결정 코호몰로지

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
- 4.1. 계수
- 4.2. 동기
5. 역사
참조

1. 개요

결정 코호몰로지는 표수가 p > 0인 완전체 k에 대한 스킴 X의 코호몰로지 이론으로, 대수적 수론과 p진 L-함수 연구에 중요한 역할을 한다. 결정 코호몰로지는 비트 벡터를 사용하여 정의되며, X의 정칙이고 매끄러운 리프팅을 W 위의 스킴 Z로 표현되는 대수 드람 코호몰로지의 관점에서 계산될 수 있다. 이 이론은 유한체 위의 스킴에서 l=p일 때 에탈 코호몰로지를 대체하여 사용될 수 있으며, 특히 p-진 에탈 코호몰로지보다 코호몰로지 군의 p-비틀림 문제를 더 잘 처리한다. 결정 코호몰로지는 알렉산더 그로텐디크에 의해 도입되었고, 피에르 베르틀로에 의해 발전되었다.

더 읽어볼만한 페이지

호몰로지 이론 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
호몰로지 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
호몰로지 대수학 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
호몰로지 대수학 - 가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다.
대수기하학 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
대수기하학 - 매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C^k로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.

결정 코호몰로지
개요
종류	수학
분야	대수기하학, 정수론
관련 항목	베유 코호몰로지 이론
역사
창시자	알렉산더 그로텐디크
개발자	피에르 베르텔로
초기 연구	버나드 드워크
참고 문헌
관련 링크
영어	Crystalline cohomology
프랑스어	Cohomologie cristalline

2. 정의

결정 코호몰로지는 주어진 스킴의 '결정 위치'라는 범주 위에서 정의되는 층 코호몰로지를 통해 계산된다.

작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군

: $\operatorname H^i(\operatorname{Cris}(X/S);\mathcal F)$

을 '''결정 코호몰로지'''라고 한다.

표수 ''p''에서는 표수 0에서와 같은 방식으로 결정 위치를 정의하기 어렵다. 그 이유는 드람 복합체의 정확성을 증명하려면 푸앵카레 보조정리가 필요한데, 이는 적분을 사용하고, 적분은 분할 거듭제곱을 필요로 하기 때문이다. 표수 0에서는 분할 거듭제곱이 항상 존재하지만, 표수 ''p''에서는 그렇지 않다. 그로텐디크는 ''X''의 결정 위치의 대상을 ''X''의 자리스키 열린 부분 집합의 무한소 확대와 분할 거듭제곱 구조로 정의하여 이 문제를 해결했다.

표수 ''p''>0인 완전체 ''k''에 대한 길이 ''n''의 비트 벡터의 링 ''W''_''n'' = ''W''/''p''^''n''''W''에서, ''X''가 ''k'' 위의 스킴이면, ''W''_''n''에 상대적인 ''X''의 결정 위치 Cris(''X''/''W''_''n'')는 다음의 쌍을 대상으로 갖는다.

어떤 ''W''_''n''-스킴 ''T''로의 ''X''의 자리스키 열린 부분 집합 ''U''의 닫힌 몰입 ''U''→''T''
아이디얼 다발 ''J''에 의해 정의되며, ''W''_''n''의 구조와 호환되는 ''J''에 대한 분할 거듭제곱 구조

''k'' 위의 스킴 ''X''의 결정 코호몰로지는 역극한으로 정의된다.

:

H^i(X/W)=\varprojlim H^i(X/W_n)

여기서

:

H^i(X/W_n)= H^i(\operatorname{Cris}(X/W_n),O)

는 링 다발 ''O'' := ''O''_{''W''_''n''}를 값으로 하는 ''X''/''W''_''n''의 결정 위치의 코호몰로지이다.

이 이론의 핵심은 ''k'' 위의 매끄러운 스킴 ''X''의 결정 코호몰로지가 ''X''의 정칙이고 매끄러운 리프팅을 ''W'' 위의 스킴 ''Z''로 표현되는 대수 드람 코호몰로지의 관점에서 계산될 수 있다는 것이다. 표준 동형 사상이 존재한다.

