단면적 (물리학)

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1. 개요

단면적은 입자 빔이 표적과 상호 작용할 때 발생하는 현상을 설명하는 데 사용되는 물리량이다. 미분 단면적은 특정 방향으로 산란되는 입자의 비율을 나타내며, 총단면적은 모든 입체각에 대한 미분 단면적을 적분한 값이다. 고전역학에서는 입자 빔의 산란 현상을, 양자역학에서는 파동 함수의 산란 진폭을 사용하여 단면적을 정의한다. 핵물리학에서는 핵반응의 확률을 나타내는 핵반응 단면적 개념을 사용하며, 빛의 산란에서도 파장, 입자의 유전율 등에 따라 다양한 단면적이 정의된다.

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단면적 (물리학)

2. 정의

단면적은 입자 빔이 표적에 입사될 때, 입자들이 표적에 의해 산란되는 정도를 나타내는 물리량이다. 미분 단면적은 특정 방향으로 산란되는 입자의 비율을, 총단면적은 모든 방향으로 산란되는 입자의 비율을 의미한다.^[13]

단면적은 충돌하는 입자가 인지하는 유효 표면적의 척도이며, 면적 단위로 표현된다. 두 기본 입자 간의 상호작용 확률은 단면적에 비례한다. 간단한 산란 실험에서 단위 시간당 산란되는 입자 수(산란 전류 )는 다음 요소에 의해 결정된다.^[14]

단위 시간당 입사 입자 수 (입사 전류 )
표적의 특성 (예: 표면 단위당 입자 수 )
상호작용 유형

이때, 다음 식이 성립한다.

:

I_\text{r} = I_\text{i} N \sigma

:

\sigma = \frac{I_\text{r}}{I_\text{i}} \frac{1}{N} = \text{상호 작용 확률} \times \frac{1}{N}

핵물리학에서 중성자선을 원자핵에 충돌시키는 핵반응을 예로 들 수 있다. 이는 고전역학적으로 공을 던져 표적에 맞히는 문제와 유사하며, 중성자선이 표적 핵에 충돌(핵반응)하는 비율을 결정하는 표적 핵의 "단면적" 개념을 생각할 수 있다. 이를 '''핵반응 단면적'''(nuclear reaction cross-section)이라 하며, 특히 중성자에 의한 핵반응 단면적은 '''중성자 단면적'''(neutron cross-section)이라 부른다.^[15]

2. 1. 고전역학적 정의

고전적으로, 입자 빔이 단위 면적 및 단위 시간당 I₀개의 입자를 입사시킨다고 하자. 이 입자 빔이 원점 근처에 국한된 퍼텐셜에 의하여 산란되어 구면 좌표로 (θ^영어,ϕ^영어) 방향으로 산란되어 단위 입체각 및 단위 시간당 I₁개의 입자를 산란시킨다고 하자. 그렇다면 (θ^영어,ϕ^영어) 방향의 '''미분 단면적'''(微分斷面積, differential cross-section^영어) dσ/dΩ 는 다음과 같다.

: dσ/dΩ = I₁/I₀

미분 단면적은 넓이 매 입체각의 단위를 가진다. 즉, 그 국제 단위는 제곱미터 매 스테라디안(m²/sr)이다.

'''총단면적'''(總斷面積, total cross-section^영어) σ는 모든 입체각에 대하여 미분 단면적을 적분한 것이다. 즉, 다음과 같다.

: σ = ∫₀^2π∫₀^π(dσ(θ,ϕ)/dΩ)sinθ dθ dϕ

총단면적은 넓이의 단위를 가진다. 고전적으로, 어떤 단단한 물체에 작은 점입자를 쏠 때 그 총단면적은 물체의 기하학적인 단면적과 같다. 예를 들어, 물체가 반지름이 r인 구라면 그 단면적은 πr²이다.

2. 2. 양자역학적 정의

양자역학에서 미분 단면적은 파동 함수의 산란 진폭의 절댓값의 제곱으로 나타낼 수 있다.

시간에 무관한 양자 산란 형식론에서, 초기 파동 함수 (산란 전)는 특정 운동량 ''k''를 가진 평면파로 간주된다.

:

\phi_-(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; e^{i k z},

여기서 ''z''와 ''r''은 투사체와 표적 사이의 ''상대'' 좌표이다.

산란이 발생한 후 파동 함수는 다음과 같은 점근적 형태를 띨 것으로 예상된다.

:

\phi_+(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; f(\theta,\phi) \frac{e^{i k r}}{r},

여기서 ''f''는 산란 진폭이라고 하는 각 좌표의 함수이다.

시스템의 전체 파동 함수는 다음과 같은 합으로 점근적으로 동작한다.

:

\phi(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; \phi_-(\mathbf r) + \phi_+(\mathbf r).

미분 단면적은 산란 진폭과 관련이 있다.

