그로텐디크 위상

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1. 개요
2. 정의
3. 그로텐디크 위상의 종류
4. 위상 공간 및 스킴의 그로텐디크 위상
5. 역사
참조

1. 개요

그로텐디크 위상은 국소적으로 작은 범주에 대해 정의되는 개념으로, 각 대상에 덮개체의 모임을 지정하여 정의된다. 덮개체는 특정 공리들을 만족해야 하며, 덮개의 제한, 세분, 자명한 덮개 공리가 있다. 두 그로텐디크 위상의 엉성함과 섬세함은 덮개체의 포함 관계에 따라 결정된다. 그로텐디크 위상은 체를 통해 정의되거나, 덮개족을 사용하여 정의될 수 있으며, 로비어-티어니 위상으로 일반화된다. 그로텐디크 위상에는 이산 위상, 비이산 위상, 표준 위상 등이 있으며, 위상 공간, 스킴의 범주 등에서 다양한 종류의 그로텐디크 위상이 존재한다. 특히 스킴의 범주에서는 자리스키 위상, 니스네비치 위상, 에탈 위상, 평탄 위상 등이 사용된다. 이 개념은 베유 코호몰로지 이론을 정의하기 위한 시도로 시작되어, 알렉산더 그로텐디크에 의해 발전되었으며, 그로텐디크 토포스의 개념으로 이어졌다.

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그로텐디크 위상

2. 정의

그로텐디크 위상은 주어진 범주의 대상 위에 "덮개"가 무엇인지를 정의하는 데이터의 집합이다. 이는 체를 이용하거나, 당김이 존재하는 경우 사상 집합을 이용하여 정의할 수 있다.

일반적인 범주에서 그로텐디크 위상은 체를 통해 정의되며, 어떤 체들이 덮개체(covering sieve^영어)를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다. 당김이 존재하는 범주에서는 체 대신 사상 집합을 사용하여 덮개를 정의할 수 있는데, 이는 덜 일반적이지만 더 직관적이다.

그로텐디크 위상은 다음 세 가지 공리로 정의된다.

(덮개의 제한): 어떤 대상의 덮개를 그 대상의 부분으로 제한하여도 여전히 덮개를 이룬다.
(덮개의 세분): 어떤 대상의 덮개를 더 세분하여도 여전히 덮개를 이룬다.
(자명한 덮개): 모든 대상은 스스로의 덮개이다.

이 공리들은 덮개의 개념을 어떻게 형식화하는지에 따라 다르게 표현된다.

2. 1. 체를 통한 정의

국소적으로 작은 범주 $\mathcal C$ 위의 '''그로텐디크 위상'''은 다음의 데이터로 정의된다.

각 대상 $U\in\mathcal C$에 대하여, $U$에 대한 체들의 모임 $\mathfrak J(U)\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)$. 이를 $U$의 '''덮개체'''(covering sieve^영어)의 모임이라고 한다.

이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 $U\in\mathcal C$에 대하여,

(덮개의 제한) 덮개체의 제한은 덮개체이다. 즉, 모든 덮개체 $S\subseteq\hom(-,U)$ 및 사상 $f\colon V\to U$에 대하여, $S$를 $V$로 제한하여 얻는 체 $f^*S\subseteq\hom(-,V)$ 역시 덮개체이다. 여기서 제한체는 구체적으로 $\textstyle g \in f^*S \stackrel{\operatorname{def}}\iff f\circ g\in S$이다.
(덮개의 세분) 덮개체의 각 성분의 덮개체를 짜기워 더 섬세한 덮개체를 얻을 수 있다. 즉, $U$ 위의 체 $T\subseteq \hom(-,U)$가 덮개체가 될 충분 조건은 어떤 덮개체 $S\in\mathfrak J(U)$ 및 모든 대상 $V\in\mathcal C$ 및 모든 $f\in S(V)\subseteq\hom(V,U)$에 대하여, $f^*T\subseteq\hom(-,V)$가 덮개체가 되는 것이다.
$W_{i,j}\overset{\in f^*T}\to V\overset{f\in S}\to U$
(자명한 덮개) 요네다 체 $\hom(-,U)$는 덮개체이다.

