구체적 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구체적 범주
- 2.2. 망각 함자
3. 예시
4. 구체화 가능성
- 4.1. 구체화 가능하지 않은 범주
5. 구체적 범주의 암묵적 구조
6. 상대적 구체성
참조

1. 개요

구체적 범주는 범주와 집합과 함수의 범주로 가는 충실한 함자의 순서쌍으로 정의된다. 범주 C가 구체화 가능하다는 것은 구체적 범주 (C, U)가 존재한다는 의미이며, 모든 작은 범주는 구체화 가능하다. 구체성은 범주가 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있는 구조이며, 범주는 Set으로의 여러 충실한 함자를 허용할 수 있다. 구체적 범주의 예시로는 집합의 범주, 대수적 구조의 범주, 기하학적 공간의 범주 등이 있으며, hTop과 같은 범주는 구체화 가능하지 않다. 구체적 범주는 N-진술어와 N-진 연산의 집합으로 암묵적인 구조를 형성하며, 상대적 구체성은 Set 대신 다른 범주를 기저 범주로 사용하는 경우를 의미한다.

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구체적 범주

2. 정의

'''구체적 범주'''는 범주와 집합과 함수의 범주로 가는 충실한 함자로 구성된다. 이때 사용되는 충실한 함자를 '''망각 함자'''(forgetful functor^영어)라고 한다.

어떤 범주 ''C''가 '''구체화 가능'''하다는 것은, ''C''와 집합과 함수의 범주 '''Set''' 사이에 충실한 함자 ''U''가 존재하여 구체적 범주 (''C'',''U'')를 이룰 수 있다는 것을 의미한다. 모든 작은 범주는 이러한 조건을 만족시켜 구체화 가능하다.^[2]

구체성은 범주가 만족하거나 만족하지 않을 수 있는 속성이 아니라, 범주가 갖추거나 갖추지 않을 수 있는 구조이다. 하나의 범주 ''C''는 여러 충실한 함자를 가질 수 있으며, 따라서 여러 구체적 범주 (''C'',''U'')가 존재할 수 있다. 그럼에도 불구하고, 실제로는 충실한 함자의 선택이 명확한 경우가 많아, 보통 "구체적 범주 ''C''"라고만 표현한다.

''U''가 충실해야 한다는 것은 동일한 대상 간의 서로 다른 사상을 서로 다른 함수에 매핑해야 함을 의미한다. 그러나 ''U''는 서로 다른 대상을 동일한 집합에 매핑할 수 있으며, 이 경우 서로 다른 사상도 동일한 함수에 매핑될 수 있다.

예를 들어, ''S''와 ''T''가 동일한 집합 ''X''에 대한 서로 다른 두 개의 위상인 경우, (''X'',''S'')와 (''X'',''T'')는 위상 공간과 연속 사상의 범주인 '''Top'''에서 서로 다른 대상이지만, 망각 함자 '''Top''' → '''Set'''에 의해 동일한 집합 ''X''에 매핑된다. 또한, 항등 사상 (''X'',''S'') → (''X'',''S'')과 항등 사상 (''X'',''T'') → (''X'',''T'')는 '''Top'''에서 서로 다른 사상으로 간주되지만, 기저 함수는 둘 다 ''X''에 대한 항등 함수로 동일하다.

2. 1. 구체적 범주

'''구체적 범주'''

(\mathcal C,F)

는 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다.

$\mathcal C$ 는 범주이다.
$F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$ 는 집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 로 가는 충실한 함자이다. 이 함자를 '''망각 함자'''(forgetful functor^영어)라고 한다.

구체적 범주에서 사상을 ''준동형사상'' (예: 군 준동형사상, 환 준동형사상 등)이라고 부르는 것이 일반적이다. 함자 ''F''의 충실성으로 인해, 구체적 범주의 준동형사상은 형식적으로 기저 함수(즉, ''F''에 따른 이미지)와 동일시될 수 있으며, 그러면 준동형사상은 "구조를 보존하는" 함수로의 일반적인 해석을 되찾는다.

2. 2. 망각 함자

(\mathcal C,F)

는 구체적 범주를 나타내는 순서쌍이다. 여기서

\mathcal C

는 범주이고,

F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}

는 집합과 함수의 범주

\operatorname{Set}

로 가는 충실한 함자이다. 이 함자

F

를 망각 함자(forgetful functor^영어)라고 부른다.