:

\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega}(\theta, \phi) = \bigl|f(\theta, \phi)\bigr|^2.

이것은 주어진 각도에서 산란된 투사체를 찾을 확률 밀도로 해석된다.

핵물리학에서, 예를 들어 중성자선을 원자핵에 충돌시키는 핵반응을 생각해 보면, 고전역학의 모델로 공을 던져 표적에 맞히는 문제와 유사하다. 중성자선이 표적 핵에 충돌(핵반응)하는 비율을 결정하는 표적 핵의 "단면적" 개념을 이끌어낼 수 있으며, 이를 '''핵반응 단면적'''(nuclear reaction cross-section)이라고 부른다. 특히 중성자에 의한 핵반응의 단면적은 '''중성자 단면적'''(neutron cross-section)이라고 불린다.

3. 충돌 및 산란

입자 빔이 단위 면적 및 단위 시간당 $I_0$ 개의 입자를 입사시킬 때, 이 입자들이 퍼텐셜에 의해 산란되어 특정 방향으로 단위 입체각 및 단위 시간당 $I_1$ 개의 입자를 산란시킨다면, 미분 단면적 $d\sigma/d\Omega$ 는 $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{I_1}{I_0}$ 로 정의된다. 미분 단면적은 넓이/입체각 단위를 가지며, 국제단위계로는 제곱미터 매 스테라디안(m²/sr)이다.
총단면적 $\sigma$ 는 모든 입체각에 대해 미분 단면적을 적분한 값으로, $\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\frac{d\sigma(\theta,\phi)}{d\Omega}\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ 와 같이 표현된다. 총단면적은 넓이 단위를 가진다. 예를 들어, 작은 점입자가 반지름이 $r$ 인 구에 부딪힐 때, 그 총단면적은 구의 기하학적 단면적인 $\pi r^2$ 와 같다.

양자역학에서 미분 단면적은 파동 함수의 산란 진폭의 제곱으로 나타낼 수 있다.

핵물리학에서 중성자선을 표적 핵에 충돌시키는 핵반응을 고려할 때, 핵반응의 용이성은 표적 핵의 "단면적"에 의해 결정된다. 이를 '''핵반응 단면적'''이라고 하며, 특히 중성자에 의한 핵반응의 단면적은 '''중성자 단면적'''이라고 한다.

중성자속( $\phi=nv$ )이 수 밀도 $N$ 인 물질을 통과할 때, 핵반응 횟수 $R$ 은 $R=\sigma N\phi$ 로 표현된다. 여기서 $\sigma$ 는 핵반응 단면적이다. $\sigma$ 는 미시적 단면적, $\Sigma=\sigma N$ 는 거시적 단면적이라고 하며, $R=\Sigma\phi$ 는 원자로 이론에서 중요하게 사용된다.^[15]

3. 1. 입자 빔의 감쇠

입자 빔이 두께

dz

의 얇은 물질 층에 들어갈 경우, 빔의 플럭스

\Phi

는 다음 식에 따라

d\Phi

만큼 감소한다.

:

\frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm d z} = -n \sigma \Phi,

여기서

\sigma

는 산란, 흡수를 포함한 모든 사건의 총 단면적이다. 산란 중심의 체적 밀도는

n

으로 표시된다. 이 방정식을 풀면 빔 세기의 지수 감쇠가 나타난다.

:

\Phi = \Phi_0 e^{-n \sigma z},

여기서

\Phi_0

는 초기 플럭스이고,

z

는 물질의 총 두께이다. 빛의 경우, 이것은 비어-람베르트 법칙이라고 한다.

속도와 운동 방향, 즉 속도가 같은 중성자선의 다발의 속도를

v\,[\mathrm{cm/s}]

, 1cm³당 중성자의 개수를

n\,[\mathrm{cm^{-3}}]

라고 하자. 이때, 이 곱

\phi=nv

를 중성자속(neutron flux)이라고 부른다. 이것은 1cm³ 안의 모든 중성자의 1초 동안의 주행 거리의 합을 의미한다^[13]。

이 중성자속이 물질의 원자핵의 수 밀도가

N\,[\mathrm{cm^{-3}}]

인 두께

D

의 직육면체 모양의 물질의 면적

S

의 면을 수직으로 통과할 때, 어떤 특정 종류의 핵반응이 단위 시간・단위 체적당

R

회 일어난다고 하면, 물질에서의 그 반응 횟수는

D,S,\phi,N

에 비례할 것이다. 따라서, 그 비례 상수를

\sigma\,[\mathrm{cm^{2}}]

라고 하면,

:

RDS=\sigma N \phi DS \iff R=\sigma N\phi

가 성립한다. 이때 중성자속에 걸리는 비례 상수를 (중성자에 의한) '''핵반응 단면적''' 또는 중성자 단면적이라고 부른다.

