의에 따른 적분 계산보다는 다른 방법을 사용하는 경우가 많다. 주로 사용되는 방법은 다음과 같다.

• 부분분수 분해: 라플라스 역변환과 유사하게, $X(z)$가 유리 함수일 때 자주 사용된다. $X(z)/z$를 부분분수로 분해한 뒤, 각 항에 $z$를 곱하고 알려진 Z 변환 쌍 표를 이용하여 각 항을 역변환한 후 합한다.
• 예시: $X(z)\; =\; \backslash frac\{3z^\{2\}\; -\; 7z\}\{z^\{2\}\; -\; 5z\; +\; 6\}$의 역변환을 구해보자.

• 거듭제곱 급수 전개: $X(z)$를 $z$에 대한 거듭제곱 급수(특히 로랑 급수)로 전개하여 $z^\{-n\}$의 계수로부터 $x[n]$을 직접 구하는 방법이다.
• 예를 들어, $X(z)\; =\; z\; +\; 2\; -\; 3z^\{-1\}$ 이라면, $x[-1]=1,\; x[0]=2,\; x[1]=-3$ 이고 나머지 $n$에 대해서는 $x[n]=0$ 임을 바로 알 수 있다.

5. 수렴 영역 (ROC)

수렴 영역(ROC)은 Z-변환 합이 수렴하는(즉, 크기가 무한대로 발산하지 않는) 복소 평면의 점들의 집합이다. 수학적으로는 다음과 같이 정의된다.

:

ROC는 Z-변환된 함수 $X(z)$와 함께 원래 신호 $x[n]$을 유일하게 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 동일한 $X(z)$라도 ROC가 다르면 다른 신호를 나타낼 수 있다.

'''예제 1: 인과 시스템'''

신호 $x[n]\; =\; (0.5)^n\; \backslash ,\; u[n]$ (여기서 $u[n]$은 헤비사이드 계단 함수)를 생각해 보자. 이 신호는 $n\; \backslash ge\; 0$에서만 값을 가지는 인과 신호이다.

:$x[n]\; =\; \backslash left\; \backslash \{\backslash dots,\; 0,\; 0,\; 0,\; 1,\; 0.5,\; (0.5)^2,\; (0.5)^3,\; \backslash dots\; \backslash right\; \backslash \}$

Z-변환은 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}x[n]z^\{-n\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}(0.5)^nz^\{-n\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac\{0.5\}\{z\}\backslash right)^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; 0.5z^\{-1\}\}$

이 무한 등비수열의 합은 공비의 절댓값이 1보다 작을 때, 즉 일 때만 수렴한다. 이를 $z$에 대해 정리하면 $|z|\; >\; 0.5$가 된다. 따라서 이 신호의 ROC는 $|z|\; >\; 0.5$이며, 이는 복소 평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 0.5인 원의 바깥 영역이다.

'''예제 2: 반인과 시스템'''

이번에는 신호 $x[n]\; =\; -(0.5)^n\; \backslash ,\; u[-n-1]$를 고려해 보자. 이 신호는 에서만 값을 가지는 반인과 신호이다.

:$x[n]\; =\; \backslash left\; \backslash \{\; \backslash dots,\; -(0.5)^\{-3\},\; -(0.5)^\{-2\},\; -(0.5)^\{-1\},\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; \backslash dots\; \backslash right\; \backslash \}$

Z-변환은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] \, z^{-n} &= -\sum_{n=-\infty}^{-1}(0.5)^n \, z^{-n} \\

&= -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} \quad (\text{여기서 } m = -n) \\

&= -\frac{(0.5)^{-1}z}{1 - (0.5)^{-1}z} \\

&= -\frac{2z}{1 - 2z} = \frac{2z}{2z - 1} = \frac{z}{z - 0.5} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}

\end{align}

이 무한 등비수열의 합은 공비의 절댓값이 1보다 작을 때, 즉 또는 일 때만 수렴한다. 이를 $z$에 대해 정리하면 가 된다. 따라서 이 신호의 ROC는 이며, 이는 복소 평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 0.5인 원의 내부 영역이다.

