공간 채움 곡선

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
- 3.1. 페아노 곡선
- 3.2. 힐베르트 곡선
4. 성질
- 4.1. 한-마주르키에비치 정리
- 4.2. 네토 정리
5. 구성 방법
6. 응용
참조

1. 개요

공간 채움 곡선은 위상 공간 X로 가는 전사 연속 함수 [0,1] → X로, X가 2차원 이상의 다양체인 경우를 의미한다. 1890년 주세페 페아노가 단위 정사각형의 모든 점을 지나는 연속 곡선인 페아노 곡선을 처음 발견했으며, 1891년 다비트 힐베르트는 페아노 곡선의 변형인 힐베르트 곡선을 발표했다. 공간 채움 곡선은 미분 불가능하며, 한-마주르키에비치 정리는 공간 채움 곡선이 콤팩트, 연결, 국소 연결, 거리화 가능 공간임을, 네토 정리는 서로 다른 차원의 매끄러운 다양체 간 전단사 연속 함수는 존재하지 않음을 설명한다. 공간 채움 곡선은 클라인 군 이론과 고차원 르베그 적분을 1차원으로 축소하는 데 응용된다.

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공간 채움 곡선
공간 채움 곡선
유형	연속 곡선
차원	1차원 -> 2차원/3차원
개발	주세페 페아노
예시
힐베르트 곡선
페아노 곡선
시에르핀스키 곡선
무어 곡선

2. 정의

위상 공간 $X$ 으로 가는 전사 연속 함수 $[0,1]\to X$ 은, $X$ 가 2차원 이상의 다양체인 경우 흔히 '''공간 채움 곡선'''이라고 부른다.

직관적으로 2차원 또는 3차원(또는 그 이상)의 곡선은 연속적으로 움직이는 점의 경로로 생각할 수 있다. 이러한 개념의 내재된 모호성을 없애기 위해 조르당은 1887년에 다음과 같은 엄밀한 정의를 도입했고, 이는 이후 '곡선' 개념에 대한 정확한 설명으로 채택되었다.

: (단점을 가진) 곡선은 단위 구간 [0, 1]에서 정의된 연속 사상이다.

가장 일반적인 형태에서 그러한 사상의 치역은 임의의 위상 공간이어도 좋지만, 가장 많이 연구되는 경우는 치역이 2차원 평면(이때는 ''평면 곡선'')이나 3차원 공간(''공간 곡선'')과 같은 유클리드 공간에 포함된다.

곡선을 사상 자체가 아닌 사상의 상(사상이 취하는 모든 값의 집합)과 동일시하기도 한다. 단점을 가지지 않는 곡선을 실수선(또는 단위 열린 구간 (0, 1)) 위의 연속 사상으로 정의할 수도 있다.

3. 역사

1890년 주세페 페아노는 단위 정사각형을 채우는 페아노 곡선을 처음 발견했다.^[1] 게오르크 칸토어는 단위 구간과 단위 정사각형의 점의 개수가 같다는 결과를 제시했는데, 페아노는 이에 착안하여 공간 채움 곡선의 존재 가능성을 연구했다. 1년 후, 다비트 힐베르트는 페아노 곡선의 변형인 힐베르트 곡선을 발표하며,^[2] 그 구성을 시각적으로 표현했다.

3. 1. 페아노 곡선

페아노는 1890년에 단위 정사각형의 모든 점을 지나는 연속 곡선인 페아노 곡선을 발견했다.^[1] 그의 목적은 단위 구간에서 단위 정사각형으로의 연속 사상을 구성하는 것이었다. 페아노는 게오르크 칸토어가 제시한, 단위 구간 내 무한 개의 점이 단위 정사각형과 같은 유한 차원 다양체 내 무한 개의 점과 같은 기수를 갖는다는 직관에 반하는 결과에 동기 부여를 받았다. 페아노가 해결한 문제는 이러한 사상이 연속적인지, 즉 공간을 채우는 곡선인지 여부였다. 페아노의 해는 단위 구간과 단위 정사각형 사이의 연속적인 일대일 대응을 설정하지 않으며, 실제로 그러한 대응은 존재하지 않는다.

