미분위상수학
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1. 개요
미분위상수학은 미분 가능한 다양체의 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 19세기 중반 베른하르트 리만이 다양체 개념을 도입하면서 미분기하학이 시작되었고, 앙리 푸앵카레가 다양체의 기하학을 바탕으로 위상수학을 전개하려 시도하면서 미분위상수학의 기틀이 마련되었다. 1930년대부터 해슬러 휘트니, 레프 폰트랴긴, 르네 톰, 존 밀너, 스티븐 스메일 등에 의해 현대적인 미분위상수학이 발달했다. 특히, 존 밀너는 7차원 초구에 표준적인 매끄러움 구조와 다른 매끄러움 구조를 발견하여 위상 다양체와 매끄러운 다양체의 개념이 일치하지 않음을 밝혀냈다. 주요 연구 분야로는 침몰, 침강, 횡단성, 모스 이론, 코보디즘 이론, 심플렉틱 위상수학 등이 있으며, 드람 코호몰로지, 푸앵카레 추측, 내시 매입 정리, 휘트니 확장 정리 등이 주요 개념 및 정리로 다루어진다. 미분위상수학은 본질적으로 전역적인 문제를 연구하는 반면, 미분기하학은 국소적 또는 전역적인 문제를 다룬다는 점에서 차이가 있다.
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| 미분위상수학 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 분야 | 수학, 위상수학, 미분기하학 |
| 하위 분야 | 매듭 이론, 모스 이론, 특성류, 공간 복잡도 |
| 관련 주제 | |
| 관련 주제 | 미분기하학, 미분다양체, 특이점 이론, 위상수학 |
| 역사 | |
| 주요 인물 | 앙리 푸앵카레 르네 톰 존 밀너 스티븐 스메일 하스틀러 휘트니 |
2. 역사
19세기 중반에 베른하르트 리만이 다양체의 개념을 도입하였으며, 이는 현대 미분기하학의 시초를 이룬다. 이후 앙리 푸앵카레는 19세기 말에 다양체의 기하학을 바탕으로 위상수학을 전개하려 시도하였으나, 이는 당시 수학적 기법으로는 불가능하였다.
미분 위상수학은 카를 프리드리히 가우스나 베른하르트 리만 등에 의한 곡률 연구에, ''위상수학''(토폴로지)는 고트프리트 라이프니츠나 레온하르트 오일러 등에 의한 위치의 해석에서 시작되었지만, 미분기하학과 위상수학의 초기의 학제는 앙리 푸앵카레에 의한 삼(다)체 문제의 해석이 있다. 삼(다)체 문제란 천체역학에서 파생된 것으로 조용한 공간에 3개 (혹은 그 이상)의 물체가 떠 있을 때 그 물체는 어떤 운동을 하는가 하는 역학계 (따라서 해석학)의 문제이다. 푸앵카레는 이 역학계를 정하는 미분 방정식의 벡터장이 있는 다양체를 만드는 것에 주목하여, 그 다양체에 위상수학적 지견으로 접근함으로써 뉴턴 시대부터 있던 난제를 풀었다. 푸앵카레는 카오스적인 거동을 하는 역학계를 처음 발견한 해석학자이며, 토폴로지를 하나의 학문으로 정식화한 토폴로지스트이기도 하다.
순수한 다양체의 문제에 관한 초기의 예로는 앞서 언급한 푸앵카레나 독일의 수학자 펠릭스 클라인과 그의 제자 파울 쾨베 등에 의한 2차원 다양체(곡면)의 기하 구조에 따른 분류가 있다. 기하 구조는 곡률에서 생겨난 개념이므로 미분기하학과 관계가 있다. 그들은 모든 2차원 다양체에 그것과 동상으로 (위상적으로 동일) 자연스러운 기하 구조를 갖는 것이 있음을 증명했다. 후에 존 내시는 이것을 발전시킨 내시의 리만 다양체 매입 정리를 증명했다. 이것들은 2차원의 미분기하학에서 가장 큰 성과이다.