$\mathcal C$ 위의 두 그로텐디크 위상 $\mathfrak J$, $\mathfrak J'$에 대하여, 만약 모든 $U\in\mathcal C$에 대하여 $\mathfrak J(U)\subseteq\mathfrak J'(U)$라고 한다면, $\mathfrak J$가 $\mathfrak J'$보다 더 '''엉성'''하며, 반대로 $\mathfrak J'$이 $\mathfrak J$보다 더 '''섬세'''하다고 한다.

2. 2. 사상 집합을 통한 정의

당김이 존재하는 범주에서는, 체 대신 사상 집합을 사용하여 덮개를 정의할 수 있다. 이는 덜 일반적이지만 더 직관적이다. 덮개는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

(덮개의 제한) 임의의 사상 $f\colon V\to U$ 및 $U$ 의 덮개 $\{f_i\}_{i\in I}$ 에 대하여, 이를 $V$ 에 제한하여 얻은 $\{f_i\times_U V\colon U_i\times_UV\to V\}$ 는 $V$ 의 덮개이다. 또한, 이 정의에서 등장하는 당김 $\{U_i\times_UV\}_{i\in I}$ 가 항상 존재한다.
(덮개의 세분) 임의의 대상 $U\in\mathcal C$ 및 덮개 $\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I} \in\mathfrak D(U)$ 및 덮개 $\{f_{i,j}\colon U_{i,j}\to U_i\}_{j\in J_i}\in\mathfrak D(U_i)$ 에 대하여, $\{f_i\circ f_{i,j}\}$ 역시 $U$ 의 덮개이다.
(자명한 덮개) 임의의 동형 사상 $i\colon U\to V$ 에 대하여, $\{i\}$ 는 $V$ 의 덮개이다.

2. 3. 로비어-티어니 위상

Lawvere–Tierney topology|로비어-티어니 위상^영어은 그로텐디크 위상의 일반화된 개념이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 토포스 위에 정의된다. 작은 범주

\mathcal C

위의 준층의 범주

\operatorname{PSh}(\mathcal C)

는 토포스를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은

\mathcal C

위의 그로텐디크 위상과 동치이다.^[1]

토포스

\mathcal T

위의 부분 대상 분류자

(\Omega,\top)\in\mathcal T

가 주어졌다고 할 때,

\mathcal T

위의 '''로비어-티어니 위상'''

j\colon\Omega\to\Omega

은 다음 조건들을 만족시키는 사상이다.^[1]

다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

::

\begin{matrix}1&\overset\top\to&\Omega\\&{\scriptstyle\top}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\&&\Omega\end{matrix}

다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

::

\begin{matrix}\Omega&\overset j\to&\Omega\\&{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\&&\Omega\end{matrix}

다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

::

\begin{matrix}\Omega&\overset\land\to&\Omega\\&{\scriptstyle j\times j}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\\Omega\times\Omega&\underset\land\to&\Omega\end{matrix}

부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상

j\colon\Omega\to\Omega

을 고르는 것은

\Omega

의 부분 대상

J\hookrightarrow\Omega

을 고르는 것과 같다.^[1]

작은 범주

\mathcal C

위의 준층 범주

\operatorname{PSh}(\mathcal C)

에서 부분 대상 분류자

\operatorname{Sieve}

는 대상

U\in\mathcal C

에 대하여 그 위의 모든 체들의 집합

\operatorname{Sieve}(U)

를 대응시킨다. 따라서 부분 대상 분류자

\operatorname{Sieve}

의 부분 대상

J

는 각 대상

U\in\mathcal C

에 대하여, 그 위의 체들의 집합

J(U)\subseteq\operatorname{Sieve}(U)

을 대응시키는 준층이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다.^[1]