일반적으로 곡선은 '얇음'과 1차원성을 연관시키는 것이 일반적이었다. 그러나 일반적으로 접하는 모든 곡선은 구간별 미분 가능(즉, 구간별 연속 미분을 가짐)했지만, 그러한 곡선은 전체 단위 정사각형을 채울 수 없었다. 따라서 페아노의 공간 채움 곡선은 매우 직관에 반하는 것으로 밝혀졌다.

페아노의 획기적인 논문에는 그의 구성에 대한 그림이 포함되어 있지 않았으며, 이는 삼진법 전개와 mirroring operator|미러링 연산자^영어로 정의된다. 그러나 그래픽 구성은 그에게 완벽하게 명확했다. 그는 토리노에 있는 자신의 집에 곡선의 그림을 보여주는 장식용 타일을 만들었다. 페아노의 논문은 또한 이 기술이 3진법 외 다른 홀수 기수로 명백히 확장될 수 있음을 관찰하면서 끝을 맺는다.

3. 2. 힐베르트 곡선

다비트 힐베르트는 주세페 페아노의 구성을 변형하여 1년 후 같은 저널에 발표했다.^[2] 힐베르트의 논문은 구성 기법을 시각화하는 데 도움이 되는 그림을 처음으로 포함했는데, 그 그림은 본질적으로 아래에 있는 그림과 같다. 그러나 힐베르트 곡선의 분석적 형태는 페아노의 것보다 더 복잡하다.

힐베르트 곡선의 구성의 6번 반복. 그 극한의 공간 채움 곡선은 수학자 다비트 힐베르트가 고안했다.

4. 성질

공간 채움 곡선은 미분 불가능하다. 미분 가능성은 곡선이 얼마나 빨리 회전할 수 있는지에 대한 제한을 둔다. 미하우 모레인(Michał Morayne)은 연속체 가설이 실수의 각 지점에서 적어도 하나의 성분이 미분 가능한 페아노 곡선의 존재와 동치임을 증명했다.^[7]

자기 교차하지 않는 연속 곡선은 단위 정사각형을 채울 수 없다. 왜냐하면 이는 곡선을 단위 구간에서 단위 정사각형으로의 위상동형 사상으로 만들기 때문이다. (모든 연속적인 전단사 함수는 콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로의 전단사 함수이며 위상동형 사상이다). 그러나 단위 정사각형에는 절단점이 없으므로, 끝점을 제외한 모든 점이 절단점인 단위 간격과는 위상 동형이 될 수 없다. 오스굿 곡선과 같이 면적이 0이 아닌 자기 교차하지 않는 곡선이 존재하지만, 네토의 정리에 따르면 공간 채움 곡선은 아니다.

고전적인 페아노 및 힐베르트 공간 채움 곡선의 경우, 두 부분 곡선이 교차하며, 자기 교차 없이 자기 접촉이 있다. 공간 채움 곡선은 근사 곡선이 자기 교차하는 경우 (모든 곳에서) 자기 교차할 수 있다. 공간 채움 곡선의 근사는 자기 회피일 수 있다. 3차원에서는 자기 회피 근사 곡선이 심지어 매듭을 포함할 수도 있다. 근사 곡선은 ''n''차원 공간의 경계가 있는 부분 내에 유지되지만, 그 길이는 무한히 증가한다.

4. 1. 한-마주르키에비치 정리

'''한-마주르키에비치 정리'''(Hahn–Mazurkiewicz theorem^영어)에 따르면, 하우스도르프 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

전사 연속 함수 $[0,1]\to X$ 가 존재한다.
콤팩트 공간이며, 연결 공간이며, 국소 연결 공간이며, 거리화 가능 공간이다.
콤팩트 공간이며, 연결 공간이며, 국소 연결 공간이며, 제2 가산 공간이다.

한–마주르키에비츠 정리는 곡선의 연속적인 이미지인 공간에 대한 다음과 같은 특징을 제시한다.

: 공간이 아닌 하우스도르프 위상 공간이 단위 구간의 연속적인 이미지이기 위한 필요충분 조건은 콤팩트하고, 연결되고, 국소 연결이며, 제2 가산 공간인 것이다.

단위 구간의 연속적인 이미지인 공간을 때때로 ''피아노 공간''이라고 부른다.

