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엇각기둥

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목차

1. 개요

엇각기둥은 두 개의 다각형을 엇갈리게 배치하고, 그 꼭짓점들을 번갈아 연결하여 만들어지는 다면체이다. 1619년 요하네스 케플러가 무한한 종류의 엇각기둥의 존재를 언급한 것이 최초 발견으로 여겨지며, 정다각형을 밑면으로 하고 정삼각형을 옆면으로 갖는 균일 엇각기둥이 존재한다. 엇각기둥은 깎은 엇각기둥, 다듬은 엇각기둥과 같은 관련 다면체를 가지며, 4차원 및 그 이상의 공간에서도 엇각기둥의 개념을 확장할 수 있다.

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엇각기둥

2. 역사

요하네스 케플러는 1619년 그의 저서 《Harmonices Mundi》에서 무한한 부류의 엇각기둥의 존재를 관찰했다.[1] 이것이 일반적으로 이 도형의 최초 발견으로 여겨지지만, 더 이전에 알려졌을 수도 있다. 히에로니무스 안드레아가 1556년에 사망하였는데, 그에게 귀속된 육각 엇각기둥의 전개도에 대한 서명이 없는 인쇄 블록이 존재한다.[2]

"antiprism"이라는 단어의 독일어 형태는 19세기에 이 도형에 사용되었다. 칼 하인체는 테오도어 비트슈타인이 이 용어를 도입한 것으로 평가했다.[3] 영어 "anti-prism"은 기본 광학 요소의 효과를 상쇄하는 데 사용되는 광학 각기둥에 대해 더 일찍 사용되었지만,[4] 기하학적 의미에서 영어로 "antiprism"이 처음 사용된 것은 20세기 초 H. S. M. 콕세터의 저작에서 나타난다.[5]

3. 종류

엇각기둥은 밑면의 모양에 따라 다양하게 분류된다.

3. 1. 정 엇각기둥

정 엇각기둥은 밑면이 정다각형이고 옆면이 모두 합동인 이등변삼각형으로 이루어진 엇각기둥이다. 정다각형의 축은 다각형 평면에 수직으로 놓여 있으며 다각형 중심에 놓여 있는 선이다.

합동인 ''정'' n각형을 밑면으로 하고 도 각도로 비틀린 엇각기둥의 경우, 밑면이 동일한 축을 가지는 경우, 즉 ''동축''인 경우 더 많은 규칙성을 얻을 수 있다. (비공면 밑면의 경우) 밑면 중심을 연결하는 선이 밑면 평면에 수직인 경우인데, 이 때 엇각기둥을 '''직각 엇각기둥'''이라고 한다.

3. 1. 1. 고른 엇각기둥

고른 엇각기둥은 밑면을 제외하고 정삼각형 2''n''개를 면으로 가진다. 고른 각기둥처럼 고른 엇각기둥은 무한한 점추이 고른 다면체의 급수를 만든다. ''n'' = 2일 때, 퇴화된 경우로 정사면체를 ''엇이각기둥''으로 보고, ''n'' = 3일 때는 정상적인 정팔면체를 ''엇삼각기둥''으로 본다.

균일 ''n''-엇각기둥은 두 개의 합동 ''정'' ''n''-각형을 밑면으로 하고, 2''n''개의 ''정'' 삼각형을 옆면으로 가진다. 균일 엇각기둥은 균일 기둥과 마찬가지로 무한한 종류의 꼭짓점-추이 다면체를 형성한다. ''n'' = 2인 경우, 정규 사면체와 시각적으로 동일한 ''이각 엇각기둥''(퇴화된 엇각기둥)이 있고, ''n'' = 3인 경우, ''삼각 엇각기둥''(비퇴화 엇각기둥)으로서 정규 팔면체가 있다.

균일 ''n''각 엇각기둥은 다음과 같다.

엇각기둥 이름다면체 이미지구면 타일링 이미지평면 타일링 이미지꼭짓점 배열
이각 엇각기둥
----2.3.3.3
(삼각)
삼각 엇각기둥		----3.3.3.3
(사각)
정사각형 엇각기둥		----4.3.3.3
오각 엇각기둥----5.3.3.3
육각 엇각기둥
--6.3.3.3
칠각 엇각기둥
--7.3.3.3
... 무한각 엇각기둥... ∞.3.3.3



이러한 준정 엇각기둥의 슐레겔 다이어그램은 다음과 같다.


A3

A4

A5

A6

A7

A8


3. 2. 별모양 엇각기둥

별모양 엇각기둥은 밑면이 별 다각형인 엇각기둥이다. 별모양 고른 엇각기둥은 밑면인 별 다각형 {''p''/''q''}으로 이름이 결정되고, 순방향과 역방향(교차된) 솔루션이 나온다. 교차된 형태는 교차된 꼭짓점 도형을 가지고 ''p''/''q'' 대신에 역방향 분수 ''p''/(''p'' - ''q'')를 사용한다. 예를 들면 5/2 대신에 5/3을 쓴다.

순방향이 아닌 역방향 형태에서는, 별모양 밑변에 접하는 삼각형은 회전 대칭축과 교차한다.

별 정다각형을 밑면으로 가지는 일부 역방항 별 엇각기둥은 모서리의 길이가 같아질 수 없어서, 고른 다면체가 될 수 없다. 별 엇각기둥 결합물은 ''p''와 ''q''를 공통으로 가지도록 만들 수 있다. 따라서 10/4 엇각기둥은 두 5/2 별 엇각기둥의 결합이다.