더욱이

\sigma

를 미시적 단면적(microscopic cross-section, '''마이크로 단면적''')^[14],

\Sigma=\sigma N

을 거시적 단면적(macroscopic cross-section, '''매크로 단면적''')이라고 부른다. 위의 식은 거시적 단면적

\Sigma

를 사용하여 다시 쓰면,

:

R=\Sigma\phi

가 되며, 이것은 원자로의 이론에서 매우 중요하다^[15]。

3. 2. 기체 입자의 충돌

'''그림 1.''' 개별 직경이 인 입자 기체에서 충돌에 대한 단면적 는 입자 수 밀도 와 충돌 사이의 평균 자유 행로 와 관련이 있다.

유한 크기의 입자 기체에서는 단면 크기에 따라 입자 간 충돌이 발생한다. 입자가 충돌 사이를 이동하는 평균 거리는 기체 입자의 밀도에 따라 달라진다. 이러한 양은 다음과 같이 관련되어 있다.^[1]

:

\sigma = \frac{1}{n \lambda},

여기서

:는 두 입자 충돌의 단면적(SI 단위: m²)이고,

:는 충돌 사이의 평균 자유 행로(SI 단위: m)이며,

:는 표적 입자의 수 밀도(SI 단위: m⁻³)이다.

그림 1과 같이 기체의 입자를 직접 접촉하여 상호 작용하는 반경 의 강체 구로 취급할 수 있다면, 한 쌍의 충돌에 대한 유효 단면적은 다음과 같다.^[1]

:

\sigma = \pi \left(2r\right)^2

기체의 입자가 물리적 크기보다 더 큰 범위를 가진 힘으로 상호 작용하는 경우, 단면적은 입자의 에너지와 같은 다양한 변수에 따라 달라질 수 있는 더 큰 유효 면적이다.^[1]

원자 충돌에 대한 단면적을 계산할 수 있지만, 아원자 영역에서도 사용된다. 예를 들어, 핵물리학에서 저에너지 중성자 "기체"는 원자로 또는 다른 핵 장치에서 핵과 충돌하며, 충돌 단면적은 에너지에 의존하며, 따라서 충돌 사이의 잘 정의된 평균 자유 행로를 갖는다.^[1]

4. 미분 단면적

미분 단면적은 입자 빔이 퍼텐셜에 의해 산란될 때 특정 방향으로 산란되는 입자의 비율을 나타내는 값이다. 고전역학에서 입자 빔이 단위 면적 및 단위 시간당 $I_0$ 개의 입자를 가지고, 이 입자 빔이 원점 근처의 퍼텐셜에 의해 산란되어 구면 좌표로 $(\theta,\phi)$ 방향으로 단위 입체각 및 단위 시간당 $I_1$ 개의 입자를 산란시킨다고 할 때, 미분 단면적 $d\sigma/d\Omega$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{I_1}{I_0}$ .

미분 단면적은 넓이 매 입체각의 단위를 가지며, 국제 단위는 제곱 미터 매 스테라디안(m²/sr)이다.

양자역학에서 미분 단면적은 파동 함수의 산란 진폭의 제곱으로 나타낸다.

입사 플럭스 $F_{inc}$ 의 입자가 많은 입자로 구성된 정지 표적에서 산란되는 경우, 각도 $(\theta, \phi)$ 에서의 미분 단면적 $d\sigma/d\Omega$ 는 단위 시간당 입자 단위로 산란된 입자 검출 플럭스 $F_{out}(\theta, \phi)$ 와 다음과 같은 관계를 가진다.

: $\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega}(\theta,\varphi) = \frac{1}{n t \Delta\Omega} \frac{F_\text{out}(\theta,\varphi)}{F_\text{inc}}.$

여기서 $\Delta\Omega$ 는 검출기의 유한 각 크기(sr), $n$ 는 표적 입자의 수 밀도(m⁻³), $t$ 는 정지 표적의 두께(m)이다. 이 공식은 각 빔 입자가 최대 하나의 표적 입자와 상호 작용할 만큼 표적이 충분히 얇다고 가정한다.

비탄성 산란의 미분 단면적은 준안정 상태의 생성을 나타내고 에너지와 수명에 대한 정보를 포함하는 공명 피크를 포함한다.

4. 1. 고전역학에서의 미분 단면적

단일 입자가 단일 정지 표적 입자에서 산란되는 고전역학적 측정을 생각해 보자. 일반적으로 표적을 원점에 놓고 이 좌표계의 축을 입사 빔과 정렬하는 구면 좌표계가 사용된다. 방위각은 φ이고, 각 θ는 입사 빔과 산란 빔 사이에서 측정된 '''산란각'''이다.