3. 그로텐디크 위상의 종류

주어진 범주 위에는 여러 종류의 그로텐디크 위상이 존재할 수 있으며, 이들은 섬세함과 엉성함의 관계로 비교될 수 있다. 더 섬세한 위상에서는 더 많은 수의 덮개가 존재하고, 준층이 층을 이루는 것이 더 어렵다. 반대로, 더 엉성한 위상에서는 더 적은 수의 덮개가 존재하고, 준층이 층을 이루는 것이 더 쉽다.^[1]

같은 범주 위의 두 그로텐디크 위상에서, 첫째가 둘째보다 더 '''섬세'''(finer^영어)하다고 할 수 있다. 이는 둘째가 첫째보다 더 '''엉성'''(coarser^영어)하다는 것과 같다. $\mathcal C$ 위의 두 그로텐디크 위상 $\mathfrak J$ , $\mathfrak J'$ 에 대하여, 모든 $U\in\mathcal C$ 에서 $\mathfrak J(U)\subseteq\mathfrak J'(U)$ 라면, $\mathfrak J$ 가 $\mathfrak J'$ 보다 더 엉성하며, 반대로 $\mathfrak J'$ 이 $\mathfrak J$ 보다 더 섬세하다고 한다.

3. 1. 이산 위상과 비이산 위상

범주

\mathcal C

위의 '''이산 위상'''(discrete topology^영어)은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다.

범주

\mathcal C

위의 '''비이산 위상'''(indiscrete topology^영어)은 덮개체가

\mathfrak J(U)=\{\hom(-,U)\}

인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가

\mathfrak D(U)=\{\operatorname{id}_U\}

인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서 모든 준층은 층을 이룬다.^[1]

3. 2. 표준 위상

표현 가능 준층은 임의의 대상

U\in\mathcal C

에 대하여

\hom(-,U)

의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 층을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 '''표준 위상'''(canonical topology^영어)이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 '''준표준 위상'''(subcanonical topology^영어)이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다.^[4]

'''C'''를 임의의 범주라고 하자. 요네다 매장은 '''C'''의 각 대상 ''X''에 대해 함자 Hom(−, ''X'')를 제공한다. '''표준 위상'''은 모든 표현가능한 사전층, 즉 Hom(−, ''X'') 형태의 사전층이 층이 되도록 하는 가장 큰(가장 미세한) 위상이다. 이 사이트에 대한 덮개 체 또는 덮개족은 그것이 공극한(구성된 사상의 정의역에 대한 전체 다이어그램 아래)의 다리들로 구성되고 이 공극이 '''C'''의 사상에 따른 당김에 대해 안정적이기 때문에 ''엄밀히 보편적으로 전사적''이라고 한다. 부분 표준 사이트는 Hom(−, ''X'') 형태의 모든 사전층이 층인 사이트와 정확히 일치한다. 실제로 접하는 대부분의 사이트는 부분 표준적이다.

3. 3. 조각 범주 위의 유도 위상

국소적으로 작은 범주

\mathcal C

및 대상

B\in\mathcal C

가 주어졌다고 하자.

\mathcal C

속의 임의의 사상

u\colon U\to B

및 체

S\subseteq\hom(-,U)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주

\mathcal C/B

의 대상

u

위에 체

S/B

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

S/B=\left\{\begin{matrix}V&\overset f\to&U\\&{\scriptstyle v}\searrow&\downarrow\scriptstyle u\\&&B\end{matrix}\colon f\in S\right\}

\mathcal C

위의 그로텐디크 위상

\mathfrak J

가 주어졌을 때, 각

u\in\mathcal C/B

에 대하여

:

(\mathfrak J/B)(u)=\{S/B\colon S\in\mathfrak J(U)\}

로 정의하면,

\mathfrak J/B

는

\mathcal C/B

위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 조각 범주

\mathcal C/B

위의 '''유도 위상'''(induced topology^영어)이라고 한다.

4. 위상 공간 및 스킴의 그로텐디크 위상

Grothendieck topology^영어는 위상 공간 및 스킴의 열린집합들의 범주 위에 정의될 수 있다.