망각 함자는 범주

\mathcal C

의 각 대상에 "기저 집합"을 할당하고, 각 사상에 "기저 함수"를 할당하는 역할을 한다. 다시 말해, 원래 범주의 구조를 "잊어버리고" 집합과 함수의 관점에서 대상을 보게 해주는 함자이다.^[1]

망각 함자가 충실한 함자여야 하는 이유는, 동일한 대상 사이의 서로 다른 사상을 서로 다른 함수에 매핑해야 하기 때문이다. 만약 충실하지 않다면, 서로 다른 사상이 동일한 함수에 매핑되어 정보 손실이 발생할 수 있다. 그러나 충실한 함자라고 해서 서로 다른 대상을 반드시 서로 다른 집합에 매핑해야 하는 것은 아니다. 서로 다른 대상이 동일한 집합에 매핑되더라도, 그 사이의 서로 다른 사상들이 서로 다른 함수에 매핑된다면 여전히 충실성을 유지할 수 있다.

예를 들어, 집합

X

위에 서로 다른 두 위상

S

와

T

가 주어졌을 때, 위상 공간

(X, S)

와

(X, T)

는 위상 공간과 연속 사상의 범주 '''Top'''에서 서로 다른 대상이다. 하지만 망각 함자 '''Top''' → '''Set'''에 의해 이들은 동일한 집합

X

로 매핑된다. 마찬가지로, 항등 사상

(X, S) \to (X, S)

와

(X, T) \to (X, T)

는 '''Top'''에서 서로 다른 사상이지만, 기저 함수는 둘 다

X

에 대한 항등 함수로 동일하다.

3. 예시

흔히 등장하는 대부분의 범주들은 구체적 범주이다.

집합의 범주 $\operatorname{Set}$ 는 항등 함자를 통해 구체적 범주이다.
임의의 군 $G$ 는 하나의 대상을 갖고, 모든 사상들이 가역원을 갖는 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 임의의 충실한 $G$ -작용 $G\to\operatorname{Sym}(S)$ 이 주어질 경우, 이를 통해 $G$ 를 구체적 범주로 만들 수 있다. 예를 들어, $G$ 의, 스스로에 대한 작용은 항상 충실하므로 이 작용을 사용할 수 있다.
임의의 부분 순서 집합 $(S,\le)$ 은 순서 관계를 사상으로 삼아 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 각 대상 $s\in S$ 를 집합 $S_{\le s}=\{t\in S|t\le s\}$ 로 대응시키고, 모든 사상 $s\le t$ 를 포함 관계 $S_{\le s}\hookrightarrow S_{\le t}$ 로 대응시키는 함자를 통해 구체적 범주로 만들 수 있다.

위상 공간과 그 사이의 연속 함수들의 호모토피류들의 범주

\operatorname{hTop}

는 구체적 범주로 만들 수 없다.^[2]

3. 1. 대수적 구조

다음은 구체적 범주에 해당한다.^[2]

군의 범주 $\operatorname{Grp}$
아벨 군의 아벨 범주 $\operatorname{Ab}$
가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$
가환 유사환의 범주 $\operatorname{CRng}$
환의 범주 $\operatorname{Ring}$
유사환의 범주 $\operatorname{Rng}$
체의 범주 $\operatorname{Field}$

3. 2. 기하학적 공간

대부분의 기하학적 공간은 그 점들의 집합을 생각하여 구체적 범주로 만들 수 있다.

위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$
체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K\text{-Vect}$

3. 3. 기타

군의 범주

\operatorname{Grp}

, 부분 순서 집합의 범주, Rel, '''Set'''^op, 바나흐 공간과 선형 수축의 범주 '''Ban'''₁, 작은 범주와 함자의 범주 '''Cat''' 등 다양한 범주가 구체적 범주로 표현될 수 있다.