12까지의 대칭에 따른 고른 별모양 엇각기둥
대칭별모양
d5h
[2,5]
(*225)		--
3.3.3.5/2
d5d
[2+,5]
(2*5)		--
3.3.3.5/3
d7h
[2,7]
(*227)

3.3.3.7/2

3.3.3.7/4
d7d
[2+,7]
(2*7)

3.3.3.7/3
d8d
[2+,8]
(2*8)

3.3.3.8/3

3.3.3.8/5
d9h
[2,9]
(*229)		--
3.3.3.9/2		--
3.3.3.9/4
d9d
[2+,9]
(2*9)		--
3.3.3.9/5
d10d
[2+,10]
(2*10)

3.3.3.10/3
d11h
[2,11]
(*2.2.11)

3.3.3.11/2

3.3.3.11/4

3.3.3.11/6
d11d
[2+,11]
(2*11)

3.3.3.11/3

3.3.3.11/5

3.3.3.11/7
d12d
[2+,12]
(2*12)

3.3.3.12/5

3.3.3.12/7
...


4. 성질

''n''각영 밑면과 이등변삼각형을 가지는 직엇각기둥의 꼭짓점 좌표, 부피, 겉넓이를 계산할 수 있다. 자세한 내용은 하위 문단을 참고하라. 정 ''n''각 엇각기둥의 대칭군은 4''n''차 D''n''d이다. 단, 정사면체는 D2d의 세 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 24차 대칭군 Td를 가지며, 정팔면체는 D3d의 네 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 48차 대칭군 Oh를 가진다. 대칭군은 ''n''이 홀수일 때만 점대칭을 포함한다.

4. 1. 직교 좌표

밑면이 정n각형이고 옆면이 이등변삼각형인 엇각기둥의 꼭짓점의 직교 좌표는 다음과 같다.

:\left( \cos\frac{k\pi}{n}, \sin\frac{k\pi}{n}, (-1)^k h \right)

여기서 ''k''는 0에서 2''n'' − 1까지의 정수이다. 삼각형이 정삼각형일 경우에는 다음과 같다.

:2h^2=\cos\frac{\pi}{n}-\cos\frac{2\pi}{n}.

4. 2. 부피와 겉넓이

변의 길이가 a영어인 균일 n각 엇각기둥의 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

  • 부피:


:V = \frac{n\sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,

  • 겉넓이:


:A = \frac{n}{2} \left( \cot\frac{\pi}{n} + \sqrt{3} \right) a^2.

4. 3. 대칭

정 ''n''각 엇각기둥의 대칭군은 4''n''차 D''n''d이다. 단, 정사면체는 D2d의 세 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 24차 대칭군 Td를 가지며, 정팔면체는 D3d의 네 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 48차 대칭군 Oh를 가진다.

대칭군은 ''n''이 홀수일 때만 점대칭을 포함한다.

5. 관련 다면체

고른 엇각기둥은 밑면을 제외하고 정삼각형 2''n''개를 면으로 가진다. 고른 각기둥처럼 고른 엇각기둥은 무한한 점추이 고른 다면체의 급수를 만든다. ''n'' = 2일 때는 정사면체를 엇이각기둥으로, ''n'' = 3일 때는 정팔면체를 엇삼각기둥으로 본다.

엇각기둥의 쌍대다면체는 엇각쌍뿔이다. 엇각쌍뿔은 요하네스 케플러가 처음 언급하고 이름 지었지만, 그 이전에도 아르키메데스가 아르키메데스 다면체와 같은 꼭짓점 조건을 만족시키는 것으로 알려져 있었을 가능성도 있다.

고른 엇각기둥족 n.3.3.3
다면체
--
타일링
배치V2.3.3.33.3.3.34.3.3.35.3.3.36.3.3.37.3.3.38.3.3.39.3.3.310.3.3.311.3.3.312.3.3.3... ∞.3.3.3


5. 1. 깎은 엇각기둥

낮은 대칭 형태의 깎은 정팔면체(깎은 엇삼각기둥)를 포함하는 무한한 깎은 엇각기둥의 집합이 존재한다. 이것들은 다듬은 엇각기둥을 만들기 위해서 교대될 수 있다. 깎은 엇각기둥 중 둘은 존슨의 다면체이고, ''다듬은 엇삼각기둥''은 낮은 대칭의 정이십면체이다.

깎은 엇각기둥
깎은 엇이각기둥
깎은 엇삼각기둥
깎은 엇사각기둥
깎은 엇오각기둥
...
ts{2,4}ts{2,6}ts{2,8}ts{2,10}ts{2,2n}


5. 2. 다듬은 엇각기둥

낮은 대칭 형태의 깎은 정팔면체(깎은 엇삼각기둥)를 포함하는 무한한 깎은 엇각기둥이 존재한다. 이것들은 다듬은 엇각기둥을 만들기 위해서 교대될 수 있다. 깎은 엇각기둥 중 둘은 존슨의 다면체이고, '다듬은 엇삼각기둥'은 낮은 대칭의 정이십면체이다.

다듬은 엇각기둥
J84정이십면체J85불규칙...
다듬은 맞붙인 쐐기꼴
정이십면체
다듬은 엇사각기둥
...
ss{2,4}ss{2,6}ss{2,8}ss{2,10}ss{2,2n}


참조

[1] 서적 Harmonices Mundi
[2] 간행물 New light on the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance 2008-07
[3] 서적 Genetische Stereometrie https://books.google[...] B. G. Teubner
[4] 간행물 XVII. On the Constitution of the Lines forming the Low-Temperature Spectrum of Oxygen
[5] 간행물 The pure Archimedean polytopes in six and seven dimensions 1928-01
[6] 간행물 Are prisms and antiprisms really boring? (Part 3) https://faculty.wash[...]
[7] 간행물 Antiprismlessness, or: reducing combinatorial equivalence to projective equivalence in realizability problems for polytopes
[8] 웹인용 One World Trade Center Antiprism http://demonstration[...] Wolfram Demonstrations Project 2013-10-08


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