충격 파라미터 ''b''는 입사 입자의 궤적의 수직 오프셋이고, 출사 입자는 각도 θ로 나타난다. 주어진 상호 작용(쿨롱, 자기적, 중력, 접촉 등)의 경우, 충격 파라미터와 산란각은 서로에 대한 명확한 일대일 함수 종속성을 갖는다. 일반적으로 충격 파라미터는 이벤트에서 이벤트로 제어하거나 측정할 수 없으며 많은 산란 이벤트를 평균할 때 가능한 모든 값을 취하는 것으로 가정된다. 단면적의 미분 크기는 충격 파라미터 평면의 면적 요소, 즉 d''σ'' = ''b'' d''φ'' d''b''이다. 각도 θ에서 산란된 입자의 미분 각 범위는 입체각 요소 dΩ = sin ''θ'' d''θ'' d''φ''이다. 미분 단면적은 이러한 양의 몫, d''σ''/dΩ이다.

미분 단면적은 산란각(그리고 따라서 충격 파라미터)의 함수이며, 입사 입자의 운동량과 같은 다른 관측 가능한 값의 함수이다. 미분 단면적은 일반적으로 양수로 간주되지만, 더 큰 충격 파라미터는 일반적으로 덜한 편향을 생성한다. 원통 대칭 상황(빔 축에 대해)에서, 방위각 φ는 산란 과정에 의해 변경되지 않으며, 미분 단면적은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d}(\cos \theta)} =\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} \,\mathrm{d}\varphi

.

산란 과정이 방위각 대칭이 아닌 상황, 예를 들어 빔 또는 표적 입자가 빔 축에 수직으로 향하는 자기 모멘트를 갖는 경우, 미분 단면적은 방위각의 함수로도 표현되어야 한다.

4. 2. 양자역학에서의 미분 단면적

양자역학에서 미분 단면적은 파동 함수의 산란 진폭의 제곱으로 표현되며, 주어진 각도에서 산란된 입자를 발견할 확률 밀도로 해석된다.

시간에 무관한 양자 산란 형식론에서, 초기 파동 함수(산란 전)는 특정 운동량

k

를 가진 평면파로 간주된다.

:

\phi_-(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; e^{i k z}

여기서

z

와

r

은 투사체와 표적 사이의 ''상대'' 좌표이다. 산란 후 파동 함수는 다음과 같은 점근적 형태를 띤다.

:

\phi_+(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; f(\theta,\phi) \frac{e^{i k r}}{r}

여기서

f

는 산란 진폭이라고 하는 각 좌표의 함수이다.

시스템의 전체 파동 함수는 다음과 같은 합으로 점근적으로 동작한다.

:

\phi(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; \phi_-(\mathbf r) + \phi_+(\mathbf r)

미분 단면적은 산란 진폭과 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega}(\theta, \phi) = \bigl|f(\theta, \phi)\bigr|^2

충돌 전후의 충돌계의 환산 질량과 운동량이 각각

m_\text{i}

,

\mathbf{p}_\text{i}

및

m_\text{f}

,

\mathbf{p}_\text{f}

라면, 미분 단면적은 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} = \left(2\pi\right)^4 m_\text{i} m_\text{f} \frac{p_\text{f}}{p_\text{i}} \bigl|T_{\text{f}\text{i}}\bigr|^2

여기서 온-쉘

T

행렬은

:

S_{\text{f}\text{i}} = \delta_{\text{f}\text{i}} - 2\pi i \delta\left(E_\text{f} - E_\text{i}\right) \delta\left(\mathbf{p}_\text{i} - \mathbf{p}_\text{f}\right) T_{\text{f}\text{i}}

S-행렬을 사용하여 정의된다. 여기서

\delta

는 디랙 델타 함수이다. S-행렬의 계산은 산란 이론의 주요 목표 중 하나이다.

5. 빛의 산란

빛의 산란에서 입자의 산란 단면적은 일반적으로 입자의 기하학적 단면적과 다르며, 빛의 파장과 입자의 유전율, 모양, 크기에 따라 달라진다.^[3] 희소 매질에서 전체 산란량은 산란 단면적과 존재하는 입자 수의 곱에 비례한다.

빛과 입자의 상호 작용에서는 흡수, 산란, 광발광 등 각기 고유한 단면적을 가진 여러 과정이 발생한다. 흡수 및 산란 단면적의 합은 감쇠 또는 소멸 단면적이라고도 한다.^[3] 총 소멸 단면적은 비어-람베르트 법칙을 통해 빛 강도의 감쇠와 관련이 있으며, 이 법칙은 감쇠가 입자 농도에 비례한다고 설명한다.

5. 1. 확장된 물체에 대한 빛의 산란

확장된 물체에 빛을 산란시키는 맥락에서 산란 단면적(σ_sc)은 거시적 입자에 의해 빛이 산란될 가능성을 설명한다. 일반적으로 산란 단면적은 입자의 기하학적 단면적과는 다르며, 빛의 파장과 입자의 유전율, 모양, 크기에 따라 달라진다. 희소 매질에서 총 산란량은 산란 단면적과 존재하는 입자 수의 곱으로 결정된다. 면적으로 나타낸 ''총 단면적''(σ)은 흡수, 산란 및 발광에 의한 단면적의 합이다.^[3]

:σ = σ_abs + σ_sc + σ_lum.