예제 1과 2는 Z-변환 함수 $X(z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; 0.5z^\{-1\}\}$는 동일하지만, ROC($|z|\; >\; 0.5$와 )가 다르기 때문에 서로 다른 신호 $x[n]$에 해당함을 보여준다. 즉, Z-변환 함수만으로는 원래 신호를 특정할 수 없으며, ROC 정보가 반드시 필요하다.

'''ROC의 속성'''

• ROC는 극점을 포함하지 않는다. Z-변환 함수는 극점에서 무한대가 되므로 합이 수렴할 수 없다. 위의 두 예제 모두 ROC는 $|z|\; =\; 0.5$에 있는 극점을 포함하지 않는다.
• 인과 시스템(예제 1)의 ROC는 어떤 원의 바깥 영역이며, $|z|\; =\; \backslash infty$를 포함할 수 있다.
• 반인과 시스템(예제 2)의 ROC는 어떤 원의 내부 영역이며, $|z|\; =\; 0$을 포함할 수 있다.

• $(0.5)^n\; \backslash ,\; u[n]$의 Z-변환은 $\backslash frac\{1\}\{1\; -\; 0.5z^\{-1\}\}$이고 ROC는 $|z|\; >\; 0.5$이다.
• $-(0.75)^n\; \backslash ,\; u[-n-1]$의 Z-변환은 $\backslash frac\{1\}\{1\; -\; 0.75z^\{-1\}\}$이고 ROC는 이다. (원본 소스의 부호 오류 수정: $-(.75)^n\; \backslash ,\; u[-n-1]$의 Z변환은 $\backslash frac\{-1\}\{1-(0.75z^\{-1\})^\{-1\}\}\; =\; \backslash frac\{-1\}\{1-z/0.75\}\; =\; \backslash frac\{0.75\}\{z-0.75\}\; =\; \backslash frac\{0.75z^\{-1\}\}\{1-0.75z^\{-1\}\}$ 이나, 원본 소스에서는 $\backslash frac\{1\}\{1\; -\; 0.75z^\{-1\}\}$ 로 계산하고 있음. 원본 소스를 따라 $\backslash frac\{1\}\{1\; -\; 0.75z^\{-1\}\}$로 계산된 것으로 가정하고 ROC만 기술)

• 안정성: 시스템이 안정하려면 ROC가 복소 평면의 단위 원($|z|\; =\; 1$)을 포함해야 한다. 예제 1의 인과 시스템은 ROC가 $|z|\; >\; 0.5$이므로 단위 원을 포함하여 안정하다. 반면 예제 2의 반인과 시스템은 ROC가 이므로 단위 원을 포함하지 않아 불안정하다. 예제 3의 혼합 인과성 시스템은 ROC가 이므로 단위 원을 포함하지 않아 불안정하다.
• 인과성: 시스템이 인과적이려면 ROC는 가장 바깥쪽 극점의 바깥 영역이어야 하며, 무한대를 포함해야 한다. 시스템이 반인과적이려면 ROC는 가장 안쪽 극점의 안쪽 영역이어야 하며, 원점을 포함해야 한다.

• 안정성을 원하면, ROC는 단위 원을 포함하도록 선택한다.
• 인과성을 원하면, ROC는 가장 바깥쪽 극점의 바깥 영역으로 선택한다.
• 반인과성을 원하면, ROC는 가장 안쪽 극점의 안쪽 영역으로 선택한다.
• 안정성과 인과성을 모두 원한다면, 시스템의 모든 극점은 단위 원 내부에 있어야 하며, ROC는 가장 바깥쪽 극점의 바깥 영역이 된다.