현대적인 뜻의 미분위상수학은 1930년대부터 해슬러 휘트니 · 레프 폰트랴긴 · 르네 톰 · 존 밀너 · 스티븐 스메일 등에 의하여 발달되었다. 특히, 1956년에 존 밀너는 7차원 초구 위에 표준적인 매끄러움 구조와 다른 매끄러움 구조를 발견하여, 위상 다양체와 매끄러운 다양체의 개념이 일치하지 않는다는 것을 밝혀내었다.
1950년대에는 알에이치 빙과 에드윈 모이즈에 의해 각각 독립적으로 모든 3차원 다양체가 삼각 분할할 수 있다는 것이 증명된다. 다양체가 삼각 분할할 수 있다는 것은 미분 가능한 다양체로 동상 변환 가능하다는 것, 즉 3차원 토폴로지 연구에 미분기하학을 응용할 수 있다는 것을 나타낸다. 이 발견을 시작으로 3차원의 위상기하학과 미분기하학의 관계 연구가 급속도로 발전하게 되었다. 같은 시기인 1956년, 존 밀너가 프랑스의 토폴로지스트로 재앙 이론의 창시자로도 유명한 르네 톰의 공적에 기초하여 7차원 구면에는 본질적으로 다른 28종의 미분 가능 구조가 존재한다는 것을 보였다. ''이 톰, 밀너에 시작된 고차원 다양체의 연구야말로 현재, 미분 위상수학이라고 불리는 것의 시작이다.''
1960년에는 스티븐 스메일이 톰이 창시한 코볼디즘 이론을 이용하여 토폴로지의 기본 문제인 푸앵카레 추측을 5차원 이상에 대해 증명했고, 1981년에는 마이클 프리드먼에 의해 4차원에 대해, 그리고 마지막으로 남아있던 3차원에 대해서는 리처드 해밀턴이 도입한 미분 방정식 리치 흐름을 사용하여 그리고리 페렐만에 의해 2003년 증명되었다. 푸앵카레 추측이라는 토폴로지의 매우 기본적인 문제가 미분 위상수학이나 미분기하학을 이용하여 풀렸다는 사실은 많은 토폴로지스트들을 놀라게 했다.
2. 1. 현대 미분위상수학의 발전
19세기 중반에 베른하르트 리만이 다양체의 개념을 도입하였으며, 이는 현대 미분기하학의 시초를 이룬다. 이후 앙리 푸앵카레는 19세기 말에 다양체의 기하학을 바탕으로 위상수학을 전개하려 시도하였으나, 이는 당시 수학적 기법으로는 불가능하였다.현대적인 뜻의 미분위상수학은 1930년대부터 해슬러 휘트니 · 레프 폰트랴긴 · 르네 톰 · 존 밀너 · 스티븐 스메일 등에 의하여 발달되었다. 특히, 1956년에 존 밀너는 7차원 초구 위에 표준적인 매끄러움 구조와 다른 매끄러움 구조를 발견하여, 위상 다양체와 매끄러운 다양체의 개념이 일치하지 않는다는 것을 밝혀내었다. 같은 시기인 1956년, 존 밀너가 프랑스의 토폴로지스트로 재앙 이론의 창시자로도 유명한 르네 톰의 공적에 기초하여 7차원 구면에는 본질적으로 다른 28종의 미분 가능 구조가 존재한다는 것을 보였다. 이 톰, 밀너에 시작된 고차원 다양체의 연구야말로 현재, 미분 위상수학이라고 불리는 것의 시작이다.
1960년에는 스티븐 스메일이 르네 톰이 창시한 코볼디즘 이론을 이용하여 토폴로지의 기본 문제인 푸앵카레 추측을 5차원 이상에 대해 증명했고, 1981년에는 마이클 프리드먼에 의해 4차원에 대해, 그리고 마지막으로 남아있던 3차원에 대해서는 리처드 해밀턴이 도입한 미분 방정식 리치 흐름을 사용하여 그리고리 페렐만에 의해 2003년 증명되었다. 푸앵카레 추측이라는 토폴로지의 매우 기본적인 문제가 미분 위상수학이나 미분기하학을 이용하여 풀렸다는 사실은 많은 토폴로지스트들을 놀라게 했다.