:

H^i(X/W) = H^i_{DR}(Z/W) \quad(= H^i(Z,\Omega_{Z/W}^*)= \varprojlim H^i(Z,\Omega_{Z/W_n}^*))

형식 스킴 ''W'' 위의 ''Z''의 드람 코호몰로지를 이용한 ''X''의 결정 코호몰로지 (미분 형식 복합체의 과잉 코호몰로지의 역극한). 반대로, ''X''의 드람 코호몰로지는 결정 코호몰로지를 mod ''p''로 축소하여 복구할 수 있다(더 높은 ''Tor''을 고려한 후).

2. 1. 결정 열린 몰입

스킴

X

가 주어졌을 때,

X

속으로의 '''결정 열린 몰입'''(crystalline open immersion^영어)

(U,T,\delta)

은 다음 데이터로 구성된다.

스킴 $(U,\mathcal O_U)$
(자리스키) 열린 몰입 $U\hookrightarrow X$
$U$ 의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 $T$ . 이는 어떤 준연접 $\mathcal O_U$ -아이디얼 층 $\mathcal I\subseteq\mathcal O_U$ 를 정의한다.
$\delta$ 는 $(U,\mathcal I)$ 위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, $(U,\mathcal I,\delta)$ 는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다.

2. 2. 결정 위치

다음이 주어졌다고 하자.

분할 거듭제곱 스킴 $(S,\mathcal I,\gamma)$
스킴 $X$ 및 스킴 사상 $X\to S$

'''(작은) 결정 위치'''(작은 結晶位置, (small) crystalline site^영어)

\operatorname{Cris}(X/S)

는 범주로서 다음과 같다.

$\operatorname{Cris}(X/S)$ 의 대상은 $X$ 속으로의 결정 열린 몰입 $(U,T,\delta)$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
$U$ 와 $T$ 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
$\operatorname{Cris}(X/S)$ 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 $(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')$ 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 $(S,\mathcal I,\gamma)$ 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.

이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

유사하게, 다음과 같은 '''큰 결정 위치'''(big crystalline site^영어)

\operatorname{CRIS}(X/S)

를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다.

$\operatorname{CRIS}(X/S)$ 의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상 $(U,T,\delta)\to(S,\mathcal I,\gamma)$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
$U$ 와 $T$ 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
$\operatorname{CRIS}(X/S)$ 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 $(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')$ 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 $(S,\mathcal I,\gamma)$ 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.

이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

2. 3. 결정

스킴 사상

X\to S

를 통해 정의되는 결정 위치

\operatorname{Cris}(X/S)

위의

\mathcal O_{X/S}

-가군층

\mathcal F

가 주어졌을 때,

\operatorname{Cris}(X/S)

속의 임의의 두 대상

(U,T,\delta)

,

(U',T',\delta')

사이의 사상

:

f\colon(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')

에 대하여, 자연스러운 사상

:

f^*\mathcal F_T\longrightarrow\mathcal F_{T'}

이 존재한다. 만약 이 사상이 항상

\operatorname{Cris}(X/S)

의 동형 사상이라면,

\mathcal F

를 '''결정'''(結晶, crystal|크리스털^영어)이라고 한다.

구조층

\mathcal O_{X/S}

자체는

\operatorname{Cris}(X/S)

위의 결정을 이룬다.

Cris(''X''/''S'') 위의 '''결정'''은 다음과 같은 의미에서 '''강성'''인 ''O''_''X''/''S'' 가군인 층 ''F''이다.

:Cris(''X''/''S'')의 대상 ''T'', ''T''′ 사이의 임의의 사상 ''f''에 대해, ''f''^*''F''(''T'')에서 ''F''(''T''′)로의 자연 사상은 동형사상이다.

결정의 예로는 층 ''O''_''X''/''S''가 있다.

''결정''이라는 용어는 그로텐디크가 테이트에게 보낸 편지(1966년)에서 설명되었는데, 대수적 미분 방정식의 특정 성질에서 영감을 얻은 은유였다.