위상 공간 $X$ 의 열린집합들의 범주 $\operatorname{Open}(X)$ 위에서, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 정의하면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 $X$ 의 '''작은 위치'''(small site^영어)라고 한다.^[1] 이는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.^[1]

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $\operatorname{Top}/X$ 는 $X$ 로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. $\operatorname{Top}/X$ 의 두 대상 (연속 함수)

: $\phi_1\colon Y_1\to X$

: $\phi_2\colon Y_2\to X$

사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 $\chi\colon Y_1\to Y_2$ 이다.

: $\phi_1=\phi_2\circ\chi$

이 경우, $\operatorname{Top}/X$ 는 $\operatorname{Top}$ 로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 $\operatorname{Top}/X$ 를 $X$ 의 '''큰 위치'''(big site^영어)라고 한다.

스킴들의 범주에는 자리스키 위상, 니스네비치 위상, 에탈 위상, 평탄 위상 등 여러 특별한 그로텐디크 위상들이 존재하며, 이들은 스킴의 코호몰로지 이론을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 이 위상들은 섬세함에 따라 다음과 같은 전순서를 이룬다.

: 비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상

4. 1. 위상 공간의 작은 위치

위상 공간

X

의 열린집합들의 범주

\operatorname{Open}(X)

위에, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 고르면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를

X

의 '''작은 위치'''(small site^영어)라고 한다.^[1] 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.^[1]

4. 2. 위상 공간의 큰 위치

위상 공간

X

가 주어졌을 때,

\operatorname{Top}/X

는

X

로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우,

\operatorname{Top}/X

의 두 대상 (연속 함수)

:

\phi_1\colon Y_1\to X

:

\phi_2\colon Y_2\to X

사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수

\chi\colon Y_1\to Y_2

이다.

:

\phi_1=\phi_2\circ\chi

이 경우,

\operatorname{Top}/X

는

\operatorname{Top}

로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘

\operatorname{Top}/X

를

X

의 '''큰 위치'''(big site^영어)라고 한다.

''Spc''를 모든 위상 공간의 범주라고 하자. 함수족 {''u''_''α'' : ''V''_''α'' → ''X''}가 주어졌을 때,

\cup

''u''_''α''(''V''_''α'')가 ''X''와 같으면 이 함수족을 '''전사족'''이라고 하거나, 사상 ''u''_''α''가 '''공동 전사'''라고 한다. 덮는 족을 모든 구성원이 열린 몰입인 전사족으로 하여 ''Spc''에 전위상을 정의한다. ''S''를 ''Spc''에 대한 체라고 하자. ''S''는 다음과 같은 경우에만 이 위상에 대한 덮는 체가 된다.

모든 ''Y''에 대해, ''S''(''Y'')의 모든 사상 ''f'' : ''Y'' → ''X''에 대해, ''g''가 열린 몰입이고, ''S''(''V'')에 있으며, ''f''가 ''g''를 통해 인수분해되는 ''V''와 ''g'' : ''V'' → ''X''가 존재한다.
''W''가 ''f'' : ''Y'' → ''X''가 ''S''(''Y'')에 있는 모든 집합 ''f''(''Y'')의 합집합이면, ''W'' = ''X''이다.

위상 공간 ''X''를 고정하자. ''X''로의 고정된 연속 사상이 있는 위상 공간의 콤마 범주 ''Spc/X''를 고려한다. ''Spc''의 위상은 ''Spc/X''에 위상을 유도한다. 덮는 체와 덮는 족은 거의 정확히 같다. 유일한 차이점은 이제 관련된 모든 사상이 ''X''로의 고정된 사상과 교환한다는 것이다. 이것이 '''위상 공간에 관련된 큰 사이트''' ''X''이다. ''Spc''는 한 점 공간에 관련된 큰 사이트임을 알 수 있다. 이 사이트는 장 지로에 의해 처음 고려되었다.

4. 3. 스킴의 범주의 그로텐디크 위상

스킴들의 범주에는 여러 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다. 이 위상들은 스킴의 코호몰로지 이론을 정의하는 데 중요한 역할을 한다.