1950년대에는 알에이치 빙과 에드윈 모이즈에 의해 각각 독립적으로 모든 3차원 다양체가 삼각 분할할 수 있다는 것이 증명된다. 다양체가 삼각 분할할 수 있다는 것은 미분 가능한 다양체로 동상 변환 가능하다는 것, 즉 3차원 토폴로지 연구에 미분기하학을 응용할 수 있다는 것을 나타낸다. 이 발견을 시작으로 3차원의 위상기하학과 미분기하학의 관계 연구가 급속도로 발전하게 되었다.
2. 1. 1. 존 밀너의 이종구 발견
1950년대에 알에이치 빙과 에드윈 모이즈에 의해 각각 독립적으로 모든 3차원 다양체가 삼각 분할할 수 있다는 것이 증명되었다. 다양체가 삼각 분할할 수 있다는 것은 미분 가능한 다양체로 동상 변환 가능하다는 것, 즉 3차원 토폴로지 연구에 미분기하학을 응용할 수 있다는 것을 나타낸다. 이 발견을 시작으로 3차원의 위상기하학과 미분기하학의 관계 연구가 급속도로 발전하게 되었다. 같은 시기인 1956년, 존 밀너가 프랑스의 토폴로지스트로 재앙 이론의 창시자로도 유명한 르네 톰의 공적에 기초하여 7차원 구면에는 본질적으로 다른 28종의 미분 가능 구조가 존재한다는 것을 보였다. ''이 톰, 밀너에 시작된 고차원 다양체의 연구야말로 현재, 미분 위상수학이라고 불리는 것의 시작이다.''1930년대부터 해슬러 휘트니 · 레프 폰트랴긴 · 르네 톰 · 존 밀너 · 스티븐 스메일 등에 의하여 현대적인 뜻의 미분위상수학이 발달되었다. 특히, 1956년에 존 밀너는 7차원 초구 위에 표준적인 매끄러움 구조와 다른 매끄러움 구조를 발견하여, 위상 다양체와 매끄러운 다양체의 개념이 일치하지 않는다는 것을 밝혀내었다.
2. 1. 2. 한국 미분위상수학의 발전
19세기 중반 베른하르트 리만이 다양체 개념을 도입하면서 현대 미분기하학의 기틀을 마련했다. 이후 앙리 푸앵카레는 다양체의 기하학을 바탕으로 위상수학을 전개하려 했으나, 당시 기술로는 불가능했다.1950년대에는 알에이치 빙과 에드윈 모이즈가 각각 독립적으로 모든 3차원 다양체가 삼각 분할가능하며, 이는 미분 가능한 다양체로 동상 변환 가능하다는 것을 증명했다. 이는 3차원 토폴로지 연구에 미분기하학을 응용할 수 있음을 보여준다. 이러한 발견으로 3차원 위상기하학과 미분기하학의 관계 연구가 빠르게 발전했다.
현대적 의미의 미분위상수학은 1930년대부터 해슬러 휘트니, 레프 폰트랴긴, 르네 톰, 존 밀너, 스티븐 스메일 등에 의해 발전했다. 특히, 1956년 존 밀너는 7차원 초구에 표준적인 매끄러움 구조와 다른 매끄러움 구조가 존재함을 발견하여, 위상 다양체와 매끄러운 다양체 개념이 일치하지 않음을 밝혔다. 같은 해, 존 밀너는 르네 톰의 연구를 바탕으로 7차원 구면에 본질적으로 다른 28종의 미분 가능 구조가 존재함을 보였다. 톰과 밀너로 시작된 고차원 다양체 연구는 현재 미분 위상수학의 시작으로 불린다.