3. 성질

결정 코호몰로지는 적분 가능 접속, 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지 등과 밀접하게 연관되어 있다. 표수 ''p''에서는 표수 0에서와 달리, 드람 복합체의 정확성을 증명하기 위해 필요한 푸앵카레 보조정리가 성립하지 않는 문제가 발생한다. 이는 적분 과정에서 분할 거듭제곱이 필요한데, 표수 ''p''에서는 항상 존재하지 않기 때문이다.^[1]

그로텐디크는 이 문제를 해결하기 위해 ''X''의 결정 위치의 대상을 ''X''의 자리스키 열린 부분 집합의 무한소 확대와 분할 거듭제곱 구조로 정의했다.

표수 ''p''>0인 완전체 ''k''에 대한 길이 ''n''의 비트 벡터의 링 ''W''_''n'' = ''W''/''p''^''n''''W''에서, ''k'' 위의 스킴 ''X''의 '''결정 위치''' Cris(''X''/''W''_''n'')는 다음 쌍을 객체로 갖는다.

''W''_''n''-스킴 ''T''로의 ''X''의 자리스키 열린 부분 집합 ''U''의 닫힌 몰입 ''U''→''T''
아이디얼 다발 ''J''에 의해 정의되며, ''W''_''n''의 구조와 호환되는 ''J''에 대한 분할 거듭제곱 구조

''k'' 위의 스킴 ''X''의 결정 코호몰로지는 다음과 같이 역극한으로 정의된다.

:

H^i(X/W)=\varprojlim H^i(X/W_n)

여기서

:

H^i(X/W_n)= H^i(\operatorname{Cris}(X/W_n),O)

는 링 다발 ''O'' := ''O''_{''W''_''n''}를 값으로 하는 ''X''/''W''_''n''의 결정 위치의 코호몰로지이다.

이 이론의 핵심은 ''k'' 위의 매끄러운 스킴 ''X''의 결정 코호몰로지가 ''X''의 정칙이고 매끄러운 리프팅을 ''W'' 위의 스킴 ''Z''로 표현되는 대수 드람 코호몰로지의 관점에서 계산될 수 있다는 것이다. 즉, 다음과 같은 표준 동형 사상이 존재한다.

:

H^i(X/W) = H^i_{DR}(Z/W) \quad(= H^i(Z,\Omega_{Z/W}^*)= \varprojlim H^i(Z,\Omega_{Z/W_n}^*))

이는 형식 스킴 ''W'' 위의 ''Z''의 드람 코호몰로지를 이용한 ''X''의 결정 코호몰로지이다.

또한, ''X''의 드람 코호몰로지는 결정 코호몰로지를 mod ''p''로 축소하여 복구할 수 있다.

3. 1. 적분 가능 접속

분할 거듭제곱 환 위의 가군 M에 대한 '''접속'''(接續, connection^영어)은 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형이다.

:

\nabla\colon M\to \Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\otimes_RM

:

\nabla(rm)=r\nabla m+m\otimes_B\mathrm dr\qquad\forall m\in M,\;r\in R

여기서

\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}

는

(R,\mathfrak I,\gamma)

위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다.

이 경우, 항등식

:

\nabla(m\otimes_R\omega)=\nabla m\wedge\omega+m\otimes_R\mathrm d\omega\qquad(m\in M,\;\omega\in\Omega^\bullet_{R/K,\mathfrak I,\gamma})

를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분

:

\nabla\colon M\otimes_R\Omega^\bullet_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\to M\otimes_R\Omega^{\bullet+1}_{R/K,\mathfrak I,\gamma}

을 정의할 수 있다.

만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약

:

M\otimes_R\Omega^0_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow\nabla M\otimes_R\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow\nabla M\otimes_R\Omega^2_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\to\dotsb

가 사슬 복합체라면, 접속

\nabla

를

M

속의 '''적분 가능 접속'''(積分可能接續, integrable connection^영어)이라고 한다.

3. 2. 결정 위의 적분 가능 미분

결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 이를 통해 드람 복합체를 구성할 수 있다. 결정 위치에서 준연접층은 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 일대일 대응한다.

구체적으로 다음이 주어졌다고 하자.