자리스키 위상: 스킴 위의 고전적인 위상이나 매우 엉성하다.
니스네비치 위상: 예브세이 니스네비치((Евсей А. Нисневич^ru))가 도입하였으며, 대수적 K이론과 모티브 이론에서 사용된다.
에탈 위상: 에탈 사상을 덮개로 사용하며, 에탈 코호몰로지를 정의할 때 쓰인다.
평탄 위상: fppf 위상과 fpqc 위상이 있다.

이 위상들은 섬세함에 따라 다음과 같은 전순서를 이룬다. 왼쪽으로 갈수록 더 엉성하고, 오른쪽으로 갈수록 더 섬세하다.

: 비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상

이들은 모두 준표준 위상이다.

스킴

X

에 대하여, 그 위의 조각 범주

\operatorname{Sch}/X

위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다.

각 표수

p

에 대하여, 유한체

\mathbb F_p

또는

\mathbb Q

위의 분리 거듭제곱 농화(divided power thickening)들의 범주 위에,

\operatorname{Sch}

위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을 무한소 위치(infinitesimal site, crystalline site^영어)라고 하며, 결정 코호몰로지(crystalline cohomology^영어)를 정의하는 데 쓰인다.

4. 3. 1. 자리스키 위상

스킴 범주에서 가장 기본적인 위상이다. 스킴

X

는 기본적인 위상 공간을 가지며, 이 위상 공간은 그로텐디크 위상을 결정한다. 스킴에 대한 자리스키 위상은 스킴론적 열린 침입의 공통적으로 전사적인(surjective) 가족인 전위상을 생성한다. 덮개 체는 다음 두 가지 속성으로 특징지어진다.^[2]

모든 $Y$ 와 덮개 체 $(S)$ 의 $Y$ 의 모든 사상 $f$ : $Y$ → $X$ 에 대해, $g$ 가 열린 침입이고, $g$ 가 $S(V)$ 에 있으며, $f$ 가 $g$ 를 통해 인수분해되는 $V$ 와 $g$ : $V$ → $X$ 가 존재한다.
$W$ 가 $f$ : $Y$ → $X$ 가 $S(Y)$ 에 속하는 모든 집합 $f(Y)$ 의 합집합이면, $W$ = $X$ 이다.

자리스키 위상은

Spc

위상의 제한이 아니다. 그 이유는 위상적으로 열린 침입이지만 스키마론적 열린 침입이 아닌 스키마의 사상이 있기 때문이다. 예를 들어,

A

를 환원되지 않는 환으로 하고,

N

을 멱영원 아이디얼이라고 하자. 몫 사상

A

→

A/N

는 Spec

A/N

→ Spec

A

사상을 유도하며, 이는 기본 위상 공간에서 항등 함수이다. 스키마론적 열린 침입이 되려면 구조층에서도 동형사상을 유도해야 하지만, 이 사상은 그렇지 않다. 사실, 이 사상은 닫힌 침입이다.

일반적인 자리스키 위상에 관한 열린 매장의 족을 피복으로 정의함으로써 '''자리스키 사이트'''를 얻는다. 이를 ''X_Zar''로 표기한다. 이는 일반적인 자리스키 위상을 그로텐디크 위상으로서 나타낸 것에 지나지 않는다.

4. 3. 2. 니스네비치 위상

스킴들의 범주

\operatorname{Sch}

위에 존재하는 특별한 그로텐디크 위상 가운데 하나이다. 예브세이 니스네비치((Евсей А. Нисневич^ru))가 도입하였으며, 대수적 K이론과 모티브 이론에서 사용된다. 니스네비치 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하고, 에탈 위상보다는 엉성하다.

4. 3. 3. 에탈 위상

에탈 사상을 덮개로 정의하며, 에탈 코호몰로지를 정의하는 데 사용된다.^[2] 에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 세밀하며, 처음으로 면밀히 연구된 그로텐디크 위상이다. 덮개는 에탈 사상의 공동적으로 전사적인 집합이다. 이 위상은 니스네비치 위상보다 더 세밀하지만, ''cdh'' 및 l′ 위상보다는 더 세밀하거나 더 거칠지 않다.