1960년 스티븐 스메일은 코볼디즘 이론을 이용하여 푸앵카레 추측을 5차원 이상에서 증명했다. 이후 1981년 마이클 프리드먼이 4차원, 2003년 그리고리 페렐만이 리처드 S. 해밀턴이 도입한 리치 흐름을 사용하여 3차원에서의 푸앵카레 추측을 증명했다. 푸앵카레 추측이라는 기본적인 위상수학 문제가 미분 위상수학 및 미분기하학을 통해 해결된 것은 많은 위상수학자들을 놀라게 했다.
3. 미분위상수학과 미분기하학의 비교
미분 위상수학과 미분기하학은 우선 그들의 ''유사성''으로 특징지어진다. 둘 다 주로 미분 가능 다양체의 성질을 연구하며, 때로는 다양한 구조가 부여되기도 한다.
주요 차이점 중 하나는 각 학문이 해결하려는 문제의 성격에 있다. 한 관점에서,[4] 미분 위상수학은 주로 ''본질적으로 전역적인'' 문제를 연구함으로써 미분 기하학과 구별된다. 커피 잔과 도넛의 예를 생각해 보자. 미분 위상수학의 관점에서 도넛과 커피 잔은 ''같다''(어떤 의미에서). 이것은 본질적으로 전역적인 관점인데, 왜냐하면 미분 위상수학자는 두 객체의 작은(''국소적인'') 조각만 보고 두 객체가 같은지(이런 의미에서) 판단할 방법이 없기 때문이다. 그들은 전체(''전역적인'') 객체에 접근해야 한다.
미분 기하학의 관점에서, 커피 잔과 도넛은 커피 잔의 구성을 도넛과 일치하도록 회전시킬 수 없기 때문에 ''다르다''. 이것 또한 문제를 전역적으로 생각하는 방식이다. 그러나 중요한 차이점은 기하학자는 이것을 결정하기 위해 전체 객체가 필요하지 않다는 것이다. 예를 들어, 손잡이의 작은 조각만 보더라도, 손잡이가 도넛의 어떤 조각보다 얇거나 더 구부러져 있기 때문에 커피 잔이 도넛과 다르다는 것을 결정할 수 있다.
간단히 말해서, 미분 위상수학은 어떤 의미에서 흥미로운 국소 구조가 없는 다양체의 구조를 연구한다. 미분 기하학은 흥미로운 국소(또는 때로는 무한소) 구조가 있는 다양체의 구조를 연구한다.
더 수학적으로, 예를 들어, 동일한 차원의 두 다양체 사이에 미분동형사상을 구성하는 문제는 본질적으로 전역적인데, 왜냐하면 ''국소적으로'' 두 다양체는 항상 미분동형이기 때문이다. 마찬가지로, 미분 가능한 사상에 대해 불변인 다양체에 대한 양을 계산하는 문제는 본질적으로 전역적인데, 왜냐하면 모든 국소 불변량은 의 위상수학에 이미 나타나기 때문에 ''자명''하기 때문이다. 또한, 미분 위상수학은 반드시 미분동형사상 연구에만 국한되지 않는다. 예를 들어, 심플렉틱 위상수학—미분 위상수학의 하위 분야—은 심플렉틱 다양체의 전역적 성질을 연구한다. 미분 기하학은 국소적이거나 전역적일 수 있는 문제에 관여하며, 이는 항상 어떤 자명하지 않은 국소적 성질을 갖는다. 따라서 미분 기하학은 ''접속'', ''계량 텐서''( 리만, 유사 리만, 또는 핀슬러)가 장착된 미분 가능한 다양체, 특별한 종류의 ''분포''( CR 구조와 같은) 등을 연구할 수 있다.
그러나 미분 기하학과 미분 위상수학 사이의 이러한 구분은 한 점에서의 접선 공간과 같은 국소 미분동형 불변량과 관련된 질문에서는 흐려진다. 미분 위상수학은 또한 에 대한 미분 가능한 사상의 성질과 관련된 질문(예: 접선 다발, 제트 다발, 휘트니 확장 정리 등)도 다룬다.