6. 성질

$x[n]=\backslash mathcal\{Z\}^\{-1\}\backslash \{X(z)\backslash \}$ (역 z-변환의 정의)r_2<>z|선형성$a\_1\; x\_1[n]\; +\; a\_2\; x\_2[n]$$a\_1\; X\_1(z)\; +\; a\_2\; X\_2(z)$ROC₁ ∩ ROC₂ 를 포함시간 확장
with $K\backslash mathbb\{Z\}\; :=\; \backslash \{Kr:\; r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$$X(z^K)$$R^\{\backslash frac\{1\}\{K\}\}$시간 축소$x[Kn]$$\backslash frac\{1\}\{K\}\; \backslash sum\_\{p=0\}^\{K-1\}\; X\backslash left(z^\{\backslash tfrac\{1\}\{K\}\}\; \backslash cdot\; e^\{-i\; \backslash tfrac\{2\backslash pi\}\{K\}\; p\}\backslash right)$ohio-state.edu 또는 ee.ic.ac.uk시간 지연$x[n-k]$
with $k>0$ and $z^\{-k\}X(z)$$k\; >\; 0$ 이면 $z\{=\}0$ , 이면 $z\; \{=\}\; \backslash infty$ 를 제외한 ROC시간 전진$x[n+k]$
with $k>0$양측 z-변환:
$z^kX(z)$
단측 z-변환:^[13]
$z^k\; \backslash ,\; X(z)-z^k\backslash sum^\{k-1\}\_\{n=0\}x[n]\; \backslash ,\; z^\{-n\}$1차 후방 차분$x[n]\; -\; x[n-1]$
with $x[n]\{=\}0$ for $(1-z^\{-1\})\; \backslash ,\; X(z)$$z\; \backslash neq\; 0$ 이고 $X\_1(z)$ 의 ROC의 교집합을 포함1차 전방 차분$x[n+1]\; -\; x[n]$$(z-1)\; \backslash ,\; X(z)-z\; \backslash ,\; x[0]$시간 반전$x[-n]$$X(z^\{-1\})$\tfrac{1}{r_1}<>z|<\tfrac{1}{r_2}z-영역에서의 스케일링$a^n\; x[n]$$X(a^\{-1\}z)$>a|r_2 < |z|< |a|r_1복소 공액$x^*[n]$$X^*(z^*)$실수부$\backslash operatorname\{Re\}\backslash \{x[n]\backslash \}$$\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left[X(z)+X^*(z^*)\; \backslash right]$허수부$\backslash operatorname\{Im\}\backslash \{x[n]\backslash \}$$\backslash tfrac\{1\}\{2j\}\backslash left[X(z)-X^*(z^*)\; \backslash right]$z-영역에서의 미분$n\; \backslash ,\; x[n]$$-z\; \backslash frac\{dX(z)\}\{dz\}$$X(z)$ 가 유리함수이면 ROC, $X(z)$ 가 무리함수이면 ROC는 경계를 포함하지 않을 수 있음^[14]컨볼루션$x\_1[n]\; *\; x\_2[n]$$X\_1(z)\; \backslash ,\; X\_2(z)$ROC₁ ∩ ROC₂ 를 포함상관 관계$r\_\{x\_1,x\_2\}=x\_1^*[-n]\; *\; x\_2[n]$$R\_\{x\_1,x\_2\}(z)=X\_1^*(\backslash tfrac\{1\}\{z^*\})X\_2(z)$$X\_1(\backslash tfrac\{1\}\{z^*\})$ 과 $X\_2(z)$ 의 ROC의 교집합을 포함누적$\backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\{n\}\; x[k]$$\backslash frac\{1\}\{1-z^\{-1\}\}X(z)$곱셈$x\_1[n]\; \backslash ,\; x\_2[n]$$\backslash frac\{1\}\{j2\backslash pi\}\backslash oint\_C\; X\_1(v)X\_2(\backslash tfrac\{z\}\{v\})v^\{-1\}\backslash mathrm\{d\}v$r_{1l}r_{2l}<>z|