''X''를 스킴이라 하고, (''Et''/''X'')를 ''X'' 위의 에탈 스킴이 이루는 범주라고 할 때, 에탈 사상의 족을 덮개로 정의함으로써 '''에탈 사이트'''를 얻으며, 이를 다시 (''Et''/''X'')로 표기한다. 이때의 위상을 '''에탈 위상'''이라고 한다.

4. 3. 4. 평탄 위상

하강과 밀접하게 관련되어 있는 fppf 위상과 fpqc 위상은 다음과 같다.^[2]

fppf 위상은 fidèlement plate de présentation finie|피델르망 플라트 드 프레장타시옹 피니^프랑스어의 약자이며, 이 위상에서 아핀 스키마의 사상은 충실히 평탄하고, 유한 표현이며, 준유한인 경우 덮개 사상이다.
fpqc 위상은 fidèlement plate et quasi-compacte|피델르망 플라트 에 카지콩팍트^프랑스어의 약자이며, 이 위상에서 아핀 스키마의 사상은 충실히 평탄한 경우 덮개 사상이다. fpqc 위상에서 모든 충실히 평탄하고 준콤팩트 사상은 덮개이다.^[3]

두 범주 모두에서 덮개 집합족은 자리스키 열린 부분 집합에 대한 덮개로 정의된다.^[2] fpqc 위상은 위에 언급된 모든 위상보다 더 세밀하며, 정규 위상에 매우 가깝다.

5. 역사

1949년에 앙드레 베유는 유한체 위의 대수다양체에 대한 베유 추측을 제시하였고, 이들을 증명하려면 베유 코호몰로지라는 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다고 제안하였다.^[5] 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다.

1958년에 장피에르 세르는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복(isotrivial cover^영어)의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 에탈 사상의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 알렉산더 그로텐디크는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다.^[6]

1960년대 초에 그로텐디크는 에탈 사상을 사용하여, 베유 코호몰로지의 최초의 예인 에탈 코호몰로지 및 에탈 기본군 등을 정의하였다. 이를 정의하기 위하여 그로텐디크는 고전적 위상 공간의 개념을 버리고 대신 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)의 개념을 도입하였다. 1961년 가을에 그로텐디크는 하버드 대학교를 방문하여 마이클 아틴, 오스카 자리스키, 데이비드 멈퍼드와 토론하였고, 아틴은 이듬해 봄에 위치에 대하여 강의하였다.^[7] 아틴의 강의록은 곧 출판되었으며, 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다.

그로텐디크는 위치와 그로텐디크 위상의 개념으로부터, 그로텐디크 토포스(위치 위의 층 범주와 동치인 범주)의 개념을 정의하였다. 훗날 그로텐디크는 자신의 회고록에서 위치의 개념이 단지 "토포스라는 핵심적인 개념의 기술적, 임시적 형태"(version technique provisoire de la notion cruciale de topos^프랑스어)^[8]^[6]에 불과하다고 평했다.

1970년 세계 수학자 대회에서 프랜시스 윌리엄 로비어(Francis William Lawvere^영어)와 마일스 티어니(Myles Tierney^영어)는 그로텐디크 위상의 개념을 일반화한 로비어-티어니 위상의 개념을 발표하였다.^[9]

참조

_[1] 간행물 SGA IV, II 1.1.4. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie
_[2] 간행물 SGA III₁, IV 6.3. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie
_[3] 간행물 SGA III₁, IV 6.3, Proposition 6.3.1(v).
_[4] 서적 Topos theory Academic Press 1977
_[5] 저널 Numbers of solutions of equations in finite fields http://www.ams.org/b[...]
_[6] 서적 Episodes in the history of modern algebra (1800–1950) http://bookstore.ams[...] American Mathematical Society 2007
_[7] 저널 Grothendieck topologies. Notes on a seminar by M. Artin, Spring, 1962 http://www.math.nago[...] Harvard University Department of Mathematics 1962
_[8] 서적 Récoltes et semailles Université des Sciences et Techniques du Languedoc
_[9] 서적 Actes du Congrès international des mathématiciens, 1/10 Septembre, 1970. Tome 1 Gauthier-Villars 2016-02-17

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