추상적인 용어에서 이 구분은 간결하다.
- 미분 위상수학은 ''자명한'' 국소 모듈리만 갖는 다양체의 구조의 (무한소, 국소, 전역) 성질을 연구한다.
- 미분 기하학은 하나 이상의 ''자명하지 않은'' 국소 모듈리를 갖는 다양체의 구조에 대한 그러한 연구이다.
3. 1. 미분위상수학
미분기하학을 전개할 수 있는 구조인 매끄러움 구조를 갖춘 매끄러운 다양체의 경우, 일반 위상 공간을 넘어서 매끄러움 구조 자체의 여러 위상수학적 성질들이 존재한다. 이러한 성질을 보존하는 위상동형사상을 미분동형사상이라고 하며, 미분위상수학은 미분동형사상에 대하여 불변인 미분 가능 다양체의 성질을 연구한다.[4]매끄러운 다양체 위에는 매끄러운 함수의 개념을 정의할 수 있다. 이를 사용하여 드람 코호몰로지라는 불변량을 계산할 수 있으며, 이는 대수적 위상수학의 (실수 계수의) 특이 코호몰로지와 일치한다. 미분위상수학은 매니폴드에 미분 가능 구조만 있으면 정의할 수 있는 성질과 구조를 다룬다. 미분 가능한 매니폴드는 추가적인 기하학적 구조가 있는 매니폴드보다 '부드럽다'. 이는 미분위상수학에서 존재하는 특정 종류의 동치와 변형에 대한 방해물로 작용할 수 있다. 예를 들어 부피와 리만 곡률은 동일한 미분 가능한 매니폴드에서 서로 다른 기하학적 구조를 구별할 수 있는 불변량이다. 즉, 특정 매니폴드를 부드럽게 "평평하게" 만들 수 있지만, 공간을 왜곡하고 곡률 또는 부피에 영향을 미칠 수 있다.
반면에, 미분 가능한 매니폴드는 위상 매니폴드보다 더 강성이다. 존 밀너는 일부 구에 여러 개의 미분 가능 구조가 있음을 발견했다. - 이국적인 구와 돈알드슨 정리를 참조하십시오. 미셸 케르베르는 미분 가능 구조가 전혀 없는 위상 매니폴드를 제시했다.[9] 접다발의 존재와 같은 미분 가능 매니폴드 이론의 일부 구성[10]은 더 많은 작업을 통해 위상적 설정에서 수행할 수 있으며, 다른 구성은 수행할 수 없다.
미분위상수학의 주요 주제 중 하나는 매니폴드 간의 특수한 종류의 미분 가능 사상, 즉 침몰 및 침강, 그리고 횡단성을 통한 부분 매니폴드의 교차점을 연구하는 것이다. 더 일반적으로는 미분 동형 사상에 의해 전달되는 미분 가능한 매니폴드의 성질과 불변량에 관심이 있다. 모스 이론은 미분위상수학의 또 다른 분야로, 매니폴드에 대한 위상학적 정보는 함수의 야코비의 계수의 변화로부터 추론된다.
미분 위상수학과 미분 기하학은 우선 그들의 ''유사성''으로 특징지어진다. 둘 다 주로 미분 가능한 다양체의 성질을 연구하며, 때로는 다양한 구조가 부여되기도 한다.
주요 차이점 중 하나는 각 학문이 해결하려는 문제의 성격에 있다. 한 관점에서,[4] 미분 위상수학은 주로 ''본질적으로 전역적인'' 문제를 연구함으로써 미분 기하학과 구별된다. 커피 잔과 도넛의 예를 생각해 보자. 미분 위상수학의 관점에서 도넛과 커피 잔은 ''같다''(어떤 의미에서). 이것은 본질적으로 전역적인 관점인데, 왜냐하면 미분 위상수학자는 두 객체의 작은(''국소적인'') 조각만 보고 두 객체가 같은지(이런 의미에서) 판단할 방법이 없기 때문이다.