군의 범주 $\operatorname{Grp}$ 는 대수적 구조를 다루는 범주 중 하나로, 한국의 암호학, 정보 보안 분야 등에서 활용될 수 있다.
부분 순서 집합은 순서 관계를 통해 범주를 이루며, 이는 데이터베이스의 정렬 알고리즘, 그래프 이론 등 다양한 분야에 응용될 수 있다.
관계 범주 '''Rel'''은 집합 간의 관계를 다루는 범주로, 데이터베이스의 관계 모델, 그래프 이론 등에서 활용된다.
'''Set'''^op는 집합의 범주 '''Set'''의 반대 범주로, 멱집합 함자를 통해 구체화될 수 있으며, 이는 위상 공간론, 논리학 등에서 중요한 역할을 한다.
'''Ban'''₁은 바나흐 공간과 선형 수축을 다루는 범주로, 함수 해석학, 양자역학 등에서 활용된다.
'''Cat'''은 작은 범주와 함자를 다루는 범주로, 범주론 자체의 연구 대상이며, 고차원적인 추상적 구조를 다루는 데 사용된다.^[2]

4. 구체화 가능성

범주 ''C''가 '''구체화 가능'''하다는 것은 구체적 범주 (''C'',''U'')가 존재한다는 것을 의미한다. 즉, 충실한 함자 ''U'': ''C'' → '''Set'''이 존재함을 뜻한다. 모든 작은 범주는 구체화 가능하다. ''U''는 ''C''의 각 대상 ''b''를 공역이 ''b''인 모든 사상의 집합(임의의 대상 ''a''에 대해 ''f'': ''a'' → ''b'' 형식)에 매핑하고, 각 사상 ''g'': ''b'' → ''c''를 ''U''(''b'')의 각 멤버 ''f'': ''a'' → ''b''를 합성 ''gf'': ''a'' → ''c'' (''U''(''c'')의 멤버)에 매핑하는 함수 ''U''(''g''): ''U''(''b'') → ''U''(''c'')에 매핑한다.^[2]

4. 1. 구체화 가능하지 않은 범주

위상 공간과 그 사이의 연속 함수들의 호모토피류들의 범주

\operatorname{hTop}

는 구체적 범주로 만들 수 없다.^[2] '''hTop'''는 대상이 위상 공간이고 사상이 연속 함수의 호모토피 호모토피류인 범주인데, 구체화 가능하지 않은 범주의 예시이다. 대상은 집합(추가적인 구조 포함)이지만, 사상은 그들 사이의 실제 함수가 아니라 함수의 클래스이다. '''hTop'''에서 '''Set'''으로 가는 ''어떤'' 충실한 함자도 존재하지 않는다는 사실은 피터 프레이드에 의해 처음 증명되었다. 같은 논문에서 프레이드는 "작은 범주와 자연 동치-함자 클래스" 범주 또한 구체화 가능하지 않다는 이전의 결과를 인용한다.

5. 구체적 범주의 암묵적 구조

구체적 범주 (''C'', ''U'')와 기수 ''N''이 주어졌을 때, ''U^N''을 ''U^N(c) = (U(c))^N''에 의해 결정되는 함자 ''C'' → '''Set'''으로 둔다. 그러면 ''U^N''의 부분 함자를 ''N-진술어''라고 하고, 자연 변환 ''U^N'' → ''U''를 ''N-진 연산''이라고 한다.^[1]

모든 기수를 포함하는, 구체적 범주 (''C'', ''U'')의 모든 ''N''-진술어와 ''N''-진 연산의 집합은 큰 시그니처를 형성한다.^[1] 이 시그니처에 대한 모델 범주는 ''C''와 동치인 전체 부분 범주를 포함한다.^[1]

6. 상대적 구체성

일부 범주론 분야, 특히 토포스 이론에서는 '''Set''' 범주를 ''기저 범주''라고 불리는 다른 범주 ''X''로 대체하는 경우가 일반적이다.

이 때문에 ''C''가 범주이고 ''U''가 충실한 함자 ''C'' → ''X''일 때, (''C'', ''U'') 쌍을 ''X'' '''위의 구체적 범주'''라고 부른다. 예를 들어, ''N''개의 정렬을 가진 이론의 모델을 '''Set'''^''N'' 위에 구체적 범주를 형성하는 것으로 생각하는 것이 유용할 수 있다.

이러한 맥락에서, '''Set''' 위의 구체적 범주는 때때로 ''구성''이라고 불린다.

참조

_[1] 서적 Algebra AMS Chelsea
_[2] 서적 The Steenrod Algebra and its Applications http://www.tac.mta.c[...] 1970

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