분할 거듭제곱 스킴 $(S,\mathcal I,\gamma)$
스킴 $X$ 및 스킴 사상 $X\to S$
$X$ 의 결정 열린 부분 스킴 $(U,T,\delta)\in\operatorname{Cris}(X/S)$
$\operatorname{Cris}(X/S)$ 위의 결정 $\mathcal F$

그러면,

:

\mathcal O_{T'}:=\mathcal O_T\otimes \Omega^1_{T,\delta},(U(1),T(1),\delta(1))=(U,T,\delta)\times_{(S,I,\gamma)}(U,T,\delta)

로 정의하고,

p_0,p_1\colon T(1)\to T

로 사영을 잡았을 때,

:

p_0^*\mathcal F_T\overset{c_0}{\longrightarrow} \mathcal{F}_{T'}\overset{c_1}{\longleftarrow}p^*_1\mathcal F_T

를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다.

s\in \Gamma(T,\mathcal F_T)

를 생각하면

:

\nabla(s)=p^*_1s-c(p^*_0s)

로 정의한다. 여기에서

c=c_1^{-1}\circ c_0

이다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분

\nabla_X(Y)=XY-YX

를 모방한 것이다. 그러면 이는

:

\nabla\colon\Gamma(T,\mathcal F_{T})\longrightarrow \Gamma(T,\mathcal{F}_{T}\otimes_{\mathcal{O}_{X/S}}\Omega^1_{T/X,\delta})

를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의한다.

(A,I,\gamma)

가 분할 거듭제곱 환이고

A\to B

가 환 준동형이라면 적당한

P=A[x_i]

를 잡아서

P\to C

가 전사 준동형이 되도록 한다. 그리고 그 핵을

J

라고 하면

:

D=\varprojlim_{e}D_{B,\gamma}(J)/p^eD_{B,\gamma}(J)

를 정의할 수 있다.

3. 3. 푸앵카레 보조정리

가환환

K

와 유한 집합

I

에 대해,

K

계수의

I

개 변수 분할 거듭제곱 다항식환

P=K\langle(x_i)_{i\in I}\rangle

을 생각한다.

K

위의 임의의 가군

M

에 대해, 분할 거듭제곱 드람 복합체

\Omega^\bullet_{P/K}

의 각 항에

M

의 텐서곱을 취해도 완전열을 이룬다. 즉, 다음 완전열이 존재한다.

:

0\to M\to M\otimes_K\Omega^1_{P/K}\to M\otimes_K\Omega^2_{P/K}\to M\otimes_K\Omega^3_{P/A}\to \cdots

이는 일종의 "푸앵카레 보조정리"에 해당하며, 일반 다항식환

A[x_i]

에서는 성립하지 않는다. 그 이유는

(x^n)'=nx^{n-1}

이기 때문이다.

보다 일반적으로, 가환환

K

, 분할 거듭제곱 환

(R,\mathfrak I,\gamma)

및 환 준동형

f\colon K\to R

,

R

위의 분할 거듭제곱 다항식환

P=R\langle (x_i)_{i\in I}\rangle

,

R

위의 가군

M

,

M

위의 적분 가능 접속

\nabla\colon M\to M\otimes_R\Omega^1_{R/K,\delta}

을 생각한다.

P

속의 아이디얼

\mathfrak J=\mathfrak IP+P_+

를 생각하면, 여기서

P_+\subseteq P

는 양의 차수 항들로 구성된

P

의 부분 집합이다.

(P,\mathfrak J)

위에 자명한 분할 거듭제곱 구조

\delta

를 부여한다.

그러면,

K

-가군 범주의 유도 범주

\operatorname D(\operatorname{Mod}_K)

안에서

:

M\otimes_R\Omega^\bullet_{R/K,\gamma}\xrightarrow\sim M\otimes_P\Omega^\bullet_{P/K,\delta}

이라는 유사 동형 사상이 있다. 즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다.

표수 ''p''에서 표수 0에서 위에서 정의된 결정 위치의 가장 명백한 유사체는 작동하지 않는다. 그 이유는 대략적으로 드람 복합체의 정확성을 증명하기 위해 일종의 푸앵카레 보조정리가 필요하기 때문이다. 이는 적분을 사용하고, 적분은 다양한 분할 거듭제곱을 필요로 하며, 이는 표수 0에서는 존재하지만 표수 ''p''에서는 항상 존재하는 것은 아니기 때문이다.^[1]

3. 4. 결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교

D(n)=\prod^{n}D

라 할 때,

D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots

는

\mathrm{R}\Gamma(\mathrm{Cris}(X/S),\mathcal{F})