미분 기하학의 관점에서, 커피 잔과 도넛은 커피 잔의 구성을 도넛과 일치하도록 회전시킬 수 없기 때문에 ''다르다''. 이것 또한 문제를 전역적으로 생각하는 방식이다. 그러나 중요한 차이점은 기하학자는 이것을 결정하기 위해 전체 객체가 필요하지 않다는 것이다. 예를 들어, 손잡이의 작은 조각만 보더라도, 손잡이가 도넛의 어떤 조각보다 얇거나 더 구부러져 있기 때문에 커피 잔이 도넛과 다르다는 것을 결정할 수 있다.
간단히 말해서, 미분 위상수학은 어떤 의미에서 흥미로운 국소 구조가 없는 다양체의 구조를 연구한다. 미분 기하학은 흥미로운 국소(또는 때로는 무한소) 구조가 있는 다양체의 구조를 연구한다.
더 수학적으로, 예를 들어, 동일한 차원의 두 다양체 사이에 미분동형사상을 구성하는 문제는 본질적으로 전역적인데, 왜냐하면 ''국소적으로'' 두 다양체는 항상 미분동형이기 때문이다. 마찬가지로, 미분 가능한 사상에 대해 불변인 다양체에 대한 양을 계산하는 문제는 본질적으로 전역적인데, 왜냐하면 모든 국소 불변량은 의 위상수학에 이미 나타나기 때문에 ''자명''하기 때문이다. 또한, 미분 위상수학은 반드시 미분동형사상 연구에만 국한되지 않는다. 예를 들어, 심플렉틱 위상수학—미분 위상수학의 하위 분야—은 심플렉틱 다양체의 전역적 성질을 연구한다. 미분 기하학은 국소적이거나 전역적일 수 있는 문제에 관여하며, 이는 항상 어떤 자명하지 않은 국소적 성질을 갖는다. 따라서 미분 기하학은 ''접속'', ''계량 텐서''( 리만, 유사 리만, 또는 핀슬러)가 장착된 미분 가능한 다양체, 특별한 종류의 ''분포''( CR 구조와 같은) 등을 연구할 수 있다.
추상적인 용어에서 이 구분은 간결하다.
- 미분 위상수학은 ''자명한'' 국소 모듈리만 갖는 다양체의 구조의 (무한소, 국소, 전역) 성질을 연구한다.
- 미분 기하학은 하나 이상의 ''자명하지 않은'' 국소 모듈리를 갖는 다양체의 구조에 대한 그러한 연구이다.
3. 2. 미분기하학
미분 위상수학과 미분 기하학은 주로 미분 가능한 다양체의 성질을 연구한다는 점에서 유사하다.[4] 두 학문의 주요 차이점은 다루는 문제의 성격에 있다. 미분 위상수학은 본질적으로 전역적인 문제를 연구하는 반면, 미분 기하학은 국소적이거나 전역적인 문제를 다루며, 항상 자명하지 않은 국소적 성질을 갖는다.예를 들어, 미분 위상수학 관점에서 커피 잔과 도넛은 미분동형사상에 의해 같은 것으로 간주된다.[4] 이는 전역적인 관점으로, 객체의 작은 부분만으로는 두 객체의 동일성 여부를 판단할 수 없기 때문이다. 반면 미분 기하학에서는 커피 잔과 도넛이 다르다고 본다. 커피 잔의 손잡이와 같은 작은 부분만 보더라도 도넛과 다르다는 것을 알 수 있기 때문이다.
간단히 말해, 미분 위상수학은 흥미로운 국소 구조가 없는 다양체의 구조를 연구하고, 미분 기하학은 흥미로운 국소 구조가 있는 다양체의 구조를 연구한다. 예를 들어, 동일한 차원의 두 다양체 사이에 미분동형사상을 구성하는 문제는 국소적으로는 항상 미분동형이기 때문에 본질적으로 전역적인 문제이다.[4]
미분 기하학은 접속, 계량 텐서(리만, 유사 리만, 핀슬러) 등 국소적 또는 전역적일 수 있는 다양한 구조를 연구한다. 그러나 접선 공간과 같이 국소 미분동형 불변량과 관련된 질문에서는 두 학문의 구분이 모호해진다. 미분 위상수학은 접선 다발, 제트 다발 등과 관련된 질문도 다룬다.