총 단면적은 비어-람베르트 법칙을 통해 빛 세기의 흡광도와 관련이 있으며, 이 법칙은 흡광도가 농도에 비례한다고 말한다.

:A_λ = Clσ

여기서 A_λ는 주어진 파장(λ)에서의 흡광도이고, C는 수 밀도로서의 농도이며, l은 경로 길이이다. 복사선의 소멸 또는 흡광도는 투과율(T)의 역수의 로그(상용 또는 자연)이다.^[3]

:A_λ = -logT

5. 2. 미 이론 (Mie Theory)

미 이론은 구형 입자에 의한 빛의 산란을 설명하는 이론이다. 이 이론을 통해 소멸, 산란, 흡수 단면적을 계산할 수 있다.

미 이론에서는 소멸

Q_\text{ext}

, 산란

Q_\text{sc}

, 흡수

Q_\text{abs}

단면적에 대한 효율 계수를 사용한다. 이 계수들은 입자의 기하학적 단면적

\sigma_\text{geom} = \pi a^2

로 정규화된다. 여기서

a

는 구형 입자의 반지름이다.

:

Q_\alpha = \frac{\sigma_\alpha}{\sigma_\text{geom}}, \qquad \alpha = \text{ext}, \text{sc}, \text{abs}.

단면적(

\sigma_\alpha

)은 입사파의 세기(

I_{\text{inc}}

)에 대한 에너지 흐름(

W_\alpha

)의 비율로 정의된다.

:

\sigma_\alpha = \frac{W_\alpha}{I_{\text{inc}}}

평면파의 경우, 세기는

I_{\text{inc}} = |\mathbf{E}|^2 / (2 \eta)

로 주어지며, 여기서

\eta = \sqrt{\mu \mu_0 / (\varepsilon \varepsilon_0)}

는 호스트 매질(빛이 통과하는 매질)의 임피던스이다.

미 이론의 주요 접근 방식은 다음과 같다. 먼저, 산란체(입자) 주변에 가상의 구면을 설정한다. 이 구면을 통과하는 전자기 에너지의 순 비율을 계산하여 흡수되는 에너지(

W_a

)를 구한다.

:

W_\text{a} = - \oint_A \mathbf{\Pi} \cdot \hat{\mathbf{r}} dA

여기서

\mathbf{\Pi} = \frac{1}{2} \operatorname{Re} \left[ \mathbf{E}^* \times \mathbf{H} \right]

는 시간 평균 포인팅 벡터이다.

총 전자기장(

\mathbf{E}, \mathbf{H}

)을 입사 부분(

\mathbf{E}_\text{i}, \mathbf{H}_\text{i}

)과 산란 부분(

\mathbf{E}_\text{s}, \mathbf{H}_\text{s}

)으로 분해하여

W_a

를 세 항(

W_\text{i}, W_\text{s}, W_{\text{ext}}

)으로 분해한다.

:

W_\text{i} = - \oint_A \mathbf{\Pi}_\text{i} \cdot \hat{\mathbf{r}} dA \equiv 0, \qquadW_\text{s} = \oint_A \mathbf{\Pi}_\text{s} \cdot \hat{\mathbf{r}} dA, \qquadW_{\text{ext}} = \oint_A \mathbf{\Pi}_{\text{ext}} \cdot \hat{\mathbf{r}} dA.

여기서

\mathbf{\Pi}_\text{i} = \frac{1}{2} \operatorname{Re} \left[ \mathbf{E}_\text{i}^* \times \mathbf{H}_\text{i} \right]

,

\mathbf{\Pi}_\text{s} = \frac{1}{2} \operatorname{Re} \left[ \mathbf{E}_\text{s}^* \times \mathbf{H}_\text{s} \right]

, 그리고

\mathbf{\Pi}_{\text{ext}} = \frac{1}{2} \operatorname{Re} \left[ \mathbf{E}_s^* \times \mathbf{H}_i + \mathbf{E}_i^* \times \mathbf{H}_s \right]

이다.

모든 필드는 벡터 구면 조화 함수(VSH)를 이용하여 분해할 수 있다.

반지름이

a

이고, 유전율과 투자율이 각각

\varepsilon

,

\mu

인 균일한 구의 경우, 산란 및 소멸 계수는 다음과 같이 주어진다.^[4]

:

Q_\text{sc} = \frac{2}{k^2a^2}\sum_{n=1}^\infty (2n+1)(|a_{n}|^2+|b_{n}|^2)

:

Q_\text{ext} = \frac{2}{k^2a^2}\sum_{n=1}^\infty (2n+1)\Re(a_{n}+b_{n})

여기서

k = n_\text{host} k_0

(호스트 매질에서의 파수)이며,

a_n

과

b_n

은 산란 계수이다.