한-마주르키에비치 정리의 많은 공식에서, "제2 가산"은 "거리화 가능"으로 대체된다. 이 두 가지 공식은 동일하다. 한 방향으로 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이며, 우리손의 거리화 정리에 따라 제2 가산은 거리화 가능을 의미한다. 반대로, 콤팩트 거리 공간은 제2 가산이다.

: 공집합이 아닌 하우스도르프 위상 공간이 단위 구간의 연속상이라는 것은 콤팩트 연결 국소 연결 제2 가산 공간이라는 것과 동치이다.

단위 구간의 연속상인 공간은 "페아노 공간"이라고 불리기도 한다.

Hahn–Mazurkiewicz 정리의 많은 공식화에서 제2 가산은 거리화 가능으로 대체된다. 이 두 가지 공식화는 동치이다. 한 방향으로, 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이므로 울리손의 거리화 정리에 따라 제2 가산이면 거리화 가능하다. 반대로 콤팩트 거리 공간은 제2 가산이다.

4. 2. 네토 정리

'''네토 정리'''(Netto’s theorem^영어)에 따르면,

m

차원 매끄러운 다양체

M

과

n

차원 매끄러운 다양체

N

이 주어졌을 때, 만약

m\ne n

이라면, 전단사 연속 함수

M\to N

은 존재하지 않는다.

5. 구성 방법

칸토어 공간 $\mathcal{C}$ 를 이용하여 공간 채움 곡선을 구성할 수 있다. 우선 칸토어 공간 $\mathcal{C}$ 에서 단위 구간 [0, 1]로의 연속 함수 $h$ 를 생각한다. (예를 들어, 칸토어 함수를 칸토어 집합으로 제한한 함수를 사용할 수 있다.)

이를 이용하여 위상 곱 $\mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 에서 단위 정사각형 [0, 1] × [0, 1]로의 연속 함수 $H$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $H(x,y) = (h(x), h(y)). \,$

칸토어 집합은 곱 $\mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 와 위상 동형이므로, 칸토어 집합에서 $\mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 로의 연속적인 전단사 함수 $g$ 가 존재한다. $H$ 와 $g$ 를 합성하면 칸토어 집합을 단위 정사각형 전체로 사상하는 연속 함수 $f$ 를 얻는다. (다른 방법으로는, 모든 콤팩트 거리 공간은 칸토어 집합의 연속적인 이미지라는 정리를 이용하여 함수 $f$ 를 얻을 수도 있다.)

마지막으로, $f$ 는 정의역이 단위 구간 [0, 1]인 연속 함수 $F$ 로 확장할 수 있다. $f$ 의 각 성분에 대해 티체 확장 정리를 사용하거나, $f$ 를 "선형적으로" 확장하는 방법(즉, 칸토어 집합 구성에서 제거된 각 열린 구간 (a, b)에 대해, $F$ 의 확장 부분을 (a, b)에서 값 $f(a)$ 와 $f(b)$ 를 연결하는 단위 정사각형 내의 선분으로 정의)을 사용할 수 있다.

6. 응용

클라인 군 이론에서 공간 채움 곡선의 예시를 찾을 수 있다. 캐넌과 서스턴은 의사-아노소프 사상의 사상 토러스 섬유의 보편 피복 공간의 무한대 원이 구 채움 곡선임을 보였다. (여기서 구는 쌍곡 3차원 공간의 무한대 구이다.)^[1]

위너는 그의 저서 ''푸리에 적분과 그 응용''에서 공간 채움 곡선을 사용하여 고차원에서의 르베그 적분을 1차원에서의 르베그 적분으로 축소할 수 있음을 지적했다.^[2]

참조

_[1] 서적 The Algorithmic Beauty of Plants https://books.google[...] 2012
_[2] 서적 Brainfilling Curves - A Fractal Bestiary https://books.google[...] 2011
_[3] 서적 Mathematics Elsewhere: An Exploration of Ideas Across Cultures https://books.google[...] 2018
_[4] 서적 Fractals in the Fundamental and Applied Sciences https://books.google[...] 1991
_[5] 간행물 Synthesis of Space-Filling Curves on the Square Grid http://algorithmicbo[...] 1989
_[6] 웹사이트 FASS-curve https://tilings.math[...]
_[7] 논문 On differentiability of Peano type functions https://eudml.org/do[...] 1987

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