와 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면

\mathcal{F}

를 결정 위치에서 준연접층이라 하고,

M

을

\mathcal{F}

와 대응되는 p진으로 완벽한

D

-가군이라 할 때,

\mathrm{R}\Gamma(\mathrm{Cris}(X/S),\mathcal{F})

는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는

M\otimes_{D}\Omega^*_{D}

와 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것은 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

4. 응용

결정 코호몰로지는 대수적 수론, 특히 p-진 L-함수 연구에서 중요한 역할을 한다. 유한체 위의 스킴의 경우, 비트 벡터를 이용하여 l=p일 때의 코호몰로지를 에탈 코호몰로지 대신 사용할 수 있다. 양의 표수를 갖는 스킴의 경우, 결정 코호몰로지는 ''p''-진 에탈 코호몰로지보다 코호몰로지 군의 ''p''-비틀림 문제를 더 잘 처리한다.

수론적 관점에서 결정 코호몰로지는 '등가 표수 소수'가 발생하는 곳에서 l-진 코호몰로지 정보의 격차를 메운다. 이는 전통적으로 분기 이론의 영역이었으나, 디외도네 모듈 이론으로 변환하여 산술 문제에 대한 중요한 단서를 제공한다. 이를 공식적인 명제로 만드는 광범위한 범위의 추측은 장-마르크 퐁텐에 의해 제기되었으며, 그 해결을 p-진 호지 이론이라고 한다.

4. 1. 계수

대수적으로 닫힌 표수 ''p''>0의 체 위의 다양체 ''X''에 대해,

\ell

이 ''p''가 아닌 소수인 경우

\ell

-진 코호몰로지 군은

\ell

-진 정수의 고리

\mathbf{Z}_\ell

의 계수를 가진 ''X''의 만족스러운 코호몰로지 군을 제공한다.^[1] 그러나 일반적으로 '''Q''', '''Z''', '''Q''', '''Z'''의 계수를 가진 유사한 코호몰로지 군을 찾는 것은 불가능하다.

결정 코호몰로지 이론은 바이트 벡터 고리 위의 모듈을 생성하여 이 문제를 해결한다. 여기서 고리의 기초 체가 있다. 따라서 기초 체가 '''F'''의 대수적 폐포인 경우, 그 값은 '''Z'''가 아닌 모든 ''n''에 대해 ''n''제곱근을 포함하는 훨씬 더 큰 고리인 '''Z'''의 극대 비분기 확대의 ''p''-진 완비화 위의 모듈이다.^[1]

4. 2. 동기

유한체 ''k''에 대한 다양체 ''X''의 베유 코호몰로지 이론을 정의하는 한 가지 방법은 ''k''의 비트 벡터 환에 대한 다양체 ''X''*로 '리프트'하고, 이 리프트의 드람 코호몰로지를 취하는 것이다. 그러나 이 코호몰로지가 리프팅의 선택에 독립적인지 불분명하다.

결정 코호몰로지는 무한소 사이트 Inf(''X'')에서 상수 층의 코호몰로지로서 코호몰로지 이론을 직접 정의하고, 이것이 모든 리프트의 드람 코호몰로지와 동일함을 보여 이 문제를 해결한다.

5. 역사

알렉산더 그로텐디크가 1966년에 결정 코호몰로지를 도입하였고,^[4] 이후 피에르 베르틀로(Pierre Berthelot^프랑스어)가 그 이론 발전에 공헌하였다.

참조

_[1] 문서 A quite subtle point is that if ''X'' is a supersingular elliptic curve over the field '''F'''{{sub|''p''}} of ''p'' elements, then its crystalline cohomology is a free rank 2 module over '''Z'''{{sub|''p''}}. The argument given does not apply in this case, because some of the endomorphisms of such a curve ''X'' are defined only over '''F'''{{sub|''p''{{sup|2}}}}.
_[2] 저널 Cohomologie cristalline (d’après P. Berthelot) http://www.numdam.or[...]
_[3] 서적 Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique ''p''>0 Springer-Verlag
_[4] 저널 On the de Rham cohomology of algebraic varieties http://www.numdam.or[...] 1966

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com