소멸 단면적, 산란 단면적, 흡수 단면적 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\sigma_\text{ext} = \sigma_\text{sc} + \sigma_\text{abs} \qquad \text{or} \qquad Q_\text{ext} = Q_\text{sc} + Q_\text{abs}

5. 3. 쌍극자 근사 (Dipole Approximation)

입자가 전기 및 자기 쌍극자 모드만 지원한다고 가정하면, 편광률은 $\mathbf{p} = \alpha^e \mathbf{E}$ 및 $\mathbf{m} = (\mu \mu_0)^{-1}\alpha^m \mathbf{H}$로 나타낼 수 있다. 여기서 자기 편광률 표기법을 사용한다.^[5]^[6]^[7]

$\alpha^e = 4 \pi \varepsilon_0 \cdot i \frac{3 \varepsilon}{2 k^3} a_1, \qquad \alpha^m = 4 \pi \mu_0 \cdot i \frac{3 \mu}{2 k^3} b_1.$

그러면 단면적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\sigma_{\text{ext}} = \sigma_{\text{ext}}^{\text{(e)}} + \sigma_{\text{ext}}^{\text{(m)}} =

\frac{1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_0} \cdot 4\pi k \Im(\alpha^e) +

\frac{1}{4\pi \mu \mu_0} \cdot 4\pi k \Im(\alpha^m)$

$\sigma_{\text{sc}} = \sigma_{\text{sc}}^{\text{(e)}} + \sigma_{\text{sc}}^{\text{(m)}} =

\frac{1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon_0)^2} \cdot \frac{8\pi}{3} k^4 |\alpha^e|^2 +

\frac{1}{(4\pi \mu \mu_0)^2} \cdot \frac{8\pi}{3} k^4 |\alpha^m|^2$

마지막으로, 전기 및 자기 흡수 단면적 $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{abs}}^{\text{(e)}} + \sigma_{\text{abs}}^{\text{(m)}}$는 다음과 같다.

$\sigma_{\text{abs}}^{\text{(e)}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon \varepsilon_0} \cdot 4\pi k \left[ \Im(\alpha^e) - \frac{k^3}{6 \pi \varepsilon \varepsilon_0} |\alpha^e|^2\right]$

$\sigma_{\text{abs}}^{\text{(m)}} = \frac{1}{4 \pi \mu \mu_0} \cdot 4\pi k \left[ \Im(\alpha^m) - \frac{k^3}{6 \pi \mu \mu_0} |\alpha^m|^2\right]$

입자가 내부적으로 에너지를 방출하지 않는 경우, 즉 입자가 내부 이득이 없는 경우($\sigma_{\text{abs}} > 0$), 광학 정리의 특수한 경우를 갖는다.

\(\frac{1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_0} \Im(\alpha^e) + \frac{1}{4\pi \mu \mu_0} \Im(\alpha^m) \geq \frac{2 k^3}{3} \left[ \frac{|\alpha^e|^2}{(4\pi \varepsilon \varepsilon_0)^2} + \frac

6. 핵반응 단면적

핵물리학에서 '''핵반응 단면적'''(nuclear reaction cross-section)은 중성자 등의 입자가 원자핵과 반응하여 핵반응을 일으킬 확률을 나타낸다. 비유적으로 설명하면, 중성자선을 어떤 표적 핵에 충돌시키는 것은 고전역학에서 공을 던져 표적에 맞히는 문제와 비슷하다. 이때,

직선으로 날아오는 공이 표적에 맞는 비율을 결정하는 표적의 "단면적"
중성자선이 표적 핵에 충돌(핵반응)하는 비율을 결정하는 표적 핵의 "단면적"

의 개념을 생각해 볼 수 있다.

특히 중성자에 의한 핵반응의 단면적은 '''중성자 단면적'''(neutron cross-section)이라고 불린다.

중성자선의 속도를 v^영어 [cm/s], 1cm³당 중성자 개수를 n^영어 [cm^-3]라고 할 때, 이 곱 φ=nv^영어를 중성자속(neutron flux)이라고 한다. 중성자속은 1cm³ 안의 모든 중성자가 1초 동안 이동한 거리의 합을 의미한다^[13]。

이 중성자속이 원자핵 수 밀도가 N^영어 [cm^-3]인 물질을 통과할 때, 핵반응 횟수는 φ, N^영어에 비례한다. 비례 상수 σ^영어 [cm²]를 사용하면, 핵반응 횟수 R은 다음과 같이 표현된다.

:

R=\sigma N\phi

여기서 σ^영어를 '''핵반응 단면적''' 또는 중성자 단면적이라고 부른다.