추상적으로 말하면, 미분 위상수학은 자명한 국소 모듈리만 갖는 다양체의 구조를 연구하고, 미분 기하학은 하나 이상의 자명하지 않은 국소 모듈리를 갖는 다양체의 구조를 연구한다.
4. 주요 연구 분야
다양체에는 미분기하학을 전개할 수 있게 하는 구조인 매끄러움 구조를 줄 수 있다. 이러한 구조를 갖춘 매끄러운 다양체의 경우, 일반 위상 공간을 넘어서 매끄러움 구조 자체의 여러 위상수학적 성질들이 존재한다. 이러한 성질을 보존하는 위상동형사상을 미분동형사상이라고 하며, 미분위상수학은 미분동형사상에 대하여 불변인 미분 가능 다양체의 성질을 연구한다.
매끄러운 다양체 위에는 매끄러운 함수의 개념을 정의할 수 있다. 이를 사용하여 드람 코호몰로지라는 불변량을 계산할 수 있으며, 이는 대수적 위상수학의 (실수 계수의) 특이 코호몰로지와 일치한다.
4. 1. 침몰, 침강, 횡단성
4. 2. 모스 이론
4. 3. 코보디즘 이론
4. 4. 심플렉틱 위상수학
5. 주요 개념 및 정리
위상 공간의 한 종류인 다양체에는 미분기하학을 전개할 수 있게 하는 구조인 매끄러움 구조를 줄 수 있다. 이러한 구조를 갖춘 매끄러운 다양체의 경우, 일반 위상 공간을 넘어서 매끄러움 구조 자체의 여러 위상수학적 성질들이 존재한다. 이러한 성질을 보존하는 위상동형사상을 미분동형사상이라고 하며, 미분위상수학은 미분동형사상에 대하여 불변인 미분 가능 다양체의 성질을 연구한다.
매끄러운 다양체 위에는 매끄러운 함수의 개념을 정의할 수 있다. 이를 사용하여 드람 코호몰로지라는 불변량을 계산할 수 있으며, 이는 대수적 위상수학의 (실수 계수의) 특이 코호몰로지와 일치한다.
5. 1. 드람 코호몰로지
다양체에는 미분기하학을 전개할 수 있게 하는 구조인 매끄러움 구조를 줄 수 있다. 이러한 구조를 갖춘 매끄러운 다양체의 경우, 일반 위상 공간을 넘어서 매끄러움 구조 자체의 여러 위상수학적 성질들이 존재한다. 이러한 성질을 보존하는 위상동형사상을 미분동형사상이라고 하며, 미분위상수학은 미분동형사상에 대하여 불변인 미분 가능 다양체의 성질을 연구한다.매끄러운 다양체 위에는 매끄러운 함수의 개념을 정의할 수 있다. 이를 사용하여 드람 코호몰로지라는 불변량을 계산할 수 있으며, 이는 대수적 위상수학의 (실수 계수의) 특이 코호몰로지와 일치한다.
5. 2. 푸앵카레 추측
5. 3. 내시 매입 정리
5. 4. 휘트니 확장 정리
참조
[1]
서적
Differential forms in algebraic topology
Springer
[2]
서적
Topology from the differentiable viewpoint
Princeton university press
[3]
서적
Introduction to topological manifolds
Springer Science & Business Media
[4]
서적
Differential Topology
Springer-Verlag
[5]
서적
The wild world of 4-manifolds
American Mathematical Soc.
[6]
서적
Instantons and four-manifolds
Springer Science & Business Media
[7]
서적
Morse Theory.(AM-51), Volume 51
Princeton university press
[8]
서적
The geometry of four-manifolds
Oxford university press
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간행물
[10]
간행물
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