σ^영어는 미시적 단면적(microscopic cross-section, '''마이크로 단면적''')^[14], Σ=σN^영어은 거시적 단면적(macroscopic cross-section, '''매크로 단면적''')이라고 부른다. 위 식을 거시적 단면적 Σ^영어를 사용하여 다시 쓰면,

:

R=\Sigma\phi

가 되며, 이는 원자로 이론에서 매우 중요하다^[15]。

6. 1. 핵반응 단면적의 종류

핵반응 단면적은 핵반응 종류별로 정의된다.^[16] 중성자에 의한 핵반응 중 주로 흡수와 산란이 일어나는데, 각각에 대한 단면적을 '''흡수 단면적'''(

\sigma_a

), '''산란 단면적'''(

\sigma_b

)이라고 한다.

어떤 물질에 대한 모든 종류의 핵반응 단면적을 합한 것을 '''전 단면적'''(total cross-section)이라고 한다.

6. 2. 거시적 단면적과 미시적 단면적

핵물리학에서 중성자선을 원자핵에 충돌시키는 핵반응을 고려할 때, 고전역학 모델에서 공을 던져 표적에 맞히는 문제와 유사하게 생각할 수 있다. 이때, 중성자선이 표적 핵에 충돌하는 비율을 결정하는 표적 핵의 "단면적" 개념을 도입할 수 있는데, 이를 '''핵반응 단면적'''(nuclear reaction cross-section)이라고 한다. 특히 중성자에 의한 핵반응 단면적은 '''중성자 단면적'''(neutron cross-section)이라고 불린다.^[13]

속도가 같은 중성자 다발의 속도를 v^영어 [cm/s], 1cm³당 중성자 개수를 n^영어 [cm^-3]라고 할 때, 이 곱 φ=nv^영어를 중성자속(neutron flux)이라고 한다. 중성자속은 1cm³ 안의 모든 중성자가 1초 동안 이동한 거리의 합을 의미한다.^[13]

이 중성자속이 원자핵 수 밀도가 N^영어 [cm^-3]인 두께 D^영어의 직육면체 모양 물질의 면적 S^영어를 수직으로 통과할 때, 특정 종류의 핵반응이 단위 시간·단위 체적당 R^영어회 일어난다고 가정하면, 반응 횟수는 D, S, φ, N^영어에 비례한다. 비례 상수 σ^영어 [cm²]를 사용하면,

:RDS = σNφDS ⇔ R = σNφ^영어

가 성립한다. 여기서 σ^영어를 '''미시적 단면적'''(microscopic cross-section) 또는 '''마이크로 단면적'''이라고 하고,^[14] Σ = σN^영어을 '''거시적 단면적'''(macroscopic cross-section) 또는 '''매크로 단면적'''이라고 한다. 거시적 단면적 Σ^영어를 사용하여 위의 식을 다시 쓰면,

:R = Σφ^영어

가 되며, 이는 원자로 이론에서 매우 중요하다.^[15]

미시적 단면적은 단일 원자핵과의 반응 확률을 나타내고, 거시적 단면적은 물질 내 단위 부피당 반응 확률을 나타낸다.

핵반응 단면적은 각 핵반응 종류별로 정의된다.^[16] 자주 사용되는 미시적 단면적으로는 중성자에 의한 흡수(absorption)에 대한 '''흡수 단면적''' σ_a^영어와 산란(scattering)에 대한 '''산란 단면적''' σ_b^영어가 있다.

어떤 물질에 대한 모든 종류의 핵반응 단면적의 합은 '''전 단면적'''(total cross-section)이라고 한다.

7. 여러 가지 예시

주어진 문서에는 여러 가지 단면적 예시가 나와 있지만, 하위 섹션에서 이미 다루고 있는 내용은 제외하고 다음과 같이 요약할 수 있다.

2차원 원형 거울에서의 산란: 반지름이 ''r''인 원형 거울에서 빛이 산란되는 경우, 미분 단면적은 $\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \theta} = \frac{r}{2} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$ 로 주어진다. 총 단면적은 원의 지름과 같은 $2r$ 이다.
3차원 구면 거울에서의 산란: 반지름이 ''a''인 구면 거울에서 빛이 산란되는 경우, 미분 단면적은 $\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega} = \frac{a^2}{4}$ 로 주어진다. 총 단면적은 구의 단면적과 같은 $\pi a^2$ 이다.

7. 1. 두 개의 단단한 구의 탄성 충돌

다음 방정식은 완벽하게 탄성 충돌을 겪는 두 개의 단단한 구에 적용된다.^[1] ''R''과 ''r''을 각각 산란 중심과 산란된 구의 반지름이라고 하자. 미분 단면적은 다음과 같다.

:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{R^2}{4},

전체 단면적은 다음과 같다.

:

\sigma_\text{tot} = \pi \left(r + R\right)^2.

다시 말해, 전체 산란 단면적은 입사하는 구의 질량 중심이 굴절되기 위해 도착해야 하는 원(반지름 ''r'' + ''R''|r + R^영어)의 면적과 같다.

7. 2. 러더퍼드 산란 (Rutherford Scattering)

러더퍼드 산란에서 전하 ''q''^영어와 에너지 ''E''^영어를 가진 입자가 전하 ''Q''^영어를 가진 고정된 입자에 의해 산란된다. 미분 단면적은 다음과 같다.

:

\frac{d \sigma}{d \Omega} = \left(\frac{q \, Q}{16\pi\varepsilon_0 E \sin^2(\theta/2)} \right)^2

여기서

\varepsilon_0

는 진공 유전율이다. 총 단면적은 작은 산란각

\theta

에 대한 컷오프가 적용되지 않는 한 무한대이다.^[1] 이는

1/r

쿨롱 포텐셜의 장거리 특성 때문이다.

7. 3. 2차원 원형 거울에서의 산란

다음은 반지름이 ''r''인 원과 완벽하게 반사하는 경계면에서 빛이 산란되는 경우를 다룬다. 빔은 균일한 밀도의 평행 광선으로 구성되며, 빔-원 상호 작용은 기하 광학의 틀 내에서 모델링된다. 문제는 진정으로 2차원이기 때문에 단면적의 단위는 길이(예: 미터)이다. ''α''를 광선과 거울의 중심점과 광선의 반사점을 잇는 반지름 사이의 각도라고 하자. 그러면 빔에 수직인 길이 요소의 증가는 다음과 같다.

:

\mathrm dx = r \cos \alpha \,\mathrm d \alpha.

이 광선의 입사 광선에 대한 반사각은 2''α''이고 산란각은 다음과 같다.

:

\theta = \pi - 2 \alpha.

입사 강도와 반사 강도 ''I'' 사이의 미분 관계는 다음과 같다.

:

I \,\mathrm d \sigma = I \,\mathrm dx(x) = I r \cos \alpha \,\mathrm d \alpha = I \frac{r}{2} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \,\mathrm d \theta = I \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \theta} \,\mathrm d \theta.

따라서 미분 단면적은 다음과 같다. (dΩ = d''θ'')

:

\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \theta} = \frac{r}{2} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right).

''θ'' = π에서의 최대값은 후방 산란에 해당하고, ''θ'' = 0에서의 최소값은 원의 가장자리에서 정면으로 직접 산란하는 것에 해당한다. 이 식은 거울 원이 발산하는 렌즈처럼 작동한다는 직관적인 기대를 확인해준다. 총 단면적은 원의 지름과 같다.

:

\sigma = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \theta} \,\mathrm d \theta = \int_0^{2 \pi} \frac{r}{2} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \,\mathrm d \theta = 2 r.

7. 4. 3차원 구면 거울에서의 산란

이전 예제의 결과를 사용하여 3차원, 즉 반지름 a|에이^영어의 완벽하게 반사하는 구체에서의 산란 문제를 해결할 수 있다.

입사 광선에 수직인 평면은 원통 좌표 r|아르^영어과 φ|파이^영어로 매개변수화할 수 있다. 입사 광선과 반사 광선이 있는 모든 평면에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}r &= a \sin \alpha,\\\mathrm dr &= a \cos \alpha \,\mathrm d \alpha,\end{align}

충돌 면적 요소는 다음과 같다.

:

\mathrm d \sigma = \mathrm d r(r) \times r \,\mathrm d \varphi = \frac{a^2}{2} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \,\mathrm d \theta \,\mathrm d \varphi.

구면 좌표에서,

:

\mathrm d\Omega = \sin \theta \,\mathrm d \theta \,\mathrm d \varphi.

삼각 함수 항등식과 함께

:

\sin \theta = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right),

다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega} = \frac{a^2}{4}.

총 단면적은 다음과 같다.

:

\sigma = \oint_{4 \pi} \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega} \,\mathrm d \Omega = \pi a^2.

참조

_[1] 간행물 SIbrochure8th
_[2] 서적 Nondestructive Testing Handbook Volume 4 Radiographic Testing ASNT 2002
_[3] 서적 Biological instrumentation and methodology S. Chand & Company Ltd 2008
_[4] 서적 Absorption and scattering of light by small particles John Wiley & Sons 2008
_[5] 논문 Subwavelength particles in an inhomogeneous light field: optical forces associated with the spin and orbital energy flows 2013-04-01
_[6] 논문 Extraordinary momentum and spin in evanescent waves Springer Science and Business Media LLC 2014-03-06
_[7] 논문 Optical forces on small magnetodielectric particle The Optical Society 2010-05-14
_[8] 웹사이트 Scattering cross section, {{math|''σ''_scat